Prova Resolvida de Geometria Analítica

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RESOLVA APENAS 4 (QUATRO) DOS 6 (SEIS) EXERCÍCIOS ABAIXO.
1. Considere, num plano, o ponto F = (1, 2) e a reta r : y = 1. Mostre que o conjunto
E = {P = (x, y) : d(P, F ) = 1
2
d(P, r)} é uma eĺıpse com um dos focos no ponto F . Faça um
esboço gráfico dessa eĺıpse.
Temos que P = (x, y) ∈ E ⇔
√
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 1
2
|y − 1|, mas
√
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 1
2
|y − 1| ⇔ (x− 1)2 + y2 − 4y + 4 = 1
4
(y2 − 2y + 1)
⇔ 4(x− 1)2 + 4y2 − 16y + 16 = y2 − 2y + 1
⇔ 4(x− 1)2 + 3y2 − 14y + 15 = 0
⇔ 4(x− 1)2 + 3(y2 − 14
3
y +
49
9
)− 49
3
+
45
3
= 0
⇔ 4(x− 1)2 + 3(y − 7
3
)2 =
4
3
⇔ (x− 1)
2
1
3
+
(y − 7
3
)2
4
9
= 1
⇔ (x− 1)
2
3
9
+
(y − 7
3
)2
4
9
= 1
Logo, P = (x, y) ∈ E se, e somente se P = (x, y) pertence à eĺıpse L : (x−1)
2
3
9
+
(y− 7
3
)2
4
9
= 1
Mas a eĺıpse L é centrada em (1, 7
3
) e possui eixo focal sobre a reta r : x = 1. A distância focal é
2c, sendo c2 = 4
9
− 3
9
= 1
9
, ou seja, c = 1
3
. Assim, os focos dessa eĺıpse são F1 = (1,
7
3
− 1
3
) = (1, 2)
1
Terceira Prova Resolvida de Geometria Analítica
e F2 = (1,
7
3
+ 1
3
) = (1, 8
3
). Portanto um dos focos F1, da eĺıpse E , coincide com F = (1, 2).
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•
0 1 2
2
8
3
1
3
F1
F2
x
y
7
3
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2. Para quais valores de λ ∈ R a equação, (λ−1)x2+(λ−3)y2 = λ−2, representa uma hipérbole?
justifique sua resposta.
Se λ = 2, a equação (λ − 1)x2 + (λ − 3)y2 = λ − 2 se transforma em x2 − y2 = 0, a qual
representa um par de retas concorrentes (y = x ou y = −x).
Se λ = 1, a equação (λ − 1)x2 + (λ − 3)y2 = λ − 2 se transforma em −2y2 = −1, a qual
representa um par de retas paralelas (y = 1√
2
ou y = − 1√
2
).
Se λ = 3, a equação (λ−1)x2 + (λ−3)y2 = λ−2 se transforma em 2x2 = 1, a qual representa
um par de retas paralelas (x = 1√
2
ou x = − 1√
2
).
Assim, para que a equação (λ− 1)x2 + (λ− 3)y2 = λ− 2 represente uma hipérbole, devemos
ter λ − 1 6= 0, λ − 3 6= 0 e λ − 2 6= 0. Logo, a equação (λ − 1)x2 + (λ − 3)y2 = λ − 2 é
equivalente à x
2
(λ−2λ−1)
+ y
2
(λ−2λ−3)
= 1 e essa equação representa uma hipérbole se, e somente se,
1.
(
λ−2
λ−1
)
> 0 e
(
λ−2
λ−3
)
< 0
ou
2.
(
λ−2
λ−1
)
< 0 e
(
λ−2
λ−3
)
> 0
No primeiro caso temos que, (λ < 1 ou λ > 2) e (2 < λ < 3), ou seja, 2 < λ < 3.
No segundo caso temos que, (1 < λ < 2) e (λ < 2 ou λ > 3), ou seja, 1 < λ < 2.
Portanto, a equação (λ− 1)x2 + (λ− 3)y2 = λ− 2 representa uma hipérbole se, e somente se,
λ é um número real tal que 1 < λ < 3 e λ 6= 2.
2
3. Seja f : R→ R a função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c, (a, b, c ∈ R e a 6= 0). O gráfico de f ,
Gr(f) = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x)} é uma parábola. Determine o foco e uma equação da reta
diretriz dessa parábola.
Coloquemos a equação y = ax2 + bx + c na forma reduzida, fazendo completamento de
quadrados. Temos que,
y = ax2 + bx+ c ⇔ y = a(x2 + b
a
x+
b2
4a2
)− b
2
4a
+ c
⇔ y = a(x+ b
2a
)2 − b
2 − 4ac
4a
⇔ (y + b
2 − 4ac
4a
) = a(x+
b
2a
)2 =
1
4 · 1
4a
(x+
b
2a
)2
Logo, o foco dessa parábola é F = (− b
2a
,−
(
b2−4ac
4a
)
+ 1
4a
) e a reta diretriz tem equação
d : y = −
(
b2−4ac
4a
)
− 1
4a
4. Considere a equação 3x2 + y2 + 52− (12
√
3 + 8)x+ 2
√
3xy − (12− 8
√
3)y = 0.
a) Identifique o que essa equação, considerada como cônica, representa e esboce uma repre-
sentação gráfica da mesma;
Temos que 3x2 + y2 + 52 − (12
√
3 + 8)x + 2
√
3xy − (12 − 8
√
3)y = 0 se, e somente se,(
x y
)
·
(
3
√
3√
3 1
)
·
(
x
y
)
+
(
−(12
√
3 + 8) −(12− 8
√
3)
)
·
(
x
y
)
+ 52 = 0
Determinemos os autovalores de Q =
(
3
√
3√
3 1
)
:
det
(
λ− 3 −
√
3
−
√
3 λ− 1
)
= 0 ⇔ (λ− 3)(λ− 1)− 3 = 0
⇔ λ2 − 4λ+ 3− 3 = 0
⇔ λ2 − 4λ = 0
ou seja, os autovalores de Q =
(
3
√
3√
3 1
)
são λ1 = 0 e λ2 = 4.
Determinemos uma base ortonormal do plano, formada por autovetores de Q.
• Determinação do autovetor ~v1, de norma 1, associado ao autovalor λ1 = 0(
−3 −
√
3
−
√
3 −1
)
·
(
x
y
)
=
(
0
0
)
3
Segue desta equação que, −3x =
√
3y. Assim, ~v = (1,−
√
3) é um autovetor de Q, associado
ao autovalor λ1 = 0. Como ||~v|| = 2, temos que uma escolha posśıvel para ~v1 é ~v1 = (12 ,−
√
3
2
).
• Determinação do autovetor ~v2, de norma 1, associado ao autovalor λ1 = 4
Como ~v2 tem norma 1 e é ortogonal a ~v1, uma escolha posśıvel para ~v2 é ~v2 = (
√
3
2
, 1
2
).
Considerando os sistemas ortogonais do plano, Σ = (O, {~e1, ~e2}) e Σ′ = (O, {~v1, ~v2}) temos
que, se P = (x, y)Σ = (X, Y )Σ′ então,(
X Y
)
·
(
0 0
0 4
)
·
(
X
Y
)
+
(
−(12
√
3 + 8) −(12− 8
√
3)
)
·
(
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
)
·
(
X
Y
)
+ 52 = 0
Fazendo as contas, obtemos,
4Y 2 +
(
−16 −24
)
·
(
X
Y
)
+ 52 = 0
ou seja,
4Y 2−16X−24Y+52 = 0. Completando quadrados obtemos, 4(Y 2−6Y+9)−36−16X+52 = 0,
o que é equivalente a, 4(Y − 3)2 = 16(X − 1), ou seja,
(X − 1) = 1
4
(Y − 3)2
Trata-se portanto de uma PARÁBOLA.
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0 1 2
x
y
X
Y
3
1
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.
......
......
.
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4
b) Identifique o que essa equação, considerada como quádrica, representa.
Essa equação, considerada como quádrica, representa um CILINDRO PARABÓLICO.
5. Determine A,B,C,D,E e F tal que a cônica Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 seja:
a) a reunião de duas retas paralelas;
A = B = D = E = 0, C = 1 e F = −1 (y2 − 1 = 0)
b) a reunião de duas retas concorrentes;
A = 1, C = −1 e B = D = E = F = 0 (x2 − y2 = 0)
c) uma reta;
A = B = C = 0 e D = E = F = 1 (x+ y + 1 = 0)
d) o conjunto vazio;
A = 1, F = 1 e B = C = D = E = 0 (x2 + 1 = 0)
e) uma eĺıpse;
A = 4, C = 9, F = −36 e B = D = E = 0 (4x2 + 9y2 − 36 = 0)
f) uma hipérbole;
A = 4, C = −9, F = −36 e B = D = E = 0 (4x2 − 9y2 − 36 = 0)
g) uma parábola;
A = 4, E = −1, B = C = D = F = 0 (4x2 − y = 0)
6. Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos X = (x, y, z) do espaço E3 que são
eqüidistantes de P = (1, 1, 0) e π : z + 2 = 0.
Seja L o lugar geométrico em questão. Temos que,
P = (x, y, z) ∈ L ⇔ d(P, (1, 1, 0)) = d(P, π)
Mas,
d(P, (1, 1, 0)) = d(P, π) ⇔
√
(x− 1)2 + (y − 1)2 + z2 = |0 · x+ 0 · y + 1 · z + 2|√
02 + 02 + 12
⇔ (x− 1)2 + (y − 1)2 + z2 = (z + 2)2
⇔ (x− 1)2 + (y − 1)2 = z2 + 4z + 4− z2 = 4(z + 1)
⇔ (x− 1)
2
4
+
(y − 1)2
4
= (z + 1)
5
Assim, uma equação para L é dada por (x−1)
2
4
+ (y−1)
2
4
= (z + 1).
Qual das seguintes quádricas é esse lugar geométrico:
Conforme a equação acima, o lugar geométrico L é um PARABOLÓIDE CIRCULAR.
a) Parabolóide eĺıptico; b) Parabolóide circular; c) Hiperbolóide de duas folhas;
d) Elipsóide; e) Parabolóide hiperbólico; f) Hiperbolóide de uma folha.
6