Exercício de Transformada de Laplace

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Sabendo que a chave da Figura abaixo ficou na “posição x” por muito tempo antes de ser movida para 
“posição y” em 𝑡 = 0, pede-se: 
a) Determinar a tensão de capacitor e a corrente de indutor no instante 𝑡 = 0+. OBS: Indicar sentido 
da corrente e polarização da tensão. 
b) Desenhar o circuito equivalente no domínio de Laplace (domínio 𝑠) para 𝑡 ≥ 0, indicando os 
valores de todos os componentes. 
c) Para o circuito obtido no item 𝑏), encontrar a equação de 𝐼𝑂(𝑠). 
d) Usando uma tabela de transformadas inversas de Laplace, determinar 𝑖𝑂(𝑡) para 𝑡 > 0. 
 
 
a) 
Para 𝑡 < 0, podemos fazer algumas observações: 
• O fato de a chave ter permanecido fechada por muito tempo, implica que o circuito se encontrava 
em regime permanente. 
• Para essas condições, o capacitor funciona como uma chave aberta, ou seja, não existe corrente 
fluindo pelo ramo que ele se encontra. Aplicando então a lei de Kirchoff das tensões: 
16 − 12 × 0 − 𝑣𝐶(0
−) = 0 
𝑣𝐶(0
−) = 16 V 
• Para essas condições, o capacitor funciona como uma chave fechada, ou seja, não existe tensão 
nos seus terminais. Aplicando então a lei de Ohm: 
𝑖𝐿(0
−) =
16
8
= 2 A 
b) 
Para 𝑡 ≥ 0, a fonte de tensão é desacoplada do circuito restando apenas os componentes passivos. O 
equivalente de Laplace para este circuito, incluindo as representações das condições iniciais, é dado por: 
 
c) 
Para encontrar 𝐼𝑥(𝑠), basta aplicarmos a lei de Ohm ao circuito: 
𝐼𝑥(𝑠) =
−
16
𝑠 − 2
36
𝑠 + 20 + 𝑠
 
Multiplicando numerador e denominador por 𝑠: 
𝐼𝑥(𝑠) =
−2𝑠 − 16
𝑠2 + 20𝑠 + 36
 
Fatorando o denominador: 
𝐼𝑥(𝑠) =
−2𝑠 − 16
(𝑠 + 2)(𝑠 + 18)
 
d) 
Para aplicar a transformada inversa, precisamos manipular a expressão de 𝐼𝑥(𝑠) para um formato 
equivalente aos da tabela de transformadas. Para isso, fazemos a expansão em frações parciais: 
𝐼𝑥(𝑠) =
𝐴
𝑠 + 2
+
𝐵
𝑠 + 18
 
𝐼𝑥(𝑠) =
𝐴(𝑠 + 18) + 𝐵(𝑠 + 2)
(𝑠 + 2)(𝑠 + 18)
 
𝐼𝑥(𝑠) =
(𝐴 + 𝐵)𝑠 + (18𝐴 + 2𝐵)
(𝑠 + 2)(𝑠 + 18)
 
Comparando com a expressão obtida no item C: 
{
𝐴 + 𝐵 = −2
18𝐴 + 2𝐵 = −16
 
Multiplicando a primeira equação por −2: 
{
−2𝐴 − 2𝐵 = 4
18𝐴 + 2𝐵 = −16
 
 
Somando as duas equações: 
16𝐴 = −12 
𝐴 = −0.75 
 
𝐴 + 𝐵 = −2 
𝐵 = −1.25 
Escrevendo novamente 𝐼𝑥(𝑠): 
𝐼𝑥(𝑠) = −
0.75
𝑠 + 2
−
1.25
𝑠 + 18
 
𝐼𝑥(𝑠) = −0.75
1
𝑠 + 2
− 1.25
1
𝑠 + 18
 
Podemos aplicar diretamente a transformada inversa de Laplace para obter: 
𝑖𝑥(𝑡) = −0.75𝑒
−2𝑡 − 1.25𝑒−18𝑡 [A]