Apostila Introdução ao Cálculo

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

AULA 01 TEORIA DOS CONJUNTOS.pdf
 1 
AULA 01 - TEORIA DOS 
CONJUNTOS 
 
Símbolos 
: pertence : existe 
: não 
pertence 
: não existe 
: está 
contido 
: para todo 
(ou qualquer que 
seja) 
: não está 
contido 
: conjunto 
vazio 
: contém 
IN: conjunto dos 
números naturais 
: não contém 
Z : conjunto dos 
números inteiros 
/ : tal que 
Q: conjunto dos 
números 
racionais 
: implica 
que 
Q'= I: conjunto 
dos números 
irracionais 
: se, e 
somente se 
IR: conjunto dos 
números reais 
 
Na Matemática, conjunto, elemento e 
relação de pertinência são aceitos sem 
definição. 
 
Notação: Um conjunto é indicado por letras 
maiúsculas A, B, C, ..., colocando seus 
elementos entre chaves. 
Exemplos e representação: 
O conjunto pode ser representado nomeando 
seus elementos. 
 
A = {a,e,i,o,u} 
B = {2,3,4} 
 
O conjunto pode ser determinado por uma 
sentença. 
 
Exemplo: 
 
A = { x/x é número par} 
 
Através de diagrama de Venn 
 
 A 
 
 a e i 
 
 o u 
 
 
 
 
 
 
Subconjunto 
 
Um conjunto A é subconjunto de B, se e só 
se, todo elemento que pertence a A pertence 
a B. 
 
A  B  lê-se A está contido em B (relação 
de inclusão. 
 
Exemplo: 
 
B = {1,2,3,4} 
A = {1,2} 
 
 B 
 
 4 
 3 
 1 
 A 2 
 
 
 
 
Obs:   A,  A 
 
 2 
Conjuntos iguais: Dois conjuntos são iguais 
A = B, se e só se, A  B e B  A. 
 
Conjunto das partes 
 
Seja um conjunto A. Chama-se conjunto das 
partes P(A) o conjunto formado por todos os 
subconjuntos de A. 
 
Exemplo: Seja A = {1,2,3}. Então: 
 
P(A) = {, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. 
 
Note que: {1,2}  A, mas {1,2}  P(A). 
Número de elementos de P(A) é 2
n 
n  n
0
 de elementos de A. 
 
Operações sobre os conjuntos: 
 
a) Intersecção 
 
A interseção dos conjuntos A e B é o 
conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. 
 
A B = { x: x A e x B } 
 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} então 
A B = {a,e}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B 
é o conjunto vazio, dizemos que estes 
conjuntos são disjuntos. 
 
Propriedades: 
 
   A =  
 A  A = A 
 A  B = B  A 
 (A  B)  C = A  (B  C) 
 
b) União 
 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A ou ao conjunto B. 
 
A B = { x: x A ou x B } 
 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={a,e,b,c} então 
A B = {a,e,i,o,b,c}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
   A = A 
 A  A = A 
 A  B = B  A 
 (A  B)  C = A  (B  C) 
 
c) Diferença 
 
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
diferença entre A e B (nesta ordem) ao 
conjunto representado por A - B, formado por 
todos os elementos pertencentes a A, mas 
que não pertencem a B, ou seja: 
 
A - B = {x: x A e x B} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Se B  A, define-se complementar de B 
em relação a A: 
 
B
AC
 = A - B = {x/ x A e x B} 
Exemplo: 
A = {1,2,3,4,5} 
B = {2,4,5} 
B
AC
= A – B = {1,3} 
 
Conjunto universo 
 
É um conjunto especificado que contém 
todos os elementos de interesse para um 
determinado problema. 
 
 3 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) Naturais (I) 
 
IN = {0,1,2,3,4,....}  necessidade da 
contagem 
 
3 + 2  a IN 
 
3 – 4  a IN 
 
3.2  a IN 
 
3 : 2  a IN 
 
b) Inteiros (Z) 
 
Z = { ...,- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
3 – 4  a Z 
 
3 : 2  a Z 
 
c) Racionais (Q) 
 
Q = {p/q / p e q  a Z e q  0} 
 
3 : 2  a Q 
 
Definimos um número racional como um 
valor x tal que 
0,  qeZqp
q
p
x
. 
Admitindo por redução ao absurdo que p  0 
e q = 0, podemos representar x da seguinte 
forma: 
 
0.
0
xp
p
x 
, qual o valor que x deve 
assumir de modo que multiplicado por zero 
resulta p ? Como pode-se ver facilmente esta 
igualdade é uma impossibilidade. Deve-se 
portanto admitir que à medida que o 
denominador fica próximo de zero, tornando-
se muito pequeno, x torna-se 
excessivamente grande ou infinitamente 
grande. Assim: 

0
p
x
 
 Por outro lado se admitirmos que p = 0 e q = 
0, tem-se: 
0.0
0
0
xx 
, qual o valor que x deve 
assumir de modo que multiplicado por zero 
resulta zero? Qualquer valor torna a 
igualdade 0 = x.0 verdadeira, logo pode-se 
representar qualquer número real através da 
fração 
0
0
 , então esta fração caracteriza uma 
indeterminação. 
 
Os racionais podem ser escritos na base 10, 
como decimais finitos ou infinitos e 
periódicos. 
 
...333,0
3
1
0
4
0
5,0
2
1

 
 
d) Irracionais (I ou Q’) 
 
São aqueles que não podem ser expressos 
na forma p/q, com p e q inteiros e q diferente 
de 0. 
 São compostos por dízimas infinitas não 
periódicas. 
 
 
 e = 2,71828 .... (base neperiana) 
 
e) Reais (IR) 
 
É a união do conjunto dos números 
irracionais com o dos racionais. 
 
Portanto, os números naturais, inteiros, 
 
 
Racionais e irracionais são todos números 
reais. Como subconjuntos importantes de IR 
temos: 
 
IR* = IR-{0} 
IR+ = conjunto dos números reais não 
negativos 

*IR
 reais estritamente positivos 
 4 
Existência do inverso 
 
Existência de elemento inverso em relação à 
multiplicação:  x IR, x ≠ 0,  y  IR / 
x.y = 1, denotando-se 
x
1
xy 1  
 ou seja 
1
x
1
.x 
 
 
Intervalos em IR 
 
Dados dois números reais p e q, chama-se 
intervalo a todo conjunto de todos números 
reais compreendidos entre p e q, podendo 
inclusive incluir p e q. Os números p e q são 
os limites do intervalo, sendo a diferença p - 
q, chamada amplitude do intervalo. 
Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é 
fechado e caso contrário, o intervalo é dito 
aberto. 
A tabela a seguir define os diversos tipos de 
intervalos. 
 5 
Complete a representação geométrica nos intervalos a seguir: 
REPRESENTAÇÃO 
[p;q] = {x  IR / p  x  q} 
 (p;q) = { x  IR / p < x < q} 
[p;q) = { x  IR / p  x < q} 
(p;q] = {x  IR / p < x  q} 
[p;  ) = {x  IR / x  p} 
(-  ; q] = { x  IR / x  q} 
(- ; q) = { x  IR / x < q} 
(p;  ) = { x  IR / x > p } 
(-,p]  [q, +) = { x  R / 
x  p  x  q} 
 
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais (o conjunto IR) pode ser representado 
na forma de intervalo como IR = ( - ; +  ). 
 
Módulo ou valor absoluto 
 
De um inteiro não negativo a e de seu oposto – a será o próprio valor inteiro a. Representamos 
o módulo do inteiro a como sendo 
a
. Isto é: 
 






0
0
asea
asea
a
 
Exemplos: 
5)5(555  e
 
00 
 
f) Complexos (C) 
 
 
 
Representação geométrica 
 
 
 6 
 
 
Exemplo: Resolva x
2
 – 4x + 13 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à 
noite, 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e à noite, 40 trabalham à 
tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Quantos operários trabalham só de manhã ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Em uma escola, cujo total
de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que 
os alunos costumam beber. Os resultados foram: A = 200, A e B = 20 Nenhum = 100 
a) Quantos bebem apenas o refrigerante A? 
b) Quantos bebem apenas o refrigerante B? 
c) Quantos bebem B? 
d) Quantos bebem A ou B? 
 
 7 
3) Dados os conjuntos A = [-3,2] e B(0,4] , subconjuntos de IR, determinar A  B. 
 
 
 
4) Dados os conjuntos A = [-4,1] e B(-1,3], subconjuntos de IR, determinar A  B. 
 
 
 
5) Dados os conjuntos A = [-5,1) e B(-1,2], subconjuntos de IR, determinar A – B. 
 
 
 
6) Sendo A = [2;5] e B = (3;7), subconjuntos de IR, determine graficamente e através da 
notação de conjuntos: 
a) A  B b) 
c) A - B d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BA
A
IRC
 8 
LISTA DE CONJUNTOS 
 
1. Dizemos que um conjunto numérico C é 
fechado pela operação ⋆ se, e somente se, 
para todo 1c , 2c C , tem-se ( 1c ⋆ 2c ) C . A 
partir dessa definição, avalie as afirmações 
seguintes. 
 
I. O conjunto 
 A 0,1
é fechado pela 
multiplicação. 
 
II. O conjunto B de todos os números 
naturais que são quadrados perfeitos é 
fechado pela multiplicação. 
 
III. O conjunto 
 C 1,2,3,4,5,6
é fechado 
pela adição. 
 
Está(ão) corretas(s) 
a) apenas a afirmação I. 
b) apenas as afirmações I e II. 
c) apenas as afirmações I e III. 
d) apenas as afirmações II e III. 
e) as três afirmações. 
 
2. Dados os conjuntos numéricos A, B, C e 
D, a região sombreada do diagrama 
corresponde a: 
 
 
 
a) 
C D.
 
b) 
C D.
 
c) 
(A B) (C D).  
 
d) 
(A B) (C D).  
 
 
3. Sendo N o conjunto dos inteiros positivos, 
considere os seguintes conjuntos: 
 
12 x
A x N; N e B x N; N .
x 3
   
        
   
 
É verdade que 
 
a) A possui mais elementos que B. 
b) A e B não possuem elementos em comum. 
c) A é um subconjunto de B. 
d) B é um subconjunto de A. 
e) A e B possuem exatamente três elementos 
em comum. 
 
4. Quantos são os subconjuntos de um 
conjunto que possui: 
 
a) 2 elementos? b) 3 elementos? 
c) 4 elementos? d) n elementos? 
 
5. Um levantamento socioeconômico entre os 
habitantes de uma cidade revelou que, 
exatamente: 17% têm casa própria; 22% 
têm automóvel; 8% têm casa própria e 
automóvel. Qual o percentual dos que não 
têm casa própria nem automóvel? 
 
6. Numa pesquisa sobre as emissoras de 
tevê a que habitualmente assistem, foram 
consultadas 450 pessoas, com o seguinte 
resultado: 
 
 230 assistem o canal A; 
 250 o canal B; 
 50 assistem outros canais diferentes 
de A e B. 
 
Responda, em relação às pessoas 
consultadas: 
 
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e 
B? 
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e 
não assistem ao canal B? 
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e 
não assistem ao canal A? 
d) Quantas pessoas não assistem ao canal 
A? 
 
7. Considerando que x = 0,777..., expresse x 
como quociente de dois números inteiros, 
isto é, obtenha a fração geratriz da 
correspondente dízima periódica. 
 
Dica: para acharmos a fração geratriz, basta 
criar uma fração onde o numerador é o 
período e o denominador é composto de 
"noves". Se o período tiver 2 algarismos, o 
denominador vai ser 99; se o período tiver 4 
algarismos o denominador vai ser 9999. 
Assim: 
 9 
3
1
9
3
...333,0 
 
 
8. Considerando que x = 0,4545..., expresse 
x como quociente de dois números inteiros, 
isto é, obtenha a fração geratriz da 
correspondente dízima periódica. 
9. Sendo A = (-3;10] e B = [6;15), 
subconjuntos de IR, determine: graficamente 
e através da notação de conjuntos: 
a) A  B b) A  B 
c) A – B d) B – A 
10. Sejam os intervalos A = (-,1], B = (0,2] e 
C = [-1,1] Determine C  (A  B). 
11. Resolva a expressão numérica 
2,0.
7
10
10
59
3
10
:...)333,0(4 ++
 
12. Considerando o retângulo cujas medidas 
dos lados estão representadas na figura: 
 
 
 
 
Sobre os números que representam o 
perímetro e a área do retângulo, é correto 
afirmar que: 
a) são números naturais; 
b) não são números inteiros; 
c) não são números racionais; 
d) são números irracionais; 
e) um deles é irracional e o outro é racional. 
13. Um médico, ao prescrever uma receita, 
determina que três medicamentos sejam 
ingeridos pelo paciente de acordo com a 
seguinte escala de horários: remédio A, de 2 
em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e 
remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente 
utilize os três remédios às 8 horas da manhã, 
qual será o próximo horário de ingestão dos 
mesmos? 
14. Um ciclista dá uma volta em torno de um 
percurso em 1,2 minutos. Já outro ciclista 
completa o mesmo percurso em 1,6 minutos. 
Se ambos saem juntos do ponto inicial, de 
quantos em quantos segundos se 
encontrarão no mesmo ponto de partida? 
15. Se x e y são números naturais em que 
mmc(x,y) = 120 e mdc(x,y) = 8, é correto 
afirmar que x.y: 
a) é um número primo 
b) é um número ímpar 
c) é maior que 900 
d) é divisível por 11 
e) é menor que 500 
16. Se o mdc (máximo divisor comum) entre 
dois números naturais é 1 e o produto entre 
eles é 14, então o mmc (mínimo múltiplo 
comum) entre os dois números naturais é: 
17. Um tanque tem 210 litros e outro tanque 
tem 475 litros de água potável. A água 
desses tanques serão distribuídas 
inteiramente em garrafas especiais com a 
mesma capacidade. O número inteiro 
máximo de litros que deve ter cada garrafa é: 
a) 1 litro 
b) 2 litros 
c) 3 litros 
d) 5 litros 
e) 15 litros 
 
 
 
cm)32( +
cm)32( -
 10 
18. Numa linha de produção, certo tipo de 
manutenção é feito na máquina A, a cada 3 
dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na 
máquina C a cada 6 dias. Se no dia 2 de 
dezembro foi feita a manutenção das três 
máquinas, a próxima vez em que a 
manutenção ocorreu no mesmo dia foi em: 
19. Sejam A, B e C subconjuntos de um 
conjunto universo U, B
C
 complementar de B. 
Das afirmações: 
I. A – (B  C) = (A – B)  (A – C); 
II. (A  C) – B = A  B
C
  C; 
III. (A – B)  (B – C) = (A – B) – C, 
é (são) verdadeira(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) todas. 
 
20. Júnior deseja gastar a quantia exata de 
R$ 7,40 na compra de canetas e cadernos. 
Se cada caneta custa R$ 0,50, e cada 
caderno custa R$ 0,70, qual o número 
máximo de canetas que Júnior poderá 
comprar? 
 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
RESPOSTAS 
 
1. B 
 
2. D 
 
3. E 
 
4. a) 4 b) 8 c) 16 d) 2
n
 
 
5. 69% 
 
6. a) 80 b) 150 c) 170 d) 220 
 
7. 
9
7 
8. 
11
5 
9. a) – 3 < x < 15 b) 6  x  10 
c) – 3 < x < 6 
d) 10 < x < 15 
 
10. [- 1, 1] 
 
11. 35 
 
12. A 
 
13. 14 horas 
 
14. 288 s 
 
15. C 
 
16. 14 
 
17. D 
 
18. Após 12 dias, dia 14 de dezembro 
 
19. C 
 
20. E 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 02 RELA��ES BIN�RIAS.pdf
 1 
AULA 02 – RELAÇÕES BINÁRIAS 
PAR ORDENADO 
É o conjunto constituído de
dois elementos x e y indicados por (x,y) em que a ordem dos 
elementos deve ser respeitada. 
x  abscissa y  ordenada 
PRODUTO CARTESIANO 
Dado dois conjuntos A e B ≠ 0, denomina-se produto cartesiano de A por B e indica-se A x B, o 
conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tal que x  A e y  B. 
Exemplo: Dados A={a,b,c,} e B={1,2,3}, o produto cartesiano A x B, terá 9 pares ordenados e será 
dado por: 
A x B = {(a,1) (a,2) (a,3) (b,1) (b,2) (b,3) (c,1) (c,2) (c,3)} 
PLANO CARTESIANO 
 
Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu 
criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em 
Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais 
representados pelo seguinte conjunto:  x  = 
2
 
O plano cartesiano é dividido pelos eixos que dividem o plano em quatro regiões denominadas 
quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo 
reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário 
 
 
 
Quadrante sinal de x sinal de y Ponto 
Origem não tem não tem (0,0) 
Primeiro + + (2,4) 
Segundo - + (-4,2) 
Terceiro - - (-3,-7) 
Quarto + - (7,-2) 
 
 2 
RELAÇÕES BINÁRIAS 
 
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em A x B é qualquer subconjunto R de A x B. 
 
 
Exemplo: Sejam A = {0,1,2,3,4} e B = {0,1,2,3,4} determine: 
A x B = {(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,0) (3,1) 
(3,2) (3,3) (3,4) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)} 
A relação R1 = {(x,y)  A x B / y = x} 
R1 = { 
A relação R2 = {(x,y)  A x B / y = x + 1} 
R2 = { 
A relação R3 = {(x,y)  A x B / y = x
2
} 
R3 = { 
Domínio e Imagem 
Seja R uma relação de A em B. 
Chama-se domínio de R, o conjunto D(R) de todos os primeiros elementos dos pares ordenados 
pertencentes a R, isto é, 
x  D(R)   y  B / (x,y)  R 
Chama-se imagem de R, o conjunto Im(R) de todos os segundos elementos dos pares ordenados 
pertencentes a R, isto é, 
y Im(R)   x  A / (x,y)  R 
 
 
 3 
RELAÇÕES IMPORTANTES 
1) y = x 
 
 
 
 
 
 
 
2) y = - x 
 
 
 
 
 
 
3) y = ax + b 
 
 
 
 
 
 
4) y < x 
 
 
 
 
 
 
5) 
x
y
1

 
 
 
 
 
 
 
 
6) y = 4 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
 4 
7) y = x
2
 
 
 
 
 
 
 
8) y = ax
2
 +bx + c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) x
2
 + y
2
 = R
2
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
 5 
10) 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
11) y = x
3
 
 
 
 
 
 
 
12) y
2
 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
 6 
13) 
2
1
x
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
 7 
LISTA DE RELAÇÕES 
 
1) Sabendo-se que (x + 3, y - 4) = (7x, 2y + 5), determine o valor de x e de y. 
 
2) Dados os conjuntos A= {2, 3} e B= {1, 4, 6}, determine os seguintes produtos cartesianos: 
a) A x B b) B x A c) A
2 
= A x A d) B
2 
 
3) Dados os conjuntos 
       4,151/,2,31/  DexIRxCBxIRxA
 
 determine o conjunto solução dos seguintes produtos cartesianos e represente-os graficamente: 
 a) A X B b) B X A c) A X C d) C X A e) B X D f) C X B 
 
4) Dados os conjuntos: 
 
 25/),( 222  yxIRyxA
 







9
4
/),(
2
2 xyIRyxB
 
 5/),( 2  yxIRyxC
 






 1
425
/),(
22
2 yxIRyxD
 
 xyIRyxE  22 /),(
 







4
3
/),( 2
x
yIRyxF
 
Pede-se: 
a) O gráfico de A, B, C, D, E, F, A  B, A  C, A  D, A  E, A  B, A  B  F. 
b) O domínio e a imagem de A  B  F. 
 
5) Enumere os pares ordenados, represente por meio de flechas e faça o gráfico cartesiano das 
relações binárias de A = {-2,-1,0,1,2} em B = {-3,-2,-1,1,2,3,4} definidas por: 
 
a) xRy  x + y = 2 
b) xRy  |x|=|y| 
c) xRy  x
2
 = y 
d) xRy  x + y>2 
 
6) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte 
relação: R = {(x, y) ∈ A × B / y = x + 1}. 
 
7) Escolhendo aleatoriamente alguns números das páginas de um livro adquirido numa livraria, 
foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a relação definida por R = 
{(x,y) ∈ A × B │ x ≥ y}. Dessa forma, 
a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} 
b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} 
c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} 
d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} 
e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8} 
 
 8 
8) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e R = {(x, y) ∈ P x P / x + y < 3}, o número de elementos do conjunto 
R é igual a: 
 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
GABARITO: 
1) 
2
1
x
 e y = - 9 
 
2) a) A X B = (2,1),(2,4),(2,6),(3,1),(3,4),(3,6) 
b) B X A =  (1,2),(1,3),(4,2),(4,3),(6,2),(6,3) 
c) A
2
= A X A = (2,2),(2,3),(3,2),(3,3) 
d) B x B = (1,1),(1,4),(1,6),(4,1),(4,4),(4,6),(6,1),(6,4),(6,6) 
 
 
3) a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
4) Resolvido em sala. 
 
5) a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) R = {(0,1), (2,3), (4,5), (8,9)} 
 
7) Letra B 
 
8) Letra D 
 
 
 
AULA 03 FUN��O REAL DE VARI�VEL REAL.pdf
 1 
AULA 03 - FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL 
 
INTRODUÇÃO 
 
O conceito de funções é um dos mais importantes em Matemática, e seu conhecimento 
impulsionou o desenvolvimento tecnológico em quase todas as áreas. 
As funções estão presentes em todas as
atividades, mesmo que não se tenha consciência 
disso. Por exemplo, o valor da conta de luz depende da quantidade de energia gasta, a dose de 
remédio que é dada a uma criança depende do seu peso, o valor par a fazer cópias de um material 
depende do número de páginas copiadas. Usando funções, também se estuda o crescimento de 
bactérias, o movimento dos astros, a variação da temperatura da Terra etc. A noção de função 
permite, enfim, descrever e anal sar relações de dependência entre variáveis. 
No mundo empresarial, como não poderia deixar de ser, as funções também se fazem 
presentes, em qualquer uma das áreas funcionais da empresa. 
Na área de Marketing, por exemplo, tem-se que a demanda por um determinado produto é 
função do seu preço de venda, ou da qualidade, ou da intensidade de propaganda que se faça, ou 
da combinação destes fatores. 
Na área de Gestão de Pessoas, um outro exemplo, pode-se dizer que o salário de um 
executivo é função da sua formação acadêmica, da sua experiência profissional e do seu 
desempenho frente à direção da empresa, ou ainda, da combinação destes fatores. 
Na área de Produção, estudos comprovam que a produtividade dos empregados de uma 
linha de produção é função da remuneração, da motivação e do programa de treinamento, ou seja, 
da política de gestão de pessoas adotada pela empresa. 
 
DEFINIÇÃO 
 
Seja F uma relação de um conjunto A e B  IR sobre um conjunto B /  x  A corresponder 
um único y  B, então esta relação denomina-se função. 
 
Notação: 
 
F: A  B ou f: A  B tal que y = f(x) lê-se “y é função de x” 
 
x  variável independente 
y  variável dependente 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não é função Não é função 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B A 
B 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É função 
 
 
 É função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não é função 
 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
 
Se F: A  B, então o domínio de F é o conjunto A já que  x  A deve figurar um único par (x,y) de 
F; ou domínio (ou campo de existência) de uma função é o conjunto de valores de 
x
 para os 
quais a função é definida ou existe, isto é, possui valor finito e real. Notação ID(f). 
 
Domínio de algumas funções: 
 
FUNÇÃO DOMÍNIO 
 
y = anx
n
 + an-1.x
n-1
 + ...+ a0 
 
 
)(
)(
xg
xf
y 
 
 
PAR xfy )(
 
 
ÍMPAR xfy )(
 
 
)(log xfay 
 
y = sen x 
y = cos x 
y = tg x 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
 3 
Determine o domínio das funções abaixo: 
 
1) y = x
2
 - 5x + 6 4) 
652  xxy
 6) 
23 4423 xxxy 
 
 
2) 
1 xy
 5) 
45
13
2 


xx
x
y
 7) 
3 2 1 xy
 
 
3) 
29 xy 
 
8) 
x
x
y



2
12 
DOMÍNIO VIA GRÁFICO 
 
O domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMAGEM 
 
A imagem de f é o conjunto dos y  a B que estão relacionados por f, é denotado por Im(f). 
A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTRADOMÍNIO 
 
 Seja f: A  B, o contradomínio de f é o conjunto B CID = B. 
 
Exemplos: 
 
1) Seja f: A → B tal que A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,6,8}, considere f(x) = 2x. Sobre essa função 
responda: 
 
a) Represente essa função através do diagrama de Venn. 
 
Y
 
 xf
 
domínio de 
 xf
 
 
X
 
O
 
Y
 
 xf
 
 
 
O
 
X
 
Imagem de 
 xf
 
 
 4 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o domínio de f(x) 
 
c) Determine o contradomínio de f(x) 
 
d) Determine a imagem de f(x) 
 
2) Um cabeleireiro cobra R$ 12,00, pelo corte para clientes com hora marcada e R$ 10,00, sem 
hora marcada. Ele atende por dia um numero fixo de 4 clientes com hora marcada e um numero 
variável x de clientes sem hora marcada. 
De acordo com o texto responda os itens a seguir: 
 
a) Que grandezas estão relacionadas. 
 
 
 
 
b) Qual é a variável independente e qual a dependente. 
 
 
 
 
 
c) Escreva a fórmula matemática que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função do 
número x. 
 
 
 
 
As funções algébricas e transcendentes podem ser classificadas em: 
 
Funções explícitas: Está na forma y = f(x) 
 
Exemplo: y = x
2
 + 3x 
 
Funções Implícitas: Está na forma y = f(x,y) = 0 
 
Exemplo: y
2
 + 2x
3
y
2
 + x
2
.sen y = 0 
 
 5 
CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES 
 
As funções são classificadas em dois grandes grupos: 
 
A) Funções Algébricas Elementares: são aquelas cujas variáveis são operações algébricas 
elementares. 
 
 Funções Algébricas Racionais 
 
a) Inteiras  y = x
2
 + 3x, y = x + 1, y = x
3
 
 
b) Fracionárias  
)(
)(
)(
xQ
xP
xf 
 
 
 Funções Algébricas Irracionais  
23 4423 xxxy 
 
 
B) Funções Transcendentes: São funções cujas variáveis estão sujeitas às operações da 
trigonometria, da exponenciação e da logaritmização. 
 
a) Funções trigonométricas circulares  y = sen x, y = tg 2x, y = arc sen (2x +1) 
 
b) Funções exponenciais  y = 2
x
 , y = e
x
, x
y 






2
1 
c) Funções logarítimicas  y = lnx , y = log x, 
0
log
I
I
y 
 
C) Outras funções  
xy 
, y = [x] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Função Crescente 
 
 Seja f uma função definida em um intervalo I. A função f é crescente em I se 
 
f ( x1 ) < f ( x2 ) sempre que x1 < x2 ,  x1 , x2  I . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = x
3
 y = 2x 
 
Função Decrescente 
 
 Seja f uma função definida em um intervalo I . A função f é decrescente em I se 
 
f ( x1 ) > f ( x2 ) sempre que x1 < x2 ,  x1 , x2  I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
x
y
x
y 






2
1
xy 
 7 
Funções crescentes/decrescentes 
 
São funções que seu crescimento ou decrescimento depende do intervalo analisado. 
 
Exemplos: y = sen x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Funções que só crescem ou só decrescem são chamadas de estritamente crescentes e 
estritamente decrescentes ou monótonas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 















crescex
decrescex
decrescex
crescex







2
2
3
2
3
2
2
0
8 
FUNÇÃO PAR 
 
Uma função f: IR  IR é par se: f(-x) = f(x), é também simétrica em relação ao eixo dos y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y = x
2
 
 
Outros exemplos: y = cos x , y = 
x
 
 
 
FUNÇÃO ÍMPAR 
 
Uma função f: IR  IR é ímpar se: f(-x) = - f(x), é também simétrica em relação à origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y = x
3 
 
Outros exemplos: y = sen x , y = x 
 
Obs: Existem funções que não são pares nem ímpares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xouxy 2
1

x
y
x
y
x
y
x
y
 9 
FUNÇÃO INJETORA 
 
Uma função f: A  B é injetora se dado x1  x2  f(x1)  f(x2) 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja uma função f:IRIR, tem-se, graficamente que: Se f é injetora, toda reta horizontal que 
intercepta o gráfico de f o faz em um único ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO SOBREJETORA 
 
Uma função f: A  B é sobrejetora se CD = Im 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 y = x
2
 não é sobrejetora 
 
 
FUNÇÃO BIJETORA 
 
Uma função f: A  B é bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 y = 2x 
 10 
 COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 
 
Dadas as funções f : A B e g : B C. A função composta de g em f, denotada por: 
gof = g [f(x)] e fog = f [g(x)], define-se também e fof = f [f(x)] 
 
 
 A B 
 
 
 
 f 
 x f(x) 
 
 
 
 
 g 
 
 gof 
 
 g[f(x)] C 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determinar fog e gof, sendo f(x) = x
2
 – x - 2 e g(x) = 1 – 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x – m, ocorrerá g(f(x)) = f(g(x)) se e somente se m for 
igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para existir gof é necessário 
que: 
 
Im(f)  D(g) 
 11 
FUNÇÃO INVERSA 
 
Uma função f: A  B, admite f
-1
 : B A como inversa se, e só se, f for bijetora. 
 
Exemplo: 
 
a) A função f: A  B, dada por f(x) = 2x – 1, com A = {1,2,3} e B = {1,3,5}, está representado pelo 
diagrama: 
 
 A B 
 f 
 1 1 
 
 2 3 
 
 3 5 
 
 
 
 
 
Sua inversa f
-1
 : B  A pode ser obtida pela simples inversão dos elementos de cada par 
ordenado. Assim: 
 
 B A 
 f
-1 
 1 1 
 
 3 2 
 
 5 3 
 
 
 
 
Para determinarmos a fórmula da inversa, troca-se y por x e isola-se y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Exemplos: 
1) Exemplo: Seja a função 
2
1

x
y
 , determine sua função inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) = - x
2
 – x o valor de f(g(-1)) – f 
- 1 
(-5) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a função inversa da função 
3
12
)(



x
x
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
TRANSFORMAÇÕES NOGRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
a) Translação de k unidades na direção do eixo y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Translação de k unidades na direção do eixo x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = f(x) 
y = f(x) + k 
y = f(x) - k 
y = f(x) y = f(x - k) y = f(x + k) 
 14 
c) Reflexão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Módulo 
 
34)( 2  xxxf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = f(x) 
y = - f(x) 
 15 
Exemplos: 
 
1) Dado 
xy 
, faça o gráfico das seguintes funções: 
 
a) 
xy 
 b) 
1 xy
 c) 
xy 
 d) 
1 xy
 e) 
11  xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
 16 
2) Faça o gráfico da função: 
 









21
20
032
)( 2
xse
xsex
xsex
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 10 GRAU 
 
Uma função do primeiro grau tem a forma: 
 
y = f(x) = ax + b 
 
Seu gráfico é uma reta no qual: 
 
• a é a inclinação (coeficiente angular), ou taxa de variação de y em relação a x. 
 
a = tg  
 
• b é a interseção vertical(coeficiente linear), ou o valor de y quando x é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se b = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
O
b
(f(x) = 0
Raiz x
y
O
b
(f(x) = 0
Raiz
x
y
axy 
x
y
axy 
y 
x 
 17 
Reta crescente  a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reta decrescente  a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Faça o gráfico da função y = - x + 1. 
 
x Y 
- 1 
0 
1 
 
 
Coeficiente angular: 
 
Coeficiente linear: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
 18 
2) Um reservatório está perdendo água. A quantidade Q (em milhões de litros) de água no 
reservatório é dada pela função Q(t) = 260 - 4t 
Onde t (em dias) conta o tempo decorrido desde o início do mês. 
 
a) Quanta água havia no reservatório no início do mês? 
b) Qual é a taxa de variação da quantidade de água por dia? 
c) Desenhe o gráfico de Q(t) 
d) Determine o zero da função e explique o seu significado no contexto do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q(t) 
t 
 19 
FUNÇÃO DO 20 GRAU 
 
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma: 
y = ax
2
 + bx + c, com a  0, b e c  IR 
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações 
relacionadas à Física envolvendo movimento
uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; 
na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade 
relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas 
construções. 
 
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo 
com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 VÉRTICE 
 
Coordenadas do vértice  





 
aa
b
4
,
2
 
 
As raízes da função do 2
0
 grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dependendo do 
valor do discriminante  podemos ter as seguintes situações gráficas: 
 
 > 0  a função possui duas raízes reais e distintas.A parábola intercepta o eixo x em dois 
pontos. 
 
 
 
 = 0  a função possui duas raízes reais e iguais.A parábola tangencia o eixo x. 
 
 
 
 
 20 
 < 0  a função não possui raízes reais.A parábola não intercepta o eixo x. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Numa partida de futebol ocorre um gol cuja trajetória da bola descreve uma parábola. Supondo 
que esta trajetória esteja representada no gráfico abaixo, onde h representa a altura, em metros, e 
t, em segundos, indica o tempo transcorrido após o chute: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) escreva a equação dessa trajetória; 
b) calcule em quantos segundos a bola atinge a sua altura máxima; 
c) calcule a altura máxima atingida pela bola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
FUNÇÃO POTÊNCIA 
 
Em geral uma função potência tem a forma 
 
 
 
onde k e p são constantes quaisquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Toda potência ímpar é estritamente crescente e simétrica em relação à origem. 
• Toda potência par é decrescente e depois crescente e simétrica em relação ao eixo y. 
 
 
Potência se p = -1  FUNÇÃO RECÍPROCA 
 
 
 
Domínio  x  0 
Imagem  y  0 
 
Gráfico se chama Hipérbole eqüilátera. 
 
 
 
 
 
11  xou
x
y
pxkxf .)( 
 22 
Potência se p = - 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio  x  0 
Imagem  y > 0 
 
Potência fracionária e positiva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio  x  0 
Imagem  y  0 
Função crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yy
2
2
1  xou
x
y x
y
x
y
x
y
xouxy 2
1

 23 
Potência para p = 3  y = x
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio  IR 
Imagem  IR 
 
Função estritamente crescente ou monótona 
 
Potência para p = 4  y = x
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio  IR 
Imagem  y  0 
 
Para x < 0  f(x) decresce e para x > 0  f(x) cresce 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
x
y
 24 
FUNÇÕES PERIÓDICAS 
 
Diz-se que uma função f(x) é periódica de período T se T é o menor número positivo tal que 
f(x + T) = f(x). 
 
Exemplo: 






104
010
)(
xse
xse
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo f(x + 2) = f(x) é uma função periódica de período T = 2 é chamada de onda quadrada ou trem 
de pulsos retangulares. 
Aplicação: compressor de geladeira de 0 a 1 s ligado de 1 a 2 s desligado. 
 
As funções trigonométricas circulares também são periódicas. 
 
f(x) = sen x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
1 2
4
3 4 5- 2 - 1- 3- 4 x
y
1 2
4
3 4 5- 2 - 1- 3- 4
 25 
Exemplos: 
 
1) Desenhe no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções: y = x
2
 e y = x + 2, e ache os 
pontos de intersecção das duas funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Faça o gráfico das funções y = x
2
 e 
xy 
, determine a interseção dessas funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
 26 
3) Construir o gráfico da função y = - 2x
2
 + 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Faça o gráfico das funções x = y
2
 - 4 e x + y
2
 = 2. 
 
y 
x 
y 
x 
AULA 04 LISTA DE FUN��ES 1.pdf
AULA 04 - LISTA DE FUNÇÕES - 1 
 
 
1) Achar o domínio das funções abaixo: 
 
a) y = x
3
 - 5x
2
 - 7x + 6 c) 
 
b) d) 
 
 
e) f) 
 
 
2) Ache a função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x 
de uma mercadoria. 
 
3) Seja a função f definida pelo gráfico abaixo: 
 
Determine: 
 
a) O domínio de f 
b) A imagem de f 
c) x tal que f(x) = 0 
d) x tal que f(x) > 0 
 
 
 
 
 
 
 
4) Descreva o que o gráfico abaixo lhe diz a respeito de uma linha de montagem cuja 
produtividade é representada em função do número de operários que ali trabalham. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
9
1
x
y


53 2 81  xxy
4 73 xxy 
1

x
x
y
452
log
 xxxy
5) O número de vendas por mês, S, de um item em promoção num restaurante é função da 
quantia a gasta em propaganda nesse mês, assim S = f(a). 
 
a) Interprete a declaração f(1000) = 3500. 
b) Qual dos gráficos abaixo mais provavelmente representará essa função? 
c) O que significa o intercepto vertical no gráfico dessa função, em termos de vendas e 
propaganda? 
 
S S 
 
 
 
 
 
 a a 
 
 I II 
 
6) Exprimir o comprimento  de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como função de sua 
distância x cm ao centro do círculo. 
 
7) Dadas as funções f(x) = x
2
 - 1 e g(x) = 2x -1: 
 
a) Determine o domínio e a imagem de f(x) e g(x). 
b) Construa os gráficos de f(x) e g(x). 
c) Calcule fog, gof 
 
8) Construir o gráfico das funções abaixo: 
 
a) f(x) = x
2
 + 2x + 3 b) y = x
3
 c) y = 1/x 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
9) Verifique se f é par ou ímpar ou nem par nem ímpar: 
 
a) f(x) = 5x
3
 + 2x b) f(x) = x - 3 c) 
 
10) Encontre a inclinação (coeficiente angular) e a interseção vertical da reta cuja equação é 
x + 2y - 2 = 0 e faça o gráfico. 
 
11) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (-1,0) e (2,6). 
 
12) Considere o gráfico de temperatura em graus Fahrenheit, 
0
F, versus temperatura em graus 
Celsius 
0
C, e suponha que o gráfico seja uma reta. Você sabe que ambos os valores 212 
0
F 
e 100 
0
C representam a temperatura em que a água ferve. Analogamente, ambos os valores 
32 
0
F e 0 
0
C representam o ponto em que a água congela. 
a) Qual é a inclinação do gráfico ? 
b) Qual é a equação da reta ? 
c) Use a equação para encontrar que temperatura em graus Fahrenheit corresponde 20 
0
C. 
d) Que temperatura as duas escalas coincidem? 
 
2
1


x
y









13
1
12
)(
3
xsex
xsex
xsex
xf
56
)103)(1(
2
2



xx
xxx
y
1
xy
13) Um móvel movimenta-se segundo a lei x = 4t + 2, onde x é a sua posição (em m) no 
instante t (em s). 
a) Faça o gráfico de x em função de t. 
b) Determine a posição do carro no instante t = 2 s. 
c) Qual o valor de x0 (posição inicial) e qual seu significado gráfico? 
d) Qual o valor da velocidade do móvel e qual seu significado gráfico? 
e) Classifique o movimento. 
 
14) Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por V(x) = x
2
 - x, 
sendo o custo de produção dado por C(x) = 2x
2
 - 7x + 8. Calcule o número de artigos que 
devem ser vendidos mensalmente de modo que se obtenha o lucro máximo. 
Dica: Lucro = Venda - Custo 
 
15) Uma função f : IR→ IR diz-se par quando f(−x) = = f(x), para todo x ∈ IR, e ímpar quando 
f(−x) = − f(x), para todo x ∈ IR. Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções 
pares ou funções ímpares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) 
 
 
 
 
 
 
19) 
 
 
20) 
 
 
 
 
 
21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Considere a função 
12
3
)(



x
x
xg
. Determine a função inversa de g(x). 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) IR b) - 3 < x < 3 c) IR d) – 3  x  7 e) x < - 1 ou x  0 f) 0 < x < 1 ou x > 4 
 
2) V = 0,97x 
 
3) a) ID = [- 1, 3] b) IM = 






 2,
2
3
 c) x = 1 d) [- 1, 1) 
4) À partir de um certo número de operários a produtividade cai. 
 
5) a) Para R$ 1000,00 gasto em propaganda  3500 itens são vendidos. 
 
6) 
2464 x
 
 
7) a) ID = IR e IM = IR 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) fog = 4x
2
 – 4x gof = 2x
2
 -3 
 
8) 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ID = IR – {- 5,- 1} e IM = IR – {- 7, -3} 
 
9) a) ímpar b) par c) nem par nem ímpar 
 
10) a) m = - 1/2 n = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) y = 2x + 2 
 
12) a) m = 1,8 b) F = 1,8C + 32 c) F = 68
0
 F d) – 40 
0
C ou – 40
0
 F 
 
13) a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) x = 10 m 
c) x0 = 2 m 
d) v = 4 m/s 
e) MRU 
 
14) xV = 3 m 
 
15) Pares: I e III, Ímpares: IV e V 
 
16) a) injetora b) Sobrejetora c) Bijetora d) Não é injetora nem sobrejetora 
 
17) a) injetora b) Bijetora c) Sobrejetora d) Não é injetora nem sobrejetora 
 
18) a) 4x
2
 – 4x – 8 b) (fog)(2) = 0 (gof)(2) = 11 c) x = 3 ou x = - 2 
 
19) 12x
2
 + 12x +2 
 
20) 
 
 
21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) 
12
3
)(1



x
x
xg
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 05 POTENCIA��O E FATORA��O.pdf
 1 
AULA 05 – POTENCIAÇÃO 
 
Definição: Potência n  Z de um número a  IR é o produto de a por a n vezes. 
 
potência. da expoente o é n
potência; da base a é a
 a . .. . a . a . a = a
vezes n
n
  
 
Exemplo: 
 
2
3
 = 2.2.2 = 8 
 
(- 2)
4
 = (- 2).(- 2).(- 2).(- 2) = 16 
 
Número de Avogadro = 602000000000000000000000, em forma de potência fica melhor de 
representar. 
 
Número de Avogadro = 6,02 . 10
23
 
 
Casos particulares 
 
a) Com a  0  a
0
 = 1 
b) Com a  0  
a
a
11 
 
c) a
1
 = a 
 
d) 0
0
  indeterminação 
 
e) 0
n
 = 0 com n > 0 
 
f) Com a  0  
n
n
a
a
1

 
Regra de Sinais 
Toda potência de expoente par é positiva: 
 
Exemplos: 
 
2
4
 = 16; 
(- 2)
4
 = 16 
3² = 9 
(- 3)² = 9 
 
CUIDADO! – 2
2
 = -1.4 = - 4 
 
 
 
 
 
 2 
Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: 
 
Exemplos: 
 
3³ = 27 
 
(- 3)³ = - 27 
 
2
5
 = 32 
 
(- 2)
5
 = - 32 
 
Produto de potências de mesma base 
 
Mantém-se a base comum e adicionam-se os expoentes. 
 
Exemplo: 
 

52 3
 vezes5
 vezes2 vezes3
2 2 2 . 2 . 2 . 2 . 2 2² . ³2  


 
 
 
Divisão de potências de mesma base 
 
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. 
 
Exemplo: 24 - 6
 vezes6
 vezes4
4
6
5 5 
5 . 5 . 5 . 5
5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5
 
5
5



 
 
 
 
 
 
Produto elevado a uma potência 
 
Eleva-se cada fator a essa potência. 
 
Exemplo: (2.7)
2
 = 2
2
.7
2
 = 4.49 = 196 ou 
(2.7)
2
 = 14
2
 = 196 
 
 
 
 
Potência de potência 
 
Eleva-se a base ao produto dos expoentes. 
 
Exemplo: 
    62 . 32363 3
 vezes2
3323 2 2 2ou 2 2 2 . 2 2  
 
 
nmnm aa.a 
nm
n
m
a
a
a 
  mmm baba .. . 
  nmnm aa .
 3 
CUIDADO! 
3232 2)2( 
 
 
Potência de fração 
 
Eleva-se, separadamente, o numerador e o denominador ao expoente. 
Exemplos: 
4
9
2
3
2
3
2
22






 
9
4
3
2
2
3
22












 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) 1³ = 
2) 0
4
 = 
3) (- 2)³ = 
4) (- 4)³ = 
5) (- 2)
4
 = 
6) (- 4)
4
 = 
7) 2³ . 2
5
 = 
8) 3² . 3 . 3
5
 = 
9) 3
5
 : 3
4
 = 
10) 3
4
 : 3² . 3
5
 = 
11) 2
4
 . 5
4
 = 
12) (- 3
5
) . (- 5
5
) = 
13) 15
3
 : 3
3
 = 
14) (- 4
6
) : 2
6
 = 
15) (3³)
2
 = 
16) (2³)
5
 = 
17) 323 = 
18) [ (3³)² ]² = 
19) (2 . 3)³ = 
20) (3² . 5 . 2)
4
 = 
21) 5
3
5





 = 
0





bcom
b
a
b
a
m
mm
 4 
22) 3
43
2





 = 
23) 2
3
32
5
3 . 2





 = 
24) (2 . 3²)
0
 = 
25) 4
-2
 = 
26) 2 . 3
-1
 = 
27) 
43
2

 = 
28) Calcule 1
154
222
2
34
2
2.2.2
3.3.3
:
4
3
.
2
4














 
29) Calcule a expressão numérica: 
 
 
 
 
30) 
 
 
31) {10 – [90 ÷ (17 + 28)]}2 = 
 
32) Reescreva as frases usando números em potência de dez. 
 
a) O raio da Terra mede 6.378.000 metros 
 
b) Um ano não bissexto tem 31.536.000 segundos 
 
c) A massa do próton é cerca de 0,000000000000000000000000000167 kg 
 
33) Simplifique a expressão: 
 
 
 
 
 
 
34) Calcule o valor da expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
222
2
1
4
7
:
2
1
2
5
.
4
3
2
2
3


































































223
3
2
2
1
:
5
1
2
1
:
4
1
3
2
4
1
 5 
Respostas: 
 
28) 
12
4
2
3
 29) 4 30) 
180
779

 
 
31) 64 
 
32) a) 6,378 . 10
6
 b) 3,1536 . 10
7
 
 
c) 1,67 . 10
-27
 kg 
 
33) 
3
1 
 
34) 
6
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Há certos produtos de polinômios, que, por 
sua importância, devem ser conhecidos 
desde logo. Vejamos alguns deles: 
 
1) Quadrado da soma de dois termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a + b)
2
 = a
2
 + ab + ab + b
2
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
(x + 2)² = x² + 2.x.2 + 2² = x² + 4x + 4 
 
2) Quadrado da diferença de dois termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a – b)
2
 = a
2
 – b(a – b) – b(a – b) – b
2
 
 
(a – b)
2
 = a
2
 – ab + b
2
 – ab + b
2
 – b
2 
 
 
 
Exemplo: 
 
(x – 3)
2
 = x² - 2 .x . 3 + 3² = x² - 6x + 9 
 
3) Produto da soma de dois termos por sua 
diferença: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reorganizando as áreas de outra forma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
(a + 2b) (a – 2b) = a
2
 – 4b
2
 
 
4) Quadrado da soma de três termos: 
 
 
 
 
 
 
 
FATORAÇÃO 
 
Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a 
forma de um produto. 
 
1) Evidência do fator comum 
 
Apresentando um fator comum, o polinômio 
pode ser escrito como o produto de dois 
fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido 
dividindo-se o polinômio original pelo fator 
comum. 
Exemplos 
 
Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x 
tem-se: 
(a - b)² = a² - 2ab + b² 
(a + b) . (a – b) = a2 – b2 
(a + b + c)
2
 = a
2
 + b
2
 + c
2
 + 
2(ab + ac + bc) 
a b
a
b
(a + b)² = a² + 2ab + b² 
a - b b
b
a - b
a
a b
a - b
b
a
a + b
a b
a - b
a
a
a + b
a - b
b
b
 7 
 a² 4ax² 2x 2ax 
 
2ax
 
2ax
 
2ax
2ax 








x³a2³x²a8²ax4
x³a2³x²a8²ax4
 
 
Fatorar: 5x²y + x
4
y³ + 2x². O fator comum é 
x². 
 
Assim: 5x²y + x
4
y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2) 
 
2) Fatoração por agrupamento 
 
Exemplos: 
 
a) ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = 
(a + b) (x + y) 
 
b) 6ab + 4b + 15ac + 10c = 2b(3a + 2) + 
5c(3a + 2) = (3a + 2) (2b + 5c) 
 
3) Fatoração de um trinômio do 2
0 
grau 
pelas raízes 
 
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau 
P(x)=ax
2 
+ bx + c que admite as raízes r1 e r2 
pode ser decomposto em fatores do 1º grau, 
da seguinte forma: 
 
ax
2 
+ bx + c = a(x-r1)(x-r2) 
 
Exemplo: x
2
 – 5x + 6, raízes {2,3} 
 
Assim x
2
 – 5x + 6 = 1.(x – 2) (x – 3) = (x – 2) 
(x – 3) 
 
4) Fatoração da soma e da diferença de 
dois cubos 
 
(a
3
 + b
3
) = (a + b) (a
2
 – ab + b
2
) 
 
(a
3
 - b
3
) = (a - b) (a
2
 + ab + b
2
) 
 
Exemplo: x
3
 – 1 = (x – 1) (x
2
 + x + 1) 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Fatore as expressões a seguir. 
a) a
3
 – a
2
 
b) x
5
 – 15 + 5x
4
 – 3x 
c) m
4
 – n
2
 
d) a
2
 + 8ab + 16b
2
 
e) a
3
 + b
3
 
f) a
3
 – b
3
 
g) x
2
 + (a + b)x + ab 
h) x
2
 + 7x + 10 
i) y
2
 – 15y + 50 
j) x
4
 - 625 
k) 10x
3
 + 5x
2
 – 25x 
l) x
4
 – y + xy – x
3
 
m) x
3
 - 8 
2) Sabe-se que a + b = ab = 10, calcule 
a
b
b
a

 
3) Dado que x = a + x
-1
, calcule x
2
 + x
-2
 
4) Calcule o valor de 
1010.1010 
 
5) Desenvolva 3
1







a
a
 
 
6) Desenvolva (x – 2)
3 
 
7) Desenvolva (x + h)
3
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) 
 
a) a
2
(a – 1) 
b) (x
4
 – 3)(x + 5) 
c) (m
2
 – n)(m
2
 + n) 
d) (a + 4b)
2
 
e) (a + b)(a
2
 – ab + b
2
) 
f) (a - b)(a
2
 + ab + b
2
) 
g) (x + a)(x + b) 
h) (x+ 5)(x + 2) 
i) (y – 5)(y – 10) 
j) (x
2
 – 25)( x
2
 + 25) 
 
k) 5x(2x
2
 + x – 5) 
 
l) (x – 1)(x
3
 + y) 
 
m) (x – 2)(x
2
 + 2x + 4) 
 
2) 8 
3) a
2
 + 2 
 8 
4) 
103
 
5) 
3
3
a
1
a
3
a3a 
 
6) x
3
 – 6x
2
 + 12x – 8 
 
7) x
3
 + 3x
2
h + 3xh
2
 + h
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
 
1º Caso: Divisão de monômios 
 
Divide-se o coeficiente numérico do 
dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a 
parte literal do dividendo pela do divisor, 
observando-se as regras para divisão de 
potências de mesma base. 
 
Exemplo: 
2
2
4
7
7
49
x
x
x


 
 
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: 
Divide-se cada termo do dividendo pelo 
monômio divisor. 
 
Exemplo: 
 
(x
3
 – 5x
2
 + 2x) : (x
2
) = x – 5 + 
x
2
 
 
3
0
 Caso: Divisão de polinômio por polinômio 
 
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) 
não nulo. 
 
Efetuar a divisão de P por D é determinar 
dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam 
as duas condições abaixo: 
 
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 
 
Nessa divisão: 
P(x) é o dividendo. 
D(x) é o divisor. 
Q(x) é o quociente. 
R(x) é o resto da divisão. 
 
Obs: 
 Quando temos R(x) = 0 dizemos que 
a divisão é exata, ou seja, P(x) é 
divisível por D(x) ou D(x) é divisor de 
P(x). 
 O grau do quociente nos é dado pela 
diferença entre o grau do dividendo 
P(x) e o grau do divisor D(x). 
 O grau do resto é no máximo uma 
unidade menor que o grau do divisor. 
 
Exemplo: 
 
Determinar o quociente de 
 
P(x)=x
4 
+ x
3 
- 7x
2 
+ 9x-1 por D(x)=x
2 
+ 3x - 2. 
 
Resolução: Aplicando o método da chave: 
Verifica-se que: 
 
 
 
Dispositivo de Briot-Ruffini 
 
Serve para efetuar a divisão de um polinômio 
P(x) por um binômio da forma (ax+b). 
 
Para a resolução desse problema seguimos 
os seguintes passos: 
1º) Colocamos a raiz do divisor e os 
coeficientes do dividendo ordenadamente na 
parte de cima da “cerquinha”. 
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é 
repetido abaixo. 
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse 
coeficiente repetido abaixo e somamos o 
produto com o 2º coeficiente do dividendo, 
colocando o resultado abaixo deste. 
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo 
número colocado abaixo do 2º coeficiente e 
somamos o produto com o 3º coeficiente, 
colocando o resultado abaixo deste, e assim 
sucessivamente. 
5º) Separamos o último número formado, que 
é igual ao resto da divisão, e os números que 
ficam à esquerda deste serão os coeficientes 
do quociente. 
 
Exemplo: Determinar o quociente e o resto 
da divisão do polinômio P(x) = 3x
3 
-5x
2 
+ x - 2 
por (x-2). 
 
 
 
 
 
 
)( )(
)(D )(
xQxR
xxP
  
R(x)Q(x)
2
D(x)
2
P(x)
234 1)(2x 1)2x-(x 2)-3x(x 1-9x7x-xx 
)( 12 
 23 
15 
 462 
1952 
)( 12 23
 23 197 
2
2
23
23
2234
2234
xRx
xx
xx
xxx
xxx
xQxxxxx
xxxxxx







  
  
RESTOQ(x) QUOCIENTE DO ESCOEFICIENT
P(x) DE ESCOEFICIENTDIVISOR DO RAIZ
 4 3 1 3 
2)2.(3 1)2.(1 5)2.(3 
 2 1 5 3 2 


 10 
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade 
inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. 
 
Resposta: Q(x)=3x
2 
+ x + 3 e R(x) = 4. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Efetue as seguintes divisões, indicando o 
quociente e o resto. 
 
a) 
1xx
4x3x5
2
3


 b) 
2
634 3


x
xx
 
 
c) 
1x
1x


 d) 
12
1


x
x
 e) 
1x
1x3x3x 23


 
 
2) Determine o quociente e o resto de cada 
uma das divisões: 
a) ( 3x
5
 – 5x
4
 + 6x
3
 – 4x
2
 +2x -1) : ( x
2 
– x + 1 ) = 
b) ( 2x
6
 + 11x
5
 – 13x
4
 – 29x
2
 – 12x -5) : (x
3
 + 7x
2
 + 3x) = 
c) (a
5
 – 7a
4
 + 19a
3
 – 25a
2
 + 14a + 6 ) : (a
2
 – 2a + 3 ) = 
d) ( 2y
3
 + 7y
2
 – 8y + 5 ) : ( 2y – 1 ) = 
e) (10x
6
 – 7x
5
 – 28x
4
 – 22x
3
 – 8x
2
 ) : ( 5x
3
 +4x
2
 +2x) = 
f) (6x
5
 – 10x
4
 + 24x
3
 – 35x
2
 – 46x + 31) : ( 3x
2
 -5x +6 ) = 
g) (6y
6
 – 15y
5
 + 16y
4
 + 5y
3
 – 6y
2
 ) : ( 3y
4
 – y
2
 ) = 
h) (12b
5
 + 18b
4
 – 10b
3
 -7b
2
 + 12b ) : ( 6b
3
 – 5b + 4 ) = 
i) ( 10x
2
 – 23x + 12 ) : ( 5x – 4 ) = 
k) ( 12x
3
 – 2x
2
 + 3x – 2 ) : ( 4x
2
 – 6x + 9) = 
l) ( 6x
3
 – 25x
2
 + 25x + 7 ) : ( 3x
2
 – 5x + 1 ) = 
m) ( 6x
2
 + x – 40 ) : ( 3x + 8 ) = 
n) ( 3x
3
 – 8x
2
 + 13x – 8 ) : ( x – 1 ) = 
0) ( -80y
4
 – 6y
3
 + 51y
2
 – 15y – 4 ) : ( 8y
2
 + 3y – 5 ) = 
3) Faça as divisões dos polinômios a seguir, 
utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 
a) (2x
4
 + 5x
3
 – x
2
 + 8) : (x + 2) 
 
b) (x
2
 – 12x + 20) : (x – 2) 
c) (x
2
 – (a + 1)x + a) : (x – a) 
 
d) (x
3
 – 1) : (x – 1) 
 
e) (2x
6
 – 7x
5
 – 8x
2
 + 5x + 1) : (x – 3) 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) 
 
a) Q(x) = 5x + 5 e R(x) = - 3x – 1 
b) Q(x) = 4x
2
 -8x + 13 e R(x) = - 20 
c) Q(x) = 1 e R(x) = 2 
d) Q(x) = 
2
1
 e R(x) = 
2
3
 
e) Q(x) = x
2
 – 2x + 1 e R(x) = 0 
2) 
 
a) Q = 3x
3
 – 2x
2
 + x – 1 R = 0 
b) Q = 2x
3
 – 3x
2
 + 2x – 5 R = 3x -5 
c) Q = a
3
 – 5a
2
 + 6a + 2 R = 0 
d) Q = y + 4y – 2 R = 3 
e) Q = 2x
3
 - 3x
2
 – 4x R = 0 
f) Q = 2x
3
 + 4x – 5 R = 95x + 61 
g) Q = 2y² - 5y + 6 R = 0 
h) Q = 2b² + 3b R = 0 
i) Q = 2x – 3 R = 0 
j) Q = 3x + 4 R = -38 
k) Q = 2x – 5 R = -2x + 12 
l) Q = 2x – 5 R = 0 
m) Q = 3x² - 5x + 8 R = 0 
n) Q = -10y² +3y – 1 R = 3y -9 
 
3) 
a) 2x
3
 + x
2
 – 3x + 6 e resto = - 4 
b) x – 10 e resto = 0 
c) x – 1 e resto = 0 
d) x
2
 + x + 1 e resto = 0 
e) 2x
5
 – x
4
 – 3x
3
 – 9x
2
 – 35x – 100 e 
resto = - 299 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
EQUAÇÕES DO 10 GRAU 
Equação 
São igualdades literais que são verdadeiras 
somente para determinados valores 
atribuídos às variáveis. 
Exemplos: 
a) só é verdade para 
 
 
x = 7 
 
b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns 
valores de x e y, como por exemplo, x = 2 e 
y = 1 ou x = 1 e y = 4. 
Os valores atribuídos às incógnitas que 
tornam verdadeiras as igualdades 
denominam-se raízes da equação. 
Se a equação contiver apenas uma incógnita 
e se o maior expoente dessa incógnita for um 
então a equação é dita equação do 1º grau a 
uma incógnita, como na forma genérica a 
seguir com a  0. 
 
ax + b = 0 
 
Resolução 
Resolver uma equação é determinar sua raiz. 
No caso de uma equação do 1º grau a uma 
incógnita, consegue-se resolvê-la isolando-se 
a incógnita no 1º membro, transferindo-se 
para o 2º membro os termos que não 
contenham a incógnita efetuando-se a 
operação inversa (as operações inversas 
são: adição e subtração; multiplicação e 
divisão). 
 
Exemplos: 
 
a) x + 2 = 7  x + 2 – 2 = 7 – 2  x = 5 
 
 
 
 
b) 
3.2
2
x
.23
2
x

 
 
x = 6 
 
Resolva as equações a seguir e verifique se 
o valor encontrado está correto. 
 
1) 
6
4
x
2
x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
5
6 -4x 
 
3
1 3x 
 - 
2
2 -3x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Descubra três números inteiros 
consecutivos cuja soma seja 345. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

membro 2ºmembro 1º
 5 2 - x
 12 
4) Em uma página de jornal, 25% da área foi 
reservada às fotos, e sobraram 420 cm
2
. 
Qual era a área total da página? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as seguintes equações: 
 
a) 4x = 8 
 
b) -5x = 10 
 
c) 7 + x = 8 
 
d) 3 – 2x = - 7 
 
e) 16 + 4x – 4 = x + 12 
 
f) 8 + 7x – 13 = x – 27 – 5x 
 
g) 
 
 
h) 
 
i) 9x + 2 – (4x + 5) = 4x + 3 
 
j) 
 
 
k) 
 
 
 
l) 
 
 
2) Resolva a equação literal, isolando x: 
 
b
x
b
a
x
a 
 
 
3) Resolva a equação literal, isolando x: 
 
2
a
b
b
x
b
bx
a
ax




 
 
4) Calcule as medidas da caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume dessa caixa é dado por: V = a.b.c 
Se a caixa tem volume igual a 24, e a, b e c 
são números inteiros e consecutivos, 
determine a, b e c. 
 
5) Qual o número que somado a um quarto 
dele próprio, mais dois quartos dele próprio, 
mais três quartos dele próprio resulta 10. 
 
RESPOSTAS 
 
1) 
 
a) 2 b) – 2 c) 1 d) 5 e) 0 f) – 2 
 
g) 
8
9
 h) 
6
5
 i) 6 j) 4 k) 8 l) 9 
 
2) x = ab 
 
3) x = b 
 
4) 2, 3 e 4 
 
5) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
3
3
x2

10
x3
4
1

    5x410x275x23 
1
4
36x5
2
x12
3
2x






6
x59
2
31
2
x
3
x43
8
3x5 




b 
c 
a 
 13 
EQUAÇÕES DO 20 GRAU 
Equação do 2
0
 grau na incógnita x é toda 
igualdade do tipo: 
02  cbxax 
tal que a,b e c  IR e a  0. 
Se tivermos b  0 e c  0 a equação é dita 
completa. 
Se tivermos b = 0 ou c = 0 a
equação é dita 
incompleta. 
Resolução da equação do 2
0
 grau 
incompleta 
1
0
 caso: b = 0 e c = 0 
ax
2
 = 0  x
2
 = 0  x1 = x2 = 0 
2
0
 caso: b  0 e c = 0 
ax
2
 + bx = 0 
Nesse caso fatora-se evidenciando o fator 
comum, daí surge um produto igual a zero. 
Para que um produto de dois números reais 
seja nulo, ou o primeiro fator é nulo ou o 
segundo fator é nulo. 
Exemplo: 
3x
2
 -12x = 0  3x(x – 4) = 0 
assim 3x = 0  x1 = 0 
ou x – 4 = 0  x2 = 4 
3
0
 caso: b = 0 e c  0 
ax
2
 + c = 0 
Nesse caso é só isolar x. 
Exemplo: 
x
2
 – 4 = 0  x
2
 = 4 
4x2 
  x1 = - 2 e x2 = 2 
Resolução da equação do 2
0
 grau 
completa 
Quando a equação for completa utiliza-se a 
fórmula de Bhaskara: 
 
 
Exemplo: resolva 2x
2
 – 6x – 56 = 0 
Simplificando: x
2
 – 3x – 28 = 0 
a = 1, b = - 3 e c = - 28 
 
 
x1 = 7 e x2 = -4 
Discriminante () 
 
Através da análise do discriminante temos 
três possibilidades para as raízes da 
equação do 2
0
 grau: 
  > 0  duas raízes reais e distintas. 
  = 0  duas raízes reais e iguais. 
  < 0  não apresenta raízes reais. 
Exemplos: 
1) x
2
 – 9 = 0 
 
 
2) 2x
2
 – 3x = 0 
 
 
 
3) x
2
 – 5x + 6 = 0 
 
 
 
a2
ac4bb
x
2 

ac4b2 
1.2
)28.(1.4)3()3( 2 
x
 14 
4) x
2
 – 0,7x + 0,1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determinar dois números cuja soma é 1 e 
o produto é igual a – 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Um grupo de estudantes quer comprar 
uma mesa de ping-pong, que custa R$ 
360,00. O grupo decidiu dividir o custo em 
partes iguais. Como quatro deles desistiram, 
as quotas de cada estudante aumentou de 
R$ 15,00. Quantos eram os estudantes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as equações do 2
0
 grau: 
a) 
2
1
x3
4x
x2
2x3
2




 
b) 
2
ax
b
bx
a




, obs. a e b são 
constantes. 
2) Calcule o valor de m na equação 
4x
2
 + x + m = 0 para que ela tenha duas 
raízes iguais. 
3) Resolva a equação 
6
2x5
2
1x2
x3
2x 




 
4) Resolva a equação 
2x
2x3
4x
2x





 
RESPOSTAS 
 
1) 
a) 3 e – 2 
b) a + b e 
2
ba 
 
2) 
16
1
m 
 
3) – 1 e 4 
6 
4) – 1 e - 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
EQUAÇÕES DO 20 GRAU, 
RELAÇÃO ENTRE 
COEFICIENTES 
Propriedade das raízes: 
As raízes da equação do 2
0 
grau são 
calculadas pela fórmula de Bhaskara como 
visto anteriormente, assim: 
ax
2
 + bx + c = 0 (a  0)  raízes: 
a
b
x
2
1


 e 
a
b
x
2
2


 
Soma das raízes: 
x1 + x2 = 
a
b
a
b
22
 


 
x1 + x2 = 
a
b
2
2
 
 
Produto das raízes: 
x1 . x2 = 







 







 
a
b
a
b
2
.
2

 
x1 . x2 = 
2
2
4a
b 
 
x1 . x2 = 
2
22
4
)4(
a
acbb 
 
x1 . x2 = 
24
4
a
ac
 
 
 
É possível compor uma equação do 2
0
 grau a 
partir de suas raízes: 
ax
2
 + bx +c = 0 
Dividindo-se a equação por a temos: 
02 
a
c
x
a
b
x
 
02 






a
c
x
a
b
x
 
x
2
 – Sx + P = 0 
Exemplos: 
Resolva as equações, usando a relação 
entre suas raízes. 
a) x
2
 – 5x + 4 = 0 
 
 
b) x
2
 – 5x + 6 = 0 
 
 
c) x
2
 – 4x + 4 = 0 
 
 
d) x
2
 – x – 6 = 0 
 
 
e) x
2
 – 12x + 20 = 0 
 
 
f) x
2
 + 3x – 10 = 0 
 
 
g) x
2
 + 6x + 5 
 
 
a
b
xxS  21
a
c
xxP  21.
 16 
Equações irracionais 
São equações que apresentam a incógnita 
sob radical. 
Exemplo: 
34 x
, 
0842  xx
 
A resolução é feita usando processos 
algébricos visando obter uma equação 
algébrica. Obtida as soluções faz-se a 
verificação das mesmas, substituindo as 
raízes na equação original. 
Exemplos: 
1) 
xx 2
 
 
 
 
 
2) 
0725 2  xx
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
21x31x 
 
 
 
 
 
 
Equações biquadradas 
São equações do tipo ax
4
 + bx
2
 + c = 0 
ou seja, são equações do 4
0
 grau 
incompletas. 
Resolução: mudança de variáveis faz-se 
x
2
 = y e x
4
 = y
2
 . 
Exemplo: 
Resolva as equações biquadradas: 
1) x
4
 – 13x
2
 + 36 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) x
4
 – 10x
2
 + 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
3) x
4
 + 5x
2
 - 36 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Obtenha a soma e o produto das raízes da 
equação 5x
2
 – 20x + 3 = 0 
2) Sendo 
32 
 e 
32 
 as raízes de 
uma equação do 2
0
 grau, obtenha a 
correspondente equação. 
3) Sejam m e n as raízes da equação 
2x
2
 – 10x + 7 = 0 determine o valor de 
m
2
 + n
2
. 
4) Resolver as equações irracionais: 
a) 
045x 
 
b) 
x24x 
 
c) 
04x 
 
d) 
x247x2 
 
e) 
9x24x1x 
 
5) Resolva as equações biquadradas: 
a) x
4
 – 20x
2 
+ 36 = 0 
b) x
4
 – 10x
2 
- 96 = 0 
c) 9x
4
 – 40x
2
 + 16 = 0 
6) Determine a soma e o produto das raízes 
de cada uma das seguintes equações, sem 
resolver cada equação. 
a) 3x
2
 + x – 3 = 0 b) 9x
2
 + 6x + 1 = 0 
c) 6x
2
 - 9x = 0 d) 6x
2
 - 10x + 3 = 0 
e) x
2
 + 2x – 8 = 0 f) 8x
2
 - 2x – 3 = 0 
7) Forme as equações do 2
0
 grau, na 
incógnita x cujas raízes são os seguintes 
números reais: 
a) 7 e 12 b) – 10 e – 3 c) 
3e
7
4

 
 18 
d) 9 e – 6 e) – 8 e 8 f) 
9
4
e0 
 
8) Na equação 3x
2
 – 10x + 2k - 1 = 0, a soma 
das raízes é igual ao produto. Nessas 
condições, calcule o valor de k. 
 
RESPOSTAS 
1) S = 4 e P = 
5
3
 
2) 
01x22x2 
 
3) 18 
4) 
a) 21 
b) 0 e – 3 
c) 16 
d) 1 e 
9
7

 
e) 8 
5) 
a) 
 2,2,23,23 
 
b) 4 e – 4 
c) 
3
2
,2 
 
6) a) 
1e
3
1

 
b) 
9
1
e
3
2

 
c) 
0e
2
3
 
d) 
2
1
e
3
5
 
e) -2 e – 8 
f) 
8
3
e
4
1

 
 
7) a) x
2
 - 19x + 84 = 0 
b) x
2
 + 13x + 30 = 0 
c) 7x
2
 + 17x – 12 = 0 
d) x
2
 - 3x – 54 = 0 
e) x
2
 – 64 = 0 
f) 9x
2
 + 4x = 0 
8) 
2
11
 
 
AULA 06 LISTA DE POTENCIA��O E RADICIA��O.pdf
AULA 06 - LISTA DE POTENCIAÇÃO 
E RADICIAÇÃO 
 
1. O oposto do número real 
 
  
 
1
2 2 1
2