Leopoldo - sem545_elastic_Leo_Aula1_2013

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1 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SEM 545 – SISTEMAS MICROELETROMECÂNICOS 
Resp.: Leopoldo de Oliveira 
Laboratório de Dinâmica 
2 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE ESTRUTURAS ELÁSTICAS 
• Hipóteses para MEMS e NEMS 
• Tensões e Deformações 
• Equações da Elastodinâmica 
• Elementos Estruturais 
– Cordas e Cabos 
– Barras 
– Vigas 
– Membranas 
– Placas 
• Modelos Equivalentes 
3 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
HIPÓTESES PARA MEMS E NEMS 
• MEMS e NEMS: escalas muito menores que o usual (efeito de escala) 
– Microvigas: diâmetro 20mm (fio de cabelo: 100mm) 
– Nanotubos de carbono: diâmetro 1nm 
• Aplicação de conceitos de mecânica do contínuo deve ser feita com 
cautela 
– Propriedades materiais podem variar (material heterogêneo) 
– Precisão das propriedades geométricas 
• Materiais diferentes dos usuais em mecânica 
– Silício, poli-silício, óxido de silício, óxido de zinco 
– Materiais cerâmicos, ferromagnéticos, ferroelétricos, poliméricos 
– Metais: alumínio, níquel, cobre, ouro 
4 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. DENSIDADE 
(http://www.memsnet.org/material/) 
5 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. DENSIDADE 
(http://www.memsnet.org/material/) 
6 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. RESISTÊNCIA 
Resistência útil: tensão que dá máxima variação aceitável em relação à elasticidade linear 
(http://www.memsnet.org/material/) 
7 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MÓDULO DE ELASTICIDADE VS. RESISTÊNCIA 
(http://www.memsnet.org/material/) 
8 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
• Tensor de tensões de Cauchy 
 
 
 
 
• Tensor de deformações 
 
 
 
 
• Pequenas deformações 
y 
z 
x 
sy 
tyx 
tyz 
sx 
txy 
txz 
sz 
tzy 
tzx 











zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx















zyzxz
yzyxy
xzxyx
stt
tst
tts
s














i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
 xx
yy
9 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
EQUAÇÕES DA ELASTODINÂMICA (FORM. VARIAC.) 
• Energia de deformação 
 
 
• Energia cinética 
 
 
• Princípio de Hamilton 


 d.
2
1
εσV


 d.
2
1
uu T
  0d
2
1

t
t
tWVT 
  0dd...
2
1
 

t
t
tfuCεεuu  
ou 
• Hipóteses importantes a 
considerar 
o Campo de deslocamentos 
o Campo de tensões e 
deformações 
s)deformaçõe de (livre0
tensões) de (livre0


i
jiji C

s
xx
yy
,
xx
10 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE CORDAS E CABOS 
• Hipóteses 
 
 
 
 
 
• Condições iniciais 
 
 
 
• Condições de contorno 
(extremidades fixas) 
 
0),(
0),0(
2
2


tLu
tu
]0),(0[),,,( 2 txutzyx u
)()0,(
)()0,(
2
2
xhxu
xgxu



Equações do movimento 
para cordas e cabos 
 
 
ou 
y 
z 
x 
2
2
2
2
x
u
Tu



),(2 txu
0
;
),(
654
132
2
1







x
txu
0; 3211  sss T
),(
1
),( 222 txuc
txu 
11 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
• Equações do movimento 
 
 
 
 
 
• Solução por separação de variáveis: 
 
 
 
y 
z 
x 
),(2 txu
0)()0,()()0,(
00),(),0(
0),0(),(
1
),(
00
2



txuxuxuxu
ttlutu
tlxtxu
c
txu


)()(),( tTtXtxu 







s
2
2
2
22
2 )(1)(
Tc
T
X
X
t
XT
cx
XT

000
0
0
2





 ssss
s
ouou
cTT
XX

12 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
D 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
• Solução das EDOs 
 
)(00 trivialTX s





0
0
2cTT
XX
s
s

)sinh()cosh()(0 21 xAxAxX sss  Condições de contorno: 








l
c
a
AlX
AX
22
1
sinh0)(
00)0(
0),( txu
20 ss  única solução não-trivial 
0)(0)0(0)()( 2  lXeXxXxX 
Função espacial: 
13 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
D 
0)()( 2  xXxX 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
)cos()sin()( 21 xAxAxX  
admite solução do tipo: 
Com as condições de contorno: 
0)(0)0(  lXeX












x
l
n
AxX
lA
A
nn

 sin)(0)sin(
0
1
2
14 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
D 
• Função temporal 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 






 x
l
n
AxX nn

sin)(
Substituindo em 
T
T
cX
X 
2
1


0)()( 2
2






 tTc
l
n
tT













 t
l
cn
At
l
cn
AtTn

cossin)( 43
que por sua vez, admite solução do tipo: 
Combinando as variáveis espaciais e temporais temos: 




























1
sincossin),(
n
t
l
cn
Dt
l
cn
Cx
l
n
txu

Neste caso, as constantes são obtidas com as condições iniciais: 
)0,()0,( xuexu 
15 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM CORDAS E CABOS 
• Exemplo: Determinar a resposta de uma corda de comprimento l, fixa 
nas duas extremidades, dada a condição inicial conforme a figura. 
 
• Entregar na Próxima aula (10 de maio): 
16 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS: carregamento axial 
• Hipóteses 
 
 
 
 
• Condições iniciais 
 
 
• Condições de contorno 
(ou nas extremidades) 
 
0)t,L(ou0)t,L(u
0)t,0(ou0)t,0(u
11
11


)()0,(
)()0,(
1
1
xhxu
xgxu



y 
z 
x 
),(1 txu
]00),([),,,( 1 txutzyx u
0
;
),(
654
132
1
1







x
txu
0; 3211  sss E
),(1 txu
),(1 txu
17 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS 
• No elemento: 
 
t)f(x,
dPP P
u duu 
dx
e
x
u
EAA


sP
2
2
t
u


 ρAdxP-fdxdP)(P
dx)x/P(dP com 
ou
t
u
ρAfdx
x
u
EA
x 2
2











2
2
t
t)(x,u
ρA(x)fdx
x
t)(x,u
EA(x)
x 









 Equações do axial livre 
para barras 
2
1
2
1
x
u
Eu


 
Similar à solução da corda!!! 
18 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS 
    tsinCtcosC
c
x
sinC
c
x
cosCU(x)T(t)t)u(x, 4321 








 





 

Tal qual para cordas: 
19 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS: carregamento torcional 
• Hipóteses t)f(x,
dMM M
  d
x
)t,x(
)x(GJt)M(x,



inércia de polar momento :J
tocisalhamen de módulo:G
2
2
t
IdxM-fdxdM)(M



Análogo ao caso axial: 
 
2
2
t
t)(x,
I(x)fdx
x
t)(x,
GJ(x)
x 










Equações torcional livre: 
2
1
2
1
x
u
GJuI



20 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE BARRAS: carregamento torcional 
21 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
22 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
dx
x
V
VV
t
y
dxA





2
2

• Equilibrio de momentos: 
02
2
2
2 








 dx
t
y
Adx
x
V
Vdxdx
x
M
MM 
• Equilibrio de forças: 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
23 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
• Equilibrio de forças: 
dx
x
V
t
y
dxA





2
2

• Equilibrio de momentos: 
0


Vdxdx
x
M
2
2
2
2
t
y
dxAdx
x
M




 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
24 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
2
2
2
2
t
y
dxAdx
x
M




  dx
t
y
Adx
x
y
EI
x 2
2
2
2
2
2














 
2
2
x
y
EIM



A
EI
c
x
y
c
t
y







,
4
4
2
2
A
EI
cycy iv

 ,
ou 
Lei de Euler-Bernoulli !!! 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
25 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
queremos determinar 
)()(),( tqxtxy 
)()( tqxy  
22
)(
)( 


x
x
c
q
q
ycy
iv
iv 
)()(tqxy iviv 
e 
00
2
2
2  
c
eqq iv
VIBRAÇÕES EM VIGAS: Separação de Variáveis 
26 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
0
2
2
 


c
iv
solução do tipo: 
xeDx  )(
0
2
2
4 








 xDe
c

c





com
,044
raizes: 
 ii  e,,
02  qq 
solução do tipo: 
)(cos)(sen)( 21 tBtBtq  
...
VIBRAÇÕES EM VIGAS: Separação de Variáveis 
27 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
02  qq 
solução do tipo: 
)(cos)(sen)( 21 tBtBtq  
)cos()sen()cosh()senh((x)
ou
(x)
...
8765
4321
xDxDxDxD
eDeDeDeD xixixx

 




 
  221
8765
,)(cos)(sen.
)cos()sen()cosh()senh(t)y(x,


ctBtB
xDxDxDxD


VIBRAÇÕES EM VIGAS: Separação de Variáveis 
28 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM VIGAS: 
 
  221
8765
,)(cos)(sen.
)cos()sen()cosh()senh(t)y(x,


ctBtB
xDxDxDxD


Função de forma (em x): para resolver esta parcela 
precisamos dos parâmetros estruturais, E, A, , etc., e 
das condições de contorno 
Função harmônica (temporal): para resolver esta parcela 
precisamos conhecer os  
29 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
Função de Forma 
00  yey
00  yey
00  yey

M
V
engaste: 
apoio: 
livre: 
Condições de Contorno 
)cos()sen()cosh()senh()( 8765 xDxDxDxDx  
0 
0 
0 
30 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
)cos()sen()cosh()senh()( 8765 xDxDxDxDx  
0)cos()sen()cosh()senh()(
000)0(
8765
86


 

DDDD
DD
)(cos)sen()(cosh)senh()( 8
2
7
2
6
2
5
2 xDxDxDxDx  
  0)(cos)sen()(cosh)senh()(
000)0(
8765
2
8
2
6
2


 

DDDD
DD
0
0
0
86
86
86






DD
DD
DD
Função de Forma 
Exemplo 
31 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
0)cos()sen()cosh()senh()(
000)0(
8765
86


 

DDDD
DD
)cos()sen()cosh()senh()( 8765 xDxDxDxDx  
0)sen(0
0)sen()senh(
0)sen()senh(
75
75
75








 

DeD
DD
DD
)(cos)sen()(cosh)senh()( 8
2
7
2
6
2
5
2 xDxDxDxDx  
  0)(cos)sen()(cosh)senh()(
000)0(
8765
2
8
2
6
2


 

DDDD
DD
Função de Forma 
Exemplo 
32 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
0)sen(7 D  ,3,2,1,  jj






 x
j
Dx

 sen)( 7
1)().(
2
07
 


dxxxD 
cte. arbitrária 


,3,2,1,
2
2 





 j
A
EIj
cj 

Função de Forma 
Exemplo 
33 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
Função Harmônica 
• com as funções de forma i 
partimos para a solução das 
parceloas harmônicas 
)(cos)(sen 21 tBtBq jjjjj  




1
)()(),(
j
jj tqxtxy 
 



1
21 )(cos)(sen)(),(
j
jjjjj tBtBxtxy 
• como para os modelos discretos, os termos B1j e B2j são 
determinados de acordo com as condinções iniciais. Seja: 
)(),()(),( xgoxyexhoxy  
34 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
  





1
2
1
21 )()0(cos)0(sen)()(),(
j
jj
j
jjj xBBBxxhoxy 
  





1
2
1
21 )()0(sen)0(cos)()(),(
j
jjj
j
jjjj xBBBxxgoxy 




1
2 )()(
j
jj xBxh 




1
1 )()(
j
jjj xBxg 
Função Harmônica 
35 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 




1
2 )()(
j
jj xBxh 




1
1 )()(
j
jjj xBxg 
• multiplicando por k e integrando sobre toda a viga... 
 



1
020
)()()()(
j
kjjk dxxxBdxxxh
 
 



1
010
)()()()(
j
kjjjk dxxxBdxxxg
 





kjse
kjse
1
0


02
)()( dxxxhB jj 


01
)()(
1
dxxxgB j
j
j 
Função Harmônica 
36 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 








0 102 10
11
)()()()(
jse
jse
dxxxdxxxhB jjj 
0)()(
1
01
 

dxxxgB j
j
j 
Função Harmônica: Exemplo g(x)=0 e h(x)=f1 
















1
2j )(cos.Bsen
2
t)y(x,
j
jtx
j 







 x
j
Dx

 sen)( 7




















 t
A
EIx

 2
cossen
2

 t
x
1cossen
2  







37 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
),(
2
2
2
2
2
2
txF
x
y
EI
xt
y
A 



















1
)()(),(
j
jj tqxtxy 
• a equação diferencial parcial que rege o movimento 
transvesal da viga é dada por: 
• por separação de variáveis: 
• multiplicando os dois lados pelo deslocamento virtual y 
e integrando: 
 






















 
00 2
2
2
2
2
2
),( ydxtxFdxy
x
y
EI
x
y
t
y
A 
RESPOSTA FORÇADA: Equação de movimento PAREI AQUI 
38 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
     







1
0
1 1
0
),(
j
jjj
j k
kjkkjk dxqtxFdxqqEIqA

 
     

0000
dxEIEIEIdxEI jkjkjkjk 
0 0  condições de contorno 
jj
jjj
jjj
QdxtxF
kdxEI
mdxA









0
0
0
),( 


 massa modal 
 rigidez modal 
 carregamento modal 
Substituindo 




1
)()(),(
j
jj tqxtxy 
39 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
  0
1



j
j
jjjjj qQqkqm 
• como os modos são ortogonais, por definição o 
espaço modal é desacoplado. Sendo assim, cada termo 
pode ser tratado independentemente: 
jjjjj Qqkqm 


























00 2
2
2
2
2
2
),( ydxtxFdxy
x
y
EI
x
y
t
y
A 
Equação de Movimento 
40 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
EXEMPLO: 
)t(sinf)t,a(fax 0 
• Encontrar a resposta de regime permanente de uma 
viga bi-apoiada sujeita a uma excitação harmônica. 
• Método: superposição modal 




 
 x
j
sen
2
)x(






 
 a
j
sin
2
)t(sinfdx)t,x(f (t)Q 0
0
jn 

 ttt

t
0
nn
n
regime d))t((sin)(Q 
1
)t(q
Força generalizada: 
 
 
Solução da EDO: 
 
 
Integral de Duhamel: 
jj
2
nj Qqq 
41 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
)t(sin 
an
sin
2f
)t(q
22
n
0
regime 






 


• A solução é do tipo: 
• Portanto, a resposta é: 
)t(sin 
xn
sin
an
sin
12f
)t,x(y
1n
22
n
0 




 





 

 

 
EXEMPLO: 
42 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
Piezo-Resistivo 
Capacitivo 
APLICAÇÕES: Princípio 
43 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
APLICAÇÕES: exemplos comerciais 
44 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
• acelerômetro triaxial 
• condicionador de sinal 
• 300 mV/g 
• ±3g (± 29.5 m/s2). 
• 0,5 ~ 1600 Hz 
4,00 
4
,0
0
 
[mm] 
Analog Devices ADXL-330 
APLICAÇÕES: escala 
45 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE MEMBRANAS 
Equações do movimento 
para membranas 
z 
x 
y 
33
2
3 fuTu 
• Hipóteses 
 
 
 
 
• Condições iniciais 
 
 
• Condições de contorno 
 










yx
n
tyxu
tyxu
,em
0
),,(
0),,(
3
3
),()0,,(
),()0,,(
3
3
yxhyxu
yxgyxu



]),,(00[),,,( 3 tyxutzyx u
0;; 32211  sss EE
),,(3 tyxu
0
),,(
;
),,(
6543
3
2
3
1









y
tyxu
x
tyxu

46 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELAGEM DE PLACAS 
Equações do movimento 
para placas 
z 
x 
y 
)1(12 2
3
33
4
3





Eh
D
fuDu
• Hipóteses 
 
 
 
 
• Condições iniciais 
 
• Condições de contorno 
(simplesmente apoiada) 
 








byytyxu
axxtyxu
tyxu
,0em;0/),,(
,0em;0/),,(
em;0),,(
2
3
2
2
3
2
3
),()0,,();,()0,,( 33 yxhyxuyxgyxu  
0;; 32211  sss EE
),,(3 tyxu
yx
tyxu
z
y
tyxu
z
x
tyxu
z









),,(
;0
),,(
;
),,(
3
2
6543
2
3
2
22
3
2
1



]//[),,,( 333 uyuzxuztzyxu
a
b
47 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VIBRAÇÕES EM PLACAS 
)1(12 2
3
33
4
3





Eh
D
fuDu
• Equações do movimento 
 
 
 
• Condições de contorno 
(circular e engastada nos bordos) 
 
 
 
• Solução quasi-estática 
 
 






em;0/),,(
em;0),,(
3
3
rtru
tru


z 
x 
y 
),,(3 tru 

224
3
3
3
1
64
:cte














L
r
D
Lf
u
f
48 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
MODELOS DE 1 GDL EQUIVALENTES 
Double folded 
Sensível a deslocamentos 
transversais ao desejado 
Desalinhamento 
das conexões 
Alinhamento ao preço 
de aumento na rigidez 
Redução da rigidez 
equivalente através 
de molas em série 
49 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
CÁLCULO DO COEFICIENTE DE MOLA EQUIVALENTE 
0
4
2
4



x
u
EI
EIftLutLututu /),(;0),(;0),0(;0),0( 2222 
EIftLutLututu /),(;0),(;0),0(;0),0( 2222 
f 
f 
f 
)(
)()()( 22
Lg
EI
kLkuf
EI
f
xgxu 
O dobro do deslocamento com a mesma força: 
2
k
k


Equação da viga em equilíbrio estático e sem forças distribuídas: 
)(
)()()( 22
Lg
EI
kLukf
EI
f
xgxu


L 
L 
L 
50 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
PROJETO DO COEFICIENTE DE MOLA EQUIVALENTE 
f 
3
3
L
EI
kkuf 
Para a viga em balanço (cantilever) 
L 
u 
Importância do segundo momento de área: I 
Seção retangular: 
12
3bh
I 
b 
h 
f 
Parâmetros relevantes: 
 
• b (importante para rigidez transversal) 
 
• h3 
 
• L3 
51 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VARIAÇÕES DE MOLAS “FOLDED-FLEXURES” 
52 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
VARIAÇÕES DE MOLAS “FOLDED-FLEXURES” 
No USP terminado em ... 
 ...1 ...2 ...3 e ...4 ...5 e ...7 ...6 e ...8 ...9 e ...0 
Determine a rigidez equivalente dos elementos abaixo de forma analítica. Sessão 
transversal com momento de inércia I e módulo de Elasticidade E. 
Faça de acordo com o último digito do seu NoUSP 
L 
L 
Ancoragem 
Força/Deslocamento 
53 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
Fontes: http://www.periodicos.capes.gov.br/ 
 
Journal of Microelectromechanical Systems 
Microprocessors and Microsystems 
IEEE Micro 
Micro and Nano Letters 
... 
Exercício 2: (para dia 17 de maio) 
 
Encontre: 
1 artigo que trate de micro sensor ou micro atuador 
54 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
Formato 
 
 Titulo: 
 Autores: 
 Revista: 
 Abstract: 
 DOI: 
 Descrição 
 1 parágrafo comentando o artigo: 
 Esse artigo trata de um ... (basicamente a 
 informação fornecida no abstract) 
 
Ano to trabalho: 
No USP *0 a *2 - 2010 ~ 2011 
 *3 a *5 - 2011 ~ 2012 
 *6 a *9 - 2012 ~ 2013 
 
 
55 Profs. Marcelo ,Varoto e Leopoldo 
EESC 
USP 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SEM 545 – SISTEMAS MICROELETROMECÂNICOS 
Resp.: Paulo S. Varoto 
 Marcelo A. Trindade 
Laboratório de Dinâmica