Potenciação (Resumo)

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Exemplo: 
• 𝑎1 = 𝑎 
• 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 
• 𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 
 
Potenciação 
 
Def.: Chama-se potência de base 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ e 𝑎 > 0) e expoente 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 ≠ 0), o número 
𝑎𝑛 que é igual ao produto de 𝑛 fatores iguais a 𝑎. 
 
 expoente 
𝑎⏟
𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
 
Obs.: A potenciação fica definida por: { 𝑎
1 = 𝑎
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑎
 
 
 Propriedades 
 
 
 
 
i. 𝑎0 = 1, ∀𝑎 ≠ 0 
 
Ex.: 30 = 1; (−5)0 = 1; (
1
2
)
0
= 1 
 
ii. 𝑎1 = 𝑎 
 
Ex.: 61 = 6; (−2)1 = −2 
 
iii. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 
Ex.: 32 ∙ 35 = 32+5 = 37 
 
iv. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
 
Ex.: (53)6 = 53∙6 = 518 
 
 
 
v. (
𝑎
𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
, ∀𝑎, 𝑏 ≠ 0 
 
Ex.: (
3
4
)
−7
= (
4
3
)
7
 
 
vi. 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛, ∀𝑎 ≠ 0 
 
Ex.: 
310
38
= 310−8 = 32 
 
vii. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 
Ex.: 74 ∙ 75 = 74+5 = 79 
 
viii. 
𝑎𝑚
𝑏𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑚
, ∀𝑏 ≠ 0 
 
Ex.: 
107
57
= (
10
5
)
7
= 27 
 
 Potência com expoente racional 
 
Def.: O número √𝑎𝑚
𝑛
, é a raiz n-ésima de 𝑎𝑚, ou seja, 𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
, com 𝑎 ∈ ℝ+ e 𝑚,𝑛 = 2,3,4,… 
 
• 2
3
5 = √23
5
= √8
5
 • √418
9
= 4
18
9 = 42 = 16 
 
 Simplificações de expressões 
 
Note que podemos aplicar as propriedades da potenciação simplificar expressões, por exemplo: 
(
0,001 ∙ 10004
105
)
2
= [
10−3 ∙ (103)4
105
]
2
= (
10−3 ∙ 1012
105
)
2
= (
109
105
)
2
= (104)2 = 108