Resumão Limite da função, limite lateral e gráfico (PDF)

Prévia do material em texto

Para valores de x maiores que -2,
valor da imagem da função é 1.
Para valores de x menores que -2,
valor da imagem da função é -1.
Para que o limite exista, os LIMITES LATERAIS
precisam ser IGUAIS.
Neste caso, o limite EXISTE independente do valor de a,
portanto “a” pode ser qualquer número real.
A função f não é contínua em x = 1. Observando o gráfico
acima notamos que o limite de f(x) quando x tende a 1 pela
direita é 2 e o limite de f(x) quando x tende a 1 pela esquerda
é 5 e para a função ser contínua em x = 1 os limites laterais
precisam ser iguais.
A função f não é contínua em x = 2. Observando o gráfico
acima notamos um “salto” no gráfico em x = 2. Isso significa
que o valor da função em x = 2 é diferente dos limites laterais
De fato, os limites laterais em x = 2 são iguais a 3 e o valor de
f(2) = 1. Para a função ser contínua em x = 2, os limites laterais
devem ser iguais à imagem da função neste ponto.
A função f é contínua em x = 0. Não existe “quebra ou salto” no gráfico em x = 0. Observando
o gráfico acima notamos que o limite de f(x) quando x tende a 0 pela direita é 0, o limite de
f(x) quando x tende a 0 pela esquerda é 0 e a imagem da função em x = 0 também é 0, isto é,
f(0) = 0. Limites laterais e a imagem da função no ponto, iguais.
Sim, é contínua. Se trata de uma função par, isto é, f(x) = f(-x) sem nenhuma restrição no domínio significando
que não haverá nenhuma “quebra ou salto” no gráfico e consequentemente a função é contínua. Portanto,
para qualquer
Para a função ser CONTÍNUA os limites
laterais PRECISAM SER IGUAIS à
imagem da função em Xo.
O gráfico ao lado SATISFAZ as condições:
1. Domínio: Reais
2. Limite da função quando x tendo a zero, igual a 1. Porém a
função é descontínua em x = 0, logo f(0) precisa ser
diferente de 1. No gráfico temos f(0) = 3.
3. Limite da função quando x tendo a um, igual a 0. Porém a
função é descontínua em x = 1, logo f(1) precisa ser
diferente de 0. No gráfico temos f(1) = -2.
Note que a função f ao lado:
1. Limite de f(x) quando x tende para zero, é igual a L = 0.
2. a = 0 não está no domínio da f.
Note que a função f ao lado:
1. Limite de f(x) quando x tende para mais infinito, é igual a
0.
2. Limite que f(x) quando x tende a menos infinito, o valor da
função tende para mais infinito.
Note que a função f ao lado:
1. Limite de f(x) quando x tende para -1 pela esquerda, a
imagem da função tende para menos infinito.
2. f(-1) = -1 < 0.
3. Limite de f(x) quando x tende para -1 pela direita, o valor
da função tende para 1 > 0.
Note que a função f acima:
1. Possui f(-2) = 1.
2. Possui f(2) = 5.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como a função dada é contínua no intervalo de [-2,2] e f(-2) < 7/3 < f(2), EXISTE UM ELEMENTO C
DO DOMÍNIO, tal que f(C) = 7/3.
Observamos que graficamente (figuras 1 e 2) fica fácil notar que os gráficos das funções f(x) dada e a reta y = x, terão pelo menos um ponto
em comum. Isto é, VAI HAVER INTERSEÇÃO ENTRE OS GRÁFICOS já que ambas as funções são contínuas no mesmo intervalo e com o mesmo
conjunto imagem.
Pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO,
Podemos afirmar que existe um “Xo” no domínio da f e um C no conjunto imagem [0,1], tal que f(Xo) = C. Para este valor C vai existir um
ponto na reta y = x, o ponto (C, C) tal que C = Xo. Então para este ponto temos que f(Xo) = C = Xo.
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3