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Circuitos Elétricos
Teorema de Circuitos
Professor José Jacinto Cruz de Souza
Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ
Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 1 / 30
Circuitos Elétricos
Introdução
þ Nessa seção iremos estudar os teoremas de Thévenin e de Norton.
þ Como são aplicáveis apenas em circuitos lineares, iremos apresentar o
conceito de linearidade, superposição, transformações de fontes e máxima
transferência de potência.
þ Os teoremas ajudam a resolver os circuitos sem a necessidade de solu-
cionar equações simultâneas.
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Circuitos Elétricos
Linearidade
þ Linearidade é uma propriedade de um elemento descrever uma relação linear
entre causa e efeito. Essa propriedade é uma combinação da propriedade de ho-
mogeneidade e da aditividade.
þ Um circuito é linear se ele for tanto homogêneo quanto aditivo. Um resistor é
um elemento linear, pois a relação tensão-corrente satisfaz tanto a propriedade de
homogeneidade quanto de aditividade.
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Circuitos Elétricos
Linearidade
þ Note que P = i2R = V 2/R (potência) - corresponde a função quadrática em
vez de uma função linear, a relação entre potência e tensão (ou corrente) é não
linear. Portanto, os teoremas vistos neste caṕıtulo não são aplicáveis à potência.
þ Para ilustrar o prinćıpio da linearidade, consideremos o circuito linear mostrado
na Figura a seguir. Ele é excitado por uma fonte de tensão vs, que serve como
entrada, e é terminado com uma carga R.
þ Podeŕıamos adotar a corrente i que passa por R como sáıda. Suponha que
Vs = 10V resulte em i = 2A. De acordo com o prinćıpio da linearidade, Vs = 1V
resultará em i = 0, 2A. Do mesmo modo, i = 1mA tem que ser o resultado de
Vs = 5mV .
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Circuitos Elétricos
Linearidade
Exemplo: Para o circuito da Figura da figura a seguir, determine Io quando Vs =
12V e Vs = 24V .
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Circuitos Elétricos
Linearidade
Exemplo: Para o circuito da Figura da figura a seguir, determine Io quando Vs =
12V e Vs = 24V .
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 5 / 30
Circuitos Elétricos
Superposição
þ Se um circuito tiver duas ou mais fontes independentes, uma maneira de
determinar o valor de uma variável espećıfica (tensão ou corrente) é usar a análise
nodal ou a de malhas.
þ Outra forma seria determinar a contribuição de cada fonte independente à
variável e então somá-las. Essa última forma é conhecida como superposição.
þ O prinćıpio da superposição afirma que a tensão (ou corrente) em um elemento
de circuito linear é a soma algébrica das tensões (ou correntes) naquele elemento
em virtude da atuação isolada de cada uma das fontes independentes.
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Circuitos Elétricos
Superposição
Exemplo: Use o teorema da superposição para encontrar V no circuito da figura
abaixo.
Solução: ¬ Deixar apenas uma fonte independente (tensão ou corrente) ativa no
circuito e calcular a resposta em função dessa fonte.
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Circuitos Elétricos
Superposição
Exemplo: Use o teorema da superposição para encontrar V no circuito da figura
abaixo.
Solução: ¬ Deixar apenas uma fonte independente (tensão ou corrente) ativa no
circuito e calcular a resposta em função dessa fonte.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 7 / 30
Circuitos Elétricos
Superposição
­ Repetir o procedimento para todas as fontes independentes do circuito.
® A resposta é obtida pela soma das contribuições individuais de cada fonte inde-
pendente.
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Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
þ A transformação de fontes é outra ferramenta que ajuda a simplificar circuitos.
þ Fundamental para essas ferramentas é o conceito de equivalência. Lembramos
que um circuito equivalente é um circuito cujas curvas caracteŕısticas V − i são
idênticas à do circuito original.
þ Os dois circuitos da figura são equivalentes, desde que tenham a mesma relação
tensão-corrente nos terminais a-b.
þ Se as fontes forem desativadas, a resistência equivalente nos terminais a-b em
ambos os circuitos será R.
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Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
Processo de substituir uma fonte de tensão Vs em série com um resistor R por uma
fonte de corrente is em paralelo com um resistor R, ou vice-versa.
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Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
Exemplo: Usando transformação de fontes encontrar o valor de Vo no circuito da
figura a seguir.
Solução:
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Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
Exemplo: Usando transformação de fontes encontrar o valor de Vo no circuito da
figura a seguir.
Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 11 / 30
Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
Exemplo: Usando transformação de fontes encontrar o valor de Vo no circuito da
figura a seguir.
Continuação da Solução:
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Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
Exemplo: Usando transformação de fontes encontrar o valor de Vo no circuito da
figura a seguir.
Continuação da Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 12 / 30
Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
Exemplo: Usando transformação de fontes encontrar o valor de Vo no circuito da
figura a seguir.
Continuação da Solução:
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Circuitos Elétricos
Transformação de Fontes
Exemplo: Usando transformação defontes encontrar o valor de Vo no circuito da
figura a seguir.
Continuação da Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 13 / 30
Circuitos Elétricos
Teorema de Thévenin
þ Na prática, muitas vezes pode acontecer de um determinado elemento em um
circuito ser variável (normalmente, denominado carga), enquanto outros elementos
são fixos.
þ Como exemplo, uma tomada de uma residência onde se pode conectar diferentes
aparelhos, constituindo em uma carga variável. Cada vez que o elemento variável
for alterado, todo o circuito tem de ser analisado por completo novamente.
þ Para evitar esse problema, o teorema de Thévenin fornece uma técnica pela
qual a parte fixa do circuito é substitúıda por um circuito equivalente.
þ O teorema de Thévenin é muito importante na análise de circuitos, porque ajuda
a simplificar um circuito, e um circuito grande pode ser substitúıdo por uma única
fonte de tensão independente e um único resistor. Essa técnica de substituição é
uma poderosa ferramenta no projeto de circuitos.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 14 / 30
Circuitos Elétricos
Teorema de Thévenin
þ Na prática, muitas vezes pode acontecer de um determinado elemento em um
circuito ser variável (normalmente, denominado carga), enquanto outros elementos
são fixos.
þ Como exemplo, uma tomada de uma residência onde se pode conectar diferentes
aparelhos, constituindo em uma carga variável. Cada vez que o elemento variável
for alterado, todo o circuito tem de ser analisado por completo novamente.
þ Para evitar esse problema, o teorema de Thévenin fornece uma técnica pela
qual a parte fixa do circuito é substitúıda por um circuito equivalente.
þ O teorema de Thévenin é muito importante na análise de circuitos, porque ajuda
a simplificar um circuito, e um circuito grande pode ser substitúıdo por uma única
fonte de tensão independente e um único resistor. Essa técnica de substituição é
uma poderosa ferramenta no projeto de circuitos.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 14 / 30
Circuitos Elétricos
Teorema de Thévenin
þ Na prática, muitas vezes pode acontecer de um determinado elemento em um
circuito ser variável (normalmente, denominado carga), enquanto outros elementos
são fixos.
þ Como exemplo, uma tomada de uma residência onde se pode conectar diferentes
aparelhos, constituindo em uma carga variável. Cada vez que o elemento variável
for alterado, todo o circuito tem de ser analisado por completo novamente.
þ Para evitar esse problema, o teorema de Thévenin fornece uma técnica pela
qual a parte fixa do circuito é substitúıda por um circuito equivalente.
þ O teorema de Thévenin é muito importante na análise de circuitos, porque ajuda
a simplificar um circuito, e um circuito grande pode ser substitúıdo por uma única
fonte de tensão independente e um único resistor. Essa técnica de substituição é
uma poderosa ferramenta no projeto de circuitos.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 14 / 30
Circuitos Elétricos
Teorema de Thévenin
þ Considerando um circuito linear terminado por uma carga RL, conforme mostra
a figura. A corrente IL através da carga e a tensão VL na carga são facilmente
determinadas, uma vez que seja obtido o circuito equivalente de Thévenin nos
terminais da carga.
IL =
VTh
RTh + RL
VL =
RL
RTh + RL
.VTh
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Circuitos Elétricos
Teorema de Thévenin
þ Para aplicar esse conceito na determinação da resistência equivalente de Thévenin
RTh, precisamos considerar dois casos:
Caso 1: Se a rede não tiver fontes dependentes, desligamos todas as fontes
independentes. RTh é a resistência de entrada da rede.
Caso 2: Se a rede tiver fontes dependentes, desligamos todas as fontes in-
dependentes. As fontes dependentes não podem ser desligadas pois
elas são controladas por variáveis de circuito. Aplicamos uma tensão
vo aos terminais a e b e determinamos a corrente resultante io . De
forma alternativa podemos inserir uma fonte de corrente nos termi-
nais a-b e encontrar a tensão entre os terminais. Podemos supor
qualquer valor parar vo e io .
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 16 / 30
Circuitos Elétricos
Teorema de Thévenin
þ Para aplicar esse conceito na determinação da resistência equivalente de Thévenin
RTh, precisamos considerar dois casos:
Caso 1: Se a rede não tiver fontes dependentes, desligamos todas as fontes
independentes. RTh é a resistência de entrada da rede.
Caso 2: Se a rede tiver fontes dependentes, desligamos todas as fontes in-
dependentes. As fontes dependentes não podem ser desligadas pois
elas são controladas por variáveis de circuito. Aplicamos uma tensão
vo aos terminais a e b e determinamos a corrente resultante io . De
forma alternativa podemos inserir uma fonte de corrente nos termi-
nais a-b e encontrar a tensão entre os terminais. Podemos supor
qualquer valor parar vo e io .
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 16 / 30
Circuitos Elétricos
Exemplo: Determinar o circuito equivalente de Thévenin e calcular a corrente
através de RL = 6Ω e RL = 36Ω.
Solução: ¬ Desativar as fontes independentes de tensão ou corrente e calcular o
valor de RTh.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 17 / 30
Circuitos Elétricos
Exemplo: Determinar o circuito equivalente de Thévenin e calcular a corrente
através de RL = 6Ω e RL = 36Ω.
Solução: ¬ Desativar as fontes independentes de tensão ou corrente e calcular o
valor de RTh.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 17 / 30
Circuitos Elétricos
Solução: ­ Considerando o efeito de todas as fontes, calcular a tensão de circuito
aberto entre os terminais a e b.
® Em seguida determinamos as correntes elétricas através dos resistores RL = 6Ω
e RL = 36Ω.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 18 / 30
Circuitos Elétricos
Solução: ­ Considerando o efeito de todas as fontes, calcular a tensão de circuito
aberto entre os terminais a e b.
® Em seguida determinamos as correntes elétricas através dos resistores RL = 6Ω
e RL = 36Ω.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 18 / 30
Circuitos Elétricos
Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura a seguir.
Resposta: RTh = 6Ω VTh = 20V .
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 19 / 30
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Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura a seguir.
Resposta: RTh = 6Ω VTh = 20V .
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de JoãoPessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 19 / 30
Circuitos Elétricos
Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin conforme o circuito apresentado
na figura a seguir.
Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 20 / 30
Circuitos Elétricos
Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin conforme o circuito apresentado
na figura a seguir.
Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 20 / 30
Circuitos Elétricos
Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin conforme o circuito apresentado
na figura a seguir.
Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 20 / 30
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Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura a seguir.
Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 21 / 30
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Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura a seguir.
Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 21 / 30
Circuitos Elétricos
Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura a seguir.
Solução:
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 21 / 30
Circuitos Elétricos
Teorema de Norton
þ O teorema de Norton afirma que um circuito linear de dois terminais pode
ser substitúıdo por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente IN
(corrente de curto-circuito) em paralelo com um resistor RN (resistência de entrada
ou equivalente quando as fontes independentes forem desligadas).
þ Determinamos RN da mesma maneira que fazemos para RTh. A corrente de
Norton é equivalente a corrente de curto-circuito nos terminais a-b.
þ Relação entre os dois teoremas: RN = RTh.
IN =
VTh
RTh
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Circuitos Elétricos
Teorema de Norton
þ O teorema de Norton afirma que um circuito linear de dois terminais pode
ser substitúıdo por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente IN
(corrente de curto-circuito) em paralelo com um resistor RN (resistência de entrada
ou equivalente quando as fontes independentes forem desligadas).
þ Determinamos RN da mesma maneira que fazemos para RTh. A corrente de
Norton é equivalente a corrente de curto-circuito nos terminais a-b.
þ Relação entre os dois teoremas: RN = RTh.
IN =
VTh
RTh
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 22 / 30
Circuitos Elétricos
Teorema de Norton
þ Os Circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton estão relacionados por uma
transformação de fontes. Exemplo:
þ Determinar o circuito equivalente de Thévenin e de Norton requer que encon-
tremos:
A tensão de circuito aberto, voc , entre os terminais a-b.
A corrente de curto-circuito, isc , nos terminais a e b.
A resistência de entrada ou equivalente, Rent , nos terminais a-b quando
todas as fontes independentes estiverem desligadas.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 23 / 30
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Exemplo: Determinar o circuito equivalente de Norton nos terminais a-b.
¬ Desativar as fontes independentes de tensão ou corrente e calcular o valor de
RN = RTh.
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Circuitos Elétricos
Exemplo: Determinar o circuito equivalente de Norton nos terminais a-b.
¬ Desativar as fontes independentes de tensão ou corrente e calcular o valor de
RN = RTh.
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Circuitos Elétricos
Máxima Transferência de Potência
þ A potência máxima é a transferência a uma carga quando a resistência de carga
for igual a resistência de Thévenin quando vista da carga (RL = RTh).
þ Teorema da Potência Máxima: Utilizado para maximizar a potência transferida
para uma carga suprida por um circuito com perdas internas conhecidas.
þ Se todo circuito for substitúıdo pelo equivalente de Thévenin, exceto a carga,
conforme a figura, a potência liberada para a carga é:
P = i2RL =
(
VTh
RTh + RL
)2
.RL
Equação aplicável para RL 6= RTh.
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Circuitos Elétricos
Máxima Transferência de Potência
þ A potência máxima é a transferência a uma carga quando a resistência de carga
for igual a resistência de Thévenin quando vista da carga (RL = RTh).
þ Teorema da Potência Máxima: Utilizado para maximizar a potência transferida
para uma carga suprida por um circuito com perdas internas conhecidas.
þ Se todo circuito for substitúıdo pelo equivalente de Thévenin, exceto a carga,
conforme a figura, a potência liberada para a carga é:
P = i2RL =
(
VTh
RTh + RL
)2
.RL
Equação aplicável para RL 6= RTh.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 26 / 30
Circuitos Elétricos
Máxima Transferência de Potência
þ A potência máxima é a transferência a uma carga quando a resistência de carga
for igual a resistência de Thévenin quando vista da carga (RL = RTh).
þ Teorema da Potência Máxima: Utilizado para maximizar a potência transferida
para uma carga suprida por um circuito com perdas internas conhecidas.
þ Se todo circuito for substitúıdo pelo equivalente de Thévenin, exceto a carga,
conforme a figura, a potência liberada para a carga é:
P = i2RL =
(
VTh
RTh + RL
)2
.RL
Equação aplicável para RL 6= RTh.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 26 / 30
Circuitos Elétricos
Máxima Transferência de Potência
þ A máxima transferência de potência ocorre quando RL = RTh e pode ser
obtida através da equação:
Pmáx =
V 2Th
4RTh
Essa equação se aplicada apenas quando RL = RTh.
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 27 / 30
Circuitos Elétricos
Exerćıcios Propostos
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica)Teorema de Circuitos 28 / 30
Circuitos Elétricos
Exerćıcios Propostos
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Exerćıcios Propostos
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