Modelo Atômico de Bohr

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Prof. Dr. José Carlos Rodrigues
Introdução
Efeito 
Fotoelétrico
Relação 
Planck-Einstein
Modelo 
Atômico de 
Bohr
Relação Bohr
Rydberg
Revendo Séries
Espectrais
O Átomo de 
Bohr
História
Conceitos
Classificação
Efeito Fotoelétrico
Einstein
Átomo de Bohr
O Átomo de Bohr
Séries Espectrais
Séries 
Definições
Exemplos
Introdução
Exercícios
26/07/2015 4
𝑝 =
ℎ

=
ℎ
𝑐/𝑣
=
ℎ
𝑐
ℎ
𝐸
=
𝐸
𝑐
𝐸 = 𝑚𝑐2
𝑬𝒄 = ℎ(𝝂 − 𝝂0)
𝑞𝑉0 = 𝐸𝑀𝑎𝑥 = 𝑬𝒄
A energia máxima do elétron
emitido é encontrada ser igual a :
𝑞𝑉0 = ℎ(𝑣 − 𝑣0)
𝑬𝒄 = ℎ𝝂 − 𝒉𝝂𝟎
𝒉𝝂𝟎 = 𝚽
𝜱 = Função Trabalho
𝑬𝒄 = ℎ𝝂 −𝚽
𝒒𝑉0 = ℎ(𝑣 − 𝑣0)
𝝂 =
𝜔
2𝜋
𝐸 = ℎ𝝂 = ħ𝜔 𝑝 = ħ𝑘
𝑝 = 𝑚𝑣 → 𝑝 = 𝑚𝑐𝐸 = 𝑚𝑐2 → 𝑐 =
𝐸
𝑚𝑐
𝑝 = 𝑚 ×
𝐸
𝑚𝑐
→ 𝑝 =
𝐸
𝑐
𝑝 =
ℎ𝜈
𝑐
𝑝 =
ℎ
𝜆
𝑘 =
2𝜋
𝜆
→ 𝜆 =
2𝜋
𝑘
𝑝 =
ℎ
 2𝜋 𝑘
= ℏ𝑘
Relação Energia x Frequência Relação Momento x n° Onda
∴
26/07/2015 10
Niels Bohr (1885-1962)
26/07/2015 11
Niels Bohr (1885-1962)
𝐿 = 𝑛 ×
ℎ
2𝜋
= 𝑛 × ℏ
26/07/2015 12
Niels Bohr (1885-1962)
ℎ𝜈 = 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
26/07/2015 13
𝐹𝑒 =
1
4𝜋𝜀0
×
𝑧𝑒2
𝑟2
𝐹𝐶 = 𝑚
𝑣2
𝑟
26/07/2015 14
𝐹𝑒 = 𝐹𝑐
4. Para manter-se a condição de estabilidade orbital, tem-se
que : Força eletrostática = força centrípeta.
1
4𝜋𝜀0
×
𝑧𝑒2
𝑟2
= 𝑚
𝑣2
𝑟
26/07/2015 15
𝐿 = 𝑚𝑟𝑣
𝑛ℏ = 𝑚𝑟𝑣 𝑣 =
𝑛ℏ
𝑚𝑟
𝑛 = 1,2,3,4…
1
4𝜋𝜀0
×
𝑧𝑒2
𝑟2
= 𝑚
𝑣2
𝑟
𝑧𝑒2=4𝜋𝜀0 × 𝑟
2 ×
𝑚
𝑟
× 𝑣2
26/07/2015 16
𝑧𝑒2=4𝜋𝜀0 × 𝑟
2 ×
𝑚
𝑟
× 𝑣2
𝑧𝑒2=4𝜋𝜀0 × 𝑟 ×𝑚 ×
𝑛ℏ
𝑚𝑟
2
𝑧𝑒2=4𝜋𝜀0 ×
𝑛2ℏ2
𝑚×𝑟
26/07/2015 17
𝑟 = 4𝜋𝜀0 ×
𝑛2ℏ2
𝑚× 𝑧 × 𝑒2
𝜖0 = 8,85 × 10
−12 𝐶2 𝑁.𝑚
ℏ = 1,054 × 10−34𝐽. 𝑠
𝑚 = 9,11 × 10−31𝑘𝑔
𝑒 = 1,60 × 10−19𝐶
𝑟 = 5,29 × 10−11𝑚
𝑟 ≅ 0,53Å
26/07/2015 18
𝐸 = 𝐾 + 𝑉
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2
𝑧𝑒2=4𝜋𝜀0 × 𝑟 ×𝑚 × 𝑣
2
𝑣2 =
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0 × 𝑟 ×𝑚
𝐾 =
1
2
×𝑚 ×
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0 × 𝑟 ×𝑚
𝐾 =
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0 × 2𝑟
26/07/2015 19
Da definição de Diferença de Trabalho da Força Elétrica, temos que:
𝑻𝑹𝑨𝑩𝑨𝑳𝑯𝑶 𝑾 = 𝑬𝑵𝑬𝑹𝑮𝑰𝑨 𝑬
𝑉 = −𝑒 
𝑟
∞ 𝑧𝑒
4𝜋𝜀0𝑟2
𝑑𝑟
𝑉 = − 
𝑟
∞ 𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0𝑟2
𝑑𝑟 = −
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0𝑟
Resultado obtido após considerar-se os limites de integração
𝑊 = −𝑄 
𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙
𝐸 × 𝑑𝐿
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𝐸 = 𝐾 + 𝑉 =
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0 × 2𝑟
−
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0𝑟
=
1
2
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0𝑟
−
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0𝑟
𝐸 = 𝐾 + 𝑉 = −
1
2
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀0𝑟
= −
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀02𝑟
𝐸 = −
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀02𝑟
= −𝐾
𝐸 = −𝐾
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𝐸 = −
𝑧𝑒2
4𝜋𝜀02𝑟
𝑟 =
4𝜋𝜀0 × 𝑛
2ℏ2
𝑚 × 𝑧 × 𝑒2
𝐸 = −
𝑚𝑧2𝑒4
2 × 4𝜋𝜀0 2 × ℏ2
×
1
𝑛2
n = 1,2,3,4…
26/07/2015 22
𝐸 = −
𝑚𝑧2𝑒4
2 × 4𝜋𝜀0 2 × ℏ2
×
1
𝑛2
n = 1,2,3,4…
26/07/2015 23
𝑬 = −
𝒎𝒛𝟐𝒆𝟒
𝟐 × 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟐 × ℏ𝟐
×
𝟏
𝒏𝟐
26/07/2015 24
𝐸 = −
𝑚𝑍2𝑒4
2 × 4𝜋𝜀0 2 × ℏ2
×
1
𝑛2
𝐸 = ℎ𝜈 (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐𝑘 − 𝐸𝑖𝑛𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛) 𝜈 =
𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
ℎ
(𝐵𝑜ℎ𝑟)
𝜈 =
1
4𝜋𝜀0
2
×
𝑚𝑍2𝑒4
4𝜋ℏ3
×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
ℎ = 2𝜋 × ℏ 𝜈 =
𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
2𝜋ℏ
(𝐵𝑜ℎ𝑟)
26/07/2015 25
𝜈 =
𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
ℎ
=
1
4𝜋𝜀0
2
×
𝑚𝑍2𝑒4
4𝜋ℏ3
×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
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Definindo o número de onda:
 𝜈 =
1
𝜆
=
𝜈
𝑐
 𝜈 = 𝑘 =
2𝜋
𝜆
Também pode ser representado por:
• Obtém-se então a equação para o número de onda
𝜈 =
1
4𝜋𝜀0
2
×
𝑚𝑍2𝑒4
4𝜋ℏ3
×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
1
𝜆
=
𝜈
𝑐
=
1
4𝜋𝜀0
2
×
𝑚𝑍2𝑒4
4𝜋ℏ3𝑐
×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
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1
𝜆
=
𝜈
𝑐
=
1
4𝜋𝜀0
2
×
𝑚𝑍2𝑒4
4𝜋ℏ3𝑐
×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
1
𝜆
=
1
4𝜋𝜀0
2
×
𝑚𝑒4
4𝜋ℏ3𝑐
× 𝑍2 ×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
1
𝜆
= 𝑅∞ × 𝑍
2 ×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2 𝑅∞ = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
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1. As previsões essenciais do modelo de Bohr estão contidas nas
equações de energia e do número de onda.
𝐸 = −
𝑚𝑧2𝑒4
2 × 4𝜋𝜀0 2 × ℏ2
×
1
𝑛2
n = 1,2,3,4…
1
𝜆
= 𝑅∞ × 𝑍
2 ×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
2. O estado normal de um átomo é quando o elétron tem menor
energia ou n=1 (estado fundamental).
3. Em uma descarga elétrica, ou algum outro processo, o átomo
recebe energia devido a colisões, etc. O elétron deve sofrer uma
transição para um estado de maior energia, ou estado excitado n>1.
26/07/2015 29
𝐸 = −
𝑚𝑧2𝑒4
2 × 4𝜋𝜀0 2 × ℏ2
×
1
𝑛2
n = 1,2,3,4…
1
𝜆
= 𝑅∞ × 𝑍
2 ×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
26/07/2015 30
1
𝜆
= 𝑅∞ × 1
2 ×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
1
𝜆
= 𝑅∞ ×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
1
𝜆
= 𝑅∞ ×
1
22
−
1
𝑛𝑖
2
1
𝜆
= 𝑅𝐻 ×
1
22
−
1
𝑛𝑖
2
n = 3,4, 5, 6,7.
26/07/2015 31
𝑅𝐻 = 1,09680 × 10
7𝑚−1
𝑅∞ ≈ 1,09680 × 10
7𝑚−1
26/07/2015 32
1
𝜆
= 𝑅∞ ×
1
𝑛𝑓
2 −
1
𝑛𝑖
2
26/07/2015 33
26/07/2015 34
26/07/2015 35
26/07/2015 36
26/07/2015 37
26/07/2015 38