Lista 3 - Cálculo Diferencial - 2015.1

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Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2015.1 – Lista 3 
20 – LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO 
Probleminha. Considere a função f(x) = , x ≠ 0. 
Inicialmente, vamos fazer x se aproximar de zero pela direita e depois pela esquerda. Com isso, estamos 
interessados em saber qual o significado dos dois limites: 
 
 e 
 
Em seguida, vamos fazer x ir para o mais infinito, ou seja queremos que x fique cada vez maior, e depois 
vamos fazer x ir para o menos infinito. Com isso, estamos interessados em saber qual o significado dos dois limites: 
 
 
 e 
 
Vamos fazer tabelas para entender, intuitivamente, o significado desses limites. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos definir, intuitivamente, que: 
Ι – 
ΙΙ – 
ΙΙΙ – 
1
x
x 0
1lim
x+→ x 0
1lim
x−→
x
1lim
x→+∞ x
1lim
x→−∞
x 0
1lim
x+→
= +∞
x 0
1lim
x−→
= −∞
x
1lim 0
x→+∞
=
x f(x) = 
0,1 10 
0,01 100 
0,001 1000 
0,0001 10000 
0,00001 100000 
0,000001 1000000 
0,0000001 10000000 
… … 
0 +∞ 
 
TABELA 1 
x f(x) = 
–0,1 –10 
–0,01 –100 
–0,001 –1000 
–0,0001 –10000 
–0,00001 –100000 
–0,000001 –1000000 
–0,0000001 –10000000 
… … 
0 –∞ 
 
TABELA 2 
x f(x) = 
10 0,1 
100 0,01 
1000 0,001 
10000 0,0001 
100000 0,00001 
1000000 0,000001 
10000000 0,0000001 
… … 
+∞ 0 
 
TABELA 3 
x f(x) = 
–10 –0,1 
–100 –0,01 
–1000 –0,001 
–10000 –0,0001 
–100000 –0,00001 
–1000000 –0,000001 
–10000000 –0,0000001 
… … 
–∞ 0 
 
TABELA 4 
 19 
ΙV – 
 
É claro que também podemos concluir, pelas ideias intuitivas acima, que: 
 
Se n for um inteiro positivo qualquer, então: 
V – 
 
VΙ – 
 
VΙΙ – 
 
VΙΙΙ – 
 
De um modo geral, podemos definir, intuitivamente que: 
 
ΙX – Se e, quando , assume valores positivos para , então 
. 
 
X – Se e, quando , assume valores negativos para , então 
. 
 
XΙ – Se e , então . 
 
XΙΙ – Se e , então . 
 
21 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Encontre os limites a seguir: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
x
1lim 0
x→−∞
=
nx 0
1lim
x+→
= +∞
nx 0
se n for par1lim
 se n for ímparx−→
+∞⎧
= ⎨−∞⎩
nx
1lim 0
x→+∞
=
nx
1lim 0
x→−∞
=
( )
x a
lim f x 0
→
= x a→ f(x) x a≠
x a
1lim
f(x)→
= +∞
( )
x a
lim f x 0
→
= x a→ f(x) x a≠
x a
1lim
f(x)→
= −∞
 
lim
x→+∞
f(x) = +∞
 
lim
x→+∞
g(x) = +∞
 
lim
x→+∞
(f.g)(x) = +∞
 
lim
x→+∞
f(x) = −∞
 
lim
x→+∞
g(x) = −∞
 
lim
x→+∞
(f.g)(x) = +∞
x 1
3lim
x 1−→ −
x 2
2lim
x 2+→
−
−
x 5
1lim
x 5+→ −
x 2
x 2lim
x 2+→
+
−
2x 1
1lim
x 2x 1→ − +
1x
2
1 2xlim
1 2x+
→
+
−
 20 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
2x 2
2x 4
2
3 2x 0
3x
5
x 2g) lim
x 4
2xh) lim
16 x
x 5i) lim
2x 3x
1j) lim
5x 3
+
+
−
−
→
→−
→
→
+
−
−
−
−
−
3
2 3x 0
3 2
2x 1
2 4xk) lim
5x 3x
2x 5xl) lim
x 1
−
+
→
→
−
+
−
−
2
2x
2x
2x
3x 2x 5m) lim
x 4
4x 3n) lim
5x x 1
3x 4o) lim
2x 5
→+∞
→−∞
→+∞
+ −
+
−
− +
+
−
2x
3x 4p) lim
2x 5→−∞
+
−
2
x
2
x
4 2
4x
x 4q) lim
x 4
x 2x 3r) lim
x 5
3x 7x 2s) lim
2x 1
→+∞
→−∞
→+∞
+
+
− +
+
− +
+
3
2x
x 2xt) lim
2x 3→+∞
− +
−
2
x
4
2x
2
3
x
2 xu) lim
x 3
3x x 1v) lim
x 5
8 xx) lim
x(x 1)
→−∞
→+∞
→+∞
−
+
+ +
−
+
+
 21 
 
22 – GABARITO DE 21 
1. a) −∞ b) −∞ c) +∞ d) +∞ e) +∞ 
 f) −∞ g) +∞ h) −∞ i) +∞ j) −∞ 
 k) +∞ l) −∞ m) 3 n) 0 o) 
 
3 2
2
 
 p) 
 
−3 2
2
 q) 1 r) –1 s) 
 
3
2
 t) −∞ 
 u) +∞ v) +∞ x) 1 
 
23 – ASSÍNTOTA VERTICAL 
A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função y = f(x), se pelo menos uma das afirmativas a 
seguir for verdadeira: 
(i) (ii) 
 
(iii) (iv) 
 
24 – ASSÍNTOTA HORIZONTAL 
 A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = f(x), se pelo menos uma das afirmativas a 
seguir for verdadeira: 
(i) e f(x) ≠ b quando x → +∞; 
(ii) e f(x) ≠ b quando x → –∞. 
 
25 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Nos exercícios a seguir, ache as assíntotas horizontais e verticais e em seguida faça um esboço do gráfico de 
cada função. 
 
 
 
 
( )
x a
lim f x
+→
= +∞ ( )
x a
lim f x
+→
= −∞
( )
x a
lim f x
−→
= +∞ ( )
x a
lim f x
−→
= −∞
( )
x
lim f x b
→+∞
=
( )
x
lim f x b
→−∞
=
x 8a) f(x)
x 4
3x 2b) f(x)
x 2
+=
−
−=
−
2
2x 5c) f(x)
x 1
4x 3d) f(x)
2x 5
1e) f(x) 1
x
−=
+
+=
+
= −
 22 
 
 
 
 
26 – GABARITO DE 25 
 
 
 
f) f(x) = −1
(x −1).(x − 6)
g) f(x) = 5x
2
x2 − 4
h) f(x) = 2x
2
x2 −1
 
i) f(x) = −2
x2 − x − 6
j) f(x) = 1
x2 − 3x + 2
k) f(x) = 1
x2 − 4
l) f(x) = −1
x2 −1
 23 
 
 
 24 
 
 
 25