CONCEITOS DE ANÁLISES DE CONFIABILIDADES UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL, WEIBULL, VALOR EXTREMO E LOG-NORMAL

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CONCEITOS DE ANÁLISES DE CONFIABILIDADES UTILIZANDO A 
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL, WEIBULL, VALOR EXTREMO E LOG-
NORMAL 
Charles Araújo (UNYLEYA) 
Prof. Rodrigo Paduan Mendonça (UNYLEYA) 
 
1. RESUMO 
 
Objetivo do artigo é abordar o tema de análise de confiabilidade 
apresentando quatros tipos de distribuição, trazendo os seus conceitos de 
forma superficial, mas com os objetivos claros de aplicabilidades. Aplicando 
corretamente o tipo de distribuição mais apropriado para um determinado tipo 
de falha, produto, os resultados refletirão a realidade da ocorrência 
identificando as suas causas e assim determinar a confiabilidade correta. 
 
Palavras-chave: Análise de Confiabilidade, Distribuição Probabilísticos, 
 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
Análise de confiabilidade um método estatístico utilizado para estudo do 
tempo de ocorrência de um evento de interesse que seja uma falha, morte, 
reincidência de doença, entre outras a fim de se estimar a probabilidade de 
sobrevivência em um determinado instante de tempo. O estudo da análise de 
confiabilidade é focado na previsão da probabilidade de resposta, 
sobrevivência, ou tempo de vida médio, comparando as distribuições de 
sobrevivência de um conjunto de indivíduos participantes de um determinado 
experimento. 
 
De acordo com Colosismo e Giolo (2006), as distribuições apresentadas 
a seguir têm se mostrado bastantes adequadas para modelar tempo de vida de 
produtos industriais e na área médica. 
 
3. DESENVOLVIMENTO 
 
3.1 Distribuição Exponencial 
 
A distribuição exponencial é um dos modelos mais simples de se 
representar tempo de falha e é caracterizada por possuir a função de risco 
constante. Possui somente um parâmetro λ que representa a taxa de 
ocorrência de eventos independentes. Valores altos de λ indicam alto risco e 
baixa sobrevivência e valores baixos indicam baixo risco e alta sobrevivência. 
Quando o tempo de ocorrência T de um evento de interesse segue essa 
distribuição, sua função densidade de probabilidade f(t) é dada por: 
 
 
 
Já a sua função de sobrevivência S(t) é dada por: 
 
 
 
A distribuição exponencial possui função de risco h(t) constante, portanto: 
 
 
 
A média e o desvio padrão da distribuição exponencial são calculados usando: 
 
Veja abaixo gráficos da distribuição exponencial para alguns valores de λ. 
 
 
Figura 1: Distribuição Exponencial 
 
3.2 Distribuição Weibull 
 
Quando o tempo de ocorrência T de um evento de interesse segue a 
distribuição de Weibull, sua função densidade de probabilidade f(t) é dada por: 
 
 
 
Já sua função de sobrevivência S(t) é dada por: 
 
 
 
Sua função de risco h(t) é dada por: 
 
 
 
 
A distribuição de Weibull é uma generalização da distribuição 
Exponencial, ou seja, a Exponencial é um caso particular da Weibull, mais 
precisamente quando γ = 1. Entretanto, ela não assume que a função de risco 
é constante, tornando assim aplicável para uma variedade de situações, seja 
função constante, decrescente ou crescente. Possui dois parâmetros γ, que é 
um parâmetro de forma, e λ, que é um parâmetro de escala. 
 
3.3 Distribuições Valor Extremo 
 
A Teoria dos Valores Extremos vem sendo bastante utilizada em campos 
ligados a eventos raros. Sua estatística é aplicada na estimação de eventos 
climáticos, cálculo de seguros e eventos pouco comuns no mercado financeiro. 
Dentro da denominação geral de extremos incluímos o máximo e o mínimo, 
estatísticas de ordem extremas e excessos acima (ou abaixo) de limiares altos 
(ou baixos). O importante é que as características e propriedades das 
distribuições desses extremos aleatórios são determinadas pelas caudas 
extremas (inferior e superior) da distribuição subjacente. A abrangência de suas 
aplicações é grande, incluindo uma variedade de fenômenos naturais tais como 
inundações, poluição atmosférica correntes oceânicas e problemas oriundos de 
outras áreas tais como da engenharia, atuária e finanças (MENDES, 2004). 
 
A distribuição generalizada de valores extremos, proposta por Jenkinson 
(1955), reúne as três distribuições de valor extremos desenvolvidas por Fisher 
e Tippet (1928), que são: Gumbel, Fréchet e Weibull. Tais distribuições foram 
desenvolvidas na teoria dos valores extremos e são obtidas através do limite 
de máximos (ou mínimos) normalizados da seguinte maneira: 
 
 
 
Onde Mn representa max {X1, X2, ..., Xn} (ou o mínimo), em que X1, X2, ..., Xn 
são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid), e an > 
0 e bn são constantes de normalização. 
 
 
 
 
3.4 Distribuições Log-normal 
 
A distribuição log-normal é muito utilizada para caracterizar tempo de 
vida de produtos e indivíduos, incluindo fadiga de metal e diodos (COLOSIMO; 
GIOLO, 2006). Sua aplicação consiste em situações em que a taxa de falha 
inicialmente é crescente, atinge o seu máximo e então decresce. Se X é uma 
variável aleatória contínua com distribuição normal, então Y = exp(X) tem a 
distribuição log-normal. Os parâmetros dessa distribuição, µ e σ, não são a 
média nem o desvio padrão da distribuição log-normal e sim da distribuição 
normal. Quando o tempo de ocorrência T de um evento de interesse segue a 
distribuição Log-normal, sua função densidade f(t) de probabilidade é dada por: 
 
 
 
Já a sua função de sobrevivência S(t) é dada por: 
 
 
 
Em que Φ representa a função de distribuição acumulada da normal padrão, ou 
seja: 
 
 
Sua função de risco h(t) é dada por: 
 
 
 
 
 
 
4. CONCLUSÕES 
 
De forma mais sucinta mostramos algumas distribuições de 
probabilidade associadas a análise da Confiabilidade. Foram focalizados os 
aspectos mais relevantes de cada distribuição. 
 
A distribuição exponencial é realmente um caso especial da distribuição 
Weibull com ß = 1, é frequentemente usada para modelar componentes 
eletrônicos. Distribuição exponencial não é recomendado para modelar 
componentes mecânicos ou elétricos que se espera um modo de falha antes 
que ocorra a própria falha ou fim da vida útil do item. 
 
A distribuição Weibull pode modelar dados que são assimétricos à 
direita, esquerda ou simétrica é usada para avaliar a confiabilidade em diversas 
aplicações, rolamentos de esferas, relés e resistências de materiais. Não é 
recomendado a distribuição Weibull para falhas de produtos que as causas 
podem ser por ataques químicos ou por corrosão. 
 
A Teoria dos Valores Extremos vem sendo bastante utilizada em campos 
ligados a eventos raros. Sua estatística é aplicada na estimação de eventos 
climáticos, esta distribuição é um modelo útil em situações em que muitos 
processos idênticos e independentes podem levar à falha e em que o primeiro 
a falhar determina o tempo de falha. Isto é, por vezes, conhecido como o elo 
pior ou mais fraco. 
 
E por fim a distribuição log-normal é uma distribuição flexível, que está 
intimamente relacionada com a distribuição normal. Esta distribuição pode ser 
especialmente útil para a modelagem de dados que são mais ou menos 
simétricos ou assimétricos à direita. É mais adequado a utilização da 
distribuição log-normal para falhas ocasionados em ataques químicos ou 
corrosões. 
 
 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
COLOSIMO, E.; GIOLO, S. Análise de sobrevivência aplicada. Edgard Blücher, 
2006. (ABE - Projeto Fisher). ISBN 9788521203841. 
 
MENDES, B.V.M. Introdução à Análise de Eventos Externos. Rio de Janeiro, E-
papers Serviços Editoriais Ltda, 2004. 
 
Portal Ecologia Virtual. Página eletrônica: 
<http://ecovirtual.ib.usp.br/doku.php?id=ecovirt:roteiro:math:exponencial> 
Acesso em 10 janeiro 2022 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Página eletrônica: 
<http://www.producao.ufrgs.br/arquivos/disciplinas/489_estaind005_distprob.pdf> 
Acesso em 10 janeiro 2022 
 
Universidade Federal de Ouro Preto. Página eletrônica: 
<http://professor.ufop.br/sites/default/files/magno/files/capitulo_4_-_principais_modelos_continuos_0.pdf> Acesso em 10 janeiro 2022 
 
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http://ecovirtual.ib.usp.br/doku.php?id=ecovirt:roteiro:math:exponencial
http://www.producao.ufrgs.br/arquivos/disciplinas/489_estaind005_distprob.pdf
http://professor.ufop.br/sites/default/files/magno/files/capitulo_4_-_principais_modelos_continuos_0.pdf
http://professor.ufop.br/sites/default/files/magno/files/capitulo_4_-_principais_modelos_continuos_0.pdf