CONSTRUÇOES GEOMETRICAS

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
Apostila baseada na refereˆncia [1]
Teoria dos Nu´meros:
• Func¸o˜es e Teoria de Conjuntos
• Relac¸o˜es de Equivaleˆncia
• Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica
• Algoritmo da Divisa˜o de Euclides
• Divisibilidade
• Sistema de Numerac¸a˜o
• Teorema Fundamental da Aritme´tica
• Equac¸o˜es Diofantinas
• Congrueˆncias
Prof: Dr. Felipe Roge´rio Pimentel
Data: Abril/2005
SUMA´RIO
1 Func¸o˜es 1
1.1 Introduc¸a˜o histo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemplos da F´ısica e Qu´ımica. Fo´rmulas matema´ticas. Definic¸a˜o for-
mal de Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Mais exemplos de Func¸o˜es . Comenta´rios sobre a definic¸a˜o . Igual-
dade de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Gra´fico de uma func¸a˜o - Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Func¸a˜o Sobrejetora, Injetora e Bijetora. Composic¸a˜o de Func¸o˜es e
Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Func¸a˜o Sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.4 Func¸a˜o Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.6 Func¸a˜o Bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.7 Composic¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.8 Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.9 Imagem Direta e Unia˜o de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.10 Imagem inversa e Intersec¸a˜o de conjuntos . . . . . . . . . . . . 42
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i
ii SUMA´RIO
2 Relac¸o˜es de Equivaleˆncia 59
2.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Princ´ıpio da Induc¸a˜o 67
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.4 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 1a Forma do Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Exemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.2 Exemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3 Exemplo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 2a Forma do Princ´ıpio de Induc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Demonstrac¸a˜o do teorema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Nu´meros Inteiros 81
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Operac¸o˜es em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Sistemas de Numerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 Ma´ximo Divisor Comum - MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6 Teorema Fundamental da Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 O Crivo de Erato´stenes (276-194 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.8 Mı´nimo Mu´ltiplo Comum - MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.10 Equac¸o˜es Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.12 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Congrueˆncia 108
5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
CAP´ITULO 1
Func¸o˜es
1.1 Introduc¸a˜o histo´rica
O termo func¸a˜o e´ devido ao matema´tico alema˜o G. W. Leibniz (1646-1716), um
dos inventores do ca´lculo diferencial, que no entanto o usava num sentido muito
diferente do que usamos hoje para distinguir elementos geome´tricos de uma curva,
nos seus estudos sobre diferenciais.
A evoluc¸a˜o do conceito ate´ o que hoje entendemos como sendo uma func¸a˜o foi
penosa e durou mais de dois se´culos. Hoje, este conceito e´, sem du´vida, um dos mais
importantes da matema´tica, pela sua capacidade de unificar assuntos ta˜o distantes
quanto, por exemplo a a´lgebra e o ca´lculo. O termo func¸a˜o esta´ presente desde o
in´ıcio da formac¸a˜o matema´tica dos nossos dias, bem como em todos os cursos de
ca´lculo, necessa´rios a` formac¸a˜o de um grande nu´mero de profissionais. No que se
segue vamos abordar o estudo das func¸o˜es em seus mu´ltiplos aspectos: histo´rico,
dida´tico (como ensinar func¸o˜es ?), formal (ou seja, a formalizac¸a˜o moderna do con-
ceito) e aplicado (as aplicac¸o˜es do conceito a`s cieˆncias).
Como ja´ dissemos, Leibniz, apesar de ter criado a palavra func¸a˜o , na˜o a usou no
sentido que a conhecemos hoje. Foi talvez o inventor dos logaritmos, John Napier
(1550-1630), o primeiro a ter uma ide´ia mais ou menos clara do que hoje conhecemos
como func¸a˜o , contudo ele nunca usou esse termo.
Euler (1707-1783), foi quem primeiro definiu o termo func¸a˜o da seguinte maneira:
Uma func¸a˜o de uma quantidade varia´vel e´ uma expressa˜o anal´ıtica composta
desta quantidade varia´vel e de nu´merros ou quantidades constantes de uma maneira
arbrita´ria.1
1L. Euler, Introduction in Analysin Infinitorum, Vol. I, Opera Omnia, Leipzig, 1913, pag. 185).
1
2 1 FUNC¸O˜ES
Por expressa˜o anal´ıtica Euler entendia as operac¸o˜es alge´bricas como as entende-
mos hoje: exponenciac¸a˜o , multiplicac¸a˜o , soma, etc.
Mais tarde, em outra obra, Euler da´ uma outra definic¸a˜o do termo que cor-
responde mais a` noc¸a˜o intuitiva do que e´ uma func¸a˜o :
Se algumas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que
quando as u´ltimas sofrem mudanc¸as as primeiras tambe´m sofrem, enta˜o as pri-
meiras sa˜o chamadas func¸o˜es das u´ltimas.2
Somente no fim do se´culo XIX e´ que o conceito de func¸a˜o aparece nos livros
textos como:
Uma func¸a˜o e´ uma lei que associa um nu´mero para cada nu´mero de um certo
domı´nio.3
A seguir vamos discutir alguns fenoˆmenos f´ısicos para em seguida vermos como
o conceito de func¸a˜o pode ser utilizado para descrever tais fenoˆmenos.
1.2 Exemplos da F´ısica e Qu´ımica. Fo´rmulas
matema´ticas. Definic¸a˜o formal de Func¸a˜o .
Comec¸aremos o estudo de func¸o˜es com um exemplo da mecaˆnica, a lei da queda
dos corpos, descoberta por Galileu (1564-1642) que afirma o seguinte: os espac¸os
percorridos por um corpo que cai sa˜o proporcionais aos quadrados dos tempos gastos
em percorreˆ-los. Isto significa que se um corpo cai, abandonadode uma posic¸a˜o de
repouso 0, percorrendo os espac¸os s1, s2, s3, etc., nos tempos t1, t2, t3, etc, respecti-
vamente, enta˜o temos:
s1
t21
=
s2
t22
=
s3
t23
= · · ·
Quando o espac¸o s e´ medido em metros e o tempo t em segundos, o valor comum
destas razo˜es e´ a metade da acelerac¸a˜o da gravidade g (g ' 9, 8m/s2). Logo, e´ mais
fa´cil exprimir a lei de Galileu do seguinte modo:
s =
1
2
gt2,
onde s representa, em metros, o espac¸o percorrido pelo corpo desde o instante t = 0
em que e´ abandonado na posic¸a˜o de repouso 0 ate´ o instante gene´rico t em que se
observa o fenoˆmeno. Dizemos enta˜o que s e´ func¸a˜o de t. E´ comum tambe´m dizer
que t e´ uma varia´vel independente e s uma varia´vel dependente.
2L. Euler, Institutiones Calculi Differentialis, Op. Cit., Vol. 10, pag. 4.
3H. Freudenthal, Mathematics as an educational task, Dosdrecht, 1973, pag. 388.
3 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.1: Trajeto´ria de um corpo que cai abandonado de um repouso
Outro exemplo de func¸a˜o e´ sugerido pela lei de Boyle e mariotte, que diz que, se
um ga´s e´ encerrado num recipiente e mantido a temperatura fixa, enta˜o o produto
do volume pela pressa˜o e´ constante, i.e.,
pv = c = constante.
Trata-se de uma lei apenas aproximada, por isso mesmo chamada lei dos gases
perfeitos. Imaginando o ga´s encerrado num cilindro com um pista˜o , o volume
diminuira´ e a pressa˜o aumentara´ de modo a manter constante o produto pv. Podemos
exprimir a lei dos gases perfeitos escrevendo
p =
c
v
ou v =
c
p
.
No primeiro caso estamos expressando a pressa˜o como func¸a˜o do volume, e no se-
gundo o volume como func¸a˜o da pressa˜o .
Podemos tambe´m dar exemplos de va´rias fo´rmulas matema´ticas ja´ conhecidas
do ensino me´dio como: a a´rea A de um c´ırculo de raio r, dada por A = pir2, e´ um
nu´mero que depende do valor de r, portanto func¸a˜o de r, e o comprimento C de um
c´ırculo de raio r dado por C = 2pir. a fo´rmula acima exprimi C como func¸a˜o de r.
Os exemplos dados acima sa˜o exemplos de func¸o˜es nume´ricas, i.e., func¸o˜es onde
as duas varia´veis dependente e independente so´ assumem valores nume´ricos reais.
Depois daremos exemplos de outros tipos de func¸o˜es como as func¸o˜es complexas,
func¸o˜es definidas no plano com valores no plano, etc.
Na lei de Galileu, s = gt2/2, a varia´vel independente t que representa o tempo
e´ sempre um nu´mero real positivo ou zero. Se um corpo em queda livre esta´ a
4 1 FUNC¸O˜ES
uma altura h do solo, temos que o valor ma´ximo da varia´vel dependente s e´ h, logo
t ≤√2h/g. Temos enta˜o que o fenoˆmeno tem in´ıcio no instante t = 0 e termina no
instante t =
√
2h/g, quando s atinge o valor s = h. Logo para cada t no intervalo
[0,
√
2h/g] =
{
x ∈ R : 0 ≤ x ≤
√
2h/g
}
,
onde R designa o conjunto dos nu´meros reais, temos um u´nico valor para s no
intervalo [0, h]. Dizemos enta˜o que a lei de Galileu determina uma func¸a˜o do intervalo
[0,
√
2h/g] no intervalo [0, h]. O primeiro intervalo e´ chamado domı´nio da func¸a˜o e
o segundo o contradomı´nio da func¸a˜o .
Passemos enta˜o a` definic¸a˜o formal de Func¸a˜o :
Definic¸a˜o 1 Uma func¸a˜o f de A em B, que sera´ denotada por f : A −→ B, consta
de treˆs partes:
(I) Um conjunto A, chamado domı´nio da func¸a˜o , conjunto onde a func¸a˜o e´
definida.
(II) Um conjunto B, chamado contradomı´nio da func¸a˜o , conjunto onde a func¸a˜o toma
valores.
(III) Uma regra que permite associar a cada elemento x do domı´nio A um u´nico
elemento y, do contradomı´nio B, chamado imagem do elemento x pela func¸a˜o f, ou
o valor que a func¸a˜o f assume em x.
E´ costume escrever y = f(x) para indicar que y e´ o valor da func¸a˜o f em x e se
A e B sa˜o respectivamente o domı´nio e o contradomı´nio da func¸a˜o f, escreve-se
f : A −→ B.
x 7→ f(x) = y
A notac¸a˜o x 7→ f(x) e´ usada para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).
Muitas vezes diremos ”a func¸a˜o f”ou ”a func¸a˜o y = f(x)”em vez de ”a func¸a˜o f :
A −→ B que associa a cada x ∈ A o valor y = f(x) ∈ B.”Neste caso ficam
subentendidos o conjunto A, domı´nio de f, e o conjunto B, contradomı´nio de f.
1.3 Mais exemplos de Func¸o˜es . Comenta´rios sobre
a definic¸a˜o . Igualdade de Func¸o˜es .
Seja f : A −→ B uma func¸a˜o . A natureza da regra que nos ensina como obter
o valor f(x) ∈ B para um dado x ∈ A e´ inteiramente arbitra´ria a na˜o ser pelas duas
condic¸o˜es abaixo:
5 1 FUNC¸O˜ES
(1a) Na˜o pode haver excec¸o˜es : afim de que f tenha o conjunto A como
domı´nio, a regra deve fornecer f(x) para todo x ∈ A.
(2a) Na˜o pode haver ambiguidades: a cada x ∈ A a regra deve fazer
corresponder um u´nico f(x) ∈ B.
Abaixo usamos os chamados diagramas de Venn para dar uma visualizac¸a˜o do
que dissemos acima.
Figura 1.2: Somente o diagrama do meio representa uma func¸a˜o de A em B. O
primeiro na˜o representa uma func¸a˜o de A em B pois a (1a) condic¸a˜o na˜o e´ satisfeita
e o terceiro diagrama porque a (2a) na˜o e´ satisfeita.
1.3.1 Exemplos:
1. Sejam A = {0, 3,−3} e B = {0, 27,−27, 9} e f : A −→ B tal que f(0) =
0, f(3) = 27, f(−3) = −27. Temos uma func¸a˜o deA emB ja´ que todas as condic¸o˜es da
definic¸a˜o de func¸a˜o esta˜o satisfeitas. Aqui, o diagrama de Venn e´ uma boa maneira
de visualizar a func¸a˜o (veja Fig. 1.3).
2. Considere a func¸a˜o f : R −→ R dada por f(x) = 2x. Aqui o diagrama de
Venn na˜o se mostra u´til; uma boa maneira de se visualizar f e´ considerar o diagrama
da Fig. 1.4. Ele nos da´ uma ide´ia da ac¸a˜o de f, que e´ uma dilatac¸a˜o .
3. Sejam A = [0,∞) = {x ∈ R : x ≥ 0} e B = R. No´s ja´ sabemos que dado
qualquer nu´mero real a ≥ 0, existe um nu´mero real b tal que b2 = a. Tentemos
definir uma func¸a˜o f de A em B pela regra: dado x ∈ A, seja f(x) o nu´mero real
y tal que y2 = x. Enta˜o ter´ıamos f(0) = 0 ja´ que 02 = 0. Para x = 4 ter´ıamos
que f(x) seria o nu´mero real y tal que y2 = 4. Mas aqui temos um problema pois
22 = (−2)2 = 4. Que valor escolhermos para f(4)? 2 ou -2? Vemos portanto que
6 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.3:
a regra dada na˜o determina uma func¸a˜o de A em B pois a (2a) condic¸a˜o na˜o e´
satisfeita.
Figura 1.4:
4. Podemos resolver o problema surgido no exemplo anterior restringindo o
contradomı´nio da func¸a˜o . Considere enta˜o agora A = [0,∞) e B = [0,∞) e seja
f : A −→ B tal que b2 = a. Como dado qualquer nu´mero real a ≥ 0, existe um
nu´mero real b tal que b2 = a, temos que a (1a) condic¸a˜o esta´ satisfeita. Ale´m disso,
dado um nu´mero real a > 0, existem exatamente dois nu´meros reais cujos quadrados
sa˜o iguais a a. Mas somente um deles e´ positivo, i.e., somente um deles esta´ em B.
7 1 FUNC¸O˜ES
Elimina-se assim a ambiguidade que t´ınhamos no exemplo anterior. Temos enta˜o por
exemplo4, f(4) = 2.
Observac¸a˜o : Se a e´ um nu´mero real maior do que ou igual a zero, define-se a
raiz quadrada de a, denotada por
√
a, como o u´nico nu´mero real na˜o negativo b tal
que b2 = a. Assim, apesar de termos 22 = (−2)2 = 4, temos que √4 = 2. A func¸a˜o f
do exemplo 4 pode ser expressa como f(x) =
√
x.
5. Seja Q o conjunto dos nu´meros racionais. Tentemos definir uma func¸a˜o g :
Q −→ Q considerando a seguinte regra: a cada x ∈ Q faremos corresponder o
nu´mero g(x) ∈ Q tal que x g(x) = 1. esta regra na˜o defini uma func¸a˜o de Q em Q
pois a (1a) condic¸a˜o na˜o e´ satisfeita ja´ que dado 0 ∈ Q, na˜o existe nenhum racional
y ∈ Q tal que 0y = 1 pois 0y = 0 qualquer que seja y. Entretanto se escolhermos
o conjunto A = {x ∈ Q : x 6= 0} , a regra acima define uma func¸a˜o de A em Q que
pode ser expressa por
f : A −→ Q.
x 7→ 1/x
5. Considere um quadrado A no plano com centro O. Se girarmos este quadrado
· O
de um aˆngulo de 90o no sentido antihora´rio, em torno do seu centro, o quadrado
mante´m-se invariante, ou seja, todo ponto do quadrado e´ levado num ponto dele
mesmo. Obte´m-se assim uma func¸a˜o
f : A −→ A,
x 7→ f(x) onde f(x) e´ o ponto de A
obtido de x por uma rotac¸a˜o de 90o no sentido antihora´rio, em torno de O. Observe
que f e´ realmente uma func¸a˜o de A em A pois todo ponto de A e´ levado num ponto
deA por esta rotac¸a˜o e num u´nico. Numerando os ve´rtices de A podemos representar
a ac¸a˜o de f do modo como indicado na Fig. 1.5. De modo ana´logo podemos definir
as func¸o˜es g : A −→ A e h : A −→ A correspondentes a`s rotac¸o˜es de 180o e 270o em
torno de O, no sentido antihora´rio (veja Fig. 1.6).
6. Em alguns livros de Ca´lculo voceˆ pode encontrar exerc´ıcios do tipo encontre
o domı´nio das func¸o˜es :
y =
1
x− 1 e y =
1
x2 + 5x+ 6
.
4Note que alternativamente poder´ıamos ter escolhido B = (−∞, 0], e, nesse caso, f(4) seria
igual a -2.
8 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.5:
Como vimos, para caracterizar uma func¸a˜o na˜o basta dar lei que a cada x faz corres-
ponder um y. E´ preciso deixar claro o domı´nio e o contradomı´nio da func¸a˜o . Mas
muitas vezes esta´ claro em qual contexto estamos trabalhando, em qual conjunto.
Assim, em Ca´lculo Diferencial, trabalhamos com o conjunto dos nu´meros reais.
Enta˜o quando se escreve: seja a func¸a˜o y = 1/(x−1) ou a func¸a˜o y = 1/(x2 +5x+6)
Figura 1.6:
subentende-se que esta´-se falando de func¸o˜es cujo contradomı´nio e´ R e cujo domı´nio
e´ o maior subconjunto de R no qual a expressa˜o que define a func¸a˜o faz sentido.
9 1 FUNC¸O˜ES
Enta˜o acima ter´ıamos as func¸o˜es
f : {x ∈ R : x 6= 1} −→ R,
x 7→ 1
x− 1
g : {x ∈ R : x 6= −2,−3} −→ R.
x 7→ 1
x2 + 5x+ 6
Num curso de varia´veis complexas, onde o conjunto com o qual trabalhamos
e´ o conjunto dos nu´meros complexos, C, se escrevemos: ”considere a func¸a˜o w =
1/(z2 + 1)”, estamos na verdade considerando a func¸a˜o
f : {z ∈ C : z 6= ±i} −→ C.
z 7→ 1
z2 + 1
7. Voltemos a` func¸a˜o determinada pela lei da queda dos corpos. Temos
s : [0,
√
2h/g] −→ [0, h].
t 7→ 1
2
gt2
Em vez de termos considerado s com contradomı´nio [0, h] poder´ıamos ter conside-
rado s com contradomı´nio R ou [0,∞). O que aconteceria e´ que estar´ıamos tomando
um contradomı´nio maior do que o necessa´rio, o que a definic¸a˜o de func¸a˜o na˜o pro´ıbe.
Mas a rigor ter´ıamos uma func¸a˜o diferente ja´ que uma func¸a˜o e´ determinada pelo
seu domı´nio, contradomı´nio e pela regra que associa a cada elemento do domı´nio
um elemento do contradomı´nio. Vimos tambe´m que foi o problema f´ısico que deter-
minou o domı´nio de s. Entretanto para qualquer nu´mero real t, a expressa˜o 1
2
gt2 faz
sentido e determina um u´nico nu´mero real. Poder´ıamos enta˜o considerar a func¸a˜o :
S : R −→ [0,∞).
t 7→ 1
2
gt2
Falamos acima de func¸o˜es diferentes; gostar´ıamos agora de precisar quando duas
func¸o˜es sa˜o iguais ou equivalentemente quando sa˜o diferentes.
Definic¸a˜o 2 Dizemos que duas func¸o˜es f : A −→ B e g : A′ −→ B′ sa˜o iguais se
A = A′, B = B′ e f(x) = g(x) ∀x ∈ A = A′.
1.3.2 Exemplos:
1. Como ja´ tinhamos falado informalmente, as func¸o˜es ,
s : [0,
√
2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 1
2
gt2
s1 : [0,
√
2h/g] −→ R,
t 7→ 1
2
gt2
S1 : R −→ R.
t 7→ 1
2
gt2
sa˜o todas distintas.
10 1 FUNC¸O˜ES
Observac¸a˜o : Diz-se que S1 e´ uma extensa˜o de s1 ou que s1 e´ uma restric¸a˜o de
S1. Isto porque o domı´nio de s1 e´ um subconjunto do domı´nio de S1 e para todo t
no domı´nio de s1 se tem s1(t) = S1(t).
2. Sejam A = [0,∞);
f : A −→ R,
a 7→ √a
g : A −→ R.
a 7→ 1
3
a+ 2
3
Enta˜o f e g sa˜o func¸o˜es distintas ja´ que f(0) = 0 e g(0) = 2/3. Entretanto se
restringirmos f e g ao conjunto C = {1, 4}, obteremos duas func¸o˜es iguais
f1 : C −→ R,
a 7→ √a
g1 : C −→ R.
a 7→ 1
3
a+ 2
3
pois f1(1) = 1 = g1(1) e f1(4) = 2 = g1(4), ou seja, f1(x) = g1(x), ∀x ∈ C.
3. Sejam
f : R −→ R,
x 7→ x− 3
g : R −→ R.
x 7→ x
2 − 5x+ 6
x− 2 , sex 6= 2
2 7→ −1
Enta˜o f e g sa˜o iguais pois se x 6= 2, g(x) = x
2 − 5x+ 6
x− 2 =
(x− 2)(x− 3)
x− 2 = x− 3 = f(x)
e g(−2) = −1 = f(2), o que significa portanto que f(x) = g(x)∀x ∈ R.
1.4 Gra´fico de uma func¸a˜o - Exemplos
Voceˆ ja´ deve estar familiarizado com as coordenadas cartesianas no plano. Elas
fazem corresponder a cada ponto do plano um par ordenado de nu´meros reais.
Assim, na figura 1.7, ao ponto A corresponde o par ordenado (1/2, 1) e ao ponto B
o par ordenado (−3, 2). Observe que um ponto A do plano correspondente ao par
(x, y) e´ igual a um ponto A′, correspondente ao par (x′, y′) ⇐⇒ x = x′ e y = y′.
Observe tambe´m que em geral o ponto A correspondente a (x, y) e´ diferente do
ponto A′ correspondente a (y, x). Na verdade eles sa˜o iguais se e somente se x = y.
Com a introduc¸a˜o das coordenadas cartesianas no plano, este podera´ ser identi-
ficado com o conjunto dos pares ordenados de nu´meros reais, denotado por R2.
Dada uma func¸a˜o real de varia´vel real (i.e., uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ um
subconjunto de R e cujo contradomı´nio e´ R), voceˆ ja´ sabe o que e´ o gra´fico de f.
Vejamos alguns exemplos.
11 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.7:
1.4.1 Exemplos:
1. seja f : R −→ R, f(x) = 2x. Voceˆ ja´ sabe que o gra´fico de f e´ uma reta
Figura 1.8:
passando pela origem (Fig. 1.8). Consideremos agora g : R −→ R, g(x) = x/2
e h : R −→ R, h(x) = 3x. temos que os gra´ficos de g e h sa˜o tambe´m retas pela
origem. fac¸amos numa mesma figura (Fig. 1.9) os gra´ficos de f, g e h : Temos que
se k ≥ 0 e´ um nu´mero real qualquer e F : R −→ R, F (x) = kx, enta˜o o gra´fico de
F e´ uma reta passando pela origem e sua inclinac¸a˜o e´ tanto maior quanto maior for
k. Se k < 0, temos retas do tipo dado na figura 1.10.
Voltemos a` func¸a˜o
f : R −→ R.
x 7→ 2x Como podemos descrever o gra´fico de f em
termos de coordenadas cartesianas? Isto e´, a que suconjunto de R2 corresponde o
12 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.9:
Figura 1.10:
13 1 FUNC¸O˜ES
subconjunto do plano que e´ o gra´fico de f? O gra´fico de f corresponde ao seguinte
subconjunto de R2 : {(x, y) ∈ R2 : y = 2x} que tambe´m pode ser escrito como
{(x, 2x) : x ∈ R}.
2. Sejam
s : [0,
√
2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 1
2
gt2
S1 : R −→ R.
t 7→ 1
2
gt2
Voceˆ ja´ sabe que o gra´fico de S1 e´ a para´bola dada na figura a seguir. O gra´fico de
s e´ a parte da para´bola correspondente ao intervalo [0,
√
2h/g].
Figura 1.11:
Os gra´ficos de S1 e s podem ser descritos em termos de corrdenadas cartesianas
como: {(x, y) ∈ R2 : y = 1
2
gx2} e {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0,√2h/g] e y = 1
2
gx2}, ou
alternativamente {(x, 1
2
gx2) : x ∈ R} e {(x, 1
2
gx2) : x ∈ [0,
√
2h/g]}.
O gra´fico de uma func¸a˜o real de varia´vel real e´ uma maneira de visualizar esta
func¸a˜o que em geral e´ muito u´til. Olhando por exemplo o gra´fico de s (Fig. 1.12)
vemos imediatamente que um corpo em queda livre cai muito mais vagarosamente
no princ´ıpio da queda do que no final:
3. A regra de sinais memorizada para se resolver uma inequac¸a˜o de segundo
grau fica clara se lembrarmos que o gra´fico de uma func¸a˜o
f : R −→ R,
x 7→ ax2 + bx+ c
onde a, b, c sa˜o nu´meros reais, e´ o do tipo exibido na Fig. 1.13
14 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.12:
Figura 1.13: Em (a) temos a > 0 e em (b), a < 0.
15 1 FUNC¸O˜ES
4. Seja v : (0,∞) −→ R, p 7→ c/p, a func¸a˜o dada pela lei de Boyle Mariotte.
Voceˆ viu no curso de geometria anal´ıtica que o gra´fico de v e´ uma hipe´rbole do
tipo da figura 1.14. Vemos no gra´fico que se a pressa˜o e´ baixa, pequenas variac¸o˜es de
pressa˜o causam grandes variac¸o˜es de volume enquanto para presso˜es altas, grandes
variac¸o˜es de pressa˜o causam pequenas variac¸o˜es de volume; ou seja, fica mais dif´ıcil
de diminuir o volume quando cresce a pressa˜o .
Figura 1.14:
5. Sejam A = {0, 3,−3} e B = {0,−27, 27, 9} e f : A −→ B tal que f(0) =
0, f(3) = f(−3) = 27. O gra´fico de f e´: Mas neste caso o gra´fico de f na˜o e´
Figura 1.15:
importante, na˜o acrescenta nada.
16 1 FUNC¸O˜ES
6. Seja f : [0,∞) −→ R, x 7→ √x. Voceˆ viu no seu curso de ca´lculo que o gra´fico
de f e´
Figura 1.16:
Vimos enta˜o que se A e B sa˜o subconjuntos de R, o gra´fico de uma func¸a˜o f :
A −→ B pode ser visto como o subconjunto de R2 dado por
G(f) := {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f(x)} = {(x, f(x) ∈ R2 : x ∈ A}.
Agora, dado um subconjunto G do plano, como podemos decidir se ele e´ o gra´fico
de uma func¸a˜o real de varia´vel real? Consideremos primeiro o seguinte exemplo:vimos que a regra que associa a cada nu´mero real a ≥ 0 um nu´mero real b tal
que b2 = a na˜o define uma func¸a˜o de [0,∞) em R. Isto porque dado um nu´mero
real a > 0, existem dois nu´meros reais cujo quadrado e´ a. Tentemos entretanto, de
modo ana´logo ao que fazemos para trac¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o , considerar o
subconjunto do plano constitu´ıdo dos pares (x, y) com x ∈ [0,∞) e y2 = x. Teremos
como gra´fico o da figura 1.17. O fato de que dado x > 0, existem dois nu´meros reais
y1 e y2 tais que y
2
1 = y
2
2 = x se traduz, no ”gra´fico”, no fato de que a reta vertical
passando por (x, 0) encontra o ”gra´fico”em dois pontos: (x, y1) e (x, y2). Resolvemos
este problema restringindo o contradomı´nioa [0,∞). Isto corresponde a eliminar a
parte de baixo do desenho acima acabando com o problema de a reta vertical por
(x, 0) encontrar o ”gra´fico”em dois pontos. Por outro lado, considere o gra´fico (veja
Fig. 1.16) da func¸a˜o f : [0,∞) −→ R tal que f(x) = √x
Fica claro, vendo-se o desenho, que se este for o gra´fico de uma func¸a˜o f real
de varia´vel real, o domı´nio desta func¸a˜o na˜o conte´m nenhum nu´mero real negativo,
pois a nenhum nu´mero negativo corresponde uma imagem f(x). Este fato pode ser
visto no gra´fico atrave´s do fato de que uma reta vertical passando por (x, 0), onde
x < 0, na˜o corta o gra´fico.
Esperamos que atrave´s destes dois exemplos fique claro que a resposta a` pergunta
formulada e´ a seguinte
17 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.17:
Definic¸a˜o 3 Um subconjunto G do plano e´ o gra´fico de uma func¸a˜o f : A −→ B
real de varia´vel real se, e somente se, as duas seguintes condic¸o˜es , correspondentes
a`s condic¸o˜es dadas no in´ıcio da sec¸a˜o 1.3, esta˜o satisfeitas:
(1a) Se x ∈ A, a reta vertical por (x, 0) deve interceptar G,
(2a) Se x ∈ A, a reta vertical por (x, 0) na˜o pode interceptar G em mais
de um ponto.
1.4.2 Exemplos
Figura 1.18:
18 1 FUNC¸O˜ES
Considere os seguintes subconjuntos do plano (Fig. 1.18). Em (a) e (d) na˜o temos
o gra´fico de uma func¸a˜o pois a (2a) condic¸a˜o na˜o esta´ satisfeita. Em (c) temos o
gra´fico de uma func¸a˜o de R em R. Em (b) temos o gra´fico de uma func¸a˜o de A em
R, desde que A = {x ∈ R : −5 ≤ x ≤ 0 ou x = 3}.
Vamos agora generalizar a noc¸a˜o de gra´fico de uma func¸a˜o qualquer. O produto
cartesiano dos conjuntos U e V, denotado por U×V, e´ o conjunto dos pares ordenados
(u, v) com u ∈ U e v ∈ V. Assim
U × V := {(u, v) : u ∈ U e v ∈ V }.
Se U = V denotaremos U × U por U 2.
Definic¸a˜o 4 Sejam A e B subconjuntos de U e V respectivamente e f : A −→ B
uma func¸a˜o dada. O gra´fico de f e´ o subconjunto de U × V constitu´ıdo dos pares
ordenados (a, b) tais que b = f(a) para todo a ∈ A. Enta˜o denotando o gra´fico de f
por G(f) temos:
G(f) = {(a, b) ∈ U × V : a ∈ A e b = f(a)} = {(a, f(a)) ∈ U × V : a ∈ A}.
1.4.3 Exemplos:
1. Considere a func¸a˜o
f : R2 −→ R.
(x, y) 7→ x2 + y2
O gra´fico de f e´ um subconjunto de
Figura 1.19:
R2 × R = {((x, y), z) : (x, y) ∈ R2 e z ∈ R},
19 1 FUNC¸O˜ES
o que pode ser identificado com R3, o conjunto das triplas ordenadas de nu´meros
reais. Com a introduc¸a˜o das coordenadas cartesianas no espac¸o, podemos identificar
este com R3. Assim, podemos considerar o gra´fico de f como um subconjunto do
espac¸o. Voceˆ viu no seu curso de ca´lculo que o gra´fico de f e´ o parabolo´ide da figura
1.19.
2. Seja
f : R2 −→ R2.
(x, y) 7→ (x+ y, x− y)
Aqui, o gra´fico de f e´ um subconjunto de R2 × R2, que pode ser identificado com
R4. Neste caso, o gra´fico de f na˜o pode ser desenhado e na˜o nos ajuda muito na
visualizac¸a˜o da func¸a˜o . Veremos mais na frente uma maneira melhor de visualizar
f. De qualquer jeito, o gra´fico de f e´ o conjunto {((x, y), (z, w)) ∈ R2 × R2 : z =
x+ y e w = x− y}.
Observac¸o˜es :
(1) Quando um subconjunto de R3 e´ o gra´fico de uma func¸a˜o f : A ⊂
R2 −→ R?
(2) Duas func¸o˜es f, g : A −→ B sa˜o iguais se, e somente se, seus gra´ficos
sa˜o iguais.
1.5 Func¸a˜o Sobrejetora, Injetora e Bijetora.
Composic¸a˜o de Func¸o˜es e Func¸a˜o Inversa
Consideremos novamente a func¸a˜o dada pela lei da queda dos corpos
s : [0,
√
2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 1
2
gt2
onde s(t) e´ a distaˆncia percorrida pelo corpo desde o instante t = 0 em que e´
abandonado na posic¸a˜o de repouso 0, ate´ o instante gene´rico t. A pergunta: qual
a distaˆncia percorrida pelo corpo transcorridos t0 segundos apo´s a sua queda? e´
facilmente respondida, bastando substituir t por t0 na expressa˜o de s(t), que nos da´
1
2
gt20. Mas consideremoos a seguinte pergunta: se o corpo percorreu uma distaˆncia s0
desde a posic¸a˜o de repouso 0, quanto tempo se passou do momento de sua queda?.
Para respondeˆ-la e´ preciso achar t em func¸a˜o de s. Neste caso e´ fa´cil ver que
t =
√
2s
g
e a resposta a` 2a pergunta e´ enta˜o dada por
√
2s0
g
. Obtemos assim uma
func¸a˜o
t : [0, h] −→ [0,√2h/g],
s 7→ √2s/g
20 1 FUNC¸O˜ES
que nos permite responder a 2a pergunta ta˜o facilmente quanto a 1a.
Qual a caracter´ıstica desta func¸a˜o ? Ela ”desfaz”o que a func¸a˜o s ”faz”. Uma
”aplicada”depois da outra ”anula o efeito da primeira”. Ou seja, se dado um tempo
t0, calcula-se a distaˆncia s0 que o corpo esta´ (da posic¸a˜o de repouso 0) neste instante
(i.e., s0 = s(t0)) e enta˜o t(s0) = t0, que e´ o tempo que o corpo gasta para percorrer a
distaˆncia s0. Reciprocamente, se dada uma distaˆncia s0 calcula-se o tempo t0 gasto
pelo corpo para percorrer esta distaˆncia (i.e., t(s0) = t0) enta˜o s(t0) = s0, que e´ a
distaˆncia percorrida pelo corpo ate´ o instante t0.
Na˜o fomos muito cuidadosos ao dizer que tinhamos uma func¸a˜o t : [0, h] −→
[0,
√
2h/g]. Dever´ıamos ter verificado que t e´ realmente uma func¸a˜o . Mas este e´
realmente o caso pois a cada valor s do intervalo [0, h] corresponde pela t, exatamente
um valor t do intervalo [0,
√
2h/g].
Suponha que em vez da func¸a˜o s tive´ssemos considerado a func¸a˜o
s1 : [0,
√
2h/g] −→ R.
t 7→ 1
2
gt2
Aqui ter´ıamos dificuldades para determinar uma func¸a˜o t1 : R −→ [0,
√
2h/g] com
as caracter´ısticas da func¸a˜o t acima. O problema provem do fato que nem todo valor
de R e´ imagem de um nu´mero em [0,
√
2h/g]. Como o valor ma´ximo de s1(t) quando
t ∈ [0,√2h/g] e´ h, na˜o e´ poss´ıvel encontrar o tempo gasto, t0, em [0,√2h/g], para
percorrer, por exemplo, a distaˆncia s0 = 2h.
Se tive´ssemos considerado a func¸a˜o
S : R −→ [0,∞)
t 7→ 1
2
gt2
ter´ıamos um outro tipo de problema para determinar uma func¸a˜o T : [0,∞) −→ R
com as caracter´ısticas desejadas. Este segundo problema prove´m do fato de que
certos valores do intervalo [0,∞) sa˜o imagens de dois valores de R. Por exemplo,
como definir T (2g)? Como S(2) = 2g dever´ıamos ter T (2g) = 2. Por outro lado
S(−2) = 2g e dever´ıamos ter portanto T (2g) = −2. Mas enta˜o T na˜o seria uma
func¸a˜o .
Gostar´ıamos agora de precisar o que foi dito anteriormente: dada uma func¸a˜o f :
A −→ B, vamos enta˜o definir a inversa de f, que sera´ a func¸a˜o que ”desfaz”o que
a func¸a˜o ”faz”. Vimos que ao tentar achar uma tal func¸a˜o poder´ıamos encontrar
dificuldades tais como as apresentadas pelas func¸o˜es s1 e S. Enta˜o nos restringiremos
a`s func¸o˜es que na˜o apresentem tais dificuldades e que va˜o ser chamadas, respecti-
vamente, de func¸o˜es sobrejetoras e injetoras. Para se definir a func¸a˜o inversa vamos
tambe´m ter de dar um sentido preciso a` frase: ”aplicar uma func¸a˜o apo´s a outra”.
21 1 FUNC¸O˜ES
1.5.1 Func¸a˜o Sobrejetora
A dificuldade apresentada pela func¸a˜o s1 e´ que ela na˜o ”preenche”todo o contra-
domı´nio R e assim quando tentamos achar uma inversa t1 para s1 vimos que a regra
que define t1 teria que ter excesso˜es , o que a definic¸a˜o de func¸a˜o na˜o permite. As-
sim, para se definir a inversa, e´ deseja´vel que a func¸a˜o considerada ”preencha”todo o
seu contradomı´nio. Uma func¸a˜o que possui esta propriedade e´ chamada sobrejetora
ou sobrejetiva ou simplesmente sobre. Formalmente temos a seguinte
Definic¸a˜o 5 Dada uma func¸a˜o f : A −→ B dizemos que f e´ sobrejetora se paratodo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f(x) = y.
1.5.2 Exemplos:
1. A func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = 2x + 3 e´ sobrejetora, pois dado
y ∈ R podemos escrever y = 2(y − 3
2
) + 3, isto e´ y = f(x) para x =
y − 3
2
∈ R.
2. A func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = x2 na˜o e´ sobrejetora pois, por
exemplo, -2 na˜o e´ imagem de nehum x ∈ R ja´ que x2 e´ na˜o negativo para todo
x ∈ R.
Assim, uma func¸a˜o f : A −→ B deixa de ser sobrejetora quando ela na˜o ”pre-
enche”todo B, i.e., quando o conjunto dos pontos de B que sa˜o imagens de algum
elemento de A, na˜o e´ o conjunto B todo mas um subconjunto pro´prio de B.
O conjunto dos pontos de B que sa˜o imagem de algum elemento de A tem um
nome especial, e´ chamado a imagem de f e e´ denotado por f(A) ou Im(f). Assim
f(A) := {f(a) : a ∈ A} = {b ∈ B : b = f(a) para algum a ∈ A}.
Enta˜o a func¸a˜o f : A −→ B e´ sobrejetora se, e somente, f(A) = B. Para mostrar que
f e´ sobrejetora devemos enta˜o mostrar que os dois conjuntos f(A) e B sa˜o iguais.
E quando dois conjuntos X e Y sa˜o iguais? Eles sa˜o iguais se possuem os mesmos
elementos, i.e., se todo elemento de X e´ elemento de Y e vice versa, ou seja X ⊂ Y e
Y ⊂ X. Como no caso de uma func¸a˜o f : A −→ B qualquer temos sempre f(A) ⊂ B
(veja a definic¸a˜o do conjunto f(A) para se convencer disso), enta˜o
para que f seja sobrejetora basta verificar que B ⊂ f(A).
A func¸a˜o f deixara´ de ser sobrejetora se B 6⊂ f(A). Dados dois conjuntos X e
Y como fazemos para mostrar que X 6⊂ Y ? Basta mostrar que nem todo elemento
de X e´ elemento de Y, i.e., basta exibir um elemento x de X tal que x 6∈ Y. Assim,
B 6⊂ f(A) se existir b ∈ A tal que b 6= f(a) para todo a ∈ A.
O diagrama abaixo representa uma func¸a˜o f : A −→ B que na˜o e´ sobrejetora.
22 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.20:
1.5.3 Exemplos:
1. Como ja´ foi visto a func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = 2x + 3 e´
sobrejetora. Para provar que f(R) = R temos que mostrar que todo elemnto y de
R esta´ em f(R), ou seja, e´ imagem de algum elemento x de R. Ja´ vimos que basta
tomar x como sendo x =
y − 3
2
pois f(
y − 3
2
) = y.
2. Ja´ vimos tambe´m que a func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = x2 na˜o e´
sobrejetora, pois −2 ∈ R mas −2 6∈ f(R). Na verdade temos que f(R) = [0,∞) ( R.
Para tornar f sobrejetora, bastaria restringirmos o contradomı´nio de f , i.e.,
considerarmos a func¸a˜o f1 : R −→ [0,∞) dada por f1(x) = x2. A func¸a˜o f1 e´
Figura 1.21:
sobrejetora pois f1(R) = [0,∞) ja´ que qualquer elemento y de [0,∞) e´ imagem,
23 1 FUNC¸O˜ES
por f1, de dois elementos x1, x2 de R a saber x1 =
√
y ou x2 = −√y. Ou seja, a
sobrejetividade de f1 e´ garantida pelo fato de todo nu´mero real na˜o negativo ter
uma raiz quadrada.
Observac¸o˜es :
(1) Sejam A e B subconjuntos de R e f : A −→ B uma func¸a˜o . A
func¸a˜o f : A −→ B e´ sobrejetora ⇐⇒ qualquer reta horizontal Y = b,
onde b ∈ B, intercepta o seu gra´fico. (Observe os gra´ficos acima).
(2) Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o qualquer enta˜o a restric¸a˜o f1 : A −→
f(A) e´ sempre sobrejetora.
Figura 1.22:
(3) Observe que para mostrarmos que uma func¸a˜o f na˜o e´ sobrejetora
basta exibirmos um elemento do contradomı´nio que na˜o seja imagem de
nenhum elemento do domı´nio. No entanto para mostrarmos que uma
func¸a˜o e´ sobre, devemos mostrar que todos elementos do contradomı´nio
sa˜o imagem de algum elemento do domı´nio. A verificac¸a˜o de que uma
func¸a˜o e´ sobre implica em demonstrar a existeˆncia de objetos satisfa-
zendo certas condic¸o˜es . Assim o fato de a func¸a˜o f1 : R −→ [0,∞) dada
por f1(x) = x
2 ser sobrejetora se traduz no fato de todo nu´mero real
na˜o negativo possuir uma raiz quadrada.
Exemplo: Seja p um polinoˆmio na˜o constante de coeficientes complexos. A cada
nu´mero complexo z associaremos o valor p(z) do polinoˆmio p em z. Isto define uma
func¸a˜o p : C −→ C onde C e´ o conjunto dos nu´meros complexos. A afirmac¸a˜o de
que f e´ sobrejetora e´ equivalente ao chamado
Teorema Fundamental da A´lgebra, segundo o qual todo polioˆmio
comlexo na˜o constante possui pelo menos uma raiz complexa
24 1 FUNC¸O˜ES
Para demonstrarmos esta afirmac¸a˜o , suponhamos primeiro que p : C −→ C e´
sobrejetora. Assim, dado 0 ∈ C deve existir algum z0 ∈ C tal que p(z0) = 0. O
nu´mero z0 e´ portanto uma raiz de p.
Reciprocamente, admitindo que todo polinoˆmio na˜o constante possui uma raiz
complexa, podemos provar que p : C −→ C e´ sobrejetora. De fato, dado c ∈ C a
func¸a˜o z 7→ p(z) − c define um polinoˆmio na˜o constante, a saber q(z) = p(z) − c.
Logo, existe z0 ∈ C tal que q(z0) = p(z0) − c = 0, ou seja p(z0) = c e portanto p e´
sobrejetora.
1.5.4 Func¸a˜o Injetora
A dificuldade apresentada pela func¸a˜o S : R −→ [0,∞), definida por S(t) = 1
2
gt2
e´ que existem valores no intervalo [0,∞) que sa˜o imagem de mais de um elemento
de R e assim, quando tentamos definir uma inversa T para S a regra que define T
apresentaria ambiguidades (ja´ que S(2) = S(−2) = 2g, enta˜o T (2g) = 2 ou − 2?)
o que a definic¸a˜o de func¸a˜o na˜o permite.
Assim, para definir a inversa de uma func¸a˜o f, e´ necessa´rio que as imagens,
pela func¸a˜o f, de elementos distintos do domı´nio sejam distintas. Uma func¸a˜o que
possui esta propriedade e´ chamada uma func¸a˜o injetora ou injetiva. Temos enta˜o a
seguinte:
Definic¸a˜o 6 Dada uma func¸a˜o f : A −→ B, dizemos que f e´ injetora se x 6= y
em A implicar f(x) 6= f(y) em B. Em outras palavras, f e´ injetora se dados x e y
em A enta˜o f(x) = f(y) implicar x = y.
Uma func¸a˜o f : A −→ B deixa de ser injetiva quando elementos distintos de A
tem imagens iguais em B.
O diagrama de venn abaixo representa uma func¸a˜o f : A −→ B que na˜o e´
injetora.
25 1 FUNC¸O˜ES
1.5.5 Exemplos:
1. A func¸a˜o ”soma de dois nu´meros inteiros”g : Z×Z −→ Z, g(m+n) = m+n,
na˜o e´ injetora pois (2, 3) 6= (3, 2) e g(2, 3) = g(3, 2) = 5. Na verdade, como u+ v =
v+u quaisquer que sejam os nu´meros inteiros u e v temos que g(u, v) = g(v, u) para
quaisquer u e v em Z e no entanto (u, v) 6= (v, u) sempre que u 6= v. Ale´m disso,
sabemos tambe´m que 2+3 = (2−1)+(3+1) = (2−2)+(3+2) = (2−3)+(3+3) = . . .
o que implica g(2, 3) = g(1, 4) = g(0, 5) = g(−1, 6) = . . . .
Note que g e´ sobrejetora pois dado m ∈ Z temos, p.ex., que g(0,m) = g(m, 0) =
m. O fato de g ser sobrejetora se traduz na afirmativa de que todo nu´mero inteiro
pode ser expresso como a soma de dois outros nu´meros inteiros (em uma infinidade
de maneiras distintas).
2. A func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = 2x+3 e´ injetiva pois se f(x) = f(y)
enta˜o 2x+ 3 = 2y + 3, o que implica 2x = 2y e, enta˜o , x = y.
3. A func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = x2 na˜o e´ injetora pois 4 6= −4
e f(4) = f(−4) = 16. Na verdade, se a e´ um nu´mero real qualquer, na˜o nulo,
enta˜o a 6= −a e f(a) = f(−a) (i.e., a2 = (−a)2). Para tornar f injetora, bastaria
restringirmos o domı´nio de f, i.e., considerarmos , p.ex., a func¸a˜o F : [0,∞) −→ R
dada por F (x) = x2. Para mostrarmos que F e´ injetora precisamos provar que se
F (a) = F (b), onde a, b ∈ [0,∞), enta˜o a = b. Com efeito, sejam a, b ∈ [0,∞) tais
que F (a) = F (b), i.e., a2 = b2. Mas, a2 = b2 =⇒ a2 − b2 = 0 =⇒ (a − b)(a + b) =
0 =⇒ a − b = 0 ou a + b = 0 =⇒ (i)a = b, ou (ii)a = −b. Como a, b ≥ 0 temos
a = −b ⇐⇒ a = 0 e b = 0 enta˜o (ii) e´ a u´nica possibilidade que pode ocorrer, i.e.,
a = b. Alternativamente poder´ıamos tornar f injetora restringido o domı´nio de f ao
conjunto (−∞, 0], e a func¸a˜o assim obtida,
Figura 1.23:
26 1 FUNC¸O˜ES
F˜ : (−∞, 0] −→ R
x 7→ x2
e´ injetora. Os gra´ficos destas func¸o˜es esta˜o dados na figura 1.23.
Observac¸a˜o : Sejam A,B ⊂ R e f : A −→ B. A func¸a˜o f e´ injetora se, e so-
mente se, qualquer reta horizontal interceptar seu gra´fico em no ma´ximo um ponto.
Figura 1.24: Em (a) f e´ injetora e em (b) g na˜o e´ injetora.
4. A func¸a˜o h : R2 −→ R2 definida por h(x, y) = (x + 3, y + 4) e´ injetiva. Com
efeito, se h(x, y) = h(x′, y′) enta˜o (x + 3, y + 4) = (x′ + 3, y′ + 4) =⇒ x + 3 =
x′ + 3 e y + 4 = y′ + 4 =⇒ x = x′ e y = y′ =⇒ (x, y)= (x′, y′) como quer´ıamos
mostrar.
1.5.6 Func¸a˜o Bijetora
Para encontrarmos uma inversa para a func¸a˜o f e´ necessa´rio que esta seja injetora
e sobrejetora simultaneamente. Daremos um nome especial para este tipo de func¸a˜o .
Definic¸a˜o 7 Dada uma uma func¸a˜o f : A −→ B, dizemos que f e´ bijetora se f e´
injetora e sobrejetora.
Exemplos:
1. A func¸a˜o f : R −→ R, f(x) = 2x+3, e´ bijetora como ja´ vimos anteriormente.
2. A func¸a˜o f : R −→ R, f(x) = x2, na˜o e´ bijetora (pois na˜o e´ injetora e nem
sobre). Entretanto se restringirmos convenientemente o domı´nio e o contradomı´nio
de f e´ poss´ıvel obter uma func¸a˜o bijetora, dada por
f˜ : [0,∞) −→ [0,∞).
x 7→ x2
27 1 FUNC¸O˜ES
Verifique isso.
Observac¸a˜o 1. Toda func¸a˜o injetiva e´ bijetiva sobre o seu conjunto imagem.
Em outras palavras, se f : A −→ B e´ injetiva enta˜o f˜ : A −→ f(A), tal que
f˜(x) = f(x) ∀x ∈ A, e´ bijetiva.
Observac¸a˜o 2. Combinando as observac¸o˜es feitas anteriormente para func¸o˜es in-
jetoras e sobrejetoras obtemos o seguinte resultado: Sejam A,B ⊂ R e f : A −→ B.
A func¸a˜o f e´ bijetora se, e somente se, qualquer reta horizontal Y = b, onde b ∈ B,
interceptar seu gra´fico em exatamente um ponto.
3. O gra´fico da func¸a˜o g : R −→ R, g(t) = t3 e´ dado a seguir. Pela ob-
Figura 1.25:
servac¸a˜o anterior, temos que g e´ bijetora.
∗ ∗ ∗
Consideremos novamente a func¸a˜o
s : [0,
√
2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 1
2
gt2
dada pela lei da queda dos corpos e tentemos responder a` seguinte pergunta:
Se o corpo percorrer uma distaˆncia s0, desde a posic¸a˜o de repouso 0,
quanto tempo tera´ se passado desde o momento de sua queda?
28 1 FUNC¸O˜ES
Vimos que pod´ıamos obter uma func¸a˜o
t : [0, h] −→ [0,√2h/g],
s 7→ √2s/g
que nos permitia responder facilmente a esta pergunta, e que t era a ”inversa”da
func¸a˜o s. Dissemos informalmente que ”t aplicada apo´s s desfazia o que a func¸a˜o s
fazia”. Vimos tambe´m que func¸o˜es na˜o injetivas como S e na˜o sobrejetivas como
s1, apresentavam problemas ao se tentar achar suas inversas.
Antes de precisar o sentido da frase aplicar uma func¸a˜o apo´s a outra e de dar a
definic¸a˜o de func¸a˜o inversa, vejamos outro exemplo. Seja
f : [0,∞) −→ [0,∞).
x 7→ x2
Temos que f e´ uma func¸a˜o bijetiva. Assim, a cada y ∈ [0,∞) existe um (pois
f e´ sobre) e somente um (pois f e´ injetiva) x ∈ [0,∞), tal que f(x) = y. Podemos
enta˜o definir uma func¸a˜o g : [0,∞) −→ [0,∞) que associa a cada y ∈ [0,∞) o u´nico
x ∈ [0,∞) tal que f(x) = y. Sabemos que dado y ∈ [0,∞) o u´nico x de [0,∞) tal
que x2 = y e´ denominado raiz quadrada de y e denotado por
√
y. Temos enta˜o que
a func¸a˜o g e´ dada por
g : [0,∞) −→ [0,∞).
y 7→ √y
Tomando x0 ∈ [0,∞) e calculando f(x0), obtemos x20 ∈ [0,∞). Logo podemos
calcular g(x20) e temos
g(x20) =
√
x20 = |x0| = x0
ja´ que x0 ∈ [0,∞). Em outros termos, g(f(x0)) = x0.
Figura 1.26:
29 1 FUNC¸O˜ES
Analogamente, tomando y0 ∈ [0,∞) e calculando g(y0) temos g(y0) = √y0 ∈
[0,∞). Podemos enta˜o calcular f(g(y0)) e obtemos
f(g(y0)) = f(y0) = (
√
y0)
2 = y0.
Veremos que esta propriedade de g a caracteriza como inversa de f.
1.5.7 Composic¸a˜o de Func¸o˜es
Definic¸a˜o 8 Sejam f : A −→ B e g : B −→ C func¸o˜es . Define-se a func¸a˜o composta
h = g ◦ f : A −→ C por
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Em outros termos aplica-se primeiro f e depois g.
Figura 1.27:
Exemplos:
1. Sejam
s : [0,
√
2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 1
2
gt2
t : [0, h] −→ [0,√2h/g].
s 7→
√
2s
g
Enta˜o s ◦ t : [0, h] −→ [0, h] e´ tal que
(s ◦ t)(s0) = s
(√
2s0
g
)
= s0
30 1 FUNC¸O˜ES
e t ◦ s : [0,√2h/g] −→ [0,√2h/g] e´ tal que
(t ◦ s)(t0) = t
(
1
2
gt20
)
= t0.
Observac¸a˜o : Dado um conjunto A qualquer podemos definir uma func¸a˜o f :
A −→ A por f(x) = x. A func¸a˜o f e´ chamada a func¸a˜o identidade no conjunto A e
denotada por idA, ou simplesmente id se estiver claro qual e´ o domı´nio da func¸a˜o .
Note que a func¸a˜o idA e´ uma bijec¸a˜o para qualquer conjunto A. No exemplo acima
temos s ◦ t = id[0,h] e t ◦ s = id[0,√2h/g].
2. Sejam
f : [0,∞) −→ [0,∞),
x 7→ x2
g : [0,∞) −→ [0,∞).
y 7→ √y
Enta˜o
f ◦ g : [0,∞) −→ [0,∞),
y 7→ y
g ◦ f : [0,∞) −→ [0,∞),
x 7→ x
ou seja,
f ◦ g = id[0,∞) e g ◦ f = id[0,∞).
3. Sejam f, g : R −→ R dadas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = x2. Podemos definir
as compostas f ◦ g, g ◦ f : R −→ R e teremos:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2 + 3
e
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+ 3) = (2x+ 3)2 = 4x2 + 12x+ 9.
Vemos assim que mesmo quando ambas as compostas f ◦ g e g ◦ f esta˜o definidas,
se tem em geral f ◦ g 6= g ◦ f.
OBSERVAC¸A˜O
Na verdade para que se possa definir a composta de duas func¸o˜es f : A −→ B e
g : C −→ D na˜o e´ necessa´rio que tenhamos B = C; basta que se tenha f(A) ⊆ C
pois neste caso f(x) ∈ C, ∀x ∈ A e podemos enta˜o calcular g(f(x)) ∀x ∈ A.
4. Sejam f : R −→ R e g : [2,∞) −→ R dadas por f(x) = x2 + 2 e g(x) =√
x− 2. Como x2 ≥ 0, ∀x ∈ R, temos que x2 + 2 ≥ 2 ∀x ∈ R. Portanto f(x) ∈
31 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.28: Diagrama representando a composic¸a˜o de duas func¸o˜es
[2,∞) ∀x ∈ R e enta˜o f(R) ⊂ [2,∞). Logo podemos considerar a composta g ◦ f :
R −→ R e ela e´ dada por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 2) =
√
(x2 + 2)− 2 =
√
x2
Exerc´ıcios:
I. E´ verdade que no exemplo 4 acima (g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ R?
II. Verifique que no exemplo 4 acima, f(R) = [2,∞).
5. Sejam
f : R −→ R,
x 7→ 2x+ 3
g : [0,∞) −→ R.
x 7→ √x
Neste caso na˜o podemos definir a composta g◦f pois como vimos f(R) = R 6⊂ [0,∞).
Entretanto podemos restringir o domı´nio da func¸a˜o f de modo a ser poss´ıvel definir
a func¸a˜o composta g ◦ f. Para isto devemos encontrar A ⊆ R tal que para todo
x ∈ A tenhamos f(x) ∈ [0,∞). Como f(x) = 2x + 3 e 2x + 3 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −3/2,
se considerarmos a restric¸a˜o de f,
f1 = f |[−3/2,∞): [−3/2,∞) −→ R,
x 7→ 2x+ 3
podemos fazer a composic¸a˜o
g ◦ f1 : [−3/2,∞) −→ R,
x 7→ √2x+ 3
32 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.29:
1.5.8 Func¸a˜o Inversa
Agora estamos em condic¸o˜es de definir formalmente a func¸a˜o inversa.
Definic¸a˜o 9 Dada uma func¸a˜o f : A −→ B, dizemos que f e´ invers´ıvel se existe
uma func¸a˜o g : B −→ A, tal que
g ◦ f = idA e f ◦ g = idB.
A func¸a˜o g e´ chamada inversa de f e e´ denotada por f−1.
Exemplos:
1. Dadas
s : [0,
√
2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 1
2
gt2
t : [0, h] −→ [0,√2h/g],
s 7→
√
2s
g
vimos que s ◦ t = id[0,h] e t ◦ s = id[0,√2h/g], logo s e t sa˜o invers´ıveis e uma e´ a
inversa da outra.
2. Se
f : [0,∞) −→ [0,∞),
x 7→ x2
g : [0,∞) −→ [0,∞),
y 7→ √y
enta˜o f ◦ g = id[0,∞) e g ◦ f = id[0,∞) e portanto f e g sa˜o invers´ıveis e uma e´
inversa da outra.
Vimos nos casos dos exemplos particulares estudados que uma func¸a˜o na˜o bijetiva
apresentava problemas ao se tentar achar a sua inversa. O teoreema abaixo nos
mostra que realmente so´ as func¸o˜es bijetivas sa˜o invers´ıveis.
33 1 FUNC¸O˜ES
Teorema 1 Seja f : A −→ B uma func¸a˜o . Enta˜o f e´ invers´ıvel se, e somente se,
f e´ bijetiva.
Demonstrac¸a˜o : 1a parte.
Hipo´tese: f : A −→ B e´ invers´ıvel; Tese: f e´ bijetora.
Por Hipo´tese temos que f e´ invers´ıvel e portanto existe g : B −→ A tal que
g ◦ f : A −→ A,
x 7→ x
f ◦ g : B −→ B.
y 7→ y
Mostremos primeiro que f e´ injetiva. Sejam enta˜o x1, x2 ∈ A e suponhamos f(x1) =
f(x2). Queremos mostrar que se tem necessariamente x1 = x2. Mas
x1 = (g ◦ f)(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = (g ◦ f)(x2) = x2.
Assim obtemos x1 = x2 e conclu´ımos que f e´ injetiva. Agora mostremos que f
e´ sobrejetiva. Queremos mostrar enta˜o que dado y ∈ B, existe x ∈ A tal que
f(x) = y. Mas y = (f ◦ g)(y) = f(g(y)) e assim, basta tomarmos x = g(y).
2a parte.
Hipo´tese: f : A −→ B e´ bijetora; Tese: f e´ invers´ıvel.
Mostremos que existe g : B −→ A tal que f ◦ g = idB e g ◦ f = idA. Dado
y ∈ B, existe (porque f e´ sobrejetora) um u´nico (porque f e´ injetora) x ∈ A tal
que f(x) = y. Assim, a regra que associa a cada y ∈ B o u´nico x ∈ A tal que
f(x) = y, define realmente uma func¸a˜o g : B −→ A dada por
g(x) = y ⇐⇒ f(x) = y.
Temos enta˜o
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x
e
(f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y.
Portanto f e´ invers´ıvele g = f−1.
1.5.9 Imagem Direta e Unia˜o de Conjuntos
Em geral, como ja´ vimos, muitas informac¸o˜es a respeito de uma func¸a˜o podem
ser obtidas analisando-se o seu gra´fico. No caso de uma func¸a˜o f : R −→ R ja´ vimos
34 1 FUNC¸O˜ES
que podemos saber se ela e´ injetiva ou sobrejetiva (e portanto se ela possui inversa)
atrave´s do exame de seu gra´fico.
Para uma func¸a˜o g : R2 −→ R2 na˜o podemos assim proceder, simplesmente
porque na˜o e´ poss´ıvel esboc¸ar o gra´fico de tal func¸a˜o . Ainda assim, contudo,
informac¸o˜es importantes a respeito da func¸a˜o podem ser obtidas ao se estudar como
ela atua sobre subconjuntos particulares do seu domı´nio. Para isto damos a seguinte
Definic¸a˜o 10 Dados uma func¸a˜o f : A −→ B e um subconjunto Ω de A, a
imagem de Ω pela func¸a˜o f e´ o conjunto f(Ω) formado pelos valores f(x) que f
assume nos pontos x de Ω. Isto e´
f(Ω) := {f(x) : x ∈ Ω} = {y ∈ B : y = f(x) para algum x ∈ Ω}
Evidentemente, f(Ω) e´ um subconjunto de f(A) e, consequentemente, tambe´m um
subconjunto de B. Quando Ω = A, f(Ω) e´ o conjunto imagem de f definido ante-
riormente.
Figura 1.30: f(Ω) ⊂ f(A) ⊂ B
Exemplos:
1. Sejam f : R −→ R e g : N −→ N func¸o˜es dadas por f(x) = 2x + 3 e
g(n) = n2. Enta˜o
f([−2, 2]) = {2x+ 3 : x ∈ [−2, 2]} = [−1, 7]
pois: −2 ≤ x ≤ 2 ⇐⇒ −4 ≤ 2x ≤ 4 ⇐⇒ −4 + 3 ≤ 2x + 3 ≤ 4 + 3 ⇐⇒ −1 ≤
2x+ 3 ≤ 7. Para a func¸a˜o g no´s temos g({1, 2, 3}) = {1, 4, 9}.
35 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.31:
2. Seja pi : R2 −→ R2 a projec¸a˜o sobre o eixo dos x′s, i.e., pi(x, y) = (x, 0).
(2.a) Se Ω e´ a reta vertical dada pela equac¸a˜o x = a enta˜o pi(Ω) =
{(a, 0)}. (Prove isso!)
(2.b) Se Ω e´ a reta horizontal dada pela equac¸a˜o y = b enta˜o pi(Ω) =
eixo dos x’s.
(2.c) Se Ω = {(x, y) ∈ R2 : y = ax + b}, mostre que pi(Ω) tambe´m e´ o
eixo dos x’s.
(2.d) Seja Ω a hipe´rbole dada por Ω = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}. Clara-
mente pi(Ω) esta´ contido no eixo dos x’s. Entretanto estes dois conjuntos
na˜o sa˜o iguais pois a origem O = (0, 0) na˜o e´ imagem de nenhum ele-
mento de Ω (Todos os pontos de Ω teˆm a 1a coordenada diferente de
zero). Na verdade temos pi(Ω) = eixo dos x’s menos a origem. Mostre-
mos primeiro que pi(Ω) esta´ contido no eixo dos x’s menos a origem: com
efeito, se Q ∈ pi(Ω) enta˜o existe P = (x, y) ∈ Ω tal que Q = pi(P ).
Como P = (x, y) ∈ Ω enta˜o xy = 1 =⇒ x 6= 0. Logo Q = pi(P ) = (x, 0)
com x 6= 0, donde se conclui que Q 6= O. Com isto mostramos que
pi(Ω) ⊂ eixo dos x’s menos a origem.
Reciprocamente, se Q = (x, y) e´ um ponto do eixo dos x’s, diferente da
origem, enta˜o y = 0 e x 6= 0, i.e., Q = (x, 0), x 6= 0. Logo Q = (x, 0) =
pi(x, 1/x). Com isto mostramos que eixo dos x’s menos a origem ⊂ pi(Ω).
36 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.32:
3. Consideremos
f : R2 −→ R2.
(x, y) 7→ (2x, 2y)
Se P = (x0, y0) enta˜o f(P ) = (2x0, 2y0); ou usando a notac¸a˜o vetorial temos que se
v = (x0, y0) enta˜o f(v) = 2v
5.
Figura 1.33:
5aqui identificamos cada ponto X = (x, y) do plano xOy com o vetor v cuja origem coincida
com a origem do sistema cartesiano O = (0, 0) e cuja extremidade coincida com o pro´prio ponto
X = (x, y) de modo que v = ~OX = (x, y).
37 1 FUNC¸O˜ES
Colocando o domı´nio e o contradomı´nio sobre o mesmo sistema de coordenadas
cartesianas, obtemos
Figura 1.34:
Vamos estudar como a func¸a˜o f atua sobre alguns subconjuntos particulares de
R2.
(3.a) Consideremos a reta vertical x = 3, i.e., o conjunto Ω = {(x, y) ∈ R2 : x =
3}. Tentemos primeiro ver no desenho qual sera´ a imagem da reta Ω. Lembremos
que f leva qualquer vetor v do R2 no vetor 2v.
Figura 1.35:
Assim o desenho nos leva a crer que a imagem de Ω e´ reta vertical x = 6, i.e.,
f(Ω) = {(x, y) ∈ R2 : x = 6}. Analogamente podemos considerar a reta vertical
38 1 FUNC¸O˜ES
x = x0 onde x0 e´ um nu´mero real qualquer. Como acima o desenho nos levara´ a
concluir que a imagem desta reta sera´ a reta vertical x = 2x0. Vamos mostrar isto.
Sejam
Ω = {(x, y) ∈ R2 : x = x0} e Λ = {(x, y) ∈ R2 : x = 2x0}
Queremos mostrar que f(Ω) = Λ. Para isto mostremos que f(Ω) ⊂ Λ e Λ ⊂ f(Ω).
Consideremos P ∈ Ω. Enta˜o P = (x0, y) e (x′, y′) = f(P ) = f(x0, y) = (2x0, 2y),
i.e., as coordenadas de f(P ), x′ e y′ sa˜o dadas por
x′ = 2x0 e y′ = 2y.
Como x′ = 2x0, temos que f(P ) ∈ Λ, donde f(Ω) ⊂ Λ. Considereemos agora Q ∈ Λ;
enta˜o Q = (2x0, y). Queremos encontrar um ponto R ∈ Ω tal que f(R) = Q. Ora, se
R ∈ Ω enta˜o R = (x0, y′) donde f(R) = f(x0, y′) = (2x0, 2y′). Para que f(R) = Q
devemos ter (2x0, 2y
′) = (2x0, y) e portanto y′ = y/2. Logo o ponto R = (x0, y/2) e´
tal que f(R) = Q o que mostra que Λ ⊂ f(Ω).
(3.b) Consideremos agora uma reta gene´rica na˜o vertical dada por y = ax + b,
i.e., o conjunto Ω = {(x, y) ∈ R2 : y = ax+b, a 6= 0 ou b 6= 0}. Como antes vejamos
se o desenho nos sugere o que sera´ f(Ω). Vemos que Ω devera´ ser um a reta paralela
Figura 1.36:
a Ω pasando pelo ponto (0, 2b). Realmente vamos mostrar que f(Ω) = Ω′, onde
Ω′ = {(x, y) ∈ R2 : y = ax + 2b}. Se P = (x0, ax0 + b) e´ um ponto qualquer de Ω
enta˜o f(P ) = (2x0, 2(ax0 +b)), i.e., f(P ) = (x
′
0, y
′
0) onde x
′
0 = 2x0, y
′
0 = 2ax0 +2b =
a(2x0) + 2b = ax
′
0 + 2b. Ja´ que a 2
a coordenada de f(P ), y′0 pode ser escrita como
y′0 = ax
′
0+2b temos que f(P ) pertence a` reta Ω
′. Assim, f(Ω) ⊂ Ω′. Mostremos agora
que Ω′ ⊂ f(Ω). Vamos enta˜o tomar um ponto qualquer Q de Ω′ e tentar encontrar
um ponto R de Ω tal que Q = f(R). Se Q ∈ Ω′ enta˜o Q = (x′0, ax′0 + 2b) e como R
39 1 FUNC¸O˜ES
deve pertencer a Ω enta˜o R = (x, ax+b) e gostar´ıamos de encontrar x tal que f(R) =
(2x, 2(ax + b)) = (x′0, ax
′
0 + 2b) = Q. Mas isto nos leva ao sistema formado pelas
equac¸o˜es 2x = x′0 e 2ax+2b = ax
′
0 +2b as quais sa˜o equivalentes a` soluc¸a˜o x = x
′
0/2,
desde que a 6= 0. Note que se a = 0 enta˜o teremos as equac¸o˜es 2x = x′0 e 2b = 2b
as quais sa˜o novamente equivalentes a x = x′0/2. Portanto, em qualquer caso, se
tomarmos R = (x′0/2, a(x
′
0/2) + b) enta˜o R ∈ Ω e f(R) = Q, donde Ω′ ⊂ f(Ω).
(3.c) Seja Ω o c´ırculo de centro na origem e raio 1, i.e.,
Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Considerando como f atua, vemos que f(Ω) deve ser o c´ırculo de centro na origem
e raio 2:
Figura 1.37:
Mostremos que f(Ω) = Ω′, onde Ω′ e´ o c´ırculo de centro na origem e raio 2, i.e.,
Ω′ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4}.
Para mostrar que f(Ω) ⊂ Ω′, tomemos um ponto qualquer P ∈ Ω, enta˜o P = (x0, y0)
onde x20 + y
2
0 = 1. Logo f(P ) = (2x0, 2y0) = (x
′
0, y
′
0) onde x
′
0 = 2x0, y
′
0 = 2y0. Como
x20 + y
2
0 = 1, e
x′0 = 2x0 =⇒ x0 = x′0/2
y′0 = 2y0 =⇒ y0 = y′0/2,
enta˜o
(
x′0
2
)2 + (
y′0
2
)2 = 1 =⇒ x′20 + y′20 = 4,
i.e., f(P ) = (x′0, y
′
0) ∈ Ω′. Mostraremos agora que Ω′ ⊂ f(Ω). Seja Q ∈ Ω′, i.e.,
Q = (x′0, y
′
0) onde x
′2
0 + y
′2
0 = 4. Para mostrarmos que Q ∈ f(Ω), temos que exibir
40 1 FUNC¸O˜ES
um ponto R = (a, b) de Ω tal que f(R) = Q, i.e., temos que encontrar a e b tais que{
a2 + b2 = 1 (condic¸a˜o para que R = (a, b) pertenc¸a a Ω),
(2a, 2b) = (x′0, y
′
0) (condic¸a˜o para que f(R) = Q),
sabendo-se que x′20 + y
′2
0 = 4. A segunda igualdade e´ equivalente a
a =
x′0
2
e b =
y′0
2
.
Assim,
f(
x′0
2
,
y′0
2
) = (x′0, y
′
0),
e, desde que
x′20 + y
′2
0 = 4 =⇒ (
x′0
2
)2 + (
y′0
2
)2 = 1,
segue enta˜o que o ponto R = (x′0/2, y
′
0/2) pertence a Ω e satisfaz f(R) = Q, donde
Ω′ ⊂ f(Ω). Esta func¸a˜o e´ chamada uma dilatac¸a˜o pois se imaginamos o c´ırculo Ω
de borracha o que ela faz e´ dilata´-lo mantendo-o circular.
Exerc´ıcio Considere a func¸a˜o
f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (ax, ay)
para algum nu´mero real positivo a. Fac¸a um estudo completo, como no Exemplo 3.
acima, para cada um dos casos: (i) 0 < a < 1, (ii) a = 1 e (iii) a > 1. Deˆ nome para
f em cada um destes treˆs casos.
4. Consideremos o triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 0), B = (−1, 0) e C = (0, 1). De
Figura 1.38:
acordo com o que ja´ vimos, parece natural supor que sua imagem, pela func¸a˜o f do
41 1 FUNC¸O˜ES
Exemplo 3, sera´ o triaˆngulo de ve´rtices D = (2, 0), E = (−2, 0) e F = (0, 2). De fato,
a imagem das retas que unem os pontosA e B, C e D, C e A sera˜o respectivamente
as retas que unem D e E, E e F, F e D. Vamos tentar justificar este procedimento
intuitivo.
Definic¸a˜o 11 A unia˜o de dois conjuntos X e Y, denotada por X∪Y, e´ o conjunto
X ∪ Y = {a : a ∈ X ou a ∈ Y }.
Figura 1.39: X ∪ Y = a´rea hachurada no diagrama de Venn
Conve´m observar que a palavra ou empregada na propriedade que define X ∪ Y
na˜o tem o sentido de exclusa˜o usado na linguagem comum pois pode acontecer que
um elemento z de X ∪ Y pertenc¸a simultaneamente a X e a Y.
E´ imediatamente verifica´vel que quaisquer que sejam os conjuntos X e Y, sempre
se tem X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y. Note tambe´m que se X ⊂ Y enta˜o X ∪ Y = Y.
Temos a seguinte propriedade: se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o e se X e Y
sa˜o subconjuntos de A, com X ⊂ Y, enta˜o f(X) ⊂ f(Y ) (Prove isso! E´ imediato!).
Figura 1.40: X ⊂ Y =⇒ f(X) ⊂ f(Y )
42 1 FUNC¸O˜ES
Proposic¸a˜o 1 Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o e se X e Y sa˜o subconjuntos de A,
enta˜o
f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).
Demonstrac¸a˜o : Devemos mostrar que f(X ∪ Y ) ⊂ f(X)∪ f(Y ) e que f(X)∪
f(Y ) ⊂ f(X ∪ Y ). Seja b ∈ f(X ∪ Y ). Enta˜o b = f(a) onde a ∈ X ∪ Y. Se a ∈ X,
enta˜o b ∈ f(X) ⊂ f(X) ∪ f(Y ). Se a ∈ U, enta˜o b ∈ f(Y ) ⊂ f(X) ∪ f(Y ).
Logo, em qualquer dos dois casos temos que b ∈ f(X) ∪ f(Y ), o que mostra que
f(X ∪ Y ) ⊂ f(X) ∪ f(Y ).
Seja agora, b ∈ f(X) ∪ f(Y ). Enta˜o temos duas possibilidades: b ∈ f(X) ou
b ∈ f(Y ). Mas
b ∈ f(X) =⇒ b = f(a1), para algum a1 ∈ X ⊂ X∪Y =⇒ b = f(a1) ∈ f(X∪Y ).
Tambe´m
b ∈ f(Y ) =⇒ b = f(a2), para algum a2 ∈ Y ⊂ X∪Y =⇒ b = f(a2) ∈ f(X∪Y ).
Enta˜o em qualquer dos dois casos, mostramos que b ∈ f(X ∪ Y ), donde se conclui
que f(X)∪ f(Y ) ⊂ f(X ∪Y ). Agora fica claro para o leitor que a proposic¸a˜o acima
justifica nosso procedimento no Exemplo 4.
1.5.10 Imagem inversa e Intersec¸a˜o de conjuntos
Para introduzir o conceito de imagem inversa de um conjunto por uma func¸a˜o
vamos comec¸ar com alguns subconjuntos do plano vistos na Geometria Anal´ıtica.
Considere a reta ax + by = c , a e b na˜o nulos simultaneamente. Esta reta e´
dada pelo conjunto:
X = {(x, y) ∈ R2 : ax+ by = c}.
Podemos ver o conjunto X da seguinte maneira: considere a func¸a˜o f : R2 −→ R
dada por f(x, y) = ax+ by. A reta dada pelo conjunto X e´ exatamente o conjunto
dos pontos do R2 cuja imagem por f e´ o nu´mero c ∈ R, ou seja
X = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = c}.
De maneira analoga a circunferencia C : x2 + y2 = 9 pode ser vista como o
conjunto dos pontos do R2 cuja imagem pela func¸a˜o:
g : R2 −→ R
(x, y) 7→ x2 + y2
e´ o nu´mero 9 ∈ R.
43 1 FUNC¸O˜ES
O disco D de circunfereˆncia C e´ o conjunto dos pontos do plano que satisfazem
a desigualdade x2 + y2 ≤ 9. Assim D e´ o conjunto dos pontos de R2 cuja imagem
por g esta´ em [0, 9] ⊂ R, D = {(x, y) ∈ R2 : g(x, y) ∈ [0, 9]}.
Os subconjuntos do plano considerados acima sa˜o exemplos de imagem inversa
de um conjunto por uma func¸a˜o. no primeiro caso temos a imagem inversa de
{c} pela func¸a˜o f e no segundo e terceiro casos as imagens inversas de {9} e [0, 9]
respectivamente pela func¸a˜o g.
Formalizamos esta ide´ia na seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 12 Dada uma func¸a˜o f : A −→ B, definimos a imagem inversa de um
conjunto Y ⊂ B, denotada por f−1(Y ), por
f−1(Y ) = {x ∈ A : f(x) ∈ Y }.
Observe que f−1(Y ) e´ um subconjunto de A.
Exemplos:
1. Nos treˆs exemplos dados anteriormente temos:
X = f−1({c}); C = g−1({9}) e D = g−1([0, 9]).
2. O domı´nio da func¸a˜o e´ muito importante para determinarmos a imagem inversa
de um conjunto por uma func¸a˜o. Vimos que dada
f : R2 −→ R,
(x, y) 7→ ax+ by
f−1({c}) e´ uma reta.
Considere agora a func¸a˜o dada pela mesma lei mas definida em R3:
F : R3 −→ R,
(x, y, z) 7→ ax+ by
X = f−1({c}) = {(x, y, z) ∈ R3 : ax+ by = c}.
Aqui a imagem inversa de c por F sera´ portanto o plano ax + by = c (ou
ax + by + 0z = c). Na figura 1.41 exibimos f−1({c}) para os casos em que f e´
definida em R2 e R3.
3. Seja f : R→ R dada por f(x) = x2 (veja fig. 1.42). Enta˜o f−1([0, 9]) = {x ∈
R : 0 ≤ f(x) ≤ 9} = {x ∈ R : 0 ≤ x2 ≤ 9} = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 3} = [3, 3].
Encontre f−1((−∞, 9]) e f−1([−5,−1])
44 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.41:
Figura 1.42:
45 1 FUNC¸O˜ES
4. Seja f : R→ R tal que f(x) = 2x+ 3. Enta˜o
f−1([−2, 2]) = {x ∈ R : f(x) ∈ [−2, 2]} = {x ∈ R : −2 ≤ f(x) ≤ 2} = {x ∈ R :
−2 ≤ 2x+3 ≤ 2} = {x ∈ R : −5 ≤ 2x ≤ −1} = {x ∈ R : −5
2
≤ x ≤ −1
2
} = [−5
2
,−1
2
]
Figura 1.43:
5. Consideremos h : R2 → R2 dada por h(x, y) = (2x, 2y) e sejam os seguintes
subconjuntos do plano: Y1 = {(x, y) ∈ R2 : x > y}, Y2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 <
1} e Y3 = {(x, y) ∈ R2 : x > y e x2 + y2 < 1}. Procuremos h−1(Y1), h−1(Y2) e
h−1(Y3).
Temos que
h−1(Y1) = {(x, y) ∈ R2 : h(x, y) ∈ Y1} = {(x, y) ∈ R2 : (2x, 2y) ∈ Y1} =
{(x, y) ∈ R2 : 2x > 2y} = {(x, y) ∈ R2 : x > y} = Y1.
A imagem inversa de Y2 por h e´ o conjunto h
−1(Y2) = {(x, y) ∈ R2 : h(x, y) ∈
Y2} = {(x, y) ∈ R2 : (2x, 2y) ∈ Y2} = {(x, y) ∈ R2 : (2x)2 + (2y)2 < 1} = {(x, y) ∈
R2 : 4x2 + 4y2 < 1} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1
4
}.
Temos que Y3 e´ constitu´ıdo dos pontos de R2 que esta˜o ao mesmo tempo em Y1
e Y2: Assim, espera-se que h
−1(Y3) seja constitu´ıdo dos pontos de R2 que estejam
ao mesmo tempo em h−1(Y1) e h−1(y2), ou seja, que se tenha:
h−1(Y3) = {(x, y) ∈ R2 : x > y e x2 + y2 < 1
4
}.
46 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.44: Imagem inversa do semi-plano Y1 = {(x, y) ∈ R2 : x > y} pela
func¸a˜o h(x, y) = (2x, 2y).
Figura 1.45: Imagem inversa do disco aberto Y2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} pela
func¸a˜o h(x, y) = (2x, 2y).
47 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.46: Y3 = Y1 ∩ Y2
Vamos agora justificar este procedimento.
Definic¸a˜o 13 A intersec¸a˜o de dois conjuntos X e Y , denotada por X ∩ Y , e´ o
conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a X e a Y , isto e´:
X ∩ Y = {a : a ∈ X; a ∈ Y }.
Leremos X ∩ Y como ”X intersec¸a˜o Y”ou simplesmente ”X inter Y”.
A parte hachurada no diagrama abaixo representa X ∩ Y :
Figura 1.47:
48 1 FUNC¸O˜ES
Note que para quaisquer conjuntos X e Y tem-se:
X ∩ Y ⊂ X e X ∩ Y ⊂ Y.
Note tambe´m que se X ⊂ Y enta˜o X ∩ Y = X :
Figura 1.48:
No diagrama: temos X ∩Y = ∅, isto e´, X e Y na˜o tem elementos comuns. Neste
Figura 1.49:
caso diremos que X e Y sa˜o disjuntos.
Exemplo:
No exemplo anterior temos Y3 = Y1 ∩ Y2. conclu´ımos da´ı que dever´ıamos ter
h−1(Y3) = h−1(Y1) ∩ h−1(Y2). Mostraremos, abaixo que esta conclusa˜o e´ va´lida.
Proposic¸a˜o 2 (Propriedades da imagem inversa:) Sejam f : A → B uma
func¸a˜o e Z e W subconjuntos de B. Enta˜o:
49 1 FUNC¸O˜ES
(a) f−1(Z ∩W ) = f−1(Z) ∩ f−1(W ),
(b) f−1(Z ∪W ) = f−1(Z) ∪ f−1(W ),
(c) Z ⊂ W ⇒ f−1(Z) ⊂ f−1(W ),
(d) f−1(B) = A e f−1(∅) = ∅.
Vamos demonstrar (a), que foi a propriedade que usamos, e deixaremos as restantes
como exerc´ıcio.
Demonstrac¸a˜o de (a)
1a parte: Vamos mostrar que f−1(Z ∩W ) ⊂ f−1(Z) ∩ f−1(W ).
Seja x ∈ f−1(Z ∩ W ). Enta˜o f(x) ∈ Z ∩ W , o que implica f(x) ∈ Z e
f(x) ∈ W . Mas se f(x) ∈ Z, temos que x ∈ f−1(Z) e se f(x) ∈ W , temos que
x ∈ f−1(W ). Mas se x ∈ f−1(Z) e x ∈ f−1(W ), enta˜o x ∈ f−1(Z) ∩ f−1(W ).
2aparte Mostremos agora que f−1(Z) ∩ f−1(W ) ⊂ f−1(Z ∩W ).
Seja x ∈ f−1(Z) ∩ f−1(W ). Enta˜o x ∈ f−1(Z) e x ∈ f−1(W ), o que significa
que f(x) ∈ Z e f(x) ∈ W. Mas enta˜o f(x) ∈ Z ∩W e portanto x ∈ f−1(Z ∩W ).
A proposic¸a˜o abaixo caracteriza as func¸o˜es injetoras e sobrejetoras atrave´s das
imagens inversa e direta.
Proposic¸a˜o 3 Seja f : A→ B uma func¸a˜o. Enta˜o:
(a) f−1(f(X)) ⊃ X ∀ X ⊂ A
(b) f(f−1(Y )) ⊂ Y ∀Y ⊂ B
(c) f−1(f(X)) = X ∀ X ⊂ A ⇔ f e´ injetora.
(d) f(f−1(Y )) = Y ∀ Y ⊂ B ⇔ f e´ sobrejetora.
Demonstrac¸a˜o : Demonstraremos somente (a) e (c). (b) e (d) sera˜o deixadas
como exerc´ıcio.
(a) Seja x ∈ X. Devemos mostrar que x ∈ f−1(f(X)). Mas x ∈ f−1(f(X)) ⇔
f(x) ∈ f(X). Como x ∈ X, por definic¸a˜o de f(X), temos que f(x) ∈ f(X), donde
x ∈ f−1(f(X)).
50 1 FUNC¸O˜ES
(c) 1a Parte:
Hipo´tese: f−1(f(X)) = X ∀ X ⊂ A.
Tese: f e´ injetora.
Dem: Suponha, por absurdo, que f(x) = f(y) com x 6= y. Considere o seguinte
subconjunto Xde A : X = {x}. Seja z = f(x) = f(y). Enta˜o f(X) = {z}
e f−1(f(X)) = f−1({z}) conte´m pelo menos dois pontos, a saber, x e y. Assim
f−1(f(X)) 6= X, o que contraria a hipo´tese.
2a Parte:
Hipo´tese: f e´ injetora.
Tese: f−1(f(X)) = X, ∀ X ⊂ A.
Dem: Ja´ demonstramos em (a), que independente de ser f injetora, tem-se
X ⊂ f−1(f(X)), ∀ X ⊂ A. Portanto, resta mostrar que f−1(f(X)) ⊂ X. Seja
enta˜o x ∈ f−1(f(X)). Temos portanto que f(x) ∈ f(X). Isto implica que existe
y ∈ X tal que f(x) = f(y). Como f e´ injetora devemos ter x = y e portanto
x = y ∈ X.
1.6 Exerc´ıcios
1. Considere as relac¸o˜es abaixo e diga se elas definem ou na˜o uma func¸a˜o . Caso
na˜o definam, diga se e´ poss´ıvel modificar o conjunto de partida e/ou o de chegada
de tal maneira a que tenhamos uma func¸a˜o :
(a) Seja A o conjunto de todas as retas do plano. Definimos f : A −→ R
de tal modo que se r e´ uma reta de A enta˜o f(r) e´ o coeficiente angular
da reta r.
(b) Seja T o conjunto dos triaˆngulos do plano e R+ o conjunto dos
nu´meros reais positivos. Definimos F : R+ −→ T pela seguinte regra: a
cada x > 0, F (x) e´ o triaˆngulo cuja a´rea e´ x.
(c) Seja f : [−5, 5] −→ R dada por: a cada x ∈ [−5, 5], f(x) e´ o nu´mero
y ∈ R tal que x2 + y2 = 5.
(d) f : R −→ R, x 7→ x1/3.
(e) f : R −→ R e´ tal que f(x) = y satisfaz y2 = x2(x+ 1).
51 1 FUNC¸O˜ES
2. Descreva os seguintes subconjuntos do produto cartesiano R × R e diga se
eles definem uma func¸a˜o f : R −→ R :
(a) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y
2
4
= 1}
(b) B = {(x, y) ∈ R2 : y = x3}
(c) C = {(x, y) ∈ R2 : y2 = x}
(d) D = {(y, x) ∈ R2 : y2 = x}
3. Diga se as seguintes func¸o˜es sa˜o iguais e caso na˜o sejam se e´ poss´ıvel restringir
seus domı´nios para que elas se tornem iguais:
(a) f, g : R −→ R definidas por
f(x) =

x2 − 5x+ 6
x− 2 se x 6= 2,
f(2) = −1
e g(x) = x− 3.
(b) f, g : R −→ R tal que f(x) = 3, ∀x ∈ R, e g(x) = x2, ∀x ∈ R.
4. Determine todas as func¸o˜es de E = {0, 1} em F = {a, b} onde a 6= b.
5. Deˆ uma regra que permita decidir quando um subconjunto do R3 e´ o gra´fico
de uma func¸a˜o f : A ⊂ R2 −→ R.
6. Demonstre que duas func¸o˜es f, g : A −→ B sa˜o iguais se, e somente se, seus
gra´ficos sa˜o iguais.
7. Seja fθ : R2 −→ R2 a func¸a˜o rotac¸a˜o definida do seguinte modo: fθ(x, y) e´ o
ponto do R2 obtido de (x, y) por uma rotac¸a˜o de um aˆngulo θ, no sentido antihora´rio.
Obtenha uma expressa˜o anal´ıtica para fθ(x, y) em termos de x, y e θ. Obtenha as
expresso˜es para f90o(x, y), f180o(x, y), f270o(x, y) e f360o(x, y). Seja A o quadrado de
lado 2 e ve´rtice na origem (0, 0). Obtenha fθ(a, b) quando (a, b) forem os ve´rtices do
quadrado A, para θ = 90o, 180o, 270o e 360o.
8. Considere a func¸a˜o do item (1)(a) obtida apo´s as modificac¸o˜es , se necessa´rias,
dos conjuntos de partida e/ou chegada. Tal func¸a˜o e´ sobrejetiva? E´ injetiva? Jus-
tifique.
52 1 FUNC¸O˜ES
9. Suponha que o conjunto A do item (1)(a) seja o conjunto de todas as retas do
plano, paralelas a uma dada reta na˜o vertical, r0. O que se pode dizer da func¸a˜o f?
Ela e´ sobrejetiva? E´ injetiva? Determine uma fo´rmula para f. Que tipo de func¸a˜o e´
a f?
10. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o sobrejetivas ou injetivas, ou ambas as
coisas, justificando sua resposta em cada caso:
(a)
J : Z −→ Z
x 7→ 3x+ 1
(b)
h : N −→ N
x 7→ nu´mero de fatores primos distintos de x
(c)
f : Q −→ Q
x 7→ 3x+ 1
(d)
f : R −→ R
x 7→ senx
(e)
h : [0, pi/2] −→ R
x 7→ senx
(f)
g : [0, pi/2] −→ [0, 1]
x 7→ cosx
(g)
k : R −→ R
x 7→ 5x2 + 6x+ 2
(h) g : N −→ N tal que g(n) =

n
2
se n e´ par
n+ 1
2
se n e´ ı´mpar
11. Se A e´ um conjunto finito, toda injec¸a˜o de A em A e toda sobrejec¸a˜o de A
em A sa˜o bijec¸o˜es . Mostre atrave´s de exemplos que este fato na˜o e´ verdadeiro se A
e´ infinito.
12. Mostre que se g◦f e´ injetiva, enta˜o f e´ injetiva. Deˆ um exemplo mostrando
que se pode ter g ◦ f injetiva sem ter g injetiva.
53 1 FUNC¸O˜ES
13. Uma func¸a˜o g : B −→ A chama-se inversa a` direita de uma func¸a˜o f :
A −→ B quando f ◦ g = idB, ou seja, quando f(g(y)) = y, ∀ y ∈ B. Mostre que
a func¸a˜o f : A −→ B possui inversa a` direita se, e somente se, f e´ sobrejetiva.
14. Defina inversa a` esquerda de uma func¸a˜o e deˆ uma condic¸a˜o necessa´ria e
suficiente para que uma func¸a˜o possua inversa a` esquerda. Demonstre.
15. Determine as func¸o˜es compostas f ◦g e g◦f sabendo-se que f, g : R −→ R
sa˜o tais que
(a) f(x) =
{
x2 se x < 0
2x se x ≥ 0 , g(x) =
{
1− x se x < 1
1 + x se x ≥ 1
(b) f(x) =
{
x2 + 1 se x < 0
2x+ 1 se x ≥ 0 , g(x) =

3x se x < 1
7x+ 1 se 1 ≤ x ≤ 5
2 + x se x > 5
(c) f(x) =
{
x+ 1 se x ≤ 0
1− 2x se x > 0 , g(x) = f(x)
16. Sejam f, g : R −→ R tais que f(x) = 2x + 7 e (f ◦ g)(x) = 4x2 − 2x + 3.
Determinar a lei da func¸a˜o g.
17. Sejam f : A −→ B e f : B −→ C func¸o˜es invert´ıveis. Demonstre que
neste caso g ◦ f e´ invert´ıvel e (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1. Fac¸a um diagrama ilustrativo
da situac¸a˜o .
18. Seja f : A −→ B invert´ıvel. Enta˜o f−1 : B −→ A e´ invert´ıvel e
(f−1)−1 = f.
19. Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R2 dada por
f(x, y) = (excosy, exseny).
(a) Encontre a imagem da reta x = 1 por f . Fac¸a um esboc¸o.
(b) Encontre a imagem da reta y = 0 por f . Fac¸a um esboc¸o.
(c) Encontre a imagem da reta y =
pi
2
por f . Fac¸a um esboc¸o.
(d) Encontre a imagem da reta x = x0, x0 ∈ R, por f . Fac¸a um
esboc¸o.
54 1 FUNC¸O˜ES
(e) Encontre a imagem da reta y = y0, y0 ∈ R, por f . Fac¸a um esboc¸o.
(f) Encontre a imagem por f do retaˆngulo R do plano de ve´rtices
A = (0, y0), B = (5, y0), C = (5, y1) e D = (0, y1); com 0 < y0 < y1.
Fac¸a um esboc¸o.
20. Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R2 dada por
f(x, y) = (coshy senx, senhy cosx),
onde
coshy =
ey + e−y
2
, e senhy =
ey − e−y
2
sa˜o respectivamente o cosseno hiperbo´lico e o seno hiperbo´lico de y.
(a) Mostre que a imagem da reta y = c por f e´ uma elipse. Fac¸a um
esboc¸o da situac¸a˜o .
(b) Mostre que a imagem da reta x = c por f e´ uma hipe´rbole. Fac¸a
um esboc¸o da situac¸a˜o (OBS: lembre-se que cosh2c− senh2c = 1).
21. Considere a func¸a˜o
f : R −→ [−1, 1]
x 7→ senx
(a) f e´ invers´ıvel? Por que?
(b) Sugira um meio de definir a inversa de f restringindo o domı´nio. De
quantas maneiras isto pode ser feito?
(c) Sugira um meio de definir a inversa de f ampliando o conceito de
func¸a˜o . Fac¸a um esboc¸o da situac¸a˜o . Este procedimento e´ muitas vezes
utilizado nos livros textos do ensino me´dio, de maneira pouco precisa.
Observe que aqui f−1 na˜o e´ func¸a˜o .
22. Esboce o conjuntos f−1(Y ), onde
(a)
f : R −→ R
x 7→ 5x2 + 6x+ 2 Y = [−4, 2].
(b)
f : R2 −→ R
(x, y) 7→ x2 + y2 Y = [1, 4].
(c)
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ x2 + y2 Y = {1} e Y = [1, 4].
55 1 FUNC¸O˜ES
(d)
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ y − x2 Y = {0}.
(e)
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ x2 + y2 + z2 Y = {1} e Y = [1, 4].
(f)
f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (excosy, exseny) Y = {(u, v) ∈ R
2 : u = v}.
(g)
f : R −→ R
x 7→ cosx Y = {0} e Y = {2}.
23. Seja f : A −→ B uma func¸a˜o .
(a) Pode-se ter f−1(X) = ∅ para algum X ⊂ B na˜o vazio? Se isto
acontece, o que se pode dizer de f?
(b) Pode-se ter f−1({y}) com mais de um elemento, para algum y ∈ B?
Se isto acontece, o que se pode dizer de f?
(c) Pode-se ter f−1(X) = f−1(Y ) para dois subconjuntos distintos,
X e Y , de B?
(d) Pode-se ter f(X) = f(Y ) para dois subconjuntos distintos, X e Y ,
de A?
24. Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o , X, Y ⊂ A e Z, W ⊂ B, mostre que:
(a) f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).
(b) f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ). Mostre com um exemplo que em geral
na˜o vale a igualdade.
(c) f−1(Z ∩W ) = f−1(Z) ∩ f−1(W ).
(d) f−1(Z ∪W ) = f−1(Z) ∪ f−1(W ).
(e) Z ⊂ W =⇒ f−1(Z) ⊂ f−1(W ).
(f) f−1(B) = A.
25. Se f : A −→ B e g : C −→ D, deˆ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente
para se definir a composta g ◦ f.
26. Diga se afirmativas abaixo sa˜o falsas ou verdadeiras justificando sua resposta
(i.e., prove ou deˆ um contra exemplo).
56 1 FUNC¸O˜ES
(a) Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o , enta˜o f(f−1(Y )) ⊂ Y, para todo
Y ⊂ B.
(b) Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o, enta˜o f(f−1(Y )) ⊃ Y, para todo
Y ⊂ B.
(c) Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o , temos que f(f−1(Y )) = Y, para todo
Y ⊂ B ⇐⇒ f e´ sobrejetora.
(d) Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o e f−1(Y ) = X, enta˜o f(X) = Y.
(e) Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o e f(X) = Y, enta˜o f−1(Y ) = X.
(f) Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o qualquer, enta˜o f−1(f(X)) ⊂ X, para
todo X ⊂ A.
27. Se f : A −→ B e´ uma func¸a˜o invers´ıvel encontre
(a) f−1({y}) para qualquer y ∈ B.
(b) f−1(B).
Qual a relac¸a˜o entre a imagem inversa de Y ⊂ B por f e a imagem direta de Y
por f−1 (func¸a˜o inversa de f )?
Definic¸a˜o 14 A diferenc¸a entre os conjuntos A e B, e´ o conjunto A− B for-
mado pelos elementos de A que na˜o pertencem a B. Isto e´,
A−B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}
Figura 1.50: Representac¸a˜o de A−B.
57 1 FUNC¸O˜ES
28. Verifique se as afirmativas abaixo sa˜o falsas ou verdadeiras justificando sua
resposta (i.e., prove ou deˆ um contra exemplo).
(a) A−B = B − A, (b) A ∩B = ∅ =⇒ A−B = A,
(c) A−B = A− (A ∩B).
29. Mostre que para quuaisquer conjuntos A,B e C, valem:
(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),
(b) A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C),
(c) A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C),
(d) A ∩ (B − C) = (A ∩B)− (A ∩ C),
(e) (A ∪B)− C = (A− C) ∪ (B − C).
30. Dada uma func¸a˜o f : A −→ B, mostre que
(a) f(X − Y ) ⊃ f(X)− f(Y ), para quaisquer subconjuntos X e Y de
A.
(b) Se f e´ injetiva, enta˜o f(X − Y ) = f(X) − f(Y ), para quaisquer
subconjuntos X e Y de A.
(c) f−1(Z −W ) = f−1(Z)− f−1(W ), para quaisquer subconjuntos Z e
W de B.
Definic¸a˜o 15 Quando B ⊂ A, a diferenc¸a A−B chama-se complementar de B
em relac¸a˜o a A e escreve-se A−B = CAB.
Figura 1.51: Representac¸a˜o de A−B = CAB.
Frequentemente, tem-se um conjunto U (conjunto universo) que conte´m todos
os conjuntos que ocorrem num certo contexto. Neste caso, a diferenc¸a U−X = CUX
e´ denotada simplesmente por CX e e´ chamada de complementar de X.
58 1 FUNC¸O˜ES
Figura 1.52: Representac¸a˜o de U −X = CUX = CX.
Assim, se nos restringirmos a considerar elementos pertencentes a um conjunto
ba´sico U, enta˜o
x ∈ CX ⇐⇒ x 6∈ X.
31. Verifique as propriedades abaixo:
(a) C(CA)) = A,
(b) A ⊂ B ⇐⇒ CB ⊂ CA,
(c) A = ∅ ⇐⇒ CA = U,
(d) C(A ∪B) = CA ∩ CB,
(e) C(A ∩B) = CA ∪ CB,
(f) Se f : A −→ B, e Y ⊂ B enta˜o f−1(CY ) = C(f−1(Y )).
CAP´ITULO 2
Relac¸o˜es de Equivaleˆncia
Considere a frac¸a˜o 1/2, que e´ conhecida do aluno, desde o estudo fundamental.
Naquela e´poca, certamente ocorreu a voceˆ ou a algum colega seu a pergunta:
- A frac¸a˜o
2
4
e´ igual a` frac¸a˜o
1
2
?
A resposta a esta pergunta e´ sim e na˜o , pois do ponto de vista do aluno que esta
tomando conhecimento com as frac¸o˜es na˜o pode haver diferenc¸a entre a metade de
uma barra de chocolate e duas quartas partes da mesma barra.
No entanto, mesmo no in´ıcio de nossa formac¸a˜o matema´tica, percebemos que
existe uma dificuldade a´ı, pois
2
4
e
1
2
parecem ser ”nu´meros”diferentes. A este n´ıvel
a questa˜o e´ resolvida dizendo que se dividirmos ou multiplicarmos o numerador e o
denominador de uma frac¸a˜o pelo mesmo inteiro obteremos uma frac¸a˜o equivalente
a` primeira. Assim,
1
2
,
2
4
,
3
6
, etc, seriam todas frac¸o˜es equivalentes.
Mais tarde, expressamos o fato acima dizendo que duas frac¸o˜es sa˜o equivalentes
se o produto dos meios e´ igual ao produto dos extremos. Ou seja, dadas
a
b
e
c
d
diremos que
a
b
=
c
d
se, e somente se, ad = cb.
Sejamos mais precisos. Dado o conjunto Z dos nu´meros inteiros podemos cons-
truir o conjunto Q dos numeres racionais da seguinte maneira: consideramos o
produto cartesiano Z x (Z - {0}) isto e´, o conjunto dos pares ordenados de nu´meros
inteiros, onde a 2a coordenada e´ sempre diferente de zero. Assim estamos olhando
para a frac¸a˜o 1/2 como o par (1,2), o inteiro 2 =
2
1
como o par (2,1), etc.
No´s identificaremos dois pares (a,b) e (c,d) do produto cartesiano acima se e
somente se ad = bc (observe que a multiplicac¸a˜o executada na igualdade acima esta´
59
60 2 RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA
sendo feita em Z).
O resultado l´ıquido do que fizemos e´ que frac¸o˜es equivalentes ficam por meio
desta construc¸a˜o identificados a um subconjunto de produto cartesiano
Z× (Z− {0}).
Podemos, por exemplo, pensar no conjunto de frac¸o˜es equivalentes
{. . . , −3−6 ,
−2
−4 ,
−1
−2 ,
1
2
,
2
4
,
3
6
,
4
8
, . . .}.
A estas frac¸o˜es correspondem respectivamente os pares ordenados
{. . . , (−3,−6), (−2,−4), (−1,−2), (1, 2), (2, 4), (3, 6), ...}.
Na construc¸a˜o que acabamos de fazer, estes pares esta˜o todos identificados, como
uma coisa so´, chamada Classe de Equivaleˆncia. Assim, podemos dizer que o conjunto
Z x (Z - {0}), onde dois pares (a,b) e (c,d) esta˜o identificados (isto e´, sa˜o considerados
o mesmo elemento) sempre que ad = bc, e´ o conjunto Q dos nu´meros racionais.
Observe que o que fizemos foi dividir Z x (Z - {0}) em partes disjuntas onde
cada uma destas partes e´ o conjunto de todas as frac¸o˜es equivalentes a uma certa
frac¸a˜o . Representando o conjunto Z x (Z - {0}) como pontos do plano cartesiano,
podemos ilustrar este fato da seguinte maneira: as classes de equivaleˆncia de Z x
(Z - {0}) (e, portanto, as do conjunto Q.) sa˜o formadas por ”retas”que passam pela
origem, neste plano. Se considerarmos a reta y = x, por exemplo, observe que ela
passa por todos os pontos da forma (m,m), com m ∈ Z e m 6= 0, representando
portanto a frac¸a˜o
1
1
= 1. Na verdade na˜o sa˜o todos os pontos da reta y = x que
constituem a classe de (1,1), mas apenas os de coordenadas inteiras (m,m). Esse,
alia´s, e´ o motivo pelo qual escrevemos, acima, a palavra retas entre aspas.
Da mesma forma, a reta y =
2
1
x vai hospedar os pares correspondentes a`s
frac¸o˜es equivalentes a 1/2, a y =
2
3
x vai hospedar os equivalentes a 3/2, etc.
Em geral as retas y =
b
a
x, com a e b inteiros, a 6= 0, va˜o hospedar os pares
correspondentes a`s frac¸o˜es equivalentes a` frac¸a˜o
a
b
. Assim as classes de equivaleˆncia
sa˜o as ”retas” passando pela origem com inclinac¸a˜o racional. Como tomamos o
cuidado de considerar apenas os pontos do conjunto Z x (Z - {0}), o ponto (0,0)
na˜o lhe pertence, ou seja, a intersec¸a˜o das ”retas” que estamos considerando e´ vazia.
Em outras palavras, isto quer dizer que as classes de equivaleˆncia sa˜o disjuntas.
Tampouco a reta y = 0 pertence ao conjunto de retas, expressando o fato de que
frac¸o˜es do tipo
a
0
na˜o esta˜o sendo admitidas. Ja´ a reta x = 0 pertence ao nosso
61 2 RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA
conjunto, representado as frac¸o˜es da forma
0
a
, a 6= 0, cuja classe de equivaleˆncia e´
a frac¸a˜o zero de Q.
A propriedade mais importante da construc¸a˜o que acabamos de ver e´ que ela
estabelece uma relac¸a˜o no conjunto Z x (Z - {0}) que o subdivide em partes disjuntas
(as ”retas”) chamadas classes de equivaleˆncia de tal maneira que cada elemento de
Z x (Z - {0}) pertence a uma destas partes e a uma u´nica. Tambe´m observa-se que
a unia˜o destas classes e´ o pro´prio conjunto Z x (Z - {0}).
Esta propriedade e´ de extrema importaˆncia em matema´tica e por isso fazemos
as seguintes definic¸o˜es :
Definic¸a˜o 16 Uma partic¸a˜o de um conjunto A e´ uma colec¸a˜o de subconjuntos
na˜o vazios de A (chamadas partes) de tal maneira que a intersec¸a˜o de duas partes
quaisquer e´ vazia e a unia˜o de todas as partes e´ o pro´prio A.
Definic¸a˜o 17 Uma relac¸a˜o em um conjunto A e´ chamada uma Relac¸a˜o de Equi-
valeˆncia se ela determina uma partic¸a˜o de A. Neste caso as partes sa˜o chamadas
Classes de Equivaleˆncia.
O sentido dado a` palavra relac¸a˜o aqui e´ o da linguagem comum: uma relac¸a˜o em
A e´ qualquer lei ou associac¸a˜o entre os elementos de A.
2.1 Exemplos:
1. Na F´ısica e na matema´tica tomamos conhecimento de vetores. Nem sempre
fica clara a relac¸a˜o existente entre os vetores como geralmente compreendidos em
F´ısica e os vetores como geralmente compreendidos em matema´tica.
Usualmente na matema´tica um vetor no espac¸o R3 e´ um terno de nu´meros reais
(a, b, c). Aqui se pensa no vetor como o segmento