ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO VETORIAL - Uninassau

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO INTEGRAL 
 
Nome Completo: Leonam Dias 
Matrícula: 
Curso: Engenharia Elétrica 
Resumo da atividade: 
 
 Dado o campo vetorial conservativo F(x,y,z) = − 𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 + 𝑘 , determinar o 
trabalho realizado por uma partícula ao longo de uma curva C = r(t) cos(𝑡) 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + 𝑡𝑘; 
[a,b] sendo a(1,0,0) e b(-1,0,4π) contido neste espaço. 
 Avaliar também a sugestão dada por um colega de trabalho da hipotética 
empresa sobre mudar o caminho da partícula entre os pontos [a,b] no intuído de reduzir o 
trabalho por ela realizado. 
RESOLUÇÃO 
1º Questão – “Para a atividade, entre os dois campos sugeridos, foi escolhido o campo 
vetorial F(x,y,z) = − 𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 + 𝑘 , e tem-se uma curva , que pela sua equação paramétrica 
nota-se que é um arco de hélice C = r(t) cos(𝑡) 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + 𝑡𝑘; [a,b] sabendo o ponto de 
origem do percurso da partícula a(1,0,0) e final b(-1,0,4π), então: 
Por definição utiliza-se a integral de linha de trabalho, que é 
𝑊 = ∫ 𝐹 ∗ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) ∗ 𝑟 (𝑡) 𝑑𝑡 
 Primeiramente identificando a primeira parte da integral de linha, reescreve-se a função 
do campo vetorial F em função dos parâmetros de r(t) da seguinte forma: 
𝐹(𝑟(𝑡)) → 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡) = (−
1
2
𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝑖, −
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝑗,
1
4
𝑘) 
Agora indo para a segunda parte da integral de linha, para isso precisa-se encontrar o 
vetor tangente r’(t) através das derivadas parciais dos componentes do arco de hélice, então 
tem-se: 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
(𝑡) = 𝑟 (𝑡) =
𝜕cos (𝑡)
𝜕𝑡
𝑖 +
𝜕sen (𝑡)
𝜕𝑡
𝑗 +
𝜕tk
𝜕𝑡
 
𝑟 (𝑡) = − sen(𝑡) 𝑖 + 𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝑗 + 𝑡𝑘 
 Tendo estes dados sobre o campo vetorial F e o vetor tangente ao caminho da 
partícula, aplica-se na integral de linha, apresentada no início da resolução deste case. 
−
1
2
𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑖 −
1
2
𝑆𝑒𝑛(𝑡) 𝑗 +
1
4
𝑘 ∗ (− sen(𝑡) 𝑖 + 𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝑗 + 𝑡𝑘) 𝑑𝑡 
→
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos (𝑡) −
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos (𝑡) +
1
4
𝑘 𝑑𝑡 = 𝜋 ≈ 3,1416 → 𝑊 ≈ 3,1416 
 Tendo em vista que o trabalho realizado pela partícula ao longo do seu percurso é 
dado pela integral do produto escalar entre o vetor tangente ao caminho da partícula e um 
vetor do campo vetorial dentro dos limites da variável (t), o resultado será sempre um escalar. 
2º Questão – Um colega de trabalho sugere a mudança no trajeto da partícula entre 
os pontos [a,b] definidos, logo que há outros caminhos para se deslocar de um ponto a outro 
que resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. 
Resposta 
Esta questão fica respondida, logo que por questões operacionais da máquina para o 
seu funcionamento ideal este campo deve ser conservativo, ou seja, a energia é conservada, e 
por característica, o trabalho é independente do caminho, sendo dependente apenas dos 
pontos inicial e final do trajeto da partícula. 
Pode se verificar calculando o gradiente 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). 
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= (−
1
2
𝑥, −
1
2
𝑦 + −
1
4
𝑧) 
Assim, fica claro que não há diferença de potencial neste campo, e por assim ser, não 
há alteração no trabalho realizado pela partícula independente do caminho percorrido entres 
os pontos.