Lista 5- Cálculo Diferencial - 2015.1

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

39 
Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2015.1 – Lista 5 
51 – A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL 
 Lembre-se que a derivada de uma função pode ser encontrada pela expressão . 
Fazendo uma mudança de variável, digamos que x – a = h, temos que a = x + h e . 
 
Assim, para f(x) = ex, temos que 
 
 
 
 
Portanto, não esqueça! Se , então . 
 
 Aplicando a regra da cadeia na função , podemos concluir que sua derivada é 
. 
 
EXEMPLOS 
1) A derivada da função é . 
2) A derivada da função é . Que simplificando, obtemos, . 
 
 
52 – A DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NATURAL 
Considere a função f(x) = lnx. 
Lembre-se que y = lnx equivale a . Assim, derivando implicitamente, e lembrando que , 
obtemos: . Mas, como , então e finalmente . 
Acabamos de demonstrar que: se f(x) = lnx, então . E se usarmos a regra da cadeia na função f(x) = 
ln(g(x)), podemos concluir que . 
 
EXEMPLO 
A derivada da função f(x) = ln(3x+1) é . 
 
 E se quiséssemos encontrar a derivada da função exponencial ? Ou a derivada da função 
logarítmica ? 
 A resposta para a segunda pergunta é mais simples que a primeira. Assim, vamos começar por ela. É só 
mudar de base e obtemos: e agora obtemos . 
Para responder a primeira pergunta, observe que equivale a . Agora, 
derivando implicitamente, obtemos: , e como , concluímos que . Assim, descobrimos 
que: 
1) se , então . 
2) se , então . 
 
( ) ( ) ( )
x a
f x f a
f ' a lim
x a→
−
=
−
h 0
f(x h) f(x)f '(x) lim
h→
+ −=
x h x x h x x h h
x x
h 0 h 0 h 0 h 0
e e e .e e e (e 1) e 1f '(x) lim lim lim e . lim e .
h h h h
+
→ → → →
− − − −= = = = =
xf(x) e= xf '(x) e=
g(x)f(x) e=
g(x)f '(x) e .g'(x)=
3x 5f(x) e −= 3x 5 3x 5f '(x) e .3 3e− −= =
x 1
x 1f(x) e
+
−=
x 1
x 1
2
1.(x 1) (x 1).1f '(x) e .
(x 1)
+
− − − +=
−
x 1
x 1
2
2ef '(x)
x 2x 1
+
−−=
− +
yx e= dyf '(x)
dx
=
y dy1 e .
dx
= yx e= dy1 x.
dx
= dy 1
dx x
=
1f '(x)
x
=
g'(x)f '(x)
g(x)
=
3f '(x)
3x 1
=
+
xf(x) a=
af(x) log x=
a
lnxf(x) log x
lna
= =
1
1xf '(x)
lna xlna
= =
xy a= xlny lna lny x.lna= ∴ =
1 dy. lna
y dx
= xy a= xdy a .lna
dx
=
xf(x) a= xf '(x) a .lna=
af(x) log x=
1f '(x)
xlna
=
 40 
53 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Encontre as derivadas das funções a seguir: 
 
 
2. Ache por derivação implícita. 
 
 
 
3. Encontre as derivadas das funções a seguir: 
a) f(x) = ln(4 + 5x) 
 
b) f(x) = ln(1 + 4x2) 
 
c) f(x) = ln(8 – 2x) 
 
d) f(x) = ln 
 
e) f(x) = ln 
 
f) f(x) =ln(lnx) 
 
g) f(x) = x.lnx 
 
h) 
 
i) f(x) = 
 
 
 
 
54 – GABARITO DE 53 
1. a) 3e3x b) (2x − 2)e
x2−2x c) (1+ x)e
x 
2. a) −ey−x b) 
 
ex − y
x − ey
 c) 
 
− 1+ x
1+ y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.ex−y d) 
 
−1− ey − y.ex
1+ ex + x.ey
 
3. a) 
 
5
4 + 5x
 b) 
 
8x
1+ 4x2
 c) 
 
−1
4 − x
 d) 
 
4x
1+ 4x2
 
 e) 
 
−2x
12− 3x2
 f) 
 
1
x lnx
 g) 1 + lnx h) 
 
lnx −1
(lnx)2
 
 
a) f(x) = e3x
b) f(x) = ex
2−2x
c) f(x) = x.ex
dy
dx
 
a) ex + ey = ex+y
b) x.y = ex + ey
c) x.ex + y.ey = 1
d) x.ey + y.ex + x + y = 0
21 4x+
3 24 x−
xf(x)
lnx
=
3 3lnx
j) f(x) = 35x
k) f(x) = 10x
2−2x
l) f(x) = 25x.34x
2
m) f(x) = log3(2x
2 +1)
 41 
 i) 
 
(lnx)
−2
3
x
 j) 35x.5.ln3 k) 10
x2−2x.(2x − 2).ln10 
 l) 2
5x.34x
2
.(5.ln2+ 8x.ln3) m) 
 
4x
(2x2 +1)ln3
 
 
 
55 – A DERIVADA DA FUNÇÃO SENO 
Agora, vamos encontrar a derivada da função f(x) = senx. 
 
Antes de mais nada, lembre-se que a derivada de uma função pode ser encontrada pela expressão 
. Além disso, 
 
[1] sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa 
[2] sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa 
[3] cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb 
[4] cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb 
 
Assim, temos que: 
 
 
 
Isto é, se f(x) =senx, então f’(x) = cosx. 
 
Aplicando a regra da cadeia na função f(x) = sen[g(x)], tem-se que: . 
 
EXEMPLOS 
A derivada da função é a função e a derivada da função é a 
função . 
 
56 – A DERIVADA DA FUNÇÃO COSSENO 
Para encontrarmos a derivada da função cosseno, basta lembrar que e usar a regra da 
cadeia, como acima. Assim, se f(x) = cosx, tem-se: 
 e . 
 
Isto é, se f(x) = cosx, então f’(x) = –senx. 
 
 
 Com os resultados que acabamos de encontrar e com as regras de derivação, já estudadas, podemos 
encontrar as derivadas das demais funções trigonométricas. 
 
57 – A DERIVADA DA FUNÇÃO TANGENTE 
 
Se f(x) = tgx, então 
 
Isto é, se f(x) = tgx, então f’(x) = . 
 
f '(x) = lim
θ→0
f(x + θ)− f(x)
θ
 
f '(x) = lim
θ→0
f(x + θ)− f(x)
θ
= lim
θ→0
sen(x + θ)− senx
θ
= lim
θ→0
senx ⋅cosθ + senθ ⋅cosx − senx
θ
= lim
θ→0
senx ⋅(cosθ −1)+ senθ ⋅cosx
θ
= senx ⋅ lim
θ→0
cosθ −1
θ
+ cosx ⋅ lim
θ→0
senθ
θ
= senx ⋅0 + cosx ⋅1= cosx
f '(x) cos(g(x)) g'(x)= ⋅
2f(x) sen(3x )= 2f '(x) cos(3x ) 6x= ⋅ f(x) sen(2x )
2
π= −
f '(x) cos(2x ) 2 2.cos(2x ) 2.sen(2x)
2 2
π π= − ⋅ = − =
cosx sen( x)
2
π= −
f(x) cosx sen( x)
2
π= = − f '(x) cos( x).( 1) senx
2
π= − − = −
( )
' 2 2
2 2
2
2
senx cosx cosx senx ( senx) cos x sen xf '(x) tgx '
cosx cos x cos x
1 sec x
cos x
⋅ − ⋅ − +⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
2sec x
 42 
 
 
58 – A DERIVADA DA FUNÇÃO COTANGENTE 
Se f(x) = cotgx, então 
 
 
 
Isto é, se f(x) = cotgx, então f’(x) = . 
 
59 – A DERIVADA DA FUNÇÃO SECANTE 
Se f(x) = secx, então 
 
 
 
Isto é, se f(x) = secx, então f’(x) = . 
 
60 – A DERIVADA DA FUNÇÃO COSSECANTE 
Se f(x) = cossecx, então 
 
 
Isto é, se f(x) = cossecx, então f’(x) = . 
 
RESUMINDO: 
[1] se f(x) = senx, então f’(x) = cosx 
[2] se f(x) = cosx, então f’(x) = –senx 
[3] se f(x) = tgx, então f’(x) = sec2x 
[4] se f(x) = cotgx, então f’(x) = –cossec2x 
[5] se f(x) = secx, então f’(x) = secx.tgx 
[6] se f(x) = cossecx, então f’(x) = –cossecx.cotgx 
 
61 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Encontre as derivadas das funções a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
( )
' 2 2
2 2
2
2
cosx senx senx cosx cosx (sen x cos x)f '(x) cotgx '
senx sen x sen x
1 cossec x
sen x
− ⋅ − ⋅ − +⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
−= = −
2cossec x−
( )
'
2 2
1 0 cosx 1 ( senx) senx 1 senxf '(x) sec x ' .
cosx cosx cosxcos x cos x
sec x tgx
⋅ − ⋅ −⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅
secx.tgx
( )
'
2 2
1 0 senx 1 cosx cosx 1 cosxf '(x) cossecx ' .
senx senx senxsen x sen x
cossecx cotgx
⋅ − ⋅ − −⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= − ⋅
cossecx.cotgx−
a) f(x) 3senx
b) g(x) senx cosx
=
= +
 c) f(x) = tgx + cotgx
d) f(x) 4sec x 2cossec x
e) f(x) xcos x
= −
=
=
= +
2f) f(x) x .cosx
g) f(x) x.senx cosx
h) f(x) 3senx x.cosx= −
 
i) f(x) = senx.cosx
j) f(x) = sen2x
k) f(x) = sen3x
l) f(x) = 4cos3x − 3sen4x
m) f(x) = senx2
 43 
 
 
 
2. Se f(x) = sen(3x) e 
 !M= f ' π3⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ + f " π2⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ + f ''' 2π3⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ , a terça parte de M vale: 
a) –7 
b) –21 
c) 8 
d) 24 
e) 25 
 
62 – GABARITO DE 61 
1. a) 3cosx b) cosx – senx c) sec2x – cossec2x 
 d) 4secx.tgx + 2cossecx.cotgx e) cosx – x.senx f) x(2cosx – xsenx) 
 g) x.cosx h) 2cosx + x.senx i) cos2x j) sen2x 
 k) 3cos3x l) –12(sen3x + cos4x) m) 2x.cosx2 n) –6x.sen(3x2 + 1) 
 o) 2sec2x.tg32x 
 
2. b 
 
 
63 – A RETA TANGENTE. A DERIVADA. A RETA NORMAL 
Considere uma função real f contínua em x = a. 
[1] A derivada de f em x = a é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto P(a, f(a)). 
[2] A reta normal à curva no ponto P(a, f(a)) é a reta perpendicular à reta tangente à curva nesse ponto. 
 
64 – EXERCÍCIOS
PROPOSTOS 
1. Ache uma equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado, em cada item a seguir. 
a) y = x2 – 4x – 5 ; P(–2, 7) 
 
b) y = ; P(4, 8) 
 
c) y = ; P(3, 2) 
 
2. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x – x3 no ponto P(–2, 4). 
 
3. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 que é paralela à reta 8x – y + 3 = 0. 
 
4. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 – x
2
3
 que é perpendicular à reta x – y = 0. 
 
5. Ache as equações das retas tangente e normal à curva 16x4 + y4 = 32 no ponto P(1, 2). 
 
6. Ache as equações das retas tangente e normal à curva y = x2 + 9 , no ponto onde x = 4. 
 
7. Ache as equações das retas tangente e normal à curva y = 
 
− 8
x
 , no ponto P(4, –4). 
 
65 – GABARITO DE 64 
 
1. a) y = –8x – 9 b) y = 6x – 16 c) 2. y = –10x – 16 
3. y = 8x – 5 4. 4x + 4y – 11 = 0 5. Tangente: 2x + y = 4 e Normal: x – 2y + 3 = 0 
6. Tangente: 4x – 5y + 9 = 0 e Normal: 5x + 4y – 40 = 0 7. Tangente: x – 2y – 12 = 0 e Normal: 2x + y – 4 = 0. 
 
2n) f(x) cos(3x 1)= +
 
o) f(x) = 1
3
sec3 2x − sec 2x
3x
8
6
x
 
y = −2x +12
3