Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 6, O PLANO) PARTE II

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12º) Determinar o valor de α para que os pontos A (α, 1, 9), B (2, 3, 4), C (-4, -1, 6) e D (0, 2, 4) sejam 
coplanares. 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (2, 3, 4) – (α, 1, 9) = (2 – α, 2, -5) 
𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ = C – A → (-4, -1, 6) – (α, 1, 9) = (-4 – α, -2, -3) 
𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ = D – A → (0, 2, 4) – (α, 1, 9) = (-α, 1, -5) 
(𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ, 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ, 𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ) = 
2 − 𝛼 2 −5
−4 − 𝛼 −2 −3
−𝛼 1 −5
 = 
−2 −3
1 −5
 (2 – α) - 
−4 − 𝛼 −3
−𝛼 −5
 2 + 
−4 − 𝛼 −2
−𝛼 1
 (-5) = 
= (10 + 3) (2 – α) – [(- 4 – α) (-5) - 3α] . 2 + [(- 4 – α) . (1) - 2α] (-5) = 0 
13 (2 – α) – (20 + 5α - 3α) . 2 + (-4 – α - 2α) (-5) = 0 
26 - 13α – (20 + 2α) . 2 + (-4 - 3α) (-5) = 0 
26 - 13α – 40 - 4𝛼 + 20 + 15α = 0 
-17α + 15α + 46 – 40 = 0 
-2α = -6 
α = 6/2 
α = 3 
Nos problemas de 13 à 18, determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos: 
13º) O plano passa por A (2, 0, -2) e é paralelo aos vetores 𝒖ሬሬԦ = 𝒊Ԧ - 𝒋Ԧ + 𝒌ሬሬԦ e 𝒗ሬሬԦ = 2 𝒊Ԧ + 3 𝒋Ԧ. 
𝑢ሬԦ = (1, -1, 1) e 𝑣Ԧ = (2, 3, 0) 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
𝑢ሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 −1 1
2 3 0
 = 
−1 1
3 0
 𝑖Ԧ - 
1 1
2 0
 𝑗Ԧ + 
1 −1
2 3
 𝑘ሬԦ = 
(-0 – 3) 𝑖Ԧ – (0 – 2) 𝑗Ԧ + (3 + 2) 𝑘ሬԦ = (-3, 2, 5) 
Como A (2, 0, -2)   
-3x + 2y + 5z + d = 0 
(-3) . 2 + 2 (0) + 5 (-2) + d = 0 
-6 + 0 – 10 + d = 0 
d = 16 
Equação geral: -3x + 2y + 5z + 16 = 0 → 3x – 2y – 5z – 16 = 0 
14º) O plano passa pelos pontos A (-3, 1, -2) e B (-1, 2, 1) e é paralelo à reta r: 
𝒙
𝟐
 = 
𝒛
−𝟑
; y = 4. 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (-1, 2, 1) – (-3, 1, -2) = (2, 1, 3) 
𝑣Ԧ = (2, 0, -3) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ x 𝑣Ԧ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
2 1 3
2 0 −3
 = 
1 3
0 −3
 𝑖Ԧ - 
2 3
2 −3
 𝑗Ԧ + 
2 1
2 0
 𝑘ሬԦ = 
(-3 – 0) 𝑖Ԧ – (-6 – 6) 𝑗Ԧ + (0 – 2) 𝑘ሬԦ = (-3, 12, -2) 
Como A (-3, 1, -2)  : 
-3x + 12y – 2z + d = 0 
-3 (-3) + 12 (1) – 2 (-2) + d = 0 
9 + 12 + 4 + d = 0 
d = -25 
Equação geral: -3x + 12y – 2z – 25 = 0 → 3x – 12y + 2z + 25 = 0 
15º) O plano contém os pontos A (1, -2, 2) e B (-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano 1: 2x + y – z + 8 
= 0. 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (-3, 1, -2) – (1, -2, 2) = (-4, 3, -4) 
𝑛ሬԦ = (2, 1, -1) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ x 𝑛ሬԦ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
−4 3 −4
2 1 −1
 = 
3 −4
1 −1
 𝑖Ԧ - 
−4 −4
2 −1
 𝑗Ԧ + 
−4 3
2 1
 𝑘ሬԦ = 
(-3 + 4) 𝑖Ԧ – (4 + 8) 𝑗Ԧ + (-4 – 6) 𝑘ሬԦ = (1, -12, -10) 
Como A (1, -2, 2)  : 
x – 12y – 10z + d = 0 
1 – 12 (-2) – 10 (2) + d = 0 
1 + 24 – 20 + d = 0 
d = -5 
Equação geral: x – 12y – 10z – 5 = 0 
16º) O plano contém os pontos A (2, 1, 2) e B (1, -1, 4) e é perpendicular ao plano xOy. 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ = B – A → (1, -1, 4) – (2, 1, 2) = (-1, -2, 2) 
𝑛ሬԦ = (2, 1, -1) 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ x 𝑥𝑂𝑦 = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
−1 −2 2
0 0 1
 = 
−2 2
0 1
 𝑖Ԧ - 
−4 2
0 1
 𝑗Ԧ + 
−1 −2
0 0
 𝑘ሬԦ = 
(-2 - 0) 𝑖Ԧ – (-1 - 0) 𝑗Ԧ + (-0 + 0) 𝑘ሬԦ = (-2, 1, 0) 
Como A (2, 1, 2)  : 
-2x + y + d = 0 
–2 (2) + 1 + d = 0 
-4 + 1 + d = 0 
d = 3 
Equação geral: -2x + y + 3 = 0 → 2x – y – 3 = 0 
 
 
 
17º) O plano contém a reta: 
 x = 2 + t 
r: y = 1 – t 
 z = 3 + 2t e é perpendicular ao plano 1: 2x + 2y – 3z = 0. 
A (2, 1, 3) e 𝒗ሬሬԦ = (1, -1, 2) 
𝑣Ԧ x 𝑛ሬԦ1 = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 −1 2
2 2 −3
 = 
−1 2
2 −3
 𝑖Ԧ - 
1 2
2 −3
 𝑗Ԧ + 
1 −1
2 2
 𝑘ሬԦ = 
(3 - 4) 𝑖Ԧ – (-3 - 4) 𝑗Ԧ + (2 + 2) 𝑘ሬԦ = (-1, 7, 4) 
Como A (2, 1, 3)  : 
-x + 7y + 4z + d = 0 
-2 + 7 (1) + 4 (3) + d = 0 
-2 + 7 + 12 + d = 0 
d = -17 
Equação geral: -x + 7y + 4z – 17 = 0 → x – 7y – 4z + 17 = 0 
18º) O plano contém o ponto A (4, 1, 1) e é perpendicular aos planos 1: 2x + y – 3z = 0 e 2: x + y – 
2z - 3 = 0. 
𝑛ሬԦ1 = (2, 1, -3) e 𝑛ሬԦ2 = (1, 1, -2) 
𝑛1ሬሬሬሬԦ x 𝑛ሬԦ2 = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
2 1 −3
1 1 −2
 = 
1 −3
1 −2
 𝑖Ԧ - 
2 −3
1 −2
 𝑗Ԧ + 
2 1
1 1
 𝑘ሬԦ = 
(-2 + 3) 𝑖Ԧ – (-4 + 3) 𝑗Ԧ + (2 - 1) 𝑘ሬԦ = (1, 1, 1) 
Como A (4, 1, 1)  : 
x + y + z + d = 0 
4 + 1 + 1 + d = 0 
d = -6 
Equação geral: x + y + z – 6 = 0 
 
Nos problemas 19 à 22, os pares de retas r1 e r2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma 
equação geral do plano que as contém. 
19º) r1: y = 2x – 3 e r2: 
𝒙−𝟏
𝟑
 = 
𝒛−𝟏
−𝟏
 
 z = -x + 2 y = -1 
𝑣1 = (1, 2, -1) e 𝑣Ԧ2 = (3, 0, -1) 
𝑣1ሬሬሬሬԦ x 𝑣2 = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 2 −1
3 0 −1
 = 
2 −1
0 −1
 𝑖Ԧ - 
1 −1
3 −1
 𝑗Ԧ + 
1 2
3 0
 𝑘ሬԦ = 
(-2 + 0) 𝑖Ԧ – (-1 + 3) 𝑗Ԧ + (0 - 6) 𝑘ሬԦ = (-2, -2, -6) 
Como A (1, -1, 1)  : 
-2x - 2y - 6z + d = 0 
(-2) 1 – 2 (-1) – 6 (1) + d = 0 
-2 + 2 – 6 + d = 0 
d = 6 
Equação geral: -2x - 2y - 6z + 6 = 0 → -x – y – 3z + 3 = 0 → x + y + 3z – 3 = 0 
20º) x = 1 + 2t x = 1 – 2t 
 r1: y = -2 + 3t e r2: y = -2 - t 
 z = 3 – t z = 3 + 2t 
𝑣1 = (2, 3, -1) e 𝑣Ԧ2 = (-2, -1, 2) 
𝑣1ሬሬሬሬԦ x 𝑣2 = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
2 3 −1
−2 −1 2
 = 
3 −1
−1 2
 𝑖Ԧ - 
2 −1
−2 2
 𝑗Ԧ + 
2 3
−2 −1
 𝑘ሬԦ = 
(6 - 1) 𝑖Ԧ – (4 - 2) 𝑗Ԧ + (-2 + 6) 𝑘ሬԦ = (5, -2, 4) 
Como A (1, -2, 3)  : 
5x - 2y + 4z + d = 0 
(5) 1 – 2 (-2) + 4 (3) + d = 0 
5 + 4 + 12 + d = 0 
d = -21 
Equação geral: 5x - 2y + 4z - 21 = 0 
 
21º) x = -2 + t 
 r1: y = -t e r2: y = -x - 1 
 z = -3 z = 3 
𝑣 = (1, -1, 0) e A1 (-2, 0 -3) e A2 (0, -1, 3) 
A1 x A2 = (A2 – A1) → (0, -1, 3) – (-2, 0, -3) = (2, -1, 6) 
𝑣1ሬሬሬሬԦ x 𝑣2 = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 −1 0
2 −1 6
 = 
−1 0
−1 6
 𝑖Ԧ - 
1 0
2 6
 𝑗Ԧ + 
1 −1
2 −1
 𝑘ሬԦ = 
(-6 + 0) 𝑖Ԧ – (6 - 0) 𝑗Ԧ + (-1 + 2) 𝑘ሬԦ = (-6, -6, 1) 
Como A1 (-2, 0, -3)  : 
-6x - 6y + z + d = 0 
(-6) (-2) – 6 (0) - 3 + d = 0 
12 – 0 – 3 + d = 0 
d = -9 
Equação geral: -6x - 6y + z - 9 = 0 → 6x + 6y – z + 9 = 0 
 
22º) x = -t 
 r1: x = z e r2: y = 1 
 y = -3 z = 2 - t 
 
 
𝑣2 = (-1, 0, -1) e A1 (0, -3 0) e A2 (0, 1, 2) 
A1 x A2 = (A2 – A1) → (0, 1, 2) – (0, -3, 0) = (0, 4, 2) 
𝐴1ሬሬሬሬሬԦ𝐴2 x 𝑣2 = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
0 4 2
−1 0 −1
 = 
4 2
0 −1
 𝑖Ԧ - 
0 2
−1 −1
 𝑗Ԧ + 
0 4
−1 0
 𝑘ሬԦ = 
(-4 - 0) 𝑖Ԧ – (0 + 2) 𝑗Ԧ + (0 + 4) 𝑘ሬԦ = (-4, -2, 4) 
Como A1 (0, -3, 0)  : 
-4x - 2y + 4z + d = 0 
(-4) (0) – 2 (-3) + 4 (0) + d = 0 
0 + 6 + 0 + d = 0 
d = -6 
Equação geral: -4x - 2y + 4z - 6 = 0 → -2x – y + 2z – 3 = 0 → 2x + y – 2z + 3 = 0