Aula-8-Superposição-Métodos-das-Malhas-e-dos-Nós - 2014.1

Prévia do material em texto

Graduação em Engenharia Civil 
ELETROTÉCNICA (ENE078) 
PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br 
 
Aula Número: 08 
UNIVERSIDADE FEDERAL 
DE JUIZ DE FORA 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
Revisão Aula Anterior... 
• Revisão da aula 7 
 
• A 1.ª Lei de Kirchhoff ou Lei dos nós diz que: 
 
 A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma 
algébrica das correntes que saem deste nó. 
 
 
• A 2.ª Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas diz: 
 
 Percorrendo-se uma malha, num mesmo sentido, a soma das tensões 
nos elementos de circuito encontrados é igual a zero. 
 
2 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
• No circuito abaixo, há duas fontes aplicando tensão. O comportamento das 
correntes dependerá da contribuição que cada fonte dá ao circuito: 
 
3 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
• O teorema da superposição estabelece que, em um circuito elétrico 
contendo duas ou mais fontes de tensão, a corrente em qualquer ponto do 
circuito é a soma algébrica das correntes que cada fonte produz 
individualmente, como se as outras não estivessem presentes. 
 
• Para aplicar o teorema da superposição e obter a corrente produzida por 
uma das fontes de tensão, as demais devem ser substituídas por curtos-
circuitos. 
 
• São adotadas as seguintes premissas: 
 
 não serão consideradas as resistências internas das fontes; 
 
 será admitido que o valor dos resistores se mantém constante para qualquer 
corrente fluindo por eles. 
4 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
• Para considerar os efeitos produzidos pela fonte V1 do circuito em estudo, 
a fonte V2 é substituída por um curto-circuito: 
5 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
• A resolução deste circuito conduz a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• R4||5=
60×15
60+15
= 12Ω 
• R4||5+ R3= 30 + 12 = 42Ω 
• I3‘=63/42=1,5A 
6 
 
Divisor de corrente: 
I4‘=
12
15
× 1,5 = 1,2𝐴 
I5‘=
12
60
× 1,5 = 0,3𝐴 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
• Para calcular os efeitos da fonte de tensão V2, V1 é substituída por um 
curto-circuito e as correntes decorrentes de V2 são as seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• R3||5=
60×30
60+30
= 20Ω 
• R3||5+ R4= 15 + 20 = 35Ω 
• I4‘‘=70/35=2,0A 
7 
 
Divisor de corrente: 
I3‘‘=
20
30
× 2,0 = 1,333𝐴 
I5‘‘=
20
60
× 2,0 = 0,667𝐴 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
• A soma algébrica das correntes correspondentes às contribuições das 
fontes V1 e V2 é mostrada a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 I4 = I4’ – I4” I3 = I3’ – I3” I5 = I5’ + I5” 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 Então: 
 
 I3 = 1,5 – 1,333 = 0,167 A 
 
 I4 = 1,2 – 2 = – 0,8 A 
 
 I5 = 0,3 + 0,667 = 0,967 A 
 
 As correntes supridas pelas fontes são: 
 
 I1 = I3 = 0,167 A 
 
 I2 = – I4 = 0,8 A 
9 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 E as tensões nos resistores: 
 
 V3 = R3 · I3 = 30 · 0,167 = 5,0 V 
 
 V4 = R4 · I4 = 15 · ( – 0,8) = – 12 V (I4 tem sentido oposto ao adotado) 
 
 V5 = R5 · I5 = 60 · 0,967 = 58 V 
10 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
11 
Equações de Malha ou Laço 
(2a Lei de Kircchoff) 
 
 
 1º Determina-se o número de correntes de laço necessário para o 
circuito analisado: 
L = Nramos – Nnós + 1 
Observação: 
Nramos: Número 
de ramos 
Nnós: Número de 
nós entre os 
ramos 
1 
2 
3 
2 
1 
L = 3-2+1 = 2 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 
 
 
 
2º Escolhe-se as correntes de laço de maneira que todos os elementos no circuito sejam 
percorridos por pelo menos uma das correntes. 
I1 I2 
Observação: Os sentidos 
das correntes de laço são 
escolhidos de maneira 
arbitrária. 
3º Aplica-se a 2ª lei de kirchhoff para cada corrente de malha. 
Laço 1 
Laço 2 
10I1 + 20(I1- I2) – 100 = 0 
20(I2- I1) + 10 = 0 
Resolve-se o 
Sistema Linear 
I1 = 9A 
I2 = 8.5A 12 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 Consiste em aplicar a Lei das Malhas (2.ª Lei de Kirchhoff) para determinar 
as correntes do circuito elétrico em estudo. Por exemplo: 
13 
L = Nramos – Nnós + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 laços 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 Arbitrando as correntes IA e IB: 
 
 
 
 
 
 As correntes nos resistores deverão ser relacionadas com IA e IB. Essas 
correntes fictícias são determinadas em primeiro lugar. Em seguida, as 
correntes individuais nos resistores são obtidas por comparação ou 
superposição. 
 
14 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 Para a malha da esquerda: 
 
 
 
 
 
 – V1 + V3 + V4 + V2 = 0 
 – V1 + R3 · IA + R4 (IA – IB) + V2 = 0 
 – 120 + 10 IA + 30 (IA – IB) + 90 = 0 
 4 IA – 3 IB = 3 (I) 
15 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 E para a malha da direita: 
 
 
 
 
 
 – V2 + R4 · (IB – IA) + R5 · IB + R6 · IB = 0 
 – 90 + 30 · (IB – IA) + 5 IB + 15 IB = 0 
 – 3 IA + 5 IB = 9 (II) 
16 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 O sistema de duas equações e duas incógnitas: 
 
 4 IA – 3 IB = 3 (I) 
 
 – 3 IA + 5 IB = 9 (II) 
 
 tem como resultado: 
 
 IB = 4,091 A 
 
 IA = 3,818 A 
17 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 I4 = IA – IB 
 
 I4 = 3,818 – 4,091 = – 0,273 A 
 
 I4 tem polaridade oposta à adotada no início. 
 
 I5 = I6 = IB = 4,091 A 
18 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
 As tensões nos resistores: 
 V3 = R3 · I3 = 10 · 3,818 = 38,18 V 
 V4 = R4 · I4 = 30 · (–0,273) = – 8,19 V 
 V5 = R5 · I5 = 5 · 4,091 = 20,46 V 
 V6 = R6 · I6 = 15 · 4,091 = 61,37 V 
 
19 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
20 
 
 
Exemplo: Determine a corrente de cada elemento no circuito da 
figura abaixo: 
3Ω
4 Ω
10 V
2 Ω
13 V
14 V
3,5 V
1 Ω
Resposta: I1 = 1,5 A ; I3 = 2A ; I2 = 3,5A (Correntes nos ramos da 
esquerda para a direita 
L = Nramos – Nnós + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 laços 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laço a: 
-10 + 2.Ia + 3.(Ia-Ib) + 13 = 0 
Laço b: 
-14 + 4.Ia + 3,5 + Ib -13 + 3.(Ib-Ia) = 0 
O MÉTODODAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 
21 
 
 
Exemplo: Determine a corrente de cada elemento no circuito da 
figura abaixo: 
3Ω
4 Ω
10 V
2 Ω
13 V
14 V
3,5 V
1 Ω
Ia Ib 
5.Ia - 3.Ib = -3 
-3.Ia + 8.Ib = 23,5 
 
Ia = 1,5A 
Ib = 3,5A 
 
I1 = Ia 
I2 = Ib 
I3 = Ib – Ia = 3,5 – 1,5 = 2A 
I1 I2 
I3 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DOS NÓS 
Equações de Nó 
(1a Lei de Kircchoff) 
22 
 
 
1º Determina-se o número de nós que separam os ramos e 
escolhe-se a referência zero do circuito: 
Observação: 
N: Número de nós 
que separam os 
ramos 
N = 2 
10 Ω
20 Ω
100 V
2 A
1 
2 
VREFERENCIA= V2 = 0 V 
Escolhe-se um dos nós para ser o nó de referência (“terra”) 
do circuito (arbitrário) 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
 
 
 
2º Determina-se as correntes em cada ramo de um Nó ao terra. 
10 Ω
20 Ω
100 V
2 A
2 
1 
I1 I3 
I2 
Lembrando que : V12 = V1 – V2 
∑ I = 0 I1 + I2 + I3 = 0 
3º Aplica-se a 1ª Lei de Kirchhoff (Lei das Correntes). 
R
e
s
o
lv
e
-s
e
 o
 
S
is
te
m
a
 L
in
e
a
r 
O MÉTODO DOS NÓS 
23 
Observação: 
Para facilitar o 
equacionamento é 
melhor considerar todas 
as correntes saindo do 
nó em que está sendo 
aplicada a 1ª Lei de 
Kirchhoff. Na resolução 
em questão este no é o 
nó 1. 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DOS NÓS 
24 
Exemplo: Calcule a potência entregue pela fonte de 50 V no 
circuito abaixo. 
2 A
50 V
20 Ω
10 Ω
20 Ω
10 Ω
10 Ω20 Ω
Resposta: Pfonte = 200W, pois Ifonte = 4A e Vfonte = 50V 
DICA: Reduzir o circuito até o equivalente mínimo possível 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
2 A
50 V
20 Ω
10 Ω
20 Ω
10 Ω
10 Ω20 Ω
O MÉTODO DOS NÓS 
Exemplo: Calcule a potência entregue pela fonte de 50 V no 
circuito abaixo. 
1 
2 N = 2 
VREFERENCIA= V2 = 0 V 25 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
O MÉTODO DOS NÓS 
Exemplo: Calcule a potência entregue pela fonte de 50 V no 
circuito abaixo. 
1 
2 
26 
I1 
I3 
I2 𝐼1 =
𝑉12 − 50
10
=
𝑉1 − 𝑉2 − 50
10
=
𝑉1 − 0 − 50
10
 
𝐼2 = 2 
𝐼3 =
𝑉12
5
=
𝑉1
5
 
1ª.Lei de Kirchhoff: 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0 
𝑉1 − 50
10
+ 2 +
𝑉1
5
= 0 
𝑉1 − 50 + 20 + 2𝑉1
10
= 0 
𝑉1 = 10𝑉 
𝑃 = 50 × −𝐼1 
𝐼1 =
𝑉1 − 50
10
= −4𝐴 
𝑃 = 50 × 4 = 200𝑊 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
Superposição e Métodos das Malhas e dos Nós 
• Alguma dúvida? 
 
 E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br 
 Sala: 4272, ao lado do R.U. 
 Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira pela manhã 
27