Curso Completo de Topografia - Aula 2 - –Revisão da matemática aplicada

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Table of Surveying, from the 1728 ''Cyclopaedia'', Volume 2. 
TOPOGRAFIA 
[Unidade II – Revisão da matemática aplicada] 
Prof.: David Gurion Tiago 
david.guriont@gmail.com 
T O P O G R A F I A 
[Unidade II] 
Prof.: David Gurion Tiago 
 NOTAS GERAIS: 
 
a. Este material foi desenvolvido tomando como referência as bibliografias 
informadas no plano de ensino desta disciplina, monografias, trabalhos de 
conclusão de curso, dissertações, teses entre outras referências que podem ser 
acessadas na Internet. Sobretudo, é pautada na experiência profissional do 
professor, adquirida no decorrer de vários anos de trabalho; 
 
b. Àqueles que também fazem parte de um corpo docente e queiram adotar este 
material como referência, podem entrar em contato solicitando este material em 
forma de apresentação (slides); 
 
c. Este material está em constante processo de aperfeiçoamento, e 
consequentemente, sofre constantes revisões. Mantenha-se informado quanto ao 
número da revisão expresso na capa desta apostila e, se necessário, o item “b” 
deve ser reiterado; 
 
d. Espera-se fielmente que este material possa ser útil à todos. 
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 ÍNDICE 
4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.1 Definição 
4.1.2 Variação angular 
4.1.3 Equivalência 
4.1.4 Forma escrita 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.5 Classificação 
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ÍNDICE 
4.1.6 Operações 
 a) Adição 
 b) Subtração 
 c) Multiplicação 
 d) Divisão 
4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 
4.2.1 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo 
4.2.2 Teorema de Pitágoras 
4.2.3 Exercícios 
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 ÍNDICE 
4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS COM O TRIÂNGULO RETÂNGULO 
4.4 TRIÂNGULO QUALQUER 
4.4.1 Lei dos Senos 
4.4.2 Lei dos cossenos 
4.4.3 Exercícios 
4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.1 Definição 
Chama-se ângulo a região compreendida entre duas semi-retas de mesma 
origem não contidas numa mesma reta. O ângulo (α) tem como vértice o 
ponto O. As semirretas r e s são os lados do ângulo. 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.2 ÂNGULOS – Variação angular 
 
 
. Os ângulos são medidos geralmente por (°) 
graus, (′) minutos e (″) segundos e variam de 0° a 
360°, sendo 
 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.3 ÂNGULOS – Equivalência 
 
 
 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.4 ÂNGULOS – Forma escrita dos ângulos 
 
 
 
Forma escrita: 
 
. Sexagesimal (Graus, Minutos, Segundos) 
 
. Decimal (Graus) 
 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.4 ÂNGULOS – Forma escrita dos ângulos (cont...) 
 
 
 
Forma escrita: 
 
. Sexagesimal (Graus, Minutos, Segundos) 
 
. Decimal (Graus) 
 
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4.1 ÂNGULOS 
4.1.5 Classificação 
a) Agudo 
b) Reto 
c) Raso 
d) Obtuso 
e) Nulo 
 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.6 Operações 
 a) Adição 
 
b) Subtração 
 
c) Multiplicação 
 
d) Divisão 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.6 Operações| Exercícios 
a) Adição 
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Exercício 2 
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4.1 ÂNGULOS 
4.1.6 Operações| Exercícios 
b) Subtração 
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Exercício 3 
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4.1 ÂNGULOS 
4.1.6 Operações| Exercícios 
c e d) Multiplicação/Divisão 
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Exercício 4 
 
4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.1 ÂNGULOS 
4.1.6 Operações| Exercícios propostos 
Exercício 5) 
 
a) Escreva os ângulos abaixo na forma decimal: 
 
 
 
 
b) Faça a soma dos seguintes ângulos: 
 
 
 
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c) Faça a subtração dos seguintes ângulos: 
 
 
 
 
d) Faça a multiplicação dos seguintes ângulos por 
números naturais, e após, divida por 3: 
 
 
 
4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 
 
A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos 
das relações métricas entre os lados e os ângulos de um 
triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas 
de navegação, Agrimensura e Astronomia. 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 
4.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo 
A soma dos ângulos internos de um 
triângulo é iguala 180°. A partir da 
figura apresentada ao lado podem ser 
estabelecidas as seguintes relações: 
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4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 
4.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo (Continuação ...) 
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“O quadrado do comprimento da 
hipotenusa é igual a soma dos 
quadrados dos comprimentos dos 
catetos.” 
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4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 
4.2.2 Teorema de Pitágoras 
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Exercício 1 – Um observador na 
margem de um rio vê o topo de uma 
torre na outra margem segundo um 
ângulo de 56º00’00”. Afastando-se 
de 20,00m, o mesmo observador vê a 
mesma torre segundo um ângulo de 
35º 00’00”. Calcule a largura do rio: 
4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 
4.2.3 Exercícios 
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Exercício 2 – No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas 
4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.2 TRIGONOMETRIA PLANA 
4.2.3 Exercícios 
4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Para um triângulo retângulo ABC pode-
se estabelecer algumas relações entre 
as medidas de seus elementos: 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...) 
 
a) O quadrado de um cateto é igual ao 
produto da hipotenusa pela projeção 
desse cateto sobre a hipotenusa. 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...) 
 
b) O produto dos catetos é igual ao 
produto da hipotenusa pela altura 
relativa à hipotenusa. 
 
c) O quadrado da altura é igual 
ao produto das projeções dos catetos 
sobrea hipotenusa. 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...) 
 
d) O quadrado da hipotenusa é 
igual a soma dos quadrados dos 
catetos. 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...) 
 
Exercício: 
 
A partir da primeira 
relação métrica, deduzir 
o Teorema de Pitágoras: 
 
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4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (Continuação ...) 
“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo 
oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência 
circunscrita”. 
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4.3 TRIÂNGULO QUALQUER 
4.3.1 Lei dos Senos 
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do 
produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles 
formam”. 
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4.3 TRIÂNGULO QUALQUER 
4.3.1 Lei dos Cossenos 
Um topógrafo, a partir dos pontos A 
e B, distantes de 20 m, realiza a 
medição dos ângulos horizontais a duas 
balizas colocadas em D e C, com o 
auxílio de um teodolito. Calcule a 
distância entre as balizas: 
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 4.0 REVISÃO DA MATEMÁTICA APLICADA 
4.3 TRIÂNGULO QUALQUER 
4.3.1 Exercício