Questão resolvida - Em Álgebra Linear é possível obter um subespaço gerado a partir de outros vetores, tais subespaços nos permite trabalhar com os vetores em uma certa ... - subespaço vetorial - Álge

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• Em Álgebra Linear é possível obter um subespaço gerado a partir de outros vetores, 
tais subespaços nos permite trabalhar com os vetores em uma certa região.
 
Considere os vetores e no . Determina o subespaço V₁ = -1, 3, 2( ) V₂ = 2,-2, 1( ) R3
gerado no pelo vetores e .R3 V₁ V₂
 
Resolução:
Um subspaço gerado no pelos vetores e é definido pela seguinte relação;R3 V₁ V₂
 
x, y, z = a -1, 3, 2 + b 2,-2, 1( ) ( ) ( )
 
Desenvolvendo a relação 1 vetorialmente, fica;
 
x, y, z = a -1, 3, 2 + b 2,-2, 1 x, y, z = -a, 3a, 2a + 2b,-2b, b( ) ( ) ( ) → ( ) ( ) ( )
 
x, y, z = -a+ 2b, 3a - 2b, 2a+ b( ) ( )
 
Dessa forma, chagamos ao seguinte sistema:
 
-a+ 2b = x 1( )
3a - 2b = y 2( )
2a+ b = z 3( )
Somando 1 com 2 temos;
 
Substituindo a relação encontrada para a na equação 1 do sistema, temos que b é:
 
-a+ 2b = x - + 2b = z 2b = x+ 2b = b =⏫⏪⏪⏪⏪ 
x+ y
2
→
x+ y
2
→
2x+ x+ y
2
→
3x+ y
2 ⋅ 2
 
b =
3x+ y
4
 
 
-a+ 2b = x 
3a - 2b = y +
2a+ 0b = x+ y 2a = x+ y a =→ →
x+ y
2
Substituindo
(1)
 
Vamos substituir os valores de a e b na equação 3 e chegar na relação que expressa o 
subspaço vetorial;
 
2a+ b = z 2 ⋅ + = z x+ y+ = z = z→
x+ y
2
3x+ y
4
→
3x+ y
4
→
4x+ 4y+ 3x+ y
4
 
7x+ 5y = 4z 7x+ 5y - 4z = 0→
 
Logo, uma das formas de escrever o conjunto do subspaço gerado pelos vetores no é;R3
 
v , v = x ∈ R / 7x+ 5y- 4z = 0[ 1 2]
3
 
 
(Resposta )