Derivadas - Parte 1

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Ca´lculo I - Lista de Exerc´ıcios no¯ 8 - 1
o
¯ semestre/2015
1. Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo, pelo ca´lculo direto do limite da raza˜o incre-
mental lim
h→0 f(x+ h) − f(x)h .
(a) f(x) = 7x− 5 (b) f(x) = 4x2 − 3x (c) f(x) =
3√
x
− 2 (d) f(x) = cos x
2. Calcule a derivada f ′(x0) em cada caso.
(a) f(x) = 3x2 − 5x+ 1 e x0 = 2 (b) f(x) = e
2x−3 e x0 = −1
3. Calcule as derivadas das func¸o˜es dadas abaixo:
(i) y =
3
5
x
5
3 (ii) y = 3x7 − 4x3 + 12 (iii) y =
1
x
√
x
(iv) y =
x2 − 3x+ 1
x2 + x+ 5
(v) y =
1
ln x
(vi) y =
x2
4
+
4
x2
(vii) y = (x3 − 2)(4x2 + 7x+ 2) (viii) y = x ln x− x (ix) y = x2ex
(x) y = 2ex(1+ ln x) (xi) y =
ex
x2 + 1
(xii) y = sen x cos x
(xiii) y = (x2 − 1)sen x (xiv) y = ex cos x (xv) y = sec x+ tg x
(xvi) y =
x
cosec x
(xvii) y = (x3 + cos x)(3− sen x) (xviii) y =
x+ 1
x ln x
(xix) y = (4+ tg x)(sen x) (xx) y = sen x+ (x2 + 1) cos x (xxi) y = ex(2+ tg x)
(xxii) y =
sen x
cos2 x
(xxiii) y =
x+ 1
x sen x
(xxiv) y =
ln x
x
(xxv) y = 4 sec x+ cotg x (xxvi) y = log3 x (xxvii) y = logpi x
(xxviii) y = x cos x+ tg x (xxix) y = x ex cos x (xxx) y = x2 cos x(1+ ln x)
4. Para cada func¸a˜o f a seguir
f(x) =
{
x+ 2, se x < 1
2, se x ≥ 1 f(x) =
{
x2 − 2x+ 1, se x ≤ 1
−x2 + 2x− 1, se x > 1
f(x) =
{
−x− 1, se x ≤ 1
x2 − 3, se x > 1
Verifique,
(i) f e´ cont´ınua em p = 1? Por queˆ? (ii) f e´ deriva´vel em p = 1? Por queˆ?
(iii) Se f for deriva´vel, calcule f ′(1). (iv) Esboce o gra´fico de f.
5. Em cada caso, calcule
dy
dx
,
d2y
dx2
e
d3y
dx3
.
(a) y = x ln x (b) y = x | x | (c) f(x) =
{
x2 + 3x, se x ≤ 1
5x− 1, se x > 1
6. Em cada caso, encontre a derivada de ordem n: (a) f(x) = xn (b) f(x) = ln x.
7. Se f(x) = cos x, encontre f(27)(x).
8. Em cada caso, determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) em x = a e fac¸a um gra´fico.
(a) f(x) = x2 + 2x− 3, a = 0 (b) f(x) =
1
x2 + 1
, a = 2
(c) f(x) = ex+4, a = −4 (d) f(x) = xe−x, a = 0 e a = 2
9. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal a` curva y = x2 − 1 em x = 2.
10. Seja f(x) = x2 +
1
x
. Determine o ponto do gra´fico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja
paralela ao eixo x.
UFMS / INMA Turmas: 1, 2, 3 e 7