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CURSO DE CÁLCULO LUÍS GUSTAVO DONINNELI MENDES

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,
usando novamente o Teorema 3.1 e Exemplos pre´vios.
Ilustro o Exemplo 7) nas Figura que segue, onde an = a2 = 2 e bn = b2 = 1:
1,6
0,8
1,2
x
2001501000 50
2
1,8
1,4
1
0,6
Figura: Gra´fico de 2x
2+x+4
x2+3x+7
com x ∈ [0, 200].
8)
Se m < n, am 6= 0, bn 6= 0:
lim
x→+∞
am x
m + am−1xm−1 + . . .+ a0
bn xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0
= 0.
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 65
De fato,
lim
x→+∞
xm · (am + am−1x + . . .+ a0xm )
xm · xn−m · (bn + bn−1x + . . .+ b0xn )
=
= lim
x→+∞
1
xn−m
(am +
am−1
x
+ . . .+ a0
xm
)
(bn +
bn−1
x
+ . . .+ b0
xn
)
= 0 · am
bn
= 0,
usando o Teorema 3.1.
Ilustro este Exemplo 8) na Figura a seguir, com am = a2 = 20 e bn = b3 = 0.01.
Escolhi o coeficiente b3 = 0.01 bem pequeno em relac¸a˜o ao a2 = 20 de propo´sito,
para indicar que na˜o adianta, pois a longo prazo o grau 3 do denominador e´ mais
importante.
6000
4000
2000
0
x
302520155 10
8000
Figura: Gra´fico de 20x
2+30x+40
(0.01)x3
, para x ∈ [1, 30]
Estes dois Exemplos 7) e 8) ilustram o seguinte princ´ıpio: a longo prazo o que im-
porta sa˜o os graus mais altos dos polinoˆmios envolvidos num quociente de polinoˆmios.
9) Lembrando apenas que a func¸a˜o seno tem | sin(x)| ≤ 1, enta˜o
lim
x→+∞
sin(x)
x
= 0
pois limx→+∞ 1x = 0 (use o Teorema 3.1).
0,4
0,2
-0,2
0,3
0,1
x
12080
-0,1
0
20 40 10060
Figura: O gra´fico de sin(x)
x
para x ∈ [2, 130]
4. QUANDO A PARTE E´ DO MESMO TAMANHO DO TODO 66
4. Quando a parte e´ do mesmo tamanho do todo
Nesta Sec¸a˜o proponho explicar o seguinte Teorema, que parece um total absurdo:
Afirmac¸a˜o 4.1. A reta inteira de nu´meros Reais tem tantos pontos quanto o intervalo
aberto (−1, 1).
Em primeiro lugar preciso lembrar o que significa dois conjuntos terem o mesmo
nu´mero de elementos. O exemplo que mais gosto, para explicar essa noc¸a˜o, li num
um livro de Tarski.
Imagine num garc¸om colocando, para cada cliente, um garfo e uma faca ao lado
do prato. Ao final da tarefa, ele teˆm a seguinte conversa com o cozinheiro:
• cozinheiro: para preparar a refeic¸a˜o, gostaria de saber quantos clientes temos
hoje.
• garc¸om: na˜o contei, na˜o sei.
• cozinheiro: mas voceˆ na˜o estava pondo os garfos e facas para cada um deles
?
• garc¸om: sim, mas so´ o que tenho certeza e´ que ha´ tantos garfos quanto facas
a` mesa.
• cozinheiro: mas como voceˆ pode ter certeza disso, sem saber quantos garfos
e facas voceˆ poˆs, ja´ que na˜o contou ?
• garc¸om: ora, e´ fa´cil, sei que ha´ tantos garfos quanto facas porque para cada
faca colocada, coloquei um garfo, e na˜o mais de um garfo.
A moral dessa histo´ria e´ a seguinte: dois conjuntos teˆm o mesmo nu´mero de
elementos quando ha´ uma func¸a˜o f sobrejetora (nenhuma faca sem garfo) e injetora
(na˜o mais de um garfo) entre eles. Apesar de que na˜o saibamos exatamente quantos
elementos os conjuntos teˆm.
Um exemplo conhecido ja´ por Galileu e´ que ha´ tantos nu´meros Naturais N quanto
nu´meros Pares 2N: de fato, existe a bijec¸a˜o
f : N→ 2N, f(n) = 2n,
cuja inversa da´ f−1(2n) = n. Apesar disso 2N ⊂ N, por isso se diz que, nesse caso, a
parte e´ do tamanho do todo !
Para provar a Afirmac¸a˜o 4.1, considero a seguinte func¸a˜o:
f : R→ R, f(x) := x| x |+ 1 .
Primeiro noto que esta´ bem definida em todos os Reais, pois seu denominador nunca
se anula. Agora afirmo que f(R) ⊂ (−1, 1), ou seja, que
∀x ∈ R, −1 < x| x |+ 1 < 1.
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 67
De fato, primeiro f(0) = 0 e se x > 0 enta˜o |x| = x e portanto:
0 <
x
x+ 1
< 1,
pois 0 < x < x+ 1. E se x < 0, enta˜o |x| = −x e portanto:
−1 < x−x+ 1 < 0,
pois −1 · (−x+ 1) = x− 1 < x.
O que na˜o esta´ ainda nada claro e´ se f e´ sobrejetora, ou seja, se
(−1, 1) ⊂ f(R), ou seja f(R) = (−1, 1).
Estou assumindo neste momento, sem demonstrar, que a imagem de f e´ algum
intervalo f(R) = (a, b) ⊂ (−1, 1).
O que quero mostrar agora e´ que na˜o acontece que −1 < a nem que b < 1. Para
isso meu argumento e´ o seguinte: vou mostrar que
lim
x→+∞
x
| x |+ 1 = 1 e limx→−∞
x
| x |+ 1 = −1,
ou seja, pela Definic¸a˜o de limite, que f atinge valores ta˜o pro´ximos de 1 e de −1
quanto quisermos. Isso impedira´ que −1 < a e que b < 1.
Mas se x→ +∞ enta˜o em particular x > 0 e
lim
x→+∞
x
| x |+ 1 = limx→+∞
x
x+ 1
= lim
x→+∞
x · 1
x · (1 + 1
x
)
= 1,
pelo Teorema 3.1 e Exemplos que o seguem.
E se x→ −∞ enta˜o em particular x < 0 e
lim
x→−∞
x
| x |+ 1 = limx→−∞
x
−x+ 1 = limx→−∞
x · 1
x · (−1 + 1
x
)
= −1,
pelo Teorema 3.1 e Exemplos que o seguem.
Agora so´ falta ver que f e´ injetiva: mas note que se x > 0, de y = x
x+1
obtenho
y = x− xy e da´ı:
x =
y
1− y ,
que e´ bem definido pois y < 1. E se x < 0 enta˜o de y = x−x+1 obtenho y = x + xy e
da´ı:
x =
y
1 + y
,
que e´ bem definido pois −1 < y.
Isso mostra que y = f(x) e´ injetiva, ja´ que tenho explicitamente sua func¸a˜o inversa
x = f−1(y).
As Figuras a seguir mostram parte dos gra´ficos de f e de f−1, respectivamente:
5. EXERCI´CIOS 68
0,4
-0,4
0,8
0
-0,8x
42-2 0-4
2
-2
4
0
-4
x
0,80,4-0,40-0,8
Para terminar, chamo a atenc¸a˜o do leitor que f−1 : (−1, 1)→ R faz uma espantosa
expansa˜o do intervalo (−1, 1). A expansa˜o feita por f−1(y) depende sensivelmente
de y e aumenta cada vez mais a` medida que y vai para os extremos do intervalo. Na
Parte 2 do Curso poderemos justificar e explicar melhor a seguinte Afirmac¸a˜o sobre
f−1:
Afirmac¸a˜o 4.2. Se y ∈ [0, 1) enta˜o a taxa de expansa˜o de f−1 e´ de 1
(1−y)2 e a taxa
de expansa˜o de f−1(y) para y ∈ (−1, 0] e´ de 1
(1+y)2
.
Uma comparac¸a˜o e´ natural: um dos fenoˆmenos mais bizarros do Universo e´ que
na˜o apenas ele se expande, e que quanto mais longe mais ele se expande, mas tambe´m,
como se descobriu faz pouco tempo, que essa expansa˜o esta´ aumentando...
5. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5.1. A seguir dado � > 0 determine δ > 0 (em func¸a˜o de �) tal que
|x− x0| < δ implique |f(x)− L| < �:
a): x0 = 1, f(x) = 555x, L = 555,
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 69
b): x0 = 0, f(x) = x
2, L = 0,
c): x0 = 0, f(x) = 555x
2, L = 0.
Exerc´ıcio 5.2.
0,5
1
-0,5
0
-1
50
x
30 4010 200
A figura mostra o gra´fico da func¸a˜o f : R>0 → (−1, 1) dada por
f(x) =
x− 1
x+ 1
.
Prove aquilo que e´ sugerido pelo gra´fico, ou seja, que
lim
x↘0
f(x) = −1 e lim
x→+∞
f(x) = 1.
Exerc´ıcio 5.3. Determine:
a): limx→2 x
2+5x+6
x+2
,
b): limx→2 1(x−2)2 ,
c): limx→−6 −1(x+6)2 ,
d): limx↗−6 −1x+6 ,
e): limx↘−6 −1x+6 .
Exerc´ıcio 5.4. Considere os seguintes limites
lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x− 1 e limx→1
x3 − 3x+ 2
(x− 1)2 .
i) Antes de fazer contas, diga qual a diferenc¸a qualitativa que ha´ entre os dois
casos.
ii) Calcule os limites.
iii) sera´ que existe o
lim
x→1
x3 − 3x+ 2
(x− 1)3 ?
5. EXERCI´CIOS 70
Exerc´ıcio 5.5. Calcule
lim
x→1
x3 − 2x2 − 4x+ 8
x− 2 e limx→1
x3 − 2x2 − 4x+ 8
(x− 2)2 .
Exerc´ıcio 5.6. i) Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por partes:
f(x) = −x, se x < −1,
f(x) = x2 + x+ 1, se − 1 ≤ x ≤ 1,
f(x) = 2 · x, se 1 < x.
Existem os limites lim
x→−1
f(x) ou lim
x→1
f(x)?
ii) Ajuste os paraˆmetros b, c para que g : R→ R definida por partes:
g(x) = −x, se x < −1,
g(x) = x2 + b · x+ c, se − 1 ≤ x ≤ 1,
g(x) = 2 · x, se 1 < x.
tenha ambos os limites lim
x→−1
g(x) e lim
x→1
g(x)
CAP´ıTULO 6
A noc¸a˜o de Continuidade
Na Definic¸a˜o a seguir pediremos um pouco mais que o que foi exigido na Definic¸a˜o
0.1, pois vamos pedir que:
• x ∈ I (domı´nio da func¸a˜o) e que
• limx→x f(x) = f(x)
ou seja que o limite