Aula 4 parte B

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Prof. Dr. José Carlos Rodrigues
Introdução
Caminho Livre 
médio
Distribuição de 
Maxwell
Velocidades
Velocidades 
Média 𝒗𝒎é𝒅
Velocidades 
Média Quadrática 
𝒗𝒓𝒎𝒔
Velocidade 
Mais Provável 
𝒗𝒑
VNd 22
1

 
 = Caminho Livre Médio
No intervalo de tempo ∆𝑡 , a
molécula móvel efetivamente
percorre um cilindro de
comprimento 𝑣∆𝑡 e de raio 𝑑:
𝑣 =
𝐿
∆𝑡
⇒ 𝐿 = 𝑣∆𝑡
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐿
𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑑
2 × 𝑣∆𝑡
𝑁° 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 =
𝑁
𝑉
𝜋 × 𝑑2 × 𝑣 × ∆𝑡
𝑁°𝐶𝑜𝑙𝑖𝑠õ𝑒𝑠 =
𝑁
𝑉
𝜋 × 𝑑2 × 𝑣 × ∆𝑡
𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝜆 =
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 Δ𝑡
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠õ𝑒𝑠 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 Δ𝑡
𝜆 =
𝑣 × ∆𝑡
𝑁
𝑉 𝜋 × 𝑑
2 × 𝑣 × ∆𝑡
𝜆 =
𝑣 × ∆𝑡
𝑁
𝑉 𝜋 × 𝑑
2 × 𝑣 × ∆𝑡
𝜆 =
1
𝑁
𝑉 𝜋 × 𝑑
2
𝜆 =
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 Δ𝑡
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠õ𝑒𝑠 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 Δ𝑡
𝜆 =
𝑣 × ∆𝑡
𝑁
𝑉 𝜋 × 𝑑
2 × 𝑣 × ∆𝑡
𝜆 =
𝑣𝑚é𝑑 × ∆𝑡
𝑁
𝑉 𝜋 × 𝑑
2 × 𝑣𝑟𝑒𝑙 × ∆𝑡
𝒗𝒓𝒆𝒍 = 𝟐 × 𝒗𝒎é𝒅
𝜆 =
𝑣𝑚é𝑑 × ∆𝑡
𝑁
𝑉 𝜋 × 𝑑
2 × 2 × 𝑣𝑚é𝑑 × ∆𝑡
𝜆 =
1
2 ×
𝑁
𝑉 × 𝜋 × 𝑑
2
Mas:
Em 1852, o físico escocês James Clerk Maxwell resolveu
pela primeira vez o problema de encontrar a distribuição
das velocidades moleculares de um gás.
(Eq. 1)
𝐹 𝑣 = 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Fig. (a)Distribuição de velocidades de Maxwell para moléculas 
de oxigênio a T=300K; (b) As curvas para T=300 K e T=80 K.
 
0
∞
𝐹 𝑣 𝑑𝑣 = 1
𝑣𝑚é𝑑 = 
0
∞
𝑣 × 𝐹 𝑣 × 𝑑𝑣 𝑣𝑚é𝑑 =
8𝑅𝑇
𝜋 ×𝑀𝑜𝑙
Como Resolver:
 
0
∞
𝑥2𝑛+1 𝑒−𝑎𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝑛!
2𝑎𝑛+1
𝑣𝑚é𝑑 = 
0
∞
𝑣 × 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
𝑣2𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇𝑑𝑣 ×
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
× 
0
∞
𝑣𝟑𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇𝑑𝑣
𝑎 =
𝑀𝑜𝑙
2𝑅𝑇
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
× 
0
∞
𝑣𝟑𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇𝑑𝑣
 
0
∞
𝑥2𝑛+1 𝑒−𝑎𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝑛!
2𝑎𝑛+1
𝑛 = 1 2𝑛 + 1 = 3 (𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣)
Então:
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
×
𝒏!
𝟐 𝒂 𝒏+𝟏
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
×
𝟏!
𝟐
𝑀𝑜𝑙
2𝑅𝑇
𝟏+𝟏
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋 ×
2 𝑀𝑜𝑙3
2𝜋𝑅𝑇 3
×
1
2 ×
𝑀𝑜𝑙2
4 × 𝑅𝑇 2
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋 ×
2 𝑀𝑜𝑙3
2𝜋𝑅𝑇 3
×
1
𝑀𝑜𝑙2
2 × 𝑅𝑇 2
= 4𝜋 ×
2 𝑀𝑜𝑙3
2𝜋𝑅𝑇 3
×
2 𝑅𝑇 2
𝑀𝑜𝑙2
Todos os termos devem ser colocados dentro 
do sinal de radiciação (siga as cores), assim:
𝑣𝑚é𝑑 = 4𝜋 ×
2 𝑀𝑜𝑙3
2𝜋𝑅𝑇 3
×
2 𝑅𝑇 2
𝑀𝑜𝑙2
=
2 4𝜋 2 ×𝑀𝑜𝑙3 × 2 𝑅𝑇 2 2
2𝜋𝑅𝑇 3 × 𝑀𝑜𝑙2 2
𝑣𝑚é𝑑 =
2 4 2𝜋2 ×𝑀𝑜𝑙3 × 4 × 𝑅𝑇 4
8 × 𝜋3 × 𝑅𝑇 3 ×𝑀𝑜𝑙4
=
2 8 × 𝑅𝑇
𝜋 ×𝑀𝑜𝑙
𝑣𝑚é𝑑 =
2 8 × 𝑅𝑇
𝜋 ×𝑀𝑜𝑙
(C.Q.D)
𝑣2 𝑚é𝑑 = 
0
∞
𝑣2 × 𝐹 𝑣 × 𝑑𝑣 𝑣2 𝑚é𝑑 =
3𝑅𝑇
𝑀𝑜𝑙
𝑣𝑟𝑚𝑠 = 𝑣2 𝑚é𝑑 𝑣𝑟𝑚𝑠 =
3𝑅𝑇
𝑀𝑜𝑙
Para resolver a Integral deve-se aplicar:
 
0
∞
𝑥2𝑛𝑒−𝑎𝑥
2
𝑑𝑥 =
1 × 3 × 5 ×⋯× (2𝑛 − 1)
2𝑛+1 × 𝑎𝑛
×
𝜋
𝑎
𝑣2 𝑚é𝑑 = 
0
∞
𝑣2 × 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
𝑣2𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇 × 𝑑𝑣
𝑣2 𝑚é𝑑 = 
0
∞
𝑣2 × 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
𝑣2𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇 × 𝑑𝑣
𝑣2 𝑚é𝑑 = 
0
∞
4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
𝑣𝟒𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇 × 𝑑𝑣
𝑣2 𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
× 
0
∞
𝑣𝟒𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇 × 𝑑𝑣
Aplicando: 
0
∞
𝑥2𝑛𝑒−𝑎𝑥
2
𝑑𝑥 =
1 × 3 × 5 ×⋯× (2𝑛 − 1)
2𝑛+1 × 𝑎𝑛
×
𝜋
𝑎
Temos que:
2𝑛 = 4 → 𝑛 = 2 𝑎 =
𝑀𝑜𝑙
2𝑅𝑇
𝑣2 𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
× 
0
∞
𝑣𝟒𝑒 −𝑀𝑜𝑙×𝑣
2 2𝑅𝑇 × 𝑑𝑣
𝑣2 𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
×
1 × (2 × 2 − 1)
22+1 × 𝑎𝑛
×
𝜋
𝑎
3
𝑣2 𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
×
1 × 3
23 × 𝑎2
×
𝜋
𝑎
𝑣2 𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
×
1 × 3
8 × 𝑎2
×
𝜋
𝑎
𝑣2 𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
×
1 × 3
8 × 𝑎2
×
𝜋
𝑎
𝑣2 𝑚é𝑑 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
×
3
8
×
𝜋
𝑎5
𝑣𝑚é𝑑 =
2 4 2𝜋2 ×𝑀𝑜𝑙3
8 × 𝜋3 × 𝑅𝑇 3
×
3
8
×
2 32 × 𝜋 × 𝑅𝑇 5
𝑀𝑜𝑙5
𝑎 =
𝑀𝑜𝑙
2𝑅𝑇
𝑣𝑚é𝑑 =
2 4 2𝜋2 ×𝑀𝑜𝑙3 × 32 × 𝜋 × 𝑅𝑇 5
8 × 𝜋3 × 𝑅𝑇 3 ×𝑀𝑜𝑙5
×
3
8
𝑣2 𝑚é𝑑 =
2 4 2𝜋2 ×𝑀𝑜𝑙3 × 32 × 𝜋 × 𝑅𝑇 5
8 × 𝜋3 × 𝑅𝑇 3 ×𝑀𝑜𝑙5
×
3
8
𝑣2 𝑚é𝑑 =
2 4 2 × 4 × 𝑅𝑇 2
𝑀𝑜𝑙2
×
3
8
=
2 64 × 𝑅𝑇 2
𝑀𝑜𝑙2
×
3
8
𝑣2 𝑚é𝑑 =
8 × 𝑅𝑇
𝑀𝑜𝑙
×
3
8
=
3𝑅𝑇
𝑀𝑜𝑙
𝑣2 𝑚é𝑑 =
3𝑅𝑇
𝑀𝑜𝑙
(C.Q.D)
É a velocidade na qual F(v) é máxima (veja Figura nos slides
anteriores). Para calcularmos Vp, fazemos dF/dv = 0 (a inclinação da
curva na Figura é nula no máximo da curva) e então resolvemos para v.
Que resulta:
𝑣𝑝 =
2𝑅𝑇
𝑀𝑜𝑙
𝑪 = 4𝜋
𝑀𝑜𝑙
2𝜋𝑅𝑇
3/2
Derivada do Produto: 𝑢𝑣 = 𝑢´𝑣 + 𝑢𝑣 ´
𝑎 = 𝑀𝑜𝑙 × 𝑣2 2𝑅𝑇
No ponto de máximo: 
𝑑𝐹
𝑑𝑣
= 0
Temos : ou
0 = 1 − 𝑀𝑜𝑙 × 𝑣2 2𝑅𝑇
𝑎 = 𝑀𝑜𝑙 2𝑅𝑇
𝑣𝑝 =
2𝑅𝑇
𝑀𝑜𝑙
(C.Q.D)
Relação entre as Velocidades
m
Tk
m
Tk
v
m
Tk
m
Tk
v
m
Tk
m
Tk
vv
BB
mp
BB
BB
rms
41,1
2
60,1
8
73,1
32




mprms vvv 
Relação entre as Velocidades
Aplicações da Distribuição de Velocidades Moleculares na Natureza
Chuva
A distribuição de moléculas de
água, por exemplo, em uma
lagoa em temperaturas de verão,
pode ser representada por uma
curva como a apresentada no
slide anterior.
Luz Solar
A energia do sol é fornecida por
um processo de fusão nuclear
que começa com a junção de dois
prótons. Os prótons se repelem
devido as suas cargas e somente
prótons de alta velocidade podem
vencer as forças repulsivas.
vev
RT
Mol
vvPfr RTMol v 





  22
2/3
2
2
4)( 
Aplicação - (Problema 19-5 Halliday) 
 
31,2
/_31,8)(2(
)/_600)(/_0320,0(
2
/_1092,2
)300)(/_31,8)(2(
/_0320,0
2
))()()((4
22
339
2/32/3
2




















B
KMolJ
smMolkg
RT
Molv
B
msA
KKMolJ
Molkg
RT
Mol
A
vevAf Br


%262,01062,2
)/_2)(()/_600)(/1092,2)(4(
))()()()(4(
3
31,22339
2





r
r
B
r
f
smesmmsf
vevAf


Para calcularmos a fração fr em partes, podemos escrever: