Aula_Torcao

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Professor Humberto Ritt 
Engenheiro Civil, M.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
TORÇÃO 
 
Introdução 
 Tensões e deformações de 
eixos circulares 
submetidos a pares de 
torção ou torques 
 Gerador cria um torque T 
igual e oposto 
 Eixo transmite o torque para 
o gerador 
Turbina exerce torque T no eixo 
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em 
torno de seu eixo longitudinal. 
 
Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do 
eixo permanecerão inalterados. 
   dAdFT 
 Forças de cisalhamento 
elementares são equivalentes a 
um torque interno, igual e opostas 
ao torque aplicado, 
 Ao contrário da tensão normal 
devido à carga axial, a distribuição 
das tensões de cisalhamento devido 
a cargas de torção não pode ser 
considerada uniforme. 
Discussão Preliminar das Tensões em uma Barra de 
Seção Circular 
 A existência de componentes de 
cisalhamento axial é demonstrada, 
considerando um eixo formado por 
tiras separadas e fixadas por meio 
de pinos. 
 As tiras adjacentes deslizam uma em 
relação à outra, quando torques 
iguais e opostas são aplicadas nas 
extremidades da barra. 
 Um Torque aplicado ao eixo 
produz tensões de cisalhamento 
nas faces perpendiculares ao 
eixo. 
 As condições de equilíbrio 
requerem a existência de tensões 
iguais nas faces formadas pelos 
dois planos que contêm o eixo da 
barra. 
Componentes de Cisalhamento Axial 
Deformações em uma Barra de Seção Circular 
 Quando uma barra circular é submetida 
à torção, toda seção transversal plana 
permanece plana e indeformada. 
 Seções transversais não circulares 
(não axissimétricas) são distorcidas 
quando submetidas à torção. 
 A partir da observação, o ângulo de torção 
da barra é proporcional ao torque aplicado 
e ao comprimento da barra. 
L
T




 Seções transversais circulares cheias ou 
vazadas permanecem plana e sem 
distorções, porque um eixo circular é 
axissimétrico. 
Deformações de Cisalhamento 
 Considerar a seção interna da 
barra. Como a barra é submetida a 
um carregamento torcional, o 
elemento do cilindro interior se 
deforma em um losango. 
 A deformação de cisalhamento é 
proporcional a distância do eixo da 
barra 
maxmax e 

cL
c

L
L
  ou 
Segue-se que 
 Uma vez que as extremidades do 
elemento permanecem planas, a 
deformação de cisalhamento é 
igual ao ângulo de torção. 
Tensões no Regime Elástico 
 Multiplicando a equação anterior 
pelo módulo de elasticidade, 
max

 G
c
G 
max


c

Da Lei de Hooke,  G assim 
A tensão de cisalhamento varia 
linearmente com a distância radial do 
eixo da barra. 
4
2
1 cJ 
 414221 ccJ  
 Lembre-se que a soma dos momentos 
das forças elementares internas é igual 
ao torque no eixo da seção, 
J
c
dA
c
dAT max2max
   
 e max
J
T
J
Tc  
 Os resultados são conhecidos 
como as fórmulas de torção no 
regime elástico, 
= tensão de cisalhamento máxima no eixo 
= tensão de cisalhamento 
= torque interno resultante 
= momento polar de inércia da área da seção 
transversal 
= raio externo do eixo 
= distância intermediária 
máx

T
J
c

Tensões Normais 
Tipos de Falhas por Torção 
Problema Resolvido 
Ângulo de Torção no Regime Elástico 
JG
TL

A convenção de sinal é determinada pela regra da mão direita. 
 
Torção de Elementos não Circulares – Seções Prismáticas 
 Seções transversais planas de eixos não 
circulares não permanecem planas e as 
tensões e a distribuição das deformações 
não variam linearmente. 
Gabc
TL
abc
T
3
2
2
1
max  
Para seções retangulares uniformes, 
 Em grandes valores de a/b, a 
tensão de cisalhamento máxima 
e ângulo de torção são os 
mesmos de elementos de 
paredes finas de espessura 
uniforme e forma arbitrária. 
Eixos Vazados de Paredes Finas 
 A soma das forças na direção x- em 
AB, 
 
 
 A tensão de cisalhamento varia 
inversamente com a espessura. 
   
tocisalhamen de fluxo
0


qttt
xtxtF
BBAA
BBAAx


   
qAdAqdMT
dAqpdsqdstpdFpdM
22
2
0
0




 O torque do eixo integrante dos 
momentos devido à tensão de 
cisalhamento é dado por: 
tA
T
2

tensão de 
cisalhamento 

t
ds
GA
TL
24

 Ângulo de torção 
A = área delimitada pela linha média 
t = espessura da parede no ponto em análise 
G = módulo de elasticidade transversal 
L = comprimento do eixo 
T = torque 
Tubos de alumínio vazados com 
uma seção transversal retangular 
64 mm x 100 mm tem um torque 
de 2,7 kN.m. Determine a tensão 
de cisalhamento em cada uma 
das quatro paredes da barra 
supondo (a) espessura de parede 
uniforme de 4 mm (b) que, como 
resultado de um defeito de 
fabricação, as paredes AB e AC 
têm espessura de 3 mm, e as 
paredes BD e CD têm espessura 
de 5 mm. 
EXEMPLO 
 Com uma espessura de parede uniforme, 
MPa 6,58
 5760 .4.2
10.2700
2
6

tA
T
   2mm5760mm60mm96 A
Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele 
for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de 
torção devido a esse carregamento. Considere Gal = 26 GPa. 
Exemplo 
Solução: 
Por inspeção, o torque interno é T = 85 Nm. 
 
  
 N/mm 7,1
500.2102
1085
2
2
3
méd 
mtA
T
Para tensão de cisalhamento média, 
22 mm 500.250 mA
A área sombreada é . 
   
    
    ds
ds
t
ds
GA
TL
m
14
32
33
2
mm 10196,0
101026500.24
105,11085
4

Para ângulo de torção, 
A integral representa o comprimento em torno da linha central do 
contorno do tubo. Assim, 
       rad 1092,350410196,0 34  