Unidade II

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UERJ – CTC – IME – Departamento de Informática e Ciência da Computação 
 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Portes 
 
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Unidade II - Séries de Potências 
 
II.1 - Introdução 
As linguagens de programação de computadores fornecem certas funções tais como 
seno, cosseno, logaritmo, exponencial, etc. 
No entanto, muitas vezes não temos a função pré-definida e recorremos ao 
desenvolvimento em série de potências para fazer nossos cálculos. 
 
II.2 - Série de Taylor e MacLaurin 
Definição 1 : Uma série da forma 
c c x a c x a c x an
n
0 1 2
2       ( ) ( ) ... ( ) ...
, onde 
“a” e ci (0  i < ) são constantes, é classificada de série de potências em (x - a). 
Se a = 0, temos uma série de potências em x. 
 
Obs: Toda série de potências em (x - a) é convergente, pelo menos para x = a. 
Ex.: 
x x x x
x
n
n
n
      
1
2
1
3
1
4
12 3 4 ... ( ) ...
 
 
II.2.1 - Descrição do método de calcular funções por série de potências: 
Seja y = f(x) uma função contínua e que todas as suas derivadas existam no domínio 
que nos interessa. 
Suponha que se conheça tudo da função no ponto x = 0, ou seja: 
f (0)  valor da f (x) em x = 0 
f ’(0)  inclinação da curva f (x) em x = 0 
f ”(0)  curvatura da f (x) em x = 0 
∙ 
∙ 
∙ 
f 
n
(0)  n-ésima derivada da f (x) em x = 0 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 x1 x2 x3 x 
 
 Se x1 está bem próximo de x0, podemos fazer: f (x1)  f(x0) ; e o erro será bem 
pequeno. 
 Para x2 um pouco afastado da origem, a melhor aproximação será dada pela 
tangente à curva f (x) . A inclinação da tangente é dada por f ’(0). 
A equação da reta é y = mx + b  f (x) = f ’(0)∙ x + b 
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Para x = 0, tem-se b = f(0) 
Logo, se x  [0 , x2]  f (x)  f(0) + f ’(0) ∙ x 
 Para x3 bem afastado da origem, uma melhor aproximação será dada pela parábola: 
f (x)  a0 + a1x + a2 x
2 
 ; de tal forma que a0 = f(0) a1 = f ’(0) 
Precisamos determinar a2 . 
f ’(x) = a1 + 2 a2 x 
f ”(x) = 2 a2  
a
f
2
0
2

"( )
 
Então: 
f x f f x
f
x( ) ( ) ' ( )
"( )
    0 0
0
2
2
 
De um modo geral, para x afastado da origem o valor exato da f (x) será dado por um 
polinômio de grau infinito, ou seja: 
f x c c x c x c xn
n( ) ... ...     0 1 2
2
 
Para se determinar 
c ii ( )0   
, apliquemos a derivação sucessiva de f (x) em x = 0: 
f c
f x c c x c x nc x f c
f x c c x n n x f c
f x c n n n x f c
f n c f n c
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
( )
' ( ) ... ... ' ( )
"( ) ... ( )c ... "( )
"' ( ) ... ( )( )c ... "' ( )
.
.
.
( ) ! ... ( ) !
0
2 3 0
2 6 1 0 2
6 1 2 0 6
0 0
0
1 2 3
2 1
1
2 3
2
2
3
3
3

       
        
        
   



 
 
Dai, vem que: 
c f
c f
c
f
c
f
c
f
n
n
n
0
1
2
3
0
0
0
2
0
3
0





( )
' ( )
"( )
!
"' ( )
!
.
.
.
( )
!
 
 
 
 
 
Então: 
f x f f x
f
x
f
x
f
n
x
n
n( ) ( ) ' ( )
"( )
!
"' ( )
!
...
( )
!
...          0 0
0
2
0
3
02 3
 , que é o 
desenvolvimento da f (x) em série de MacLaurin. 
 
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Como muitas vezes é inconveniente, ou mesmo impossível, desenvolver uma função 
em torno de x = 0 (caso do log. neperiano), então temos a generalização da série de MacLaurin 
que é chamada Série de Taylor. 
 
Consideremos f (x) satisfazendo a condição de continuidade e possuindo derivadas de 
todas as ordens em um certo domínio de nosso interesse. 
Suponha que se conheça o valor desta função e de suas derivadas no ponto x = a. 
 
Formemos a seguinte série de potências: 
f (x) = 
c c x a c x a c x an
n
0 1 2
2       ( ) ( ) ... ( ) ...
 
Diferenciando f (x) e calculando x = a , determinamos 
c ii ( )0   
. 
 
Dai, vem: 
f x f a f a x a
f a
x a
f a
x a
f a
n
x a
n
n( ) ( ) ' ( ) ( )
"( )
!
( )
"'( )
!
( ) ...
( )
!
( ) ...              
2 3
2 3
; que é o desenvolvimento da f (x) em Série de Taylor. 
 
Exemplo 1 : Desenvolver f (x) = sen x , em Série de MacLaurin. 
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x x
n
f
n
x f f x
f
x
f
n
x
x x
x x x
IV IV
n n
n
n
( ) sen ( )
' ( ) cos ' ( )
' ' ( ) sen ' ' ( )
' ' ' ( ) cos ' ' ' ( )
( ) sen ( )
.
.
.
( ) sen( ) ( ) sen
sen ( ) ' ( )
' ' ( )
!
...
( )
!
...
sen
! ! !
  
  
   
    
  
   
        
   
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
2
0
2
0 0
0
2
0
3 5 7
2
3 5 7
 
   ...
sen( )
!
...
n
n
xn

2
 
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Exemplo 2: Desenvolver f (x) = ln x , em torno de x = 1. 
...
)1()1(
...
4
)1(
3
)1(
2
)1(
)1(ln
...
!
)1()!1()1(
...
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1(
)1(0ln
)!1()1()1()!1()1()(
.
.
.
6)1(6)(
2)1('''2)('''
1)1('')(''
1)1(')('
0)1(ln)(
1432
1432
11
4
3
2
1































n
xxxx
xx
n
xnxxx
xx
nfxnxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
nn
nn
nnnnn
IVIV
 
 
Pergunta: para que valores de x este desenvolvimento do ln x é bom? 
 
Caso 1  x = 0 
ln ...0 1
1
2
1
3
1
4
1
5
      
 não converge, ou melhor, tende a -  . 
 
Caso 2  x = 1 
ln 1 = 0 
 
Caso 3  x = 2 
ln ...2 1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
       
 
A convergência é garantida pelo Teorema de Leibnitz, que cujo enunciado 
é: 
 
“Se um série alternada 
c c c c c1 2 3 4 5    ...
 satisfaz as condições: 
 Cada termo é, em módulo, menor que o anterior. 
 O limite dos termos é zero. 
Então a série possui uma soma finita e, além disso, o erro que se comete ao 
tomarmos n termos está entre zero e o termo de ordem (n + 1) não nulo .” 
 
De acordo com o Teorema, a série converge: 
O erro, 
 se aproximarmos 
..
5
1
4
1
3
1
2
1
12ln 
= 0,78333 , está entre zero e 







1
6
. 
0,617 < ln 2 < 0,78333 
ln 2 = 0,6931 
 
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Caso 4  x = 3 
ln ...
ln ...
3 2 2
2
3
2
4
2
5
2
6
3 2 2
8
3
16
4
32
5
64
6
2 4 5 6
      
      
 não converge, pois cada termo, em 
módulo, é maior que o anterior. 
 
Obs: 
 Para x = 0 , o ln não existe e esse ponto é chamado de ponto singular. 
 O desenvolvimento em Série de Taylor só é válido para uma região 
conhecida como região de convergência. 
 A região de converg6encia estende-se em todas as direções com um raio 
igual a distância ao mais próximo ponto singular. 
 No desenvolvimento acima, o raio de convergência é igual a 1. 
 
II.3 - Raio de Convergência: 
Teorema: Seja 
c x an
n
n
( )



0
uma série de potências em (x - a). Se 
lim
n
n
n
c
c
R R


   
1
0
 , então R é raio de convergência da série de potências. 
No desenvolvimento da Série de Taylor, 
c
f a
n
f a
n
R
f a
n
f a
n
n
f a
f a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 



 


   
( )
!
( )
( )!
lim
( )
!
( )
( )!
lim( )
( )
( )
 c 1
1
1 1
1
1
1 
 
Aplicação: (no cálculo de ln x ) 
f
f
R n
n
n n
n n
n n
n
n
n n n
( ) ( )
( ) ( )
lim( )
( )
( )
lim lim
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
2
 
 
 




 





 

 


  
(n -1)!
n! 
(n -1)!
n!II.4 - Erro de truncamento no desenvolvimento em série. 
Considere a função f (x) desenvolvida em Série de Taylor em torno de x = a, ou 
seja: 
f x f a f a x a
f a x a f a x a f a x a
n
n n
Rn( ) ( ) ( )( )
( )( )
!
( )( )
!
...
( )( )
!
...,
,, ,,,
   



 


2 3
2 3
 
 
Sejam Rn os termos da série após o termo que envolve a n-ésima derivada. 
Queremos uma expressão para Rn. 
Se f (x) é contínua e suas derivadas existem em [a , x] , então: 
f t dt f x f a f x f a f t dt
a
x
a
x
, ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      
 
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Comparando com o desenvolvimento em Série de Taylor, vem: 
R f t dt
a
x
0  
,( )
 
Integremos R0 por partes: 
 u = f ’(t)  du = f ”(t) dt 
 dv = dt  v = t - x 
f t dt f t t x f t x t dt a x a f t x t dta
x
a
x
a
x
a
x
, , ,, , ,,( ) [ ( )( )] ( )( ) ( )( ) ( )( )          f
 
 
Logo: 
f (x) = f (a) + R0 
f (x) = f (a) + 
f a x a f t x t dt
a
x
, ,,( )( ) ( )( )  
 
R1 = 
f t x t dt
a
x
,,( )( )
 
 
Integrando R1 por partes: 
 u = f ”(t)  du = f ’”(t) dt 
 dv = (x - t) dt  v = 

( )x t 2
2
 
f t x t dt
f t x t f t x t dt f a x a f t x t dt
a
x
a
x
a
x
a
x
,,
,, ,,, ,, ,,,
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
  





 





 
2 2 2 2
2 2 2 2
 
 
Logo: 
f x f a f a x a
f a x a f t x t dt
a
x
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ),
,, ,,,
   




2 2
2 2
 
R2 = f t x t dt
a
x
,,,( )( )

2
2
 
Dai concluímos que: 
R
f t x t dt
n
n
n n
a
x



1( )( )
!
 
Vamos transformar Rn na forma Lagrangiana. 
Para t  [a , x], f n + 1 (t) possuí distintos valores. Seja m o menor desses valores e 
M o maior deles. 
m
x t dt
n
R M
x t dt
n
m
x t
n
R M
x t
n
m
x a
n
R M
x a
n
n
n
a
x
n
a
x
n
a
x
n
n
a
x
n
n
n
( )
!
( )
!
( )
( )!
( )
( )!
( )
( )!
( )
( )!

 

 







    











  


 
 
 
1 1
1 1
1 1
1 1
 
Existe 1  [a , x] tal que o resto sob a Forma Lagrangiana é 
 
)!1(
)(
)(
1
1
1





n
ax
fR
n
n
n 
 
OBS: Na prática, trabalhamos com uma cota superior para f 
n + 1
 (t).,ou seja 
 
R M
x a
n
n
n
 


( )
( )!
1
1
 , onde M = máx | f 
n + 1 
 (t)| em [a , x] 
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Exemplo: Determine o valor da constante exponencial , com erro inferior a 10
-6
. 
A. Desenvolver f (x) = e
x
 em série de MacLaurin 
...
!
...
!4!3!2
1
1)()(
1)0(')('
1)0()(
432





n
xxxx
xe
xfexf
fexf
fexf
n
x
nxn
x
x
 
Para x = 1 , temos: 
...
!
1
...
!4
1
!3
1
!2
1
11 
n
e
 
 
B. Raio de Convergência 
R n
n f
f
n
n
   
 


lim ( )
( )
( )
1
1
1 1 0
0
 
  Para x  Reais temos a convergência 
garantida. 
 
C. Erro de Truncamento 
 
R
M
x a
n
M x
M max e
n
n
n
x


















 






10
1
10
10
3
1
10
10
6
1
6
6
6
6
( )
( )!
( )]
( )!
max [f em [0,1] 
0 ponto de desenvolvimento
1 ponto de calculo
 em [0,1]
M = e < 3
3 (1- 0)
(n + 1)!
Por tentativa temos que para n = 9 
3
10!
n+1
n+1
 
 
 
Então: 
e
e
         

1 1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2 7182807
! ! ! ! ! ! ! !
,
 
Obs: Pela calculadora o valor e = 2,718281828 
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Lista de exercícios sobre a Unidade II 
 
 
1) Desenvolva as funções abaixo em Série de MacLaurin: 
a) f(x) = sen x 
b) f(x) = cos x 
c) f(x) = e
x
 
 
 
2) 
a) Desenvolva f(x) = ln x em Série de Taylor em torno de a = 1 . 
b) Calcule o raio de convergência da Série acima. 
c) Calcule ln 1,2 com 2 decimais exatas. 
 
 
3) Calcule o raio de convergência do desenvolvimento em série das funções do exercício 1. 
 
 
4) 
a) Desenvolva f(x) = 1/ e
x
 em serie de Taylor em torno do ponto a = 1. 
b) Calcule o raio de convergência. 
c) Calcule 1/ e
1,3
 com 3 decimais exatas. 
 
 
5) Desenvolva f(x) = sen x em torno de a = /2 , e determine o seno de 93o (graus) com 
3 decimais exatas. 
 
 
6) Desenvolva f(x) = 
x
 em torno de a = 1 e determine o valor e 
1 4,
com 3 decimais 
exatas. 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho Computacional: Desenvolver a função f (x) = sen (x) em Série de 
Taylor em torno do ponto a = 1, e calcular f (1) com 30 termos, 60 termos e 100 termos que 
aparecem no desenvolvimento. Compare os resultados obtidos com o valor obtido quando 
utilizamos a função “ sen (x) ” pré-definida.