CALCULO APLICADO UMA VARIAVEL

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CALCULO APLICADO UMA VARIAVEL
Atividade 2
1 - Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como  A forma implícita pode ser representada como , como, por exemplo, a função  Verifique que, nesse caso, fica difícil explicitar a  variável dependente  y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. A derivada da função  aplicada ao ponto é igual a .
Pois:
II. A função derivada de y=f(x) é igual a .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta Correta: As asserções I e II são verdadeiras, e a II é a justificativa da I
Resposta Selecionada: As asserções I e II são verdadeiras, e a II é a justificativa da I
2 - Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
Resposta Correta: 2,3,1,4
Resposta Selecionada: 2,3,1,4
3 - Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final  é dada por . A derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade  é a derivada da função espaço em relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo. Com essas informações, considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando  e dura  é igual a -25,6 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando  é igual a .
III. O instante em que a velocidade é nula é .
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros.
 
Está correto o que se afirma em:
Resposta Correta: I, III e IV, apenas
Resposta Selecionada: I, III e IV, apenas
4 - Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma:  funções contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada,funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe . Toda função polinomial racional é uma função de classe , ou seja admite as derivadas de todas as ordens.
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para .
Resposta Correta: 
Resposta Selecionada: 
5 - As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior facilidade.
A respeito das derivadas de funções elementares, considere  e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) Se , então .
II. (  ) Se , então 
III. (  ) Se , então .
IV. (  ) Se  então .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta Correta: V,F,V,F
Resposta Selecionada: V,F,V,F
6 - Um tanque contém um  líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, quando horas.
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado.
Resposta Correta: 4,875 litros/horas
Resposta Selecionada: 4,875 litros/horas
7 - Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Para  funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da  regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite  e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
Resposta Correta: -2
Resposta Selecionada: -2
8 - As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas.
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  ) .
II. (  ) .
III. (  ) .
IV. (  ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta Correta: V, F, F, V
Resposta Selecionada: V, V, F, F
9 - A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva  no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva , no ponto e analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal.
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a .
 
Está correto o que se afirma em:
Resposta Correta: I e IV, apenas
Resposta Selecionada: I e IV, apenas
10 - O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º dígito: , em que  Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
Resposta Correta: 2, 1, 1, 4
Resposta Selecionada: 2, 1, 1, 4