Lista de exercícios 3 - GA - Produto vetorial e Produto misto

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Curso: Engenharia					Termo: 1o	
Disciplina: Geometria Analítica			Professora: Gabriela Pereira Sander
Lista de exercícios 3 - Produto vetorial e Produto misto
Dados os vetores , e determine:
Dados os vetores e 
Utilize o produto escalar para mostrar que e são paralelos.
Utilize o produto vetorial para mostrar que e são paralelos.
Determine um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos , e .
Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores e .
Sabendo que , e o ângulo entre eles, calcule:
Determine , sabendo , e é unitário.
(Use a relação: )
Uma aplicação de Produto Vetorial
	O produto vetorial é uma importante ferramenta matemática para a Física, dentre algumas de suas aplicações podemos citar o torque.
	O torque é uma grandeza vetorial e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação. Pode-se calcular o torque por
,
sendo a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. 
	Representando por ângulo entre e , a intensidade do torque é, portanto, 
Determine o vetor torque sobre a barra AB, onde (em metros), (em Newtons) e o eixo de rotação é o eixo z.
Na situação anterior, calcule a intensidade do torque de torção da barra AB sobre o eixo z.
Sem alterar o eixo de rotação do sistema apresentado, determine a direção da força para que a intensidade do torque seja máximo. Justifique.
Uma aplicação geométrica de Produto Vetorial
Sejam e vetores não nulos e linearmente independentes. Considere e representantes de e , respectivamente, e, no paralelogramo formado por lados paralelos a estes vetores (conforme apresentado na figura ao lado), represente por a distância de à reta . Sendo o ângulo , temos
,	isto é,	.
Logo, a área do paralelogramo em questão é dada por:
.
Ou seja, é numericamente igual à área do paralelogramo determinado pelos vetores e .
Na situação discutida acima, dados os vetores e , calcule
a área do paralelogramo determinado por e .
a altura do paralelogramo relativa à base definida por .
Dados os vetores e , calcule
a área do paralelogramo determinado por e ;
a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .
Calcule o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por e seja igual a (ua).
(Se precisar, use as relações: e )
Verificar se os seguintes vetores são coplanares:
, e 
, e 
Uma aplicação geométrica de Produto Misto
Sejam , e vetores não nulos e linearmente independentes em . Considere os representantes , e . No paralelepípedo determinado pelos vetores , e (conforme figura ao lado), sabemos que seu volume é calculado por
,
sendo a área da base e a altura correspondente.
Sendo a base determinada pelos vetores e , sua área pode ser calculada por:
.
Também, é numericamente igual ao módulo da projeção de sobre , isto é,
.
Assim, o volume do paralelepípedo em questão é:
.
Considerando o apresentado acima, 
calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores , e ;
determine o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja .
Qual o volume do cubo determinado pelos vetores , e ?
Um paralelepípedo é determinado pelos vetores , e . Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores e .
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores , e seja igual a 33. 
Respostas
	a) 		b) 		c) 		d) 		e) 		f) 		g) 		h) 		i) 		j) 			k) 			l) 		m) 		n) 			o) 			p) 
	Um vetor ortogonal ao plano que contém os pontos dados é . Qualquer vetor paralelo a este também será ortogonal a este plano.
	 ou 
	a) 			b) 
	
	a) 		b) 		c)
	a) 		b) 
	a) 		b) 
	 ou 
	a) não coplanares		b) coplanares
	a) 			b) ou 
	
	
	 ou