Analise de sobrevivência 2

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Análise de Sobrevivência - Questão 4
Jerfson Bruno do Nascimento Honório
14 de maio de 2019
SUMÁRIO
1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1
1 PROBLEMA
O fabricante de um tipo de isolador elétrico quer conhecer o comportamento de
seu produto funcionando na temperatura de 200C. Um teste de vida foi realizado
nestas condições usando 60 isoladores elétricos. O teste terminou quando 45 deles
haviam falhado (censura do tipo II). As 15 unidades que não haviam falhado ao final
do teste foram desta forma, censuradas no tempo t = 2729 horas. O fabricante tem
interesse em estimar o tempo médio e mediano de vida do isolador e o percentual de
falhas após 500 horas de uso.
Responda às questões de interesse do fabricante usando o modelo exponencial, de
Weibull ou log-normal, aquele que se apresentar mais apropriado para descrever os
dados.
2 MODELO
Como foi na seção 1 será gerado três modelos, exponencial, weibull e log-normal
e em seguida será feito o teste da razão de verossimilhança para ver qual o melhor
modelo para os isoladores elétricos.
As expressões das estimativas das funções de sobrevivência para os modelos ex-
ponencial, de Weibull e log-normal são, respectivamente,
Ŝ(t) = exp{−t/2017.756}
Ŝ(t) = exp{−(t/1993.215)1.281}
Ŝ(t) = Φ[−(log(t) + 7.225)/0.9506]
Para a escolha de um dos modelos, utilizou-se inicialmente o método gráfico.
Foram então construídos os gráficos das estimativas das sobrevivências obtidas pelo
método de Kaplan-Meier versus as estimativas das sobrevivências obtidas a partir
dos modelos exponencial, de Weibull e log-normal, respectivamente.
2
Figura 1: Gráficos das sobrevivências estimadas por Kaplan-Meier versus as sobre-
vivências estimadas pelos modelos exponencial, de Weibull e log-normal.
0.4 0.6 0.8 1.0
0.
3
0.
4
0.
5
0.
6
0.
7
0.
8
0.
9
S(t): Kaplan...Meier
S
(t
):
 e
xp
on
en
ci
al
0.4 0.6 0.8 1.0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
S(t): Kaplan...Meier
S
(t
):
 w
ei
bu
ll
0.4 0.6 0.8 1.0
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
S(t): Kaplan...Meier
S
(t
):
 lo
g−
no
rm
al
Fonte: Autor
Nota-se a partir da Figura 1 que o modelo log-normal se ajusta melhor aos dados.
Porém é preciso de uma técnica formal para essa confirmação. Logo, será realizado
um teste de razão de verossimilhança.
Os testes da razão de verossimilhança para as hipóteses de que: i) o modelo
exponencial é adequado, ii) o modelo de Weibull é adequado e iii) o modelo log-
normal é adequado, foram realizados utilizando-se o modelo gama generalizado. Os
3
valores do logaritmo da função de verossimilhança para os quatro modelos e os testes
da razão de verossimilhança (TRV) resultaram nos valores apresentados na Tabela 1
Tabela 1: Resultados dos TRV.
Modelo TRV
Gama Generalizado -
Exponencial 10.100
Weibull 6.617
Log-normal 0.574
Fonte: Autor
O teste de máxima verossimilhança, indica a adequação dos modelo log-normal
para a análise dos dados desse exemplo, confirmando as conclusões apresentadas
quando da utilização das técnicas gráficas.
A curva de sobrevivência estimada por meio do ajuste do modelos versus a curva
de sobrevivência estimada por Kaplan-Meier pode ser observada na Figura 2
4
Figura 2: Curva de sobrevivência estimadas pelo modelo log-normal versus a curva
de sobrevivência estimada por Kaplan-Meier.
0 500 1000 1500 2000 2500
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Fonte: Autor
a partir desta figura, é possível ver um ajuste satisfatório do modelo log-normal.
A Estimativa para o tempo médio, com base na log-normal, é calculada a partir
da expressão:
E(T ) = exp{µ− σ2/2}
Ê(T ) = exp{7.224− 0.9505/2}
Ê(T ) = 2208.434
E uma estimativa para o tempo mediano, obtida a partir da expressão dos per-
centis:
5
tp = exp{zpσ + µ}
t0.5 = exp{z0.5 × 0.9505 + 7.224}
t0.5 = 2649.252
Ainda, o percentual de falhas após 500 horas de uso:
S(t) = Φ((− log(t) + µ)/σ)
Ŝ(500) = 0.849923
6
	Problema
	Modelo