Dimensionamento Laje

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mkNm
x
mx /14,7
5,24
57 2

mkNm
x
my /59,3
8,48
57 2

mm
x
x /16,17
2,10
57 2

2
22
2
22
/48,43
15,1
50
15,1
/50/500000500
50
/79,1
4,1
5,2
4,1
/5,2/250025
25
cmkN
fyk
fyd
cmkNmkNMPafyk
CA
Aço
cmkN
fck
fcd
cmkNmkNMPafck
C
concreto






Ex: Calcular a armadura para a laje abaixo, 
sabendo: 
 h=10cm 
 d=7cm 
 concreto C-25 
 aço CA-050 
 g=5 kN/m 
 q=2 kN/m 
 tempo de carregamento = 2 meses 
 
 
 
1) Interpretação do enunciado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Condições de contorno: lajes diferentes 
 
 
 Verdadeiro: L1 E L2 
 L2 E L1 
 
3) Momentos 
a. L1: Czerny – caso 2B 
 
 
 
 
b. L2: 
 
 
 
 
 
 
 
4
5
2
4

 Mm
l
l
mkNm
x
m /97,1
22,14
27 2

mkNm
x
x /5,3
8
27 2

L1: em cruz 
L2: em 1 direção 
g (carga permanente) + q (carga acidental) = p =7kN/m 
Obs: não foi considerado o coeficiente de ponderação 
1,4 para majorar as cargas no E.L.U. 
tempo de carregamento: informação que nos leva a 
verificar a flecha. 
L1 L2 
 












73,1316,17*8,0*8,0
33,10
2
5,316,17
2
21
maior
máximo
X
ou
XX
X
 
4) Equilíbrio dos momentos 
 
 
 
 
 
 usa-se o maior deles: 13,73 
 
 O momento negativo em L1 diminuiu e em L2 aumentou, 
 logo devemos contrabalançar em L1 (laje que sofreu redução): 
 
 
 mx em L1 = 7,14 + 1,72 = 8,86 kNm/m 
 
5) verificação das flechas 
Será na de maior momento: L1 
 
 
 
 
Flecha imediata 
 
 
Flecha diferida (60 dias) 
 
 
Flecha total 
 
 
Flecha máxima 
 a flecha total é menor que a máxima: OK 
72,1
2
73,1316,17


x
22
4
33
2
/0007,0/7
33,333.8
12
)10(*100
12
*
/22,526.75,2*5600*85,0*5600*85,0
cmkNmkNP
cm
cmcmhb
I
cmkNfckE



cm
cmcmkN
cmcmkNcm
IE
lpb
fi 24,0
33,333.8*/22,526,7
)500(*/0007,0
*
12
100
*
100
09,4
*
*
*
12
*
100 42
424


cmf 16,1
01
84,02
501






 

cmf fi 52,0)16,11(*24,0)1(* 
cm
l
2
250
500
250

Método simplificado: 
 
X=13,73kNm/m 
 
6) Armaduras mínimas 
L1 (armada em cruz): armadura mínima positiva 
 
 
L2 (armada em uma direção): armadura mínima positiva principal 
 
 
L2: armadura mínima positiva secundária 
 
 
 
 
 
Armaduras mínimas negativas: 
 
 
 
7) Outras limitações 
 
DIÂMETRO DAS BARRAS DA ARMADURA PRINCIPAL 
 
 
 
DIÂMETRO DAS BARRAS DA ARMADURA SECUNDÁRIA 
 
ESPAÇAMENTO MÍNIMO DAS BARRAS DA ARMADURA PRINCIPAL 
 
 
ESPAÇAMENTO MÍNIMO DAS BARRAS DA ARMADURA SECUNDÁRIA 
 
mcmAc
fyd
fcd
As /94,0)10*100(*
48,43
79,1
*023,0**023,0 2min 
mcmAc
fyd
fcd
As /44,1)10*100(*
48,43
79,1
*035,0**035,0 2min 










2
2
min
741,01000*
48,43
79,1
*018,0**018,0
9,0
*20,0
sec
cmAc
fyd
fcd
cm
As
A
2100010*100* cmhbA wc 
 
Logo, os 0,741cm2 estão descartados. 
mmcm
h
MÁX
MÁX
5,1225,1
8
10
8




sMÍN
A2,0





cmh
cm
Scm p
2010*22
20
7
cmScm s 3310 
mcmA
f
f
A c
yd
cd
mínimas /44,1**035,0
2
%5,3*1
*
0,1










 
x
x
fyd
Ess


259,0xse
259,0xse
8) Armadura 
L1 - sentido da continuidade (momento = 8,86 kNm/m) 
 
 
 
 
 
Este m calc é o maior momento permitido para que não se utilize armadura negativa. Como 8,86 é menor que 
m calc, não há necessidade de armadura negativa. 
mcalc = 8,86 kNm/m = 886 kNcm/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mcm
fyddzs
m
As calc /109,3
48,43*7*9364,0*1
886
***
2  
mcmmcmAA mínimass /94,0/109,3
22  
 OK 
logo, a armadura em L1 positiva no sentido do engaste = 3,109 cm2/m 
 
Diâmetro máximo de 12,5mm 
Espaçamento entre 7 e 20cm 
 
 
 
 
fyddzs
m
As calc
***





fcddb
fcddb
mcalc
***228,0
***272,0
2
2
para fck até 35Mpa (caso deste exemplo) 
para fck maior que 35MPa 
mkNmmkNcmcmkNcmcmm calc /86,23/71,385.2/79,1*7*100*272,0
222 
159,0
79,1*7*100*272,0
886
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22

cd
calc
fdb
m
x
9364,0159,0*4,014,01  xz 
L1 
103,6/109,3 2 cmcmAs  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
%5,3*1
*
0,1










 
x
x
fyd
Ess


259,0xse
259,0xse
 
L1 - sentido da descontinuidade (momento = 3,59 kNm/m) 
 
 
 
 
 
Este m calc é o maior momento permitido para que não se utilize armadura negativa. Como 3,59 é menor que 
m calc, não há necessidade de armadura negativa. 
mcalc=3,59 kNm/m = 359 kNcm/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mcm
fyddzs
m
As calc /99,2
48,43*7*975,0*1
886
***
2  
 
mcmmcmAA mínimass /94,0/99,2
22  
 OK 
logo, a armadura em L1 positiva no sentido dos apoiso simples = 2,99 cm2/m 
Diâmetro máximo de 12,5mm 
Espaçamento entre 7 e 20cm 
 
103,6/99,2 2 cmcmAs  
 
fyddzs
m
As calc
***





fcddbw
fcddbw
mcalc
***228,0
***272,0
2
2
para fck até 35Mpa (caso deste exemplo) 
para fck maior que 35MPa 
mkNmmkNcmcmkNcmcmm calc /86,23/71,385.2/79,1*7*100*272,0
222 
062,0
79,1*7*100*272,0
359
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22

cd
calc
fdb
m
x
975,0062,0*4,014,01  xz 
%5,3*1
*
0,1










 
x
x
fyd
Ess


259,0xse
9868,0033,0*4,014,01  xz 
259,0xse
 
 
L2 - armadura positiva principal (momento = 1,97 kNm/m) 
 
 
 
 
 
Este m calc é o maior momento permitido para que não se utilize armadura negativa. Como 1,97 é menor que 
m calc, não há necessidade de armadura negativa. 
mcalc=1,97 kNm/m = 197 kNcm/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
mcm
fyddzs
m
As calc /656,0
48,43*7*9868,0*1
197
***
2 
 
 
mcmmcmAA mínimass /44,1/656,0
22  
 => As=As mín = 1,44 cm2/m 
logo, a armadura em L2 positiva principal = 1,44 cm2/m 
 
L2 - armadura positiva secundária 
 











2
2
2
sec
741,01000*
48,43
79,1
018,0**018,0
9,0
288,044,1*2,0*2,0
cmAc
fyd
fcd
cm
cmAs
MáximoA mínima logo, Asec máxima= 0,9cm2 
logo, a armadura em L2 positiva secundária = 0,9 cm2/m 
fyddzs
m
As calc
***





fcddbw
fcddbw
mcalc
***228,0
***272,0
2
2
para fck até 35Mpa (caso deste exemplo) 
para fck maior que 35MPa 
mkNmmkNcmcmkNcmcmm calc /86,23/71,385.2/79,1*7*100*272,0
222 
033,0
79,1*7*100*272,0
197
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22

cd
calc
fdb
m
x
L2 
5,92,4/44,1 2 cmcmAprincipals  
 
Espaçamento entre 7 e 20cm 
 
332,4/9,0 2sec cmcmA  
 
Espaçamento entre 10 e 33cm 
 
 
288,044,1*2,02,0min  sA
8
max
h

%5,3*1
*
0,1










 
x
x
fyd
Ess


259,0xse
897,0257,0*4,014,01  xz 
259,0xse
 
 
9) Armadura dos momentos no engaste (momento = -13,73 kNm/m) 
 
 
 
 
 
 
 
Este m calc é o maior momento permitido para que não se utilize armadura negativa. Como 13,73 é menor que 
m calc, mcalc=13,73 kNm/m = 1373 kNcm/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
mcm
fyddzs
m
As calc /03,5
48,43*7*897,0*1
1373
***
2 
 
 
mcmmcmAA mínimass /44,1/03,5
22  
 => As = 5,03 cm2/m 
 
 
 
 
 
 
 
fyddzs
m
As calc
***





fcddbw
fcddbw
mcalc
***228,0
***272,0
2
2
para fck até 35Mpa (caso deste exemplo) 
para fck maior que 35MPa 
mkNmmkNcmcmkNcmcmm calc /86,23/71,385.2/79,1*7*100*272,0
222 
257,0
79,1*7*100*272,0
1373
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22

cd
calc
fdb
m
x
5,98/03,5 2 cmcmAs 