Análise Espacial - AIA2

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Universidade Veiga de Almeida 
 
 
Atividade Individual Avaliativa - A2 
 
 
 
 
 
Análise Espacial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2020.2 
• Produto Escalar 
4) Determinar o vetor �⃗�, paralelo ao vetor �⃗⃗� = (2,-1,3), tal que �⃗�. �⃗⃗� = 
-42. 
�⃗⃗� = (2,-1,3) 
�⃗� = �⃗⃗�. 𝑥 
 
𝑣 ⃗= (2x, −x, 3x) 
(2, −1,3) . (2x, −x, 3x) = −42 
4x + 1x + 9x = −42 
14𝑥 = −42 
−42 
𝑥 = 
14
 
𝑥 = −3 
 
𝑣⃗ = (2. (−3), −(−3), 3. (−3) 
�⃗⃗�⃗ = (−𝟔, 𝟑, −𝟗) 
 
 
17) Dados os pontos A(-1,0,5), B(2,-1,4), C(1,1,1), determinar x tal q 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� e �⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� sejam ortogonais, sendo P (x,0, x-3). 
𝐴 = (−1,0,5) 
B(2, −1,4) 
C(1,1,1) 
P (x, 0, x − 3) 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = C – A 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = (1,1,1) − (−1,0,5) 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = (1 + 1); (1 − 0); (1 − 5) 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = (2,1, −4) 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = P – B 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = (x, 0, x − 3) − (2, −1,4) 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = (𝑋 − 2); (0 + 1); (𝑥 − 3 − 4) 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = (𝑥 − 2, 1, 𝑥 − 7) 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = 0 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗�. �⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = 0 
(2,1, −4) . (𝑥 − 2, 1, 𝑥 − 7) = 0 
2. (𝑥 − 2) + 1.1 + (−4. (𝑥 − 7)) = 0 
(2𝑥 − 4) + 1 + (−4𝑥 + 28) = 0 
2𝑥 − 4 + 1 − 4𝑥 + 28 = 0 
(2𝑥 − 4𝑥) + (−4 + 1 + 28) = 0 
−2𝑥 + 25 = 0 
−25 
𝑋 = 
 
𝐗 = 
 
 
−2 
𝟐𝟓 
𝟐 
 
 
 
 
 
• Produto vetorial 
 
9) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
�⃗⃗�+2�⃗� e �⃗�-�⃗⃗� sendo �⃗⃗� = (-3,2,0) e 𝑣 = (0,-1,-2). 
�⃗⃗� = (-3,2,0) 
𝑣⃗ = (0,-1,-2) 
�⃗⃗�+2�⃗� = (−3,2,0) + 2. (0, −1, −2) 
�⃗⃗�+2�⃗� = (−3,2,0) + (0, −2, −4) = (−𝟑, 𝟎, −𝟒) 
 
�⃗�-�⃗⃗� = (0, −1, −2) − (−3,2,0) 
�⃗�-�⃗⃗� = (𝟑, −𝟑, −𝟐) 
 
 
𝑖 𝑗 𝑘 
(�⃗⃗�+2�⃗�) . (�⃗�-�⃗⃗�)= −3 0 −4 
3 −3 −2 
𝑖 𝑗 
−3 0 = 
3 −3 
i⋅0⋅(−2)+j⋅(−4)⋅3+k⋅(−3)⋅(−3)−3⋅0⋅k−(−3)⋅(−4)⋅i−(−2)⋅(−3)⋅j = 
(�⃗⃗�+2�⃗�) . (�⃗�-�⃗⃗�) = (−12𝑖, −18𝑗, 9𝑘) 
 
(�⃗⃗�+2�⃗�) . (�⃗�-�⃗⃗�) = (−𝟏𝟐, −𝟏𝟖, 𝟗) 
17) Dados os vetores �⃗⃗� = (3,-1,2) e �⃗� = (-2,2,1), calcule: 
a) a área do paralelogramo determinado por �⃗⃗� e �⃗�; 
 
 
 
�⃗⃗� 𝑥 �⃗� = = i⋅(−1)⋅1+j⋅2⋅(−2)+k⋅3⋅2−(−2)⋅(−1)⋅k−2⋅2⋅i−1⋅3⋅j = 
 
 
= -5i-7j+4k = (-5,-7,4) 
Calcular o modulo: 
 
|�⃗⃗� 𝑥 �⃗� | = √(−5)² + (−7)² + (4)² = √(25 + 49 + 16) = √90 = 3√10 
 
 
A área do paralelogramo é 𝟑√𝟏𝟎. 
 
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor �⃗�. 
| ⃗𝑣⃗⃗⃗ ⃗|² = (-2)² + 2² + 1² 
| �⃗⃗⃗⃗� ⃗ |² = 9 
| �⃗⃗⃗⃗� ⃗ | = √9 = 3 
 
 
 
A área é 3√10 então: 
 
3√10 = 3 𝑥 ℎ 
 
h= 
3√10 
3 
 
h= √𝟏𝟎 
𝑖 
3 
−2 
𝑗 
−1 
2 
𝑘 𝑖 
2 3 
1 −2 
𝑗 
−1 
2 
1 1 −7 1 1 
−1 4 −3 −1 4 
−2 𝑚 + 2 −2 −2 𝑚 + 2 
• Produto Misto 
12) O ponto A (1, -2, 3) é um dos vértices de um paralelepípedo, e os 
três vértices adjacentes são B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1). 
Determinar o valor de m para que o volume deste paralelepípedo seja 
igual a 20 u.v (unidades de volume). 
 
𝐴𝐵 => 𝐵 − 𝐴 = (2 − 1, −1 − (−2), −4 − 3) = (1, 1, −7) 
𝐴𝐶 => 𝐶 − 𝐴 = (0 − 1, 2 − (−2), 0 − 3) = (−1, 4, −3) 
𝐴𝐷 => 𝐷 − 𝐶 = (−1 − 1, 𝑚 − (−2), 1 − 3) = (−2, 𝑚 + 2, −2) 
 
 
= 1⋅4⋅(−2)+1⋅(−3)⋅(−2)+(−7)⋅(−1)⋅(m+2)−(−2)⋅4⋅(−7)−(m+2)⋅(−3)⋅1−(−2)⋅(−1)⋅1 
𝑑𝑒𝑡 = 10𝑚 − 40 
Volume = 20 u.v 
|𝑑𝑒𝑡| = 20 => |10𝑚 − 40| = 20 
10𝑚 − 40 = 20 
10𝑚 = 40 + 20 
10𝑚 = 60 
60 
𝑚 = 
10 
= 6 
𝒎 = 𝟔 
10𝑚 − 40 = −20 
10𝑚 = 40 − 20 
10𝑚 = 20 
20 
𝑚 = 
10 
= 2 
𝒎 = 𝟐 
 
• Equação da Reta 
16) Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa 
por A(-1,6,3) e B(2,2,1). 
�⃗⃗⃗⃗��⃗⃗� = 𝐵 − 𝐴 => (2,2,1) - (-1,6,3) = (3,-4,-2) 
 
𝑥 = −1 + 3𝑡 
𝑦 = 6 − 4𝑡 
𝑧 = 3 − 2𝑡 
 
 
𝑥 + 1 
3 
= 
𝑥 + 1 
𝑦 − 6 
−4 
=
 
𝑧 − 3 
𝑧 − 3 
2 
= 𝑡 
3 
= 
−2 
= −2𝑥 − 2 = 3𝑧 − 9 => −2𝑥 = 3𝑧 − 9 + 2 => −2𝑥 = 3𝑧 − 7 
 
 
Dividindo por -2 
𝟑 𝟕 
𝒙 = − 
𝟐 
𝒛 + 
𝟐
 
𝑦 − 6 
−4 
=
 
𝒚 = 𝟐𝒛 
𝑧 − 3 
−2 
=> −2𝑦 + 12 = −4𝑧 + 12 => −4𝑧