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CURSO DE CÁLCULO LUÍS GUSTAVO DONINNELI MENDES

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Um Curso de Ca´lculo e Equac¸o˜es
Diferenciais com Aplicac¸o˜es1
Lu´ıs Gustavo Doninelli Mendes
23
1Continuarei acrescentando material, ale´m de corrigir poss´ıveis erros ou imperfeic¸o˜es. Por isso
sugiro que o improva´vel leitor na˜o imprima o texto. Quando for estuda´-lo deˆ uma olhada no
meu site se ja´ ha´ uma versa˜o mais atualizada. Sugesto˜es ou correc¸o˜es, por favor as envie para
mendes.lg@gmail.com
2Professor Adjunto do Departamento de Matema´tica da UFRGS
3U´ltima atualizac¸a˜o: 09/05/2012
I´ndice
Parte 1. Ca´lculo Diferencial e Integral e primeiras Aplicac¸o˜es 13
Cap´ıtulo 1. Introduc¸a˜o 15
1. O que e´ o Ca´lculo 15
2. Sobre o Curso 16
3. Sobre os Gra´ficos e Figuras 16
4. Alerta aos estudantes 16
5. Livros-texto e Refereˆncias 17
6. Programas u´teis 18
Cap´ıtulo 2. Alguns dos objetivos do Ca´lculo 21
1. Func¸o˜es e seus domı´nios 21
2. Func¸a˜o 23
3. Func¸o˜es definidas a partir de outras func¸o˜es 23
4. Diferentes domı´nios de func¸o˜es 24
5. Gra´fico descont´ınuo, mas que mesmo assim e´ gra´fico 25
6. Func¸a˜o positiva, negativa e zeros ou ra´ızes 25
7. Func¸a˜o crescente ou decrescente 26
8. Ma´ximos e mı´nimos 28
9. Exerc´ıcios 29
Cap´ıtulo 3. Propriedade ba´sicas dos nu´meros Reais 31
1. Os Reais como sistema de nu´meros: na˜o dividira´s por zero ! 31
2. Ordem nos Reais: na˜o tirara´s a ra´ız quadrada de nu´meros negativos ! 32
3. Propriedades gerais das desigualdades 33
4. Intervalos e suas utilidades 36
5. Metamorfoses de cu´bicas 39
6. Exerc´ıcios 46
Cap´ıtulo 4. Sequeˆncias e seus limites 47
1. Sequeˆncias 47
2. Limites de sequeˆncias 48
3. Definic¸a˜o e Propriedades fundamentais 49
4. Exerc´ıcios 53
Cap´ıtulo 5. Limites de func¸o˜es definidas em intervalos 57
1. Operac¸o˜es elementares com limites de func¸o˜es 58
2. A definic¸a˜o usual com � e δ 59
3. Limites quando x tende ao infinito 61
3
4 I´NDICE
4. Quando a parte e´ do mesmo tamanho do todo 66
5. Exerc´ıcios 68
Cap´ıtulo 6. A noc¸a˜o de Continuidade 71
1. Operac¸o˜es com func¸o˜es cont´ınuas 72
2. Polinoˆmios, func¸o˜es racionais e trigonome´tricas 74
3. Continuidade da func¸a˜o inversa 78
4. Dois teoremas fundamentais sobre func¸o˜es cont´ınuas 79
5. Primeiras aplicac¸o˜es do T.V.I 79
6. Ra´ızes de polinoˆmios cujo grau e´ ı´mpar 79
7. Ra´ızes simples e fatorac¸a˜o de polinoˆmios 81
8. Poss´ıveis ra´ızes Racionais de polinoˆmios a coeficientes inteiros 83
9. Exerc´ıcios 84
Cap´ıtulo 7. Geometria Anal´ıtica Plana 87
1. Equac¸o˜es de retas, coeficientes angular e linear 87
2. Ortogonalidade 89
3. Teorema de Tales no c´ırculo 90
4. A equac¸a˜o da reta de Euler 91
5. A inversa como reflexa˜o de gra´fico na diagonal 99
6. O me´todo de Descartes para as tangentes a um gra´fico 100
7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 104
8. Exerc´ıcios 104
Cap´ıtulo 8. A Tangente ao gra´fico, segundo o Ca´lculo 107
1. Retas secantes a um gra´fico 107
2. A reta tangente a um gra´fico 107
3. A reta tangente ao seno em (0, 0) e´ a diagonal 109
4. Interpretac¸a˜o F´ısica da reta tangente 113
5. Exerc´ıcios 113
Cap´ıtulo 9. A derivada 115
1. Definic¸a˜o, primeiras propriedades e exemplos simples 115
2. Um A´rbitro que so´ avalia as inclinac¸o˜es 117
3. Derivadas da soma e da diferenc¸a 119
4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993 120
5. A segunda derivada 123
6. Exerc´ıcios 124
Cap´ıtulo 10. Sinal da derivada e crescimento 127
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 127
2. O Teorema 0 das Equac¸o˜es Diferenciais 131
3. Crite´rios de crescimento e de decrescimento 133
4. Uma confusa˜o frequente sobre o significado do sinal da derivada 134
5. Descontinuidade da func¸a˜o derivada 135
6. Exerc´ıcios 136
I´NDICE 5
Cap´ıtulo 11. Aplicac¸o˜es da primeira e segunda derivadas 139
1. Primeiro crite´rio de ma´ximos e mı´nimos 139
2. Crite´rio da segunda derivada 139
3. Um problema t´ıpico para os engenheiros 140
4. Mı´nimos de distaˆncias e ortogonalidade 142
5. Concavidades dos gra´ficos 146
6. Mı´nimos quadrados e a me´dia aritme´tica 149
7. Pontos de inflexo˜es dos gra´ficos 151
8. Crite´rio da derivada de ordem n 152
9. Confecc¸a˜o de gra´ficos de polinoˆmios 154
10. Exerc´ıcios 155
Cap´ıtulo 12. Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke 161
1. O cosseno como derivada do seno 161
2. Leis de Hooke com e sem atrito 163
3. Exerc´ıcios 166
Cap´ıtulo 13. Derivada do produto, induc¸a˜o e a derivada de xn, n ∈ Z. 167
1. Princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica 167
2. Derivada do Produto 169
3. Derivadas de x−n, ∀n ∈ N 170
4. Ra´ızes mu´ltiplas e fatorac¸a˜o de polinoˆmios 171
5. A Regra de Sinais de Descartes para as ra´ızes de um polinoˆmio 173
6. Exerc´ıcios 177
Cap´ıtulo 14. Derivada da composic¸a˜o de func¸o˜es 179
1. Regra da composta ou da cadeia 179
2. A derivada do quociente 183
3. Uma func¸a˜o que tende a zero oscilando 185
4. Confecc¸a˜o de gra´ficos de func¸o˜es racionais 186
5. Involuc¸o˜es fracionais lineares 189
6. Um problema da Putnam Competition, n. 1, 1938 190
7. Uma func¸a˜o com derivada, mas sem a segunda derivada 192
8. Ma´ximos e mı´nimos: o problema do freteiro 193
9. Exerc´ıcios 205
Cap´ıtulo 15. Derivadas de func¸o˜es Impl´ıcitas 207
1. Curvas versus gra´ficos 207
2. Teorema da func¸a˜o impl´ıcita 209
3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie 212
4. Tangentes, pontos racionais de cu´bicas e co´digos secretos 213
5. Derivac¸a˜o impl´ıcita de segunda ordem 218
6. Exerc´ıcios 220
Cap´ıtulo 16. Func¸o˜es inversas e suas derivadas 221
1. Derivada de y =
√
x 222
2. Distaˆncia versus quadrado da distaˆncia 223
6 I´NDICE
3. Derivada da “func¸a˜o”x
1
n , de x
m
n e de x
−m
n 223
4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno 225
5. Derivada do arcotangente 228
6. Exerc´ıcios 231
Cap´ıtulo 17. Taxas relacionadas 235
1. Como varia um aˆngulo 235
2. Como varia uma distaˆncia 236
3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores 238
4. Exerc´ıcios 241
Cap´ıtulo 18. O Me´todo de aproximac¸a˜o de Newton 243
Cap´ıtulo 19. O Princ´ıpio de Fermat e a refrac¸a˜o da luz 247
1. Princ´ıpio de Fermat 247
2. Refrac¸a˜o, distaˆncias ponderadas e Lei de Snell 249
3. Exerc´ıcios 253
Cap´ıtulo 20. As Coˆnicas e suas propriedades refletivas 255
1. Distaˆncia ate´ uma para´bola 255
2. Definic¸a˜o unificada das coˆnicas 257
3. A Para´bola e sua propriedade refletiva 265
4. Prova anal´ıtica da propriedade do foco 269
5. A Elipse e sua propriedade refletiva 271
6. A Hipe´rbole e o ana´logo da propriedade refletiva 275
7. Famı´lia de coˆnicas co-focais ortogonais 281
8. Exerc´ıcios 284
Cap´ıtulo 21. Integrac¸a˜o e o Primeiro Teorema Fundamental 285
1. A´rea sob um gra´fico positivo 285
2. Qual func¸a˜o descreve as A´reas sob gra´ficos? 286
3. Primeira Versa˜o do Primeiro Teorema fundamental do Ca´lculo 289
4. A Integral e suas propriedades 291
5. Teorema do valor me´dio de integrais 294
6. A integral indefinida e o Primeiro Teorema fundamental 295
7. Existem func¸o˜es com primeira derivada, mas sem segunda derivada 297
8. Exerc´ıcios 298
Cap´ıtulo 22. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial 301
1. Existe uma func¸a˜o f 6≡ 0 que seja imune a` derivac¸a˜o ? 301
2. Propriedades fundamentais do logaritmo e da exponencial 304
3. loga x , ∀a > 0 e ln | x | 306
4. As func¸o˜es ex e ax, para a > 0 308
5. xa e sua derivada, a ∈ R. 309
6. Crescimento lento do logaritmo e ra´pido da exponencial 310
7. Uma observac¸a˜o sobre o termo geral de uma se´rie infinita 313
8. Um problema da Putnam Competiton, n. 11, 1951 314
I´NDICE 7
9. A regra de L’Hoˆpital 315
10. A func¸a˜o xx 319
11. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 321
12. Um modo de aproximar e por nu´meros Racionais 322
13. Func¸o˜es f(x)g(x) em geral e suas indeterminac¸o˜es 323
14. Derivada logar´ıtmica 324
15. Uma func¸a˜o extremamente achatada 326
16. Exerc´ıcios 329
Cap´ıtulo 23.Segundo Teorema Fundamental e A´reas 335
1. A descoberta de Gregory e Sarasa sobre a´rea 335
2. Segundo Teorema Fundamental do Ca´lculo 336
3. Regio˜es entre dois gra´ficos 337
4. Um problema da Putnam Competition, n. 54, 1993. 340
5. Integral e centro de gravidade 343
6. Arquimedes e a para´bola: prova versus heur´ıstica 345
7. Exerc´ıcios 348
Cap´ıtulo 24. Integrac¸a˜o por partes 353
1. Exerc´ıcios 356
Cap´ıtulo 25. Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o 359
1. A substituic¸a˜o trigonome´trica x = sin(θ) 362
2. A´reas do C´ırculo e Elipse 363
3.
∫ √
r2 − x2 dx 365
4. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = sin(θ) 365
5. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = tan(θ) 367
6. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = tan(θ) 367
7.
∫ √
r2 + x2 dx 369
8. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = sec(θ) 369
9. Mais exemplos para a substituic¸a˜o x = sec(θ). 370
10.
∫ √
x2 − r2 dx 371
11. E as da forma
∫
1√
Ax3+Bx2+Cx+D
dx ? 371
12. Exerc´ıcios 371
Cap´ıtulo 26. Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais 373
1.
∫
(ax2 + bx+ c)−1 dx 373
2.
∫
αx+β
ax2+bx+c
dx 375
3.
∫
1
Ax3+Bx2+Cx+D
dx 377
4. Frac¸o˜es parciais em geral 380
5.
∫
1
(1+x2)n
dx, n ≥ 2 383
6. Exemplos 384
7. Exerc´ıcios 387
Cap´ıtulo 27. Integrais impro´prias 389
1. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 391
8 I´NDICE
2. As primeiras Transformadas de Laplace, a func¸a˜o Gama e o fatorial 392
3. Fo´rmula de Euler para o fatorial 396
4. Exerc´ıcios 396
Cap´ıtulo 28. A curvatura dos gra´ficos 397
1. O comprimento de um gra´fico 397
2. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 399
3. Curvas parametrizadas e seu vetor velocidade 399
4. Integrais que ningue´m pode integrar 401
5. Velocidade de um gra´fico ou de uma curva 402
6. Definic¸a˜o de curvatura e sua fo´rmula 403
7. Qual a curvatura de uma quina ? 405
Cap´ıtulo 29. Se´ries convergentes 409
1. Se´ries k-harmoˆnicas, k > 1. 409
2. A se´rie geome´trica 411
3. O teste da raza˜o (quociente) 412
4. Um argumento geome´trico para a se´rie geome´trica 414
Cap´ıtulo 30. Aproximac¸a˜o de Nu´meros e Func¸o˜es importantes 415
1. Aproximac¸o˜es de ra´ızes quadradas por nu´meros racionais 415
2. Ra´ızes quadradas que sa˜o irracionais 415
3. Como tirar ra´ız quadrada so´ com +,−,×, / 416
4. Os Reais atrave´s de sequeˆncias de nu´meros Racionais 418
5. Aproximac¸o˜es de e por nu´meros Racionais 419
6. Arcotangente e cartografia 421
7. A aproximac¸a˜o de pi dada por Leibniz 423
8. Aproximac¸o˜es de logaritmos 425
9. Aproximac¸a˜o de logaritmos de nu´meros quaisquer 426
10. Aproximac¸a˜o de ln(2) 428
11. Exerc´ıcios 428
Cap´ıtulo 31. Se´ries nume´ricas e de func¸o˜es 429
1. Se´ries nume´ricas 429
2. Se´ries de poteˆncias 431
3. Se´ries de Taylor e os Restos de Lagrange, Cauchy e Integral 434
4. A se´rie binomial e sua se´rie de Taylor 439
5. Um devaneio sobre os nu´meros Complexos 442
6. Exerc´ıcios 443
Cap´ıtulo 32. O discriminante de polinoˆmios de grau 3 445
1. Preparac¸a˜o para a fo´rmula de Cardano 445
2. A fo´rmula de Cardano para as treˆs ra´ızes Reais: viagem nos Complexos 449
3. O discriminante como curva 452
4. A curva discriminante entre as cu´bicas singulares 454
5. Parametrizac¸a˜o dos pontos racionais de cu´bicas singulares 458
6. Cu´bicas singulares aparecem como sec¸o˜es com o plano tangente 459
I´NDICE 9
Cap´ıtulo 33. Discriminante dos polinoˆmios de grau 4 463
1. A andorinha: o discriminante como superf´ıcie 463
2. Discriminante como envelope de famı´lias de retas ou planos 465
Cap´ıtulo 34. Apeˆndice: O expoente 3
4
comanda a vida ! 467
1. Metabolismo versus massa corporal 467
2. Escalas log/log para um experimento 468
3. Reta de ajuste - me´todo de mı´nimos quadrados 468
4. A Lei experimental de Kleiber 470
5. Justificac¸a˜o racional da Lei de Kleiber 471
6. O argumento 472
Parte 2. Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e Aplicac¸o˜es 479
Cap´ıtulo 35. As primeiras equac¸o˜es diferenciais 481
1. A exponencial e as equac¸o˜es diferenciais 481
2. A definic¸a˜o original de Napier para o logaritmo 482
3. Decaimento radioativo e datac¸a˜o 484
4. Equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes constantes 486
5. Objetos em queda-livre vertical 489
6. Queda ao longo de um gra´fico 493
7. A curva que minimiza o tempo 496
8. Bal´ıstica e o Super Ma´rio 500
9. Equac¸o˜es diferenciais lineares em geral 504
10. Um problema da Putnam Competition, n.14, 1954 504
11. Soluc¸o˜es das equac¸o˜es lineares gerais 506
12. Um problema da Putnam Competition, n. 49, 1958. 510
13. As equac¸o˜es de Bernoulli e sua reduc¸a˜o a equac¸o˜es lineares 511
14. Exerc´ıcios 512
Cap´ıtulo 36. Aspectos gerais das equac¸o˜es de primeira ordem 515
1. Equac¸o˜es diferenciais e metamorfoses de curvas 515
2. Equac¸o˜es diferenciais em forma normal e as curvas Iso´clinas 517
3. Existeˆncia e unicidade para y′(x) = F (x, y) - Me´todo de Picard 520
4. Equac¸o˜es separa´veis 525
5. A clepsidra 527
6. Equac¸o˜es homogeˆneas 528
7. Equac¸o˜es exatas 530
8. Integral ao longo de um caminho 534
9. Derivada da integral em relac¸a˜o ao paraˆmetro - Fo´rmulas de Leibniz 536
10. Fatores integrantes 539
11. Equac¸o˜es impl´ıcitas, discriminantes e envelopes 542
12. Um problema da Putnam Competition, n. 5, 1942 548
13. Equac¸o˜es de Clairaut e de Lagrange: iso´clinas retas 550
14. Transformac¸a˜o de Legendre, dualidade e resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais553
15. Apeˆndice: Func¸o˜es cont´ınuas de duas varia´veis e continuidade uniforme 556
10 I´NDICE
16. Exerc´ıcios 558
Cap´ıtulo 37. Curvas de Perseguic¸a˜o 559
1. O problema 559
2. As elipses iso´cronas, segundo A. Lotka 566
3. Um envelope que e´ uma curva de perseguic¸a˜o 568
4. Exerc´ıcios 570
Cap´ıtulo 38. Cine´tica qu´ımica e crescimento bacteriano 571
1. Cine´tica qu´ımica 571
2. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de primeira ordem 573
3. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de segunda ordem 574
4. Crescimento bacteriano 576
5. Ponto de inflexa˜o da func¸a˜o log´ıstica 580
6. Equac¸a˜o de Bernoulli e reac¸o˜es qu´ımicas de ordem fraciona´ria 581
Cap´ıtulo 39. Newton e a gravitac¸a˜o 583
1. Atrac¸a˜o segundo o inverso do quadrado da distaˆncia 583
2. Tempo de colisa˜o e velocidade de escape 584
3. N´ıveis de energia 587
4. O´rbitas planeta´rias 589
5. Velocidade e acelerac¸a˜o expressas em coordenadas polares 589
6. Grandezas constantes ao longo das trajeto´rias 592
7. As o´rbitas como coˆnicas em coordenadas polares 597
8. Oscilador harmoˆnico 599
9. A´rea em coordenadas polares e a lei de Kepler sobre as a´reas 601
10. Em torno da proposic¸a˜o XXX do Principia 602
11. A Equac¸a˜o de Kepler para o movimento planeta´rio el´ıptico 606
Cap´ıtulo 40. Equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem 609
1. Reduc¸a˜o de ordem 609
2. Homogeˆneas, a coeficientes constantes 610
3. Na˜o-Homogeˆneas, lineares de segunda ordem 614
4. Na˜o homogeˆnas: Me´todo de Lagrange de variac¸a˜o de paraˆmetros 616
5. Um problema da Putnam Competition, n.58, 1987 617
6. Equac¸a˜o diferencial de um circuito ele´trico simples 619
7. Na˜o-homogeˆneas: Me´todo de coeficientes a determinar 620
8. Sistemas de equac¸o˜es diferenciais 624
9. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 626
10. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: reduc¸a˜o a constantes 627
11. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: Me´todo de D’Alembert629
12. Existeˆncia de soluc¸o˜es de equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o-singulares 630
13. Propriedades das soluc¸o˜es de equac¸o˜es lineares de segunda ordem 632
14. Um problema da Putnam Competition, n. 15, 1955 635
15. O Teorema de Comparac¸a˜o de Sturm 638
16. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 639
17. Exerc´ıcios 641
I´NDICE 11
Cap´ıtulo 41. Equac¸o˜es com pontos na˜o-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643
1. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Airy 643
2. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Hermite 645
3. Soluc¸a˜oexpl´ıcita da Legendre em torno de x = 0 647
4. Polinoˆmios de Legendre e expansa˜o em se´rie do potencial gravitacional 649
5. Ortogonalidade dos polinoˆmios de Legendre 650
Cap´ıtulo 42. Equac¸a˜o com ponto singular: Hipergeome´trica de Gauss 653
1. Integral el´ıptica como se´rie hipergeome´trica 656
Cap´ıtulo 43. Equac¸a˜o com ponto singular: a Equac¸a˜o de Bessel 659
1. A definic¸a˜o original de Bessel 659
2. Zeros de func¸o˜es de Bessel 661
3. Ortogonalidade das func¸o˜es de Bessel 664
Cap´ıtulo 44. Equac¸o˜es com pontos singulares do tipo regular 667
1. A Equac¸a˜o de Euler e sua reduc¸a˜o a coeficientes constantes 667
2. Soluc¸a˜o direta da equac¸a˜o de Euler 670
3. Definic¸o˜es gerais e exemplos de pontos singulares regulares 672
4. In´ıcio do Me´todo de Frobenius 673
5. Soluc¸o˜es expl´ıcitas de algumas equac¸o˜es Bessel 676
6. A Equac¸a˜o de Bessel com ν = 1
3
e a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Airy 679
7. Equac¸a˜o hipergeome´trica com c 6∈ Z 680
Cap´ıtulo 45. Equac¸o˜es de Riccati 681
1. Soluc¸o˜es de Riccati segundo Daniel Bernoulli 682
2. Ass´ıntotas verticais de soluc¸o˜es de equac¸o˜es de Riccati 687
3. Soluc¸o˜es das Riccati segundo Euler 688
4. A Equac¸a˜o de Bessel com ν = 1
4
e a soluc¸a˜o da Riccati y′ = x2 + y2 691
5. Exerc´ıcios 691
Parte 3. Se´ries de Fourier e Equac¸o˜es diferenciais parciais 693
Cap´ıtulo 46. Se´ries de Fourier 695
1. Se´ries de Fourier e seus coeficientes 696
2. Se´ries de Fourier so´ de senos ou so´ de cossenos 699
3. Convergeˆncia pontual da Se´rie de Fourier 699
4. Se´ries de Fourier de cos(r · sin(x)) e de sin(r · sin(x)), r ∈ R 706
5. Convergeˆncia absoluta da Se´rie de Fourier 707
6. A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Kepler via se´rie de Fourier e func¸o˜es de Bessel 710
7. Exerc´ıcios 713
Cap´ıtulo 47. Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 715
1. Observac¸o˜es gerais, tipos, separac¸a˜o de varia´veis, soluc¸o˜es cla´ssicas 715
2. Equac¸o˜es parciais de primeira ordem e o me´todo das caracter´ısticas 717
3. A Equac¸a˜o da difusa˜o do Calor 717
4. Problemas de esfriamento unidimensionais 720
12 I´NDICE
Cap´ıtulo 48. O operador de Laplace e as equac¸o˜es do calor e da onda 725
1. Laplaciano em coordenadas polares e esfe´ricas 725
2. Estado estaciona´rio do calor num disco e expansa˜o em se´ries de Fourier 727
3. A fo´rmula integral de Poisson 729
4. Estado estaciona´rio do calor na esfera e se´rie de polinoˆmios de Legendre 731
5. Exerc´ıcios 736
Cap´ıtulo 49. Equac¸a˜o da onda e as vibrac¸o˜es de cordas e membranas 737
1. Vibrac¸a˜o de uma corda com extremos fixos, sem atrito 737
2. Vibrac¸a˜o de uma corda infinita: Fo´rmula de D’Alembert 739
3. Modos normais de vibrac¸a˜o de um tambor circular e as func¸o˜es de Bessel 741
Parte 4. Ca´lculo diferencial e integral sobre os nu´meros Complexos 747
Cap´ıtulo 50. Um portal para o Ca´lculo Complexo 749
1. O Teorema de Green e as Relac¸o˜es de Cauchy-Riemann 759
2. A integral complexa e a ide´ia da primitiva Complexa 761
3. Curvas integrais como parte imagina´ria das primitivas Complexas 764
4. A exponencial Complexa e os ramos do logaritmo Complexo 766
5. O Teorema fundamental do Ca´lculo sobre os Complexos 768
6. Exerc´ıcios 769
Cap´ıtulo 51. Os Teoremas Fundamentais 771
1. A primitiva Complexa 771
Cap´ıtulo 52. Soluc¸o˜es detalhadas de alguns Exerc´ıcios 773
Parte 1
Ca´lculo Diferencial e Integral e primeiras
Aplicac¸o˜es
CAP´ıTULO 1
Introduc¸a˜o
1. O que e´ o Ca´lculo
O Ca´lculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o Ca´lculo, e´ a matema´tica que
esta´ na base da cieˆncia de hoje.
As cieˆncias mais desenvolvidas como F´ısica e Qu´ımica na˜o podem expressar seus
conceitos sem fazerem uso do Ca´lculo. Tambe´m a Economia e a Biologia cada vez
mais sa˜o matematizadas atrave´s do Ca´lculo.
O Ca´lculo foi fundamental na revoluc¸a˜o cient´ıfica dos se´culos XVII e XVIII e de
la´ para ca´ na˜o cessou de produzir resultados e aplicac¸o˜es.
O Ca´lculo e´ uma teoria matema´tica, ou seja, um modo unificado de se ver uma
se´rie de fatos matema´ticos.
Na matema´tica, quando surge uma nova teoria, ao inve´s de se eliminar os resul-
tados das teorias anteriores, o que a nova teoria faz e´:
• reobter os teoremas ate´ enta˜o conhecidos,
• dar generalizac¸o˜es deles,
• produzir resultados completamente novos.
Isso so´ ocorre em matema´tica: em outras cieˆncias uma nova teoria pode tornar
obsoleta e errada a teoria anterior.
Por exemplo, a determinac¸a˜o exata da A´rea de certas regio˜es, que com me´todos
elementares exigiu o geˆnio de Arquimedes, com o Ca´lculo vira uma continha de rotina.
Mas atrave´s do Ca´lculo aparecem fatos novos e intrigantes sobre A´reas, como o fato
de regio˜es ilimitadas poderem ter A´rea finita.
Ale´m de nos permitir provar tudo que ja´ ouvimos falar de matema´tica no cole´gio,
o Ca´lculo vai nos transformar em verdadeiros McGivers, ou seja, aquele personagem
que com quase nada de recursos faz horrores de coisas, como aparelhos, armas, etc, e
suas misso˜es. Atrave´s do Ca´lculo , so´ com as quatro operac¸o˜es +,−, x vamos poder
no Cap´ıtulo 30 aproximar com a precisa˜o que quisermos :
• func¸o˜es fundamentais como arctan(x), ln(x), etc
• nu´meros como √p (p primo), pi, e = exp(1).
Uma das inspirac¸o˜es fundamentais para o Ca´lculo foi a F´ısica, ou F´ısica-matema´tica
com a qual Isaac Newton revolucionou a cieˆncia da e´poca. Va´rios fenoˆmenos f´ısicos
tiveram enta˜o uma explicac¸a˜o completa e unificada, atrave´s das te´cnicas do Ca´lculo.
Essas te´cnicas so´ ficara˜o aparentes a` medida que o leitor entre na Segunda Parte
do Curso, que e´ a parte de Equac¸o˜es Diferenciais.
15
4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16
2. Sobre o Curso
Um alerta: este curso trata de matema´tica superior. Em va´rias universidades,
inclusive a nossa, ha´ uma a tentativa de se ensinar o Ca´lculo como se fosse uma
continuac¸a˜o do Ensino Me´dio, seu ensino sendo feito atrave´s de tabelas, regrinhas,
macetes.
Se refletimos um pouco, vemos que em alguns cursos como Farma´cia, Economia,
Biologia, o Ca´lculo e´ uma das poucas disciplinas de matema´tica que tera˜o na univer-
sidade. Desse modo, imitando o Ensino Me´dio, se cursaria um Curso Superior sem
ter contato com a Matema´tica Superior. A formac¸a˜o cient´ıfica desses cursos ficaria
prejudicada e de fato na˜o poderiam chamar-se cursos universita´rios.
Por isso neste Curso sempre que for poss´ıvel (exceto quando a explicac¸a˜o for
te´cnica demais) vamos tentar dar justificac¸o˜es matema´ticas corretas, sem apelar para
a credulidade do estudante e argumentos de autoridade, do tipo acreditem em mim.
Os argumentos que damos sa˜o concatenac¸o˜es de ide´ias simples, mas a`s vezes ex-
igem um certo foˆlego do leitor para acompanha´-lo do comec¸o ao fim. Esse treino de
concentrac¸a˜o certamente ira´ colaborar na formac¸a˜o te´cnico-cient´ıfica do estudante.
3. Sobre os Gra´ficos e Figuras
Tentei fazer o ma´ximo poss´ıvel de gra´ficos para ilustrar o conteu´do, usando o pro-
grama Maple 9 para fazeˆ-lo numericamente, ou seja, realisticamente. Este programa e´
pago, mas o estudante pode usar o XMaxima ou o Gnuplot que sa˜o programas livres,
do Linux, como auxiliar no estudo. Sempre que poss´ıvel usei a mesma escala nos dois
eixos, pois isso determina inclinac¸o˜es das retas e essas inclinac¸o˜es sa˜o importantes no
Ca´lculo1.
Mas nem sempre isso foi poss´ıvel, por exemplo quando as func¸o˜es crescem muito
ra´pido, onde na˜o da´ para manter as mesmas escalas nos eixos x e y.
A teoria tem que ser sempre nossa guia na confecc¸a˜o de gra´ficos, pois os computa-
dores erram ao representar func¸o˜es descont´ınuas ou func¸o˜es que esta˜o muito pro´ximas
de um certo valor sem alcanc¸ar esse valor.
Tambe´m fiz figuras qualitativas e diagramas usando o programa Winfig, que e´
pago, e o Xfig, do Linux, que e´ gra´tis.
4. Alerta aos estudantes
Por ser matema´ticasuperior, o Curso exige do aluno um empenho e atenc¸a˜o muito
diferente daquele exigido nos seus contatos anteriores com a matema´tica.
Principalmente o aluno deve usar de modo preciso os conceitos que va˜o sendo
apresentados (por ex. limites, continuidade, derivada). Se na˜o os entender, per-
gunte ao professor ate´ ter esclarecido o conceito. Pois embora a`s vezes parec¸am ape-
nas conceitos qualitativos, sa˜o de fato bastante precisos e mais tarde da˜o resultados
quantitativos de absoluta precisa˜o.
1Veja, por exemplo, que o gra´fico do seno esta´ errado em va´rias edic¸o˜es do livro do Anton,
pois ele na˜o usou as mesmas escalas nos eixos x e y, portanto a inclinac¸a˜o na origem na˜o fica bem
representada
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 17
Numa primeira leitura, o estudante pode ler o enunciado dos Teoremas e Afirmac¸o˜es,
sem ler todas as demonstrac¸o˜es. Mas de fato, so´ se entende completamente um fato
matema´tico quando se entende a sua demonstrac¸a˜o.
Por u´ltimo, e´ muito importante que o estudante pense nos exerc´ıcios propostos em
cada Cap´ıtulo. Mesmo que na˜o responda todos, ao tentar fazer exerc´ıcios o conteu´do
vai sendo assimilado concretamente. E se o aluno na˜o consegue fazer quase que
nenhum exerc´ıcio, enta˜o precisa voltar a refletir no conteu´do dado.
Alguns teˆm soluc¸a˜o bastante detalhada, apresentada no Cap´ıtulo 52. Mas que so´
devem ser lidas apo´s muito trabalho pessoal do aluno.
Ao longo do livro aparecem problemas da prestigiadaW. L. Putnam Mathematical
Competition, que ocorre anualmente desde sua Primeira Edic¸a˜o em 1938. Va˜o apare-
cendo a` medida que desenvolvemos material suficiente para poder resolveˆ-los. Nessa
competic¸a˜o aparecem problemas dif´ıceis, mas tratei de selecionar alguns simples e
acess´ıveis.
Minhas fontes foram o site:
http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml
(onde esta˜o as Competic¸o˜es de 1985-2009) e o livro The W. L. Putnam Mathemat-
ical Competition, Problems and solutions, 1938-1964., Math. Association of America.
Esses problemas devem ser pensados pelo leitor e so´ depois do leitor apresentar a
sua resposta, do seu jeito de ver o problema, e´ que pode ler as respostas. Foi assim
que eu fiz: eu resolvi sozinho cada um dos que apresento, e minhas respostas na˜o teˆm
a pretensa˜o de serem as mais elegantes poss´ıveis.
Lembro o que um professor muito bom me disse: So´ se aprende matema´tica re-
solvendo problemas !
5. Livros-texto e Refereˆncias
Livros ruins de Ca´lculo ha´ va´rios, de cuyos nombres no quiero acordarme.
Bastante razoa´vel o livro do G. Thomas, dispon´ıvel na biblioteca em va´rias edic¸o˜es.
Curto, direto e bom prec¸o: R. Silverman, Essential Calculus with applications,
Dover.
Para mim um dos melhores livros de Ca´lculo e´ o de Michael Spivak, Calculus
(edic¸o˜es em espanhol e ingles na biblioteca da UFRGS). Aprende-se muito nesse livro
e me foi u´il em alguns momentos na hora em que se fez necessa´rio a precisa˜o que falta
em outros livros. Claro que e´ bastante dif´ıcil como primeiro livro de Ca´lculo, mas o
esforc¸o de ler qualquer sec¸a˜o dele e´ sempre recompensado.
Na Primeira Parte usei coisas que aprendi:
• no enciclope´dico livro de R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and
Analysis, Interscience, 1965.
• no curso de Elon Lima Curso de Ana´lise, Projeto Euclides, SBM.
• no cla´ssico E. T. Whittaker e G. Watson, A course of modern Analysis,
Cambridge, reimpressa˜o de 1996.
• no belo livro de C.H. Edwards, The historical development of the Calculus,
Springer, 1979.
• no livro de S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader,
Oxford University Press , 1995.
6. PROGRAMAS U´TEIS 18
As refereˆncias usadas no Apeˆndice sobre a Lei de Kleiber, Cap´ıtulo 34, esta˜o dadas
la´.
Na Parte 2, sobre Equac¸o˜es diferenciais, usei material do Courant-John, bem como
• o excepcional livro de M. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical
systems and linear algebra, Academic Press, 1974,
• o muito bem escrito e motivante livro de G. Simmons Differential equations
with applications and historical notes, McGraw-Hill, 1972. Alguns Exerc´ıcios
propostos neste livro me serviram de guia para diversas Sec¸o˜es. Usei bastante
esse livro.
• o livro de H. S. Bear, Differential Equations, a Concise Course, Dover, 1962
e´ pequeno mas muito informativo. Nele se encontra uma prova perfeitamente
leg´ıvel do Teorema de existeˆncia de soluc¸o˜es de Picard, por exemplo.
• o de J. W. Bruce e P. j. Giblin, Curves and singularities, Cambrige U. Press,
1984.
• o cla´ssico G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions , Cam-
brige, 1958.
• o livro de A. Gray e G. B. Mathews, A treatise on Bessel functions and their
applications to Physics, McMillan and co, 1895.
• ademais usei no Cap´ıtulo 37 artigos de A. Bernhardt e de A. Lotka, bem
como
• o cla´ssico livro de F. Gomes Teixeira, Traite´ des courbes speciales remar-
quables, planes et gauches, reimpressa˜o de 1971, Chelsea Publishing Com-
pany.
• last but not least, E. Kamke, Differentialgleichungen- Losungsmethoden und
losungen, T. I, Chelsea Publisinhg Company, 1948.
6. Programas u´teis
Programas como o Maple podem ser um grande auxiliar para o estudo: para
conferir contas, plotar curvas, etc, mas so´ sera˜o u´teis se o estudante tentar fazer
sozinho e depois usar os programas para checar seus resultados.
Para usua´rios do Windows existe o programa gra´tis WXMaxima, que voceˆ baixa
em instantes no site:
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/
5.21.1-Windows/maxima-5.21.1.exe/download
Esse programa faz tudo: resolve equac¸o˜es alge´bricas e diferenciais, deriva, integra,
faz gra´ficos, etc.
O Maple e´ programa ana´logo pago.
Tambe´m existe um site, http://www.wolframalpha.com, onde se pode fazer online
gra´ficos, integrais, limites e derivadas, o que e´ u´til quando se esta´ estudando fora de
casa.
Agradecimentos:
Agradec¸o ao Professor Mark Thompson, da Matema´tica da UFRGS, por ter
me disponibilizado Notas que serviram para a elaborac¸a˜o da Sec¸a˜o sobre Cine´tica
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 19
qu´ımica. E tambe´m pelo livro de G. Gibson, An elementary treatise on the Calculus,
with illustrations from Geometry, Mechanics and Physics, reimpressa˜o de 1956 da
edic¸a˜o de 1901, que me foi u´til.
Agradec¸o ao Professor Vı´tor Pereira, da Geologia da UFRGS, que me explicou o
belo fenoˆmeno da meia-vida da luz das super-novas.
As notas de Aula do Professor Eduardo Brietzke, da Matema´tica da UFRGS, para
a disciplina de Equac¸o˜es Diferenciais II, me serviram de fio-condutor entre os diversos
temas poss´ıveis. Abordei alguns dos exemplos que la´ aparecem de um ponto vista um
pouco diferente. Lhe sou grato.
Agradec¸o a`s estudantes que fizeram Ca´lculo comigo em 2008: Paˆmela Lukasewicz
Ferreira, por ter tomado notas do curso que dei e que me serviram de roteiro para
este texto e Moˆnica Hoeveler, por participac¸o˜es em aula e por sugesto˜es de temas.
Agradec¸o aos estudantes Luciano Bracht Barros e Magno V. F. Teixeira da
Silva por conversas no fim da aula que me motivaram a escrever a Sec¸a˜o 6 do Cap´ıtulo
32.
O estudante Walter Ferreira Diniz Ju´nior resolveu va´rios problemas de modo
original, produziu exemplos, e ate´ me indicou como escrever melhor a Sec¸a˜o 5 do
Cap´ıtulo 26 !
CAP´ıTULO 2
Alguns dos objetivos do Ca´lculo
A descric¸a˜o matema´tica dos fenoˆmenos se faz principalmente a partir da noc¸a˜o de
func¸a˜o y = f(x) e de seu gra´fico.
Se pudermos entender:
• se f(x) assume somente valores Reais, onde f(x) se anula, onde e´ positiva
ou negativa,
• se e onde f(x) cresce ou decresce a` medida que x cresce,
• se f(x) se aproxima de um certo valor quando x cresce muito,
• se e onde f(x) tem valor ma´ximo ou mı´nimo,
• no caso de y = f(x) ≥ 0, qual a a´rea sob seu gra´ficoe acima do eixo dos x,
• se dado y pudermos descobrir qual x gerou y = f(x),
enta˜o podemos dizer que entendemos o comportamento da f(x).
Estaremos capacitados a fazer previso˜es sobre o fenoˆmeno modelado por essa
func¸a˜o.
Esses sa˜o alguns dos objetivos do Ca´lculo.
Nas pro´ximas Sec¸o˜es passamos lembrar / definir essas noc¸o˜es.
1. Func¸o˜es e seus domı´nios
Os filo´sofos sempre se espantaram com o fato de que as coisas mudam, e se ques-
tionaram tanto sobre o que muda como sobre o que permanece nessas mudanc¸as.
Os matema´ticos tambe´m compartilham desse espanto e sempre se perguntaram,
ao ver que ha´ mudanc¸as, como as coisas mudam.
A resposta a essa pergunta pode ser tanto qualitativa como quantitativa, as duas
sa˜o interessantes. Por exemplo e´ qualitativa quando um astroˆnomo afirma que certo
cometa voltara´ a passar algum dia. E´ quantitativa no caso de Halley, que previu o
ano em que certo cometa voltaria, usando as ferramentas do Ca´lculo.
Se um fenoˆmeno (a temperatura de um sistema, por exemplo) depende de um so´
paraˆmetro (o tempo, por exemplo) e´ natural descrever sua evoluc¸a˜o num gra´fico da
func¸a˜o que associa a cada momento x a temperatura T (x). Esse gra´fico formara´ uma
21
1. FUNC¸O˜ES E SEUS DOMI´NIOS 22
curva no plano.
0,8
1
0,4
0
0,6
0,2
x
210-1-2
Figura: O gra´fico de y = T (x) forma uma curva no plano.
Mas e´ claro que conhecemos fenoˆmenos z = F (x, y) que dependem de dois fatores
e para descrever esse fenoˆmeno precisariamos de gra´ficos que formam superf´ıcies no
espac¸o, ao inve´s de curvas no plano. E em geral os fenoˆmenos dependem de va´rios
paraˆmetros (em qu´ımica, por exemplo, quantidades de reagentes, pressa˜o, ph, etc).
Figura: O gra´fico de z = F (x, y) forma uma superf´ıcie no espac¸o
Os conceitos que aprenderemos neste curso se adaptam facilmente para superf´ıcies,
mas vamos nos restringir a gra´ficos que sa˜o curvas. Ou como se diz, faremos o Ca´lculo
de 1 varia´vel.
A seguir vamos comec¸ar a estabelecer conceitos qualitativos sobre gra´ficos que
sa˜o importantes no Curso. O manejo correto desses conceitos e´ fundamental para a
compreensa˜o do resto do curso.
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 23
2. Func¸a˜o
Uma func¸a˜o e´ uma regra que associa a cada ponto1 de um conjunto (o domı´nio
da func¸a˜o) um ponto de um outro conjunto fixado (o contra-domı´nio). Dito de outro
modo, uma reta vertical trac¸ada passando por um ponto do domı´nio de uma func¸a˜o
y = f(x) corta seu gra´fico exatamente em 1 ponto. Por isso, por exemplo, um c´ırculo
na˜o e´ gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x).
O subconjunto do contradomı´nio formado por pontos que sa˜o efetivamente valores
da func¸a˜o formam a imagem da func¸a˜o. Por exemplo,
f : R→ R, f(x) = x2
tem como domı´nio e contradomı´nio os nu´meros Reais, mas sua imagem sa˜o apenas
os Reais na˜o-negativos2.
Quando dizemos que f : I → J e´ sobrejetiva isto quer dizer que na˜o somente
a imagem f(I) verifica f(I) ⊂ J , mas que de fato verifica f(I) = J . Ou seja, que
efetivamente todo ponto de J foi atingido pela f . Por exemplo, f(x) = x2 so´ e´
sobrejetiva vista como func¸a˜o f : R→ R≥0.
E´ importante notar na definic¸a˜o de func¸a˜o que so´ ha´ um valor associado a cada
ponto do domı´nio. Se houver ambiguidade na atribuic¸a˜o do valor enta˜o dizemos que a
func¸a˜o na˜o esta´ bem-definida naquele ponto. Por exemplo, quando perguntamos qual
e´ a ra´ız quadrada de 9 ha´ uma ambiguidade: pode ser que tomemos a ra´ız positiva 3
ou a ra´ız negativa −3.
Na˜o confunda a definic¸a˜o de func¸a˜o com outra, a de func¸a˜o injetiva: uma func¸a˜o
e´ injetiva quando na˜o associa o mesmo valor a dois pontos distintos de seu domı´nio.
Por exemplo, f : [0, 3]→ R, f(x) = x2 e´ injetiva mas f : [−3, 3]→ R, f(x) = x2 na˜o
e´ injetiva.
3. Func¸o˜es definidas a partir de outras func¸o˜es
3.1. Func¸a˜o inversa. Imagine uma func¸a˜o que desfaz o efeito de outra func¸a˜o.
Por exemplo, uma da´ a a velocidade de um carro em func¸a˜o do tempo trascorrido
v = v(t). Sua inversa diria para cada velocidade v qual o tempo necessa´rio para
atingir essa velocidade t = t(v) (o que da´ uma medida da poteˆncia do motor do carro,
por ex.)
Ou por exemplo, a temperatura de um objeto vai caindo com o tempo. Sabendo
quanto caiu a temperatura T (t) como determinar o tempo t transcorrido ?
Para se ter uma func¸a˜o inversa f−1, a func¸a˜o f necessariamente tem que ser
injetiva !
Se na˜o, vejamos: se y = f(x1) = f(x2) com x1 6= x2, o que deve fazer f−1 com y
? Envia´-lo em x1 = f
−1(y) ou em x2 = f
−1(y) ? Isso e´ uma ambiguidade inaceita´vel
para f−1.
Vamos mais tarde falar do sentido geome´trico da func¸a˜o inversa.
1Para mim os nu´meros Reais formam um reta, portanto uso nu´mero ou ponto indistintamente.
2Va´rias vezes no curso usaremos isso: o quadrado de um nu´mero Real nunca e´ negativo
4. DIFERENTES DOMI´NIOS DE FUNC¸O˜ES 24
3.2. Composic¸a˜o de func¸o˜es. Dentre os modos mais u´teis de se produzir um
func¸a˜o interessante a partir de func¸o˜es simples esta´ a composic¸a˜o de func¸o˜es.
A ide´ia e´ simples e fundamental: o resultado de uma func¸a˜o g(x) vira entrada de
uma segunda func¸a˜o f .
A notac¸a˜o usual e´: se f : I → J e g : J → K enta˜o (f ◦ g) : I → K faz
(f ◦ g)(x) := f( g(x) ).
E´ claro que se pode compor um nu´mero qualquer de func¸o˜es.
Pense em quantos exemplos encontramos disso na natureza, nas reac¸o˜es qu´ımicas,
nas indu´strias, em que um processo complicado e´ dividido em va´rias etapas simples
concatenadas.
Neste Curso procedermos assim tambe´m: vamos primeiro entender os casos mais
simples e depois, via composic¸a˜o de func¸o˜es, entender os mais complicados.
3.3. O que e´ a A´rea sob um gra´fico ? Podemos usar o gra´fico de uma func¸a˜o
para definir outra. Por exemplo, tomo a diagonal y = x como gra´fico e me pergunto
pela A´rea do triaˆngulo determinado pela origem, o eixo horizontal e um segmento
vertical de (x, 0) ate´ (x, x). A` medida que x avanc¸a no eixo dos x, a A´rea do triaˆngulo
obtido aumenta e poder´ıamos tentar descrever como essa A´rea depende de x isso num
outro gra´fico.
Na definic¸a˜o do Logaritmo Natural, faremos exatamente isso, mas a a´rea em
questa˜o sera´ delimitada sob o gra´fico de 1/x e na˜o sob y = x.
x=1 x
Figura: A´rea sob um o gra´fico, de x = 1 ate´ x.
Precisaremos saber primeiro, o que e´ a A´rea sob um gra´fico curvado como 1/x.
Isso que foge do que sabemos do Ensino Me´dio, que sa˜o a´reas de regio˜es elementares
como triaˆngulos, quadrados, trape´zios, setores circulares, etc. So´ entenderemos isso
plenamente na Parte 2 do curso, com o conceito de Integral.
4. Diferentes domı´nios de func¸o˜es
A princ´ıpio o domı´nio de uma func¸a˜o pode ser qualquer conjunto, mas neste Curso
usaremos como domı´nios quase sempre:
• todos os Reais R, ou
• intervalos de nu´meros reais, incluindo semi-retas ou
• apenas os Naturais N ⊂ R.
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 25
Mas e´ claro que em certas situac¸o˜es os domı´nios tambe´m podem ser a unia˜o de
va´rios intervalos (como se vera´ por exemplo na Sec¸a˜o 2.3 do Cap´ıtulo 6), somente os
nu´meros Racionais Q ⊂ R, etc.
5. Gra´fico descont´ınuo, mas que mesmo assim e´ gra´fico
Ha´ gra´ficos que sofrem um salto abrupto, mas que mesmo assim sa˜o gra´ficos.
Por exemplo, o gra´fico da func¸a˜o f : R→ R, definida condicionalmente por
f(x) = x− 2, se x < 2 e f(x) = x2 se x ≥ 2.
O ponto 2 de seu domı´nio e´ um ponto catastro´fico: se estamos em pontos que sa˜o um
pouquinho menores que 2 a func¸a˜o tem valores pro´xima do zero. Mas se mexemos
um pouco a coordenada x, chegando em x = 2 ou acrescentando algo positivo muito
pequeno ao 2, o valor da func¸a˜o ja´ pula para ≥ 22 = 4.
x=2
y=4
Figura: O gra´fico de func¸a˜o descont´ınua no ponto x = 2
Outro modo de ver o que acontece e´ que,enquanto seu domı´nio R e´ feito de um
so´ pedac¸o, sua imagem f(R) = R≤0∪R≥4 e´ feito de dois pedac¸os: a func¸a˜o rasga seu
domı´nio em dois pedac¸os.
Esses gra´ficos sa˜o u´teis para modelar matematicamente comportamentos explo-
sivos : uma explosa˜o qu´ımica, o comportamento de um animal a` medida que aumenta
o stress, etc. Mas em cursos de Ca´lculo veremos gra´ficos que na˜o tem essas variac¸o˜es
drama´ticas de valores.
6. Func¸a˜o positiva, negativa e zeros ou ra´ızes
Uma func¸a˜o f : I → R e´ positiva (negativa)3 se sua imagem esta´ contida nos
Reais positivos (negativos).
Muito importante para um te´cnico ou cientista e´ determinar os pontos do domı´nio
onde a func¸a˜o se anula (ou, como se diz, onde corta o eixo dos x, que e´ dado por
y = 0). Ou seja, e´ importante resolver uma equac¸a˜o f(x) = 0.
No caso de polinoˆmios esses pontos sa˜o as chamadas ra´ızes. Aconselho o leitor a ler
o Teorema 7.1 no Cap´ıtulo 6, que prova a relac¸a˜o entre ra´ızes e fatores de polinoˆmios.
3Para evitar escrever duas frases onde so´ trocaria uma palavra, ponho em pareˆnteses a modi-
ficac¸a˜o a ser feita na frase
7. FUNC¸A˜O CRESCENTE OU DECRESCENTE 26
Mais adiante, no Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 6.1 explicaremos em termos do Ca´lculo
qual o significado das ra´ızes mu´ltiplas.
4
6
0
-4
2
-2
-6
x
21-1 0-2
Figura: Um gra´fico de polinoˆmio com 3 ra´ızes
7. Func¸a˜o crescente ou decrescente
Definic¸a˜o 7.1. Uma func¸a˜o f : I → R e´ estritamente crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
E dizemos que e´ apenas crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
Analogamente se define estritamente decrescente, trocando f(x1) < f(x2) por
f(x1) > f(x2).
0,6
1
0,2
0,8
0,4
0
x
32,521 1,5
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 27
Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) crescente.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
x
32,5210,50 1,5
Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) decrescente.
Claro que ha´ func¸o˜es que na˜o sa˜o nem crescentes nem decrescentes, ou sejam, que
oscilam.
1
0,6
0,8
0,4
0
0,2
x
0,4-0,4-0,6 0,2 0,6-0,2 0
Figura: Exemplo de gra´fico de y = f(x) que oscila.
Uma observac¸a˜o simples mas u´til:
Se uma func¸a˜o f e´ estritamente crescente (ou estritamente decrescente) enta˜o f
e´ injetiva.
De fato, se tomo quaisquer x1, x2 diferentes de seu domı´nio, posso sempre me
perguntar qual deles e´ menor, por exemplo, x1 < x2. Como a f e´ estritamente
crescente (ou estritamente decrescente), temos f(x1) < f(x2) (ou f(x1) > f(x2)),
mas de qualquer forma f(x1) 6= f(x2). Logo e´ injetiva.
Um exemplo importante e´ o que ja´ demos de uma func¸a˜o f que mede a A´rea
sob um gra´fico de uma outra func¸a˜o positiva. E´ natural que f seja uma func¸a˜o
estritamente crescente, pois a` medida que vamos para a direita no eixo x ha´ mais
a´rea sob o gra´fico. Logo e´ natural que seja injetiva e tenha enta˜o uma inversa f−1.
Volto nesse ponto, com f o Logaritmo Natural e f−1 a Exponencial.
8. MA´XIMOS E MI´NIMOS 28
Saber que uma func¸a˜o e´ crescente pode ser um fato extremamente relevante do
ponto de vista cient´ıfico: por exemplo, um dos princ´ıpios f´ısicos mais fundamentais
e´ que a func¸a˜o Entropia e´ uma func¸a˜o crescente, ou seja, que as coisas teˆm uma
tendeˆncia a se desorganizar. E´ essa Entropia crecente que esta´ na base da nossa
distinc¸a˜o entre passado, presente e futuro.
Por outro lado um exemplo marcante de func¸a˜o decrescente e´ a func¸a˜o y = f(x)
que da´a quantidade de uma substaˆncia radioativa no tempo x. Uma descoberta
cient´ıfica fundamental foi a de descrever de modo quantitativamente preciso como e´
essa func¸a˜o para cada substaˆncia radioativa.
E´ fundamental neste curso estabelecermos um crite´rio para determinar se uma
func¸a˜o e´ crescente (ou e´ decrescente).
De prefereˆncia um crite´rio que consista em entender uma func¸a˜o que seja mais
simples que a func¸a˜o f ela mesma ! Se na˜o na˜o adiantaria muito. Isso veremos no
Cap´ıtulo 10, que e´ muito importante.
8. Ma´ximos e mı´nimos
Uma das grandes utilidades do Ca´lculo e´ encontrar pontos onde uma func¸a˜o atinge
seu ma´ximo ou mı´nimo. Ou seja, o Ca´lculo serve para minimar ou maximizar: rendi-
mento de um processo, custos, gastos, etc, desde que o problema seja formulado
matematicamente.
Vamos definir um ma´ximo local (analogamente um mı´nimo local).
Definic¸a˜o 8.1. Seja f : I → R e x ∈ I. Dizemos que x e´ ma´ximo local se existe
algum intervalo
(−�+ x, x+ �)
centrado em x, tal que
∀x ∈ I ∩ (−�+ x, x+ �), f(x) ≤ f(x).
Ja´ x e´ dito ser um ma´ximo global de f : I → R se
∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x).
E´ a mesma diferenc¸a que ha´ entre ser o cara que corre mais ra´pido no clube do
bairro e ser o cara que corre mais ra´pido no mundo !
x
0,60,4
4
0,20
3,6
-0,4
4,2
3,8
3,4
3
3,2
-0,2-0,6
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 29
Figura: Func¸a˜o com um mı´nimo global, um ma´ximo local e um mı´nimo local.
Chamo a atenc¸a˜o de que ha´ func¸o˜es que simplesmente na˜o tem ma´ximo, como ja´
vimos no caso de f : (0, 5]→ R, f(x) = 1
x
.
E existem as que na˜o tem mı´nimo: por ex. f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.
De fato, se tomo n ∈ R≥1, temos f(n) = 1
n
, que ja´ sabemos fica ta˜o pro´ximo
quanto quisermos de 0, sem nunca atingir zero. Isso diz que f vai sempre diminuindo
um valor, na˜o tendo portanto um ponto de seu domı´nio onde um valor mı´nimo fosse
atingido.
Da´ vontade de dizer algo sobre o papel do 0 neste exemplo f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.
O 0 realmente nunca e´ atingido pela func¸a˜o mas de certo modo demarca, delimita o
conjunto imagem
f(R≥1) = (0, 1].
0 e´ o que se costuma chamar uma cota inferior do conjunto imagem f(R≥1), isto e´,
∀y ∈ f(R≥1), 0 ≤ y.
E mais ainda, qualquer nu´mero maior que zero na˜o e´ cota inferior de f(R≥1), pois
1
n
∈ f(R≥1) se aproxima o que quisermos de zero. Portanto 0 e´ a maior cota inferior
de f(R≥1), que se chama o I´nfimo desse conjunto.
9. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 9.1. Determine em que intervalos as func¸o˜es a seguir sa˜o negativas ou
positivas e onde esta˜o seus zeros:
vi) x2 − x
vii) x2 − 5x+ 6
viii) x3 − x2
Exerc´ıcio 9.2. Deˆ exemplos de frases do dia a dia que sa˜o verdade, mas cujas
rec´ıprocas na˜o sa˜o verdade.
Exerc´ıcio 9.3. Negue as seguintes frases:
i) dado qualquer pol´ıtico, existe um valor de suborno tal que por esse valor ele se
corrompe.
ii) dada uma distaˆncia qualquer, existe um tempo tal que a partir daquele tempo
o astero´ide dista da terra menos que a distaˆncia dada.
Exerc´ıcio 9.4. Imagine alguns exemplos, qualitativamente, sem precisar dar explici-
tamente a regra f(x), de func¸o˜es:
i) positivas e crescentes,
ii) negativas e crescentes,
iii) negativas e decrescentes,
iv) negativas e decrescentes,
v) com mı´nimo local, mas sem mı´nimo global
vi) com ma´ximo local e ma´ximo global diferentes.
9. EXERCI´CIOS 30
Exerc´ıcio 9.5. Fac¸a as composic¸o˜es f ◦ g ◦ h e h ◦ g ◦ f , onde:
i) f = 1
x3
, g = sin(x) h = x+ 5
ii) f = x2, g = 1
x
, h = sin(x).
iv) Imagine algum exemplo onde acontec¸a f ◦ g ◦ h = h ◦ g ◦ f (o que e´ raro !).
Exerc´ıcio 9.6. (resolvido)
Determine explicitamente as func¸o˜es inversas f−1 das func¸o˜es f(x) a seguir. Teste
sua resposta verificando que x = f−1(f(x)).
i) f : R→ R, f(x) = x3
ii) f : R→ R, f(x) = x3 + 1
iii) f : R→ R, f(x) = (x− 1)3
iv): f : R→ R, f(x) = −5 · x3 + 10.
v): f : (0, 1)→ R, f(x) = x
1−x2 . Dica: o mais dif´ıcil neste item e´ na˜o se equivocar
com os sinais.
CAP´ıTULO 3
Propriedade ba´sicas dos nu´meros Reais
As func¸o˜es definidas nos Reais e tomando valores Reais sa˜o importantes pelas
aplicac¸o˜es ao mundo f´ısico. Por exemplo, se um Engenheiro me diz que a laje da pec¸a
onde estou vai cairem 5 minutos eu certamente saio correndo da sala. Mas se um
Matema´tico me disser que a laje vai cair no tempo 5 · I := 5√−1, que fazer ?
Essa utilidade dos Reais, por corresponder a` linha do tempo (passado = nu´mero
negativo, presente = 0, futuro = nu´mero positvo), tem como oˆnus o fato que as
func¸o˜es Reais nem sempre esta˜o definidas.
Veremos duas restric¸o˜es, uma sobre quocientes e outra sobre a ra´ız quadrada.
A primeira afeta na˜o so´ os Reais, mas qualquer sistema de nu´meros. A segunda,
da Ra´ız, e´ t´ıpica dos nu´meros que podem ser ordenados.
1. Os Reais como sistema de nu´meros: na˜o dividira´s por zero !
Todo professor passa aulas e aulas repetindo que na˜o se pode dividir por zero.
E infelizmente muitos alunos de Ca´lculo dividem por zero, pois confundem o fato
de um nu´mero ser pequeno com um nu´mero ser zero !
Mas a final, por queˆ na˜o se pode dividir por zero ? No que podemos nos apoiar
para provar que na˜o existe o nu´mero 1
0
?
Nos bastara´ algumas das propriedades mais gerais dos R (por sinal compartilhadas
com outros sistemas de nu´mros, como Q ou C), que sa˜o:
• existe um elemento neutro aditivo, 0, tal que 0 + x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R existe o inverso aditivo −x tal que x+ (−x) = 0.
• existe um elemento neutro multiplicativo, 1, tal que 1 · x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R, x 6= 0, existe o inverso multiplicativo 1
x
tal que x · 1
x
= 1.
• 1 6= 0
• as operac¸o˜es de soma e produto sa˜o distributivas, associativas e comutativas.
De posse dessas propriedades, que sa˜o assumidas como verdades, posso provar :
Afirmac¸a˜o 1.1.
i) −x = −1 · x, ∀x ∈ R,
ii) 0 · x = 0, ∀x ∈ R.
iii) na˜o existe 1
0
.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
0 = (1− 1) · x⇔ x− x = (1− 1) · x⇔
31
2. ORDEM NOS REAIS: NA˜O TIRARA´S A RAI´Z QUADRADA DE NU´MEROS
NEGATIVOS ! 32
⇔ x− x = 1 · x− 1 · x⇔ x− x = x− 1 · x⇔ −x = −1 · x.
De ii):
0 · x = 0 ⇔ (1− 1) · x = 0 ⇔
⇔ x− 1 · x = 0 ⇔ x− x = 0,
e este u´ltimo fato e´ verdade: x = x.
De iii):
Suponhamos por absurdo que exista o nu´mero 1
0
.
Enta˜o 0 · 1
0
= 1, pois o sentido de 1
x
e´ ser o inverso multiplicativo de x.
Mas o item ii) da´ que:
0 · 1
0
= 0.
Logo 0 = 1: contradic¸a˜o.
�
2. Ordem nos Reais: na˜o tirara´s a ra´ız quadrada de nu´meros negativos !
Um aspecto bonito da matema´tica e´ que, apo´s assumir a verdade de certos fatos
simples, podemos deduzir fatos novos, a`s vezes na˜o ta˜o simples.
Vamos assumir a validade dos seguinte Princ´ıpios (Axiomas):
• Princ´ıpio 0: Existe um subconjunto P dos Reais chamado de conjunto dos
nu´meros positivos. Vale para todo x ∈ R apenas uma das 3 possibilidades:
ou x ∈ P ou x = 0 ou −x ∈ P . O elemento neutro multiplicativo 1 e´ positivo.
• Princ´ıpio 1: A soma de quaisquer dois nu´meros positivos e´ um nu´mero
positivo.
• Princ´ıpio 2: o produto de um nu´mero positivo por um nu´mero positivo e´
positivo.
Um nu´mero e´ chamado na˜o-negativo se x ∈ P ∪ {0}. Denotamos os positivos
usualmente com x > 0 e os na˜o-negativos com x ≥ 0. Os negativos, por x < 0.
Podemos agora provar :
Afirmac¸a˜o 2.1.
i) (Regra de multiplicac¸a˜o de sinais) (−x) · (−x) = x · x, ∀x ∈ R.
ii) x2 := x · x ≥ 0 ∀x ∈ R.
iii)
√
x na˜o e´ um nu´mero Real, se x < 0.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
De fato, pelo item i) da Afirmac¸a˜o 1.1 (−1) · x = −x.
Pela comutatividade e associatividade do produto:
(−x) · (−x) = (−1) · x · (−1) · x = (−1) · (−1) · x · x.
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 33
So´ resta provar que
−1 · (−1) = 1,
ou seja, nos reduzimos a provar apenas a Regra dos Sinais para o −1. Ora,
−1 · (−1 + 1) = 0⇔ −1 · (−1)− 1 · 1 = 0⇔
⇔ −1 · (−1)− 1 = 0⇔ −1 · (−1) = 1,
como quer´ıamos.
De ii):
Se x = 0 enta˜o x · x = 0, pelo item ii) da Afirmac¸a˜o 1.1.
Se x > 0 enta˜o x · x > 0 (Pr. 2).
Se, por outro lado, x < 0 enta˜o −x > 0 (Pr. 0).
E enta˜o x · x = (−x) · (−x) > 0 (Pr. 3 e 2).
De iii):
Suponha agora por absurdo que y :=
√
x ∈ R para x < 0.
Enta˜o y2 ≥ 0 pelo item ii).
Mas enta˜o chegamos em
0 ≤ y2 = (√x)2 = x < 0,
em contradic¸a˜o com o Princ´ıpio 0.
�
3. Propriedades gerais das desigualdades
Usando os Princ´ıpios 0 , 1, 2 e a Regra de Multiplicac¸a˜o de Sinais podemos provar
as propriedades a seguir, que sa˜o fundamentais.
Alerta: se o estudante na˜o manejar bem essas propriedades tera´ problemas no
Curso.
Afirmac¸a˜o 3.1.
i) Se x ≥ y e z ≥ w enta˜o x+ z ≥ y + w, ∀x, y, z, w ∈ R.
ii) Se x > 0 e y ≥ z enta˜o x · y ≥ x · z.
iii) Se x < 0 e y ≥ z enta˜o x · y ≤ x · z.
iv) se x > 0 enta˜o 1
x
> 0
v) se x > 1 enta˜o 1
x
< 1.
vi) 0 < x1 < x2 ⇒ 0 < 1x2 < 1x1 .
vii) 0 < x < 1 ⇒ 0 < x2 < x < 1.
viii) 1 < x ⇒ 1 < x < x2
ix) 0 < x1 < x2 < 1 ⇒ 1 < 1x2 < 1x1 .
x) 1 < x1 < x2 ⇒ 1x2 < 1x1 < 1.
xi): 0 < x < 1 ⇒ 1 < 1
x
< 1
x2
.
xii): 1 < x ⇒ 1
x2
< 1
x
< 1.
xiii): 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w enta˜o 0 ≤ x · z ≤ y · w.
3. PROPRIEDADES GERAIS DAS DESIGUALDADES 34
Demonstrac¸a˜o.
i) Dados x, y, z, w ∈ R com
x ≥ y e z ≥ w,
podemos traduzir isso em:
(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0.
Queremos provar que
x+ z ≥ y + w,
que se traduz em
(x+ z)− (y + w) ≥ 0,
ou, o que diz o mesmo:
(x− y) + (z − w) ≥ 0.
Isso e´ o que queremos. Para termos isso, podemos usar o Princ´ıpio 1, pois enta˜o com
esse princ´ıpio:
(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0 ⇒ (x− y) + (z − w) ≥ 0.
ii) Temos que x > 0. Caso y = z enta˜o x · y = x · z. Por isso supomos que y > z,
ou seja, y − z > 0.
Queremos provar que x · y > x · z, ou seja, que
x · y − x · z > 0,
o que e´ o mesmo que dizer que
x · (y − z) > 0.
Isso e´ o que queremos. Enta˜o podemos usar o Princ´ıpio 2, que da´:
x > 0 e y − z > 0 ⇒ x · (y − z) > 0.
iii) Temos agora −x > 0 pelo Princ´ıpio 0. Caso y = z enta˜o x · y = x · z.
Por isso supomos y > z, ou seja, y − z > 0. Enta˜o o Princ´ıpio 2 da´:
(−x) · (y − z) > 0,
ou seja
−x · y + x · z > 0,
ou seja,
x · y − x · z < 0,
que e´ o que busca´vamos provar:
x · y < x · z.
iv) Temos x > 0 e suponhamos por absurdo que 1
x
< 0.
Enta˜o − 1
x
> 0 e pelo Princ´ıpio 2:
x · (−1
x
) > 0.
Mas x · (− 1
x
) = −1. Logo obtemos −1 > 0 ou seja 1 < 0, que contradiz o Princ´ıpio 0.
v) Seja x > 1. Suponhamos por absurdo que 1
x
≥ 1.
Se 1
x
= 1 enta˜o chegamos na contradic¸a˜o: 1 = x.
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 35
Se 1
x
> 1 enta˜o multiplicando esta desigualdade por x > 1 > 0, temos
x · 1
x
> x · 1
(pelo item ii) ja´ provado).
Como x · 1
x
= 1 pela pro´pria definic¸a˜o de 1
x
e como x · 1 pela definic¸a˜o do neutro
1, obtemos
1 > x,
que contradiz x > 1.
Deixo para o leitor a prova das propriedades vi-xii, onde pode usar as propriedades
i) - v) que ja´ foram provadas.
Fac¸o a prova de xiii):
Como 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w enta˜o sai primeiro que 0 ≤ x · z.
Agora, para ver que x · z ≤ y · w, note que
x · z ≤ y · z,
pois 0 ≤ (y − x) · z.
Do mesmo jeito sai que:
y · z ≤ y · w,
e portanto
x · z ≤ y · w.
�
Proponho agora ao leitor o seguinte Exerc´ıcio: explicar com itens da Afirmac¸a˜o
3.1 algumas propriedades dos Gra´ficos das func¸o˜es a seguir, a saber:
• por queˆ em determinado intervalo um esta´ acima ou abaixo do outro,
• por queˆ isso se inverte ao passar de x = 1,
2
1
1,5
0,5
0
x
1,210,4 0,6 0,80,20
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 36
y = x em vermelho, y = x2 em verde, y = x3 em amarelo
e y = x4 em azul, para x ∈ [0, 1.2]
2
1
1,5
0,8
0,5
x
1,61,41,21 1,8
y = 1
x
em vermelho, y = 1
x2
em verde, para x ∈ [2
3
, 2]
4. Intervalos e suas utilidades
Um intervalo I ⊂ R e´ definido como o conjunto de todos os nu´meros Reais maiores
(ou iguais) a um certo nu´mero a e menores (ou iguais) que um certo b.1
Se impomos que sejam estritamente maiores que a e estritamente menores que b
temos um intervalo aberto
I = {x ∈ R;a < x < b}
denotado I = (a, b). Caso contra´rio surgem os intervalos semi-abertos, fechados, etc.
Um t´ıpico intervalo que vamos usar no Curso sera´ o intervalo aberto de raio � > 0
centrado num ponto x:
(−�+ x, x+ �)
onde x e´ um ponto da reta dos Reais e � > 0 e´ um nu´mero positivo fixado por no´s.
O modo como vamos usar esses intervalos centrados e´ o seguinte: (−�+ x, x+ �)
sera´ uma espe´cie de gaiola ou cercado em torno de x, delimitando pontos pro´ximos
dele (a` medida que � > 0 e´ tomado pequeno).
Explico isso em mais detalhe:
Definic¸a˜o 4.1. A distaˆncia entre dois pontos x, x da reta dos Reais e´ definida pelo
mo´dulo2 da diferenc¸a entre eles:
|x− x| = |x− x|.
1Podemos considerar a reta R toda ou uma semi-reta tambe´m como intervalos: veremos isso em
detalhe na Sec¸a˜o 4. Ao inve´s de usarmos o s´ımbolo (2,+∞) para denotar a semi-reta dos nu´meros
maiores que 2, prefiro usar o s´ımbolo R>2: o motivo e´ evitar o mal uso do s´ımbolo +∞.
2para um nu´mero Real 4, |4| := 4, se 4 ≥ 0 ou |4| := −4, se 4 < 0
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 37
Pela definic¸a˜o de mo´dulo, |x− x| < � significa que
x− x < �, se x− x ≥ 0 ou − (x− x) < �, se x− x < 0.
E´ importante entender que:
Afirmac¸a˜o 4.1. (−�+ x, x+ �) e´ exatamente3 o conjunto dos pontos que distam de
x menos que � > 0.
Demonstrac¸a˜o.
Vamos mostrar primeiro que
(−�+ x, x+ �) ⊂ {x ∈ R; |x− x| < �}.
Tome
x ∈ (−�+ x, x+ �),
com x 6= x (caso x = x na˜o ha´ nada a provar, pois � > 0).
Ou seja x verifica:
−�+ x < x < x ou x < x < x+ �.
Que equivale (subtraindo x) a:
−� < x− x < 0 ou 0 < x− x < �.
Que equivale4 a:
0 < −(x− x) < � ou 0 < x− x < �,
ou seja, 0 < |x− x| < �, como quer´ıamos.
Agora vamos mostrar que:
{x ∈ R; |x− x| < �} ⊂ (−�+ x, x+ �).
.
Tome x ∈ {x ∈ R; |x− x| < �}.
Se 0 ≤ x− x enta˜o temos
x− x < � ⇔ x < x+ �,
e portanto x ∈ [x , x+ �).
Se x− x < 0 enta˜o
−(x− x) < � ⇔ −x+ x < � ⇔ −�+ x < x,
ou seja, x ∈ (−�+ x , x).5.
�
3Dois conjuntos X e Y sa˜o iguais se X ⊂ Y e Y ⊂ X
4Atenc¸a˜o: as desigualdade se invertem quando multiplicadas por um nu´mero negativo, por ex.,
1 < 2 < 3 mas −3 < −2 < −1
5O quadrado a` direita significa que a demonstrac¸a˜o terminou
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 38
4.1. O que e´ u´til num intervalo aberto.
Os intervalos abertos sa˜o importante no Ca´lculo, e o ponto importante e´ que um
intervalo aberto tem uma certa toleraˆncia com cada um de seus elementos. Podemos
mexer um pouquinho em cada um de seus elementos sem sair do intervalo aberto.
Mais especificamente:
Afirmac¸a˜o 4.2. Dado qualquer x ∈ (a, b) existe um pequeno intervalo aberto centrado
em x denotado Ix tal que Ix ⊆ (a, b).
Demonstrac¸a˜o.
Considere as distaˆncias de x ∈ (a, b) ate´ o extremo a e ate´ o extremo b:
|x− a| := x− a > 0, |x− b| := b− x > 0
(sa˜o dois nu´meros positivos pois (a, b) e´ intervalo aberto).
Dentre os dois agora escolho o menor, chamando-o de δ0 > 0:
δ0 := mı´nimo{ x− a, b− x }.
Fac¸a
Ix := (−δ0 + x, x+ δ0),
e vamos verificar que
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b).
Para isso vamos supor que e´ o caso que δ0 = x − a, ou seja, que x esta´ ou no centro
do intervalo (a, b) ou um pouco mais pro´ximo de a que de b (analogamente no outro
caso). Enta˜o
(−δ0 + x, x+ δ0) = ( −(x− a) + x, x+ (x− a) ) =
= ( a, x+ (x− a) ).
Ora supusemos estar na situac¸a˜o em que x− a ≤ b− x, logo:
(a, x+ (x− a)) ⊆ (a, x+ (b− x)) = (a, b),
portanto:
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊆ (a, b)
como quer´ıamos.
�
Observe nessa Prova que a` medida que x se aproxima de a ou de b a toleraˆncia
(medida pelo δ0) fica menor, mas sempre existe.
Ja´ no intervalo semi-aberto I = (0, 5] na˜o ha´ toleraˆncia nenhuma com seu elemento
5: ou seja, qualquer nu´mero δ > 0 que for somada a 5, ja´ faz que 5 + δ na˜o pertenc¸a
a (0, 5].
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 39
4.2. O que e´ u´til num intervalo fechado.
Num intervalo aberto acontece de seus elementos estarem se aproximando cada
vez mais de um ponto que ele mesmo na˜o esta´ no intervalo, por assim dizer de um
fantasma. Por exemplo, os pontos 1
2
, 1
3
, . . . , 1
n
de (0, 5) esta˜o cada vez mais pro´ximos
de 0, mas mesmo assim 0 6∈ (0, 5). Isso na˜o acontece no intervalo fechado [0, 5].
Dito de outro modo, no Curso na˜o estamos apenas interessados em saber se um
certo nu´mero z pertence ou na˜o pertence a um conjunto X ⊂ R, como se fazia no
ensino Me´dio. Tambe´m vamos querer saber se desse ponto z podemos achar elementos
x ∈ X ta˜o pro´ximos quanto quisermos.
• Se I e´ um intervalo aberto, pode acontecer que z /∈ I e mesmo assim hajam
elementos de I ta˜o pro´ximos quanto quisermos.
• Se I e´ intervalo fechado, e ha´ elementos de I ta˜o pro´ximos quanto quisermos
de z, enta˜o de fato z ∈ I.
Uma informac¸a˜o extremamente importante para um cientista e´ saber se uma
func¸a˜o que lhe interessa assume ma´ximo ou mı´nimo em seu domı´nio e principal-
mente, saber onde o faz.
Somente os intervalos fechados I = [a, b] garantira˜o sempre ma´ximos e mı´nimos
globais de func¸o˜es, sena˜o pode acontecer algo como segue.
Pense em f : (0, 5] → R, f(x) = 1
x
. A` medida que vamos tomando os pontos
1/n ∈ (0, 5] a func¸a˜o vale
f(
1
n
) = n,
que fica ta˜o grande quanto quisermos. Note que (0, 5] na˜o e´ um intervalo fechado.
5. Metamorfoses de cu´bicas
Nesta Sec¸a˜o resolvi descrever curvas interessantes usando apenas propriedades
ba´sicas do Reais, como regra dos sinais, desigualdades, mo´dulo, etc. que ja´ justifi-
camos acima neste mesmo Cap´ıtulo.
Tudo o que vem a seguir nesta Sec¸a˜o e´ baseado em que na˜o ha´ ra´ız quadrada Real
de um nu´mero Real negativo.
Comec¸emos com o conhecido c´ırculo y2 + x2 = r2 de raio r > 0. Observe que:
• podemos tomar o gra´fico de y = √r2 − x2 para descrever o semic´ırculo su-
perior (ou tomar y = −√r2 − x2 para o inferior).
• se r2−x2 > 0 ha´ duas escolhas de ra´ızes, positiva e negativa, e quando x = r
ou x = −r essas duas escolhas colapsam numa so´, que e´ y = 0.
• Onde r2−x2 < 0 deixamos de trabalhar sobre os Reais, pois os valores asso-
ciados a y =
√
r2 − x2 passam para o terreno dos nu´meros Complexos.6Como
so´ tratamos neste Curso de func¸o˜es a valores Reais, na˜o existem pontos do
c´ırculo cuja coordenada x verifique r2 − x2 < 0.
Por u´ltimo, observe que mudando o valor de r muda o raio do c´ırculo, portanto
podemos pensar em y2 + x2 = r2 como sendo uma famı´lia de c´ırculos em que cada
elemento fica determinando pelo r. Veja a Figura:
6Ha´ uma versa˜o magn´ıfica do Ca´lculo sobre os nu´meros complexos !
5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 40
y
0,5
1
x
10 0,5
-0,5
-1
0
-1
-0,5
Bom, mas tratar de c´ırculos e´ covardia, pois temos sua imagem impressa na nossa
mente desde a infaˆncia.
Que tal tratarmos de alguma curva que na˜o tenha sua imagem impressa na nossa
mente ? E ademaias, que tal tratarmos logo de uma famı´lia delas ?
Considere a familia de curvas dada por:
y2 − x3 − r · x = 0, r 6= 0.
Vamos analisar separadamente o que acontece quando r > 0 e quando r < 0.
Caso r > 0:
Temos
y2 = x3 + r x ⇔ y2 = x · (x2 + r).
Como x2 + r ≥ r > 0, o sinal de x · (x2 + r) so´ depende do de x. Logo
• se x > 0 temos duas opc¸o˜es
y =
√
x · (x2 + r) ou y = −
√
x · (x2 + r).
Ou seja, a curva na˜o e´ um gra´fico, ela tem uma parte no eixo y > 0 e uma
parte no eixo −y. Ha´ uma simetria relativa ao eixo dos x.
• ainda se x > 0, |y| = √x3 + rx observo que fica ta˜o grande quanto quisermos.
De fato, se dou o valor 7 K >> 1:
x ≥ 3
√
K2 ⇒ x3 ≥ K2 ⇒
⇒ x3 + rx ≥ K2 ⇒ |y| =
√
x3 + rx ≥ K.
• essas duas escolhas y =√x · (x2 + r) ou y = −√x · (x2 + r) colapsam numa
so´ se x = 0, pois enta˜o y = 0.
• se x < 0 a(s) coordenada(s) y deixa de ser um nu´mero Real, ou seja, para
no´s deixa de existir.
7O sinal >> 1 quer dizerbem maior que 1
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 41
Uma Figura compat´ıvel8 com essa descric¸a˜o e´:
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
Caso r < 0
Agora
y2 = x · (x2 + r),
e (x2 + r) pode ser positivo, negativo ou positivo. Por isso o estudo do sinal de
x · (x2 + r)
e´ mais delicado.
Note que
x2 + r > 0 ⇔ x2 > −r > 0 ⇔
√
x2 >
√−r.
So´ que √
x2 = |x|
e portanto temos
x2 + r > 0 ⇔ |x| > √−r.
Se x > 0, |x| > √−r quer dizer x > √−r mas se x < 0 isso quer dizer −x > √−r,
ou seja x < −√−r.
Em suma:
x2 + r > 0 ⇔ x < −√−r ou x > √−r.
Enta˜o
• se x > 0
x · (x2 + r) ≥ 0 ⇔ x ≥ √−r,
e teremos duas opc¸o˜es de ra´ızes para determinar y. Que colapsam para y = 0
se x =
√−r.
• se x ≤ 0, so´ teremos x · (x2 + r) ≥ 0 se (x2 + r) ≤ 0. Ou seja,
−√−r ≤ x ≤ 0.
Nessa faixa de valores de x teremos duas opc¸o˜es de y, que colapsam em y = 0
se x = 0 ou x = −√−r.
8Na Figura trac¸ada ha´ mais informac¸a˜o do que a que justificamos. Somente na Sec¸a˜o 5 do
Cap´ıtulo 15 e´ que teremos esses dados.
5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 42
Uma Figura compat´ıvel com essa descric¸a˜o e´ (r = −1).
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
Por u´ltimo, note que se |r| vai ficando pequeno, enta˜o os pontos
(−√−r, 0), (0, 0) e (√−r, 0)
va˜o se aproximando. Note que as ovais da parte negativa va˜o diminuindo de tamanho
quando |r| vai diminuindo.
Imagine r vindo de valores positivos, que va˜o ficando bem pro´ximos de zero, pulam
o valor zero, e passam a assumir enta˜o valores negativos.
E´ como se de um continente fosse expelida uma ilhota, que vai ficando maior e
mais distante do continente: as quatro figuras a seguir tentam mostrar isso.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 43
Figura: A curva y2 − x3 − x = 0.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
21,510,50
Figura: A curva y2 − x3 − 0.4 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50-0,5 1
Figura: A curva y2 − x3 + 0.3 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
Figura: A curva y2 − x3 + x = 0.
5. METAMORFOSES DE CU´BICAS 44
5.1. Suavizac¸a˜o do caso r = 0.
Ha´ uma pergunta natural: o que acontece na curva y2 − x3 − 0 x = y2 − x3 = 0 ?
Ja´ aviso: os programas gra´ficos ficam bem perdidos para trac¸ar essa curva, se a
coordenada x fica pro´xima de 0.
Por isso vou proceder como em muitos ramos da cieˆncia, vou tentar inferir qual
o formato dessa curva tomando curvas que entendamos e que estejam cada vez mais
pro´ximas dela.
Num sentido que ficara´ claro mais tarde, essas curvas pro´ximas sa˜o suaves ou
na˜o-singulares (ver Definic¸a˜o 4.1 na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 32).
Na Figura a seguir trac¸o a curva y2 − x3 = 0 so´ que estabelec¸o x ≥ 0.4, deixando
a regia˜o em torno de x = 0 como um miste´rio.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
A curva y2 − x3 = 0, so´ que x ≥ 0.4.
Como quero ter mais luz sobre esse objeto y2−x3 = 0 na˜o vou deforma´-lo de novo
na famı´lia y2 − x3 − r x = 0, mas sim noutra famı´lia:
y2 − x3 + s = 0, s ∈ R>0.
Observo que a relac¸a˜o
y2 = x3 − s
permite tirar ra´ızes quadradas desde que x3 − s ≥ 0. Portanto ha´ duas opc¸o˜es de
x > 3
√
s ou apenas y = 0 se x = 3
√
s.
Ou seja:
• a curva y2 = x3 − s so´ tem trac¸o no plano Real se x ≥ 3√s e
• a partir de x > 3√s a curva e´ sime´trica em relac¸a˜o ao eixo x, ja´ que temos
duas opc¸o˜es diferentes: y =
√
x3 − s e y = −√x3 − s.
Ademais note que se x > 3
√
s, enta˜o
y =
√
x3 − s <
√
x3
e
y = −
√
x3 − s >
√
x3.
ou seja:
CAPI´TULO 3. PROPRIEDADE BA´SICAS DOS NU´MEROS REAIS 45
• dado x > 0, o trac¸o da curva y2 = x3 + s que tem y > 0 fica sempre abaixo
do de y =
√
x3.
• dado x > 0, o trac¸o da curva y2 = x3 + s que tem y < 0 fica sempre acima
do de y = −√x3.
A Figura a seguir ilustra isso para y2 − x3 + 8 = 0:
y
2
4
x
0
2,51,5 21
-4
-2
0,5
A curva y2 − x3 = 0, so´ que x ≥ 0.4, e a curva y2 − x3 − 8 = 0.
As Figuras a seguir ilustram curvas cada vez mais pro´ximas:
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0 e y2 − x3 + 1 = 0.
6. EXERCI´CIOS 46
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0, y2 − x3 + 1 = 0 e y2 − x3 + 0.5 = 0.
Sera´ que agora o leitor consegue inferir a forma de y2 − x3 = 0 ?
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvido)
Prove, ao inve´s de apenas assumir, que vale:
x · x = (−x) · (−x), ∀x ∈ R.
Exerc´ıcio 6.2. (resolvido)
Para quais valores de x:
i) −3x+ 2 > 0 ?
ii) x2 − x > 0 ?
iii) 3x2 − 2x− 1 > 0 ?
iii) 3x+ 2 > 2x− 8 ?
iv) |x− 6| < 2 ?
v) |x+ 7| < 1 ?
Exerc´ıcio 6.3. (resolvido)
Prove que para quaisquer nu´meros Reais � e 4:
|�+4| ≤ |�|+ |4|.
Exerc´ıcio 6.4. Como sa˜o os gra´fico das func¸o˜es (com domı´nio ∀x ∈ R):
i) y = |x|,
ii) y = −| x|,
iii) y = |x− 5|,
iv) y = |x|+ |x− 1|+ |x− 2| ?
CAP´ıTULO 4
Sequeˆncias e seus limites
1. Sequeˆncias
Neste Curso sera´ importante a situac¸a˜o em que o domı´nio de uma func¸a˜o sera´ o
conjunto dos nu´meros Naturais N = {1, 2, 3, ...}. Nesse caso
f : N→ R
e´ chamada de sequeˆncia.
A imagem de uma tal f e´ uma lista de nu´meros Reais. Como cada ponto de sua
imagem e´ do tipo f(n) e´ comum denota´-lo por xn e a sequeˆncia toda por (xn)n.
Exemplo 0: f : N → R dada por f(n) = K e´ a sequeˆncia mais boba de todas,
pois sua imagem e´ somente o conjunto {K} - chama-se sequeˆncia constante.
Exemplo 1: Uma sequeˆncia na˜o ta˜o boba e´ f : N→ R dada por f(n) = 2n, cuja
imagem sa˜o os nu´meros Pares.
Exemplo 2:
Uma sequeˆncia fundamental para todo o Curso e´
f : N→ R, f(n) = 1
n
.
No que segue, dizer que N e´ um conjunto ilimitado em R e´ dizer que sempre ha´
um nu´mero Natural maior que qualquer nu´mero Real que for dado.
Afirmac¸a˜o 1.1. O fato de que os nu´meros naturais N formam um conjunto ilimitado
nos R e´ equivalente ao fato de que os valores de f : N → R, f(n) = 1/n ficam ta˜o
pro´ximos quanto quisermos de 0, desde que n seja suficientemente grande.
Demonstrac¸a˜o.
Uma equivaleˆncia e´ uma implicac¸a˜o em dois sentidos: ⇔.
Prova do sentido ⇒: Obviamente 1/n nunca e´ igual a 0: caso pensa´ssemos o
contra´rio para algum n0, obter´ıamos de
1
n0
= 0 e multiplicando por n0 obtemos que
0 = 1: absurdo.
A distaˆncia entre f(n) = 1/n e 0 e´ dada por |1/n− 0| = 1/n. Suponha que nos
foi dado um nu´mero positivo muito pequeno �0 > 0. Queremos confirmar que
1/n < �0
47
2. LIMITES DE SEQUEˆNCIAS 48
a partir de um certo n, ou seja se n ≥ n� (onde uso a notac¸a˜o n� para destacar que
esse n depende do �, quanto menor o � maior o n�). Mas negar o anterior seria dizer:
∀n ∈ N, �0 ≤ 1
n
.
Mas isso equivale (multiplicando por n
�0
> 0):
∀n ∈ N, n ≤ 1
�0
Concluir´ıamos enta˜o que o nu´mero 1
�0
e´ maior que todos os nu´meros naturais, con-
tradizendo a hipo´tese.
Prova do sentido ⇐:
Se existe um nu´mero K ∈ R tal que ∀n ∈ N tenhamos n ≤ K enta˜o ∀n ∈ N
ter´ıamos 1
K
≤ 1
n
. Logo a sequeˆncia 1
n
na˜o se aproxima de 0 mais que 1
K
. Contradic¸a˜o.
�
Observac¸a˜o: E´ poss´ıvel se colocar um Axioma sobre os nu´meros Reais - chamado
Axioma de Completamento - que implica a propriedade de N ser ilimitado em R.
Para no´s, neste Curso, o fato dos Naturais serem ilimitados e´ tomado como um
Axioma.
Podemos tambe´m dizer o conteu´do da Afirmac¸a˜o anterior de outro modo: dada
uma cerca (−� + 0, 0 + �), se tomamos um n� suficientemente grande, enta˜o ∀n ≥ n�
teremos 1/n ∈ (−�+ 0, 0+ �). Ou seja, esperando o tempo suficiente n�, a partir dali
a sequeˆncia 1/n na˜o sai mais da gaiola (−�+ 0, 0 + �). Simbolicamente escreveremos
lim
n→+∞
1
n
= 0,que leˆ-se assim: zero e´ o limite da sequeˆncia 1/n ou a sequeˆncia tende a zero
Veremos adiante que ha´ sequeˆncias que tendem de diversas maneiras diferentes
a pontos, algumas va˜o decrescendo em valores como a (xn)n = 1/n, outras va˜o
crescendo como−1/n, outras va˜o oscilando e assim por diante, mas o que e´ importante
e´ que:
• elas entram em qualquer cerca estabelecida em torno de seu limite, desde
que se espere o tempo n� suficiente e
• depois de la´ entrarem na˜o mais saem.
Veremos tambe´m que podemos combinar sequeˆncias simples (cujo limite podemos
intuir facilmente) para criar sequeˆncias complicadas, das quais na˜o e´ poss´ıvel ter uma
intuic¸a˜o de seu limite (exceto algue´m com poderes para-normais ...). Mesmo assim
poderemos matematicamente determinar esses limites.
2. Limites de sequeˆncias
O conceito de limite e´ o conceito fundamental do Ca´lculo, de onde surgem out-
ras noc¸o˜es importantes como continuidade, derivada e integral. Por isso este e´ um
Cap´ıtulo um pouco mais extenso.
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 49
Imagine uma ma´quina, um sistema ou um processo tal que para um certo input
x da´ um certo output f(x). Agora imagine que para um input parecido x + h (com
h pequeno) da´ um output parecido: f(x+ h) = f(x) + δ, com δ pequeno.
Apesar de ser uma situac¸a˜o plaus´ıvel, da qual temos muitos exemplos no dia a dia,
tambe´m sabemos que ha´ exemplos da situac¸a˜o oposta, em que, apesar de x + h ∼ x
temos f(x + h) muito diferente de f(x). Essas duas possibilidades sa˜o t´ıpicas de
processos cont´ınuos e descont´ınuos, respectivamente.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ definir essas noc¸o˜es precisamente, pois nelas se apoiam
os dois conceitos centrais do Curso: Derivada e Integral.
3. Definic¸a˜o e Propriedades fundamentais
Vamos comec¸ar com a Definic¸a˜o 3.1, que e´ mais precisa e importante do que
parece.
Nela destaco que ha´:
• uma enorme exigeˆncia: onde dizemos ∀� >, e
• uma imposic¸a˜o: a de que a partir de um certo n� a sequeˆncia na˜o mais saia
de uma regia˜o onde entrou.
Definic¸a˜o 3.1. Um sequeˆncia (xn)n tende a um ponto L se ∀� existe n� ∈ N tal que
se n ≥ n� enta˜o xn ∈ (−�+ L, L+ �).
Ha´ diferentes formas pelas quais uma sequeˆncia pode tender a um limite; em
particular, com diferentes velocidades.
Por exemplo, Afirmo que xn =
1
n2
tende a 0 mais rapidamente do que zn =
1
n
o
faz. Ou seja, Afirmo que o tempo n�(zn) de espera para ter zn < � e´ menor que o
tempo n�(xn) que tenho de esperar para ter xn < �. De fato,
1:
n�(zn) = d
√
1
�
e, n�(xn) = d1
�
e,
e e´ claro que
√
1
�
≤ 1
�
para � pequeno.
Nos argumentos discutidos abaixo teremos a`s vezes que esperar o tempo n su-
ficiente para que duas ou mais sequeˆncias se aproximem de onde queremos. Como
podem ser diferentes, por precauc¸a˜o tomamos o maior dentre eles, para que as duas
ou mais sequeˆncias estejam onde queremos.
Teorema 3.1. (Propriedades fundamentais de sequeˆncias)
Sejam (xn)n e (zn)n duas sequeˆncias, com
lim
n→+∞
xn = L1 e lim
n→+∞
zn = L2.
Enta˜o:
1) A sequeˆncia soma (xn + zn)n tem
lim
n→+∞
(xn + zn) = L1 + L2.
1onde d4e significa o primeiro nu´mero Natural maior ou igual que 4 ∈ R.
3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 50
2) A sequeˆncia diferenc¸a (xn − zn)n tem
lim
n→+∞
(xn − zn) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a sequeˆncia (C · xn) tem
lim
n→+∞
(C · xn) = C · L1.
4) Seja (qn)n uma sequeˆncia qualquer tal que
∀n, |qn| ≤ K,
para algum K. Se L1 = 0 enta˜o limn→+∞(qn · xn) = 0
5) A sequeˆncia produto (xn · zn)n tem
lim
n→+∞
(xn · zn) = L1 · L2.
6) Se L2 6= 0, enta˜o:
• i) a partir de um certo n, zn 6= 0 e
• ii) limn→+∞ xnzn = L1L2 .
7) Suponha adicionalmente que a partir de um certo n, xn ≤ L1 e que, para uma
sequeˆncia qualquer qn, a partir de um certo n temos
xn ≤ qn ≤ L1.
Enta˜o
lim
n→+∞
qn = lim
n→+∞
xn = L1.
Demonstrac¸a˜o. (de alguns itens do Teorema 3.1)
Prova de 1) Nesse primeiro item, o ponto a lembrar e´ que xn e zn se aproximam
cada uma de um nu´mero a princ´ıpio distinto e que cada uma delas o faz possivelmente
com velocidade diferente.
O que queremos provar? Queremos saber se, esperando um tempo n� suficiente,
conseguimos que:
xn + zn ∈ (−�+ L1 + L2, L1 + L2 + �),
ou seja, como ja´ explicamos, se |xn+ yn− (L1+L2)| < �. Vamos traduzir esta u´ltima
condic¸a˜o de outro modo, que leva em conta as duas hipo´teses sobre xn e zn
2:
|xn + yn − (L1 + L2)| = |xn − L1 + yn − L2| ≤
≤ |xn − L1|+ |yn − L2|.
Agora fazemos o seguinte: esperamos tempo suficiente n� para que tenhamos
∀n ≥ n�, |xn − L1| < �
2
e |zn − L2| < �
2
.
2No u´ltimo passo uso uma desigualdade (chamada desigualdade triangular, ver Exerc´ıcio 6.3)
que vale para quaisquer nu´meros Reais � e 4:
|�+4| ≤ |�|+ |4|
, no nosso caso aplicadoa para � = xn − L1 e 4 = yn − L2
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 51
Enta˜o obtemos de acima:
|xn + yn − (L1 + L2)| ≤ |xn − L1|+ |yn − L2| < �
2
+
�
2
= �,
exatamente o que quer´ıamos provar.
Prova de 2): Ana´loga a` do 1), apenas fazendo agora:
|(xn − yn)− (L1 − L2)| = |xn − L1 + L2 − zn| ≤ |xn − L1|+ |L2 − zn|.
Prova de 3): agora queremos que a partir de um certo n�:
|C · xn − C · L1 | < �.
E´ claro que posso supor C 6= 0, sena˜o tudo e´ o´bvio.
Ora enta˜o o que queremos e´ provar que:
|C · (xn − L1) | < �,
ou seja3 queremos que
|C| · |xn − L1| < �.
Noto agora que, se espero tempo n� suficiente, tenho:
|xn − L1| < �
C
, onde C 6= 0
pois xn se aproxima tanto quanto quisermos de L1. Enta˜o juntando as informac¸o˜es:
|C · xn − C · L1| = |C| · |xn − L1| < C · �
C
= �,
exatamente o que quer´ıamos.
Prova de 4): Aqui o que fazemos e´ esperar o tempo n� suficiente para que |xn| < �K
(estou supondo que K 6= 0, pois se K = 0, enta˜o a h´ıpo´tese |qn| ≤ 0 diz que qn = 0
∀n e tudo e´ o´bvio, pois a sequeˆncia 0 · xn e´ a sequeˆncia constante, igual a 0). Enta˜o
para n ≥ n� :
|qn · xn| = |qn| · |xn| < K · �
K
= �,
como quer´ıamos.
Prova de 5): Queremos fazer
| xn · zn − L1 · L2 | < �.
dese que n cresc¸a o suficiente.
Mas posso escrever:
| xn · zn − L1 · L2 | =
= | xn · zn−xn · L2 + xn · L2︸ ︷︷ ︸
0
−L1 · L2 | =
= | xn · (zn − L2) + L2 · (xn − L1) | ≤
≤ | xn · (zn − L2) |+ |L2 · (xn − L1) | =
= | xn| · | (zn − L2) |+ |L2 | · | (xn − L1) |
3Para quaiquer nu´meros Reais � e 4 sempre vale:
|� · 4| = |�| · |4|;
no nosso caso, uso para � = C e 4 = xn − L1
3. DEFINIC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 52
E agora noto que |xn| ≤ K para alguma K , pois xn tende ao L1 ∈ R. E tanto
| (xn−L1) | quanto | (zn−L2) | se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, pois zn tende a
L2 e xn tende a L1.
Logo | xn · zn − L1 · L2 | fica ta˜o pequeno quanto quisermos.
Prova de 6): Primeiro afirmo que a partir de um certo n temos
|L2
2
| < |zn|.
Se L2 > 0, a partir de um certo n temos
0 <
L2
2
< zn
pois L2
2
< L2 = lim zn. E se L2 < 0, a partir de um certo n
zn <
L2
2
< 0
pois lim zn = L2 <
L2
2
.
Ou seja, a partir de um certo n:
|L2
2
| < |zn|
e em particular a partir desse n, temos zn 6= 0.
No que segue ja´ suponho que tomei esse n para que a partir dele:
|L2
2
| < |zn|.
Enta˜o ale´m de podermos dividir pelos zn, podemos afirmar que
|L2|2
2
< |zn| · |L2|
e portanto
1
|zn · L2| <
2
|L2|2 .
Portanto
| 1
zn
− 1
L2
| = |L2 − zn
zn · L2 | =
= | 1
zn · L2 | · |L2 − zn| ≤
≤ 2|L2|2 · |L2 − zn|.
Mas |L2−zn| se faz ta˜o pequeno quanto quisermos, desde que esperemos possivelmente
um tempo n ainda maior, ja´ que lim zn = L2.
Por exemplo, podemos esperar um n a partir do qual valha |L2
2
| < |zn| e tambe´m
|L2 − zn| < � · L
2
2
2
,
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 53
o que da´
| 1
zn
− 1
L2
| < 2|L2|2 ·
� · L22
2

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