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LIVRO DO PROFESSOR MATEMÁTICA 7.° ANO - LIVRO 2 ENSINO FUNDAMENTAL SAE DIGITAL S/A Curitiba 2021 SAE DIGITAL S/A PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 1PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 1 04/12/2020 16:24:0404/12/2020 16:24:04 Direção editorial Lucélia Secco Gerência editorial Tassiane Aparecida Sauerbier Coordenação editorial Ednei Leite de Araújo Coordenação pedagógica Cristiane Sliva, Jardiel Loretto Filho Edição Anna Paula Chiarello Marcon, Eliane Peixoto de Lima, Janayna da Costa Goulart, Janile Oliveira, Rodrigo Zeni Stocco Revisão Everson de Lara Caetano, Gabriele Varão, Juliana Basichetti Martins, Marilene Wojslaw Pereira Dias, Pamela de Fátima Leal, Priscila Sousa, Thainara Gabardo, Victor Truccolo Cotejo Anna Karolina de Souza, Ludmilla Borinelli, Rafaella Ravedutti, Wagner Revoredo Qualidade Brunno Freire, Igor Spisila, Mariana Chaves Projeto gráfico Evandro Pissaia, Fernanda Angeli Andreazzi, Gustavo Ribeiro Vieira Arte da capa Carlos Morevi, Deny Machado, Guilherme Reginato, Scarllet Anderson Iconografia Jhennyfer Pertille Ilustrações Carlos Morevi, Deny Machado, Scarllet Anderson Diagramação André Lima, Bruna Aparecida de Andrade, Gustavo Ribeiro Vieira, Jéssica Xavier de Carvalho, Leôncio Santana, Luana Santos, Luciana Nesello Kunsel, Luisa Piechnik Souza, Maisa Leepkaln, Mariana Oliveira, Nadiny Silva, Ralph Glauber Barbosa, Raphaela Candido, Silvia Santos, Tarliny Silva, Thaísa Werner, Thiago Figueiredo Venâncio Coordenação de processos Janaina Alves Processos Janio Lima, Raul Jungles, Vitor Ribeiro Colaboração externa Eduarda Regina Drabczynski Da Matta (Preparação de texto e Revisão), Estevam Cezar Maia Goulart (Diagramação), Fernanda Tanaka (Leitura de Qualidade), Muse Design (Diagramação), Thaisa Socher (Leitura de Qualidade), Vanessa de Oliveira (Leitura Técnica) Autoria Anvimar Galvão Gasparello, Cristine Dantas Jorge Madeira, Edmary Aparecida Vieira e Silva Tavares, Maria Augusta de Campos Constantino Bastos, Sofia Macedo © 2021 – SAE DIGITAL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. Todos os direitos reservados. SAE DIGITAL S/A. R. João Domachoski, 5. CEP: 81200-150 Mossunguê – Curitiba – PR 0800 725 9797 | Site: sae.digital Catalogação na Publicação (CIP) Ensino Fundamental : Matemática : 7.o ano: livro 2 : professor – 1. ed. – Curitiba, PR : SAE Digital S/A, 2021. 88 p. ISBN: 978-65-5593-648-3 1. Ensino Fundamental. 2. Matemática. 3. Educação. I. Título. CDD: 510 CDU: 501:371.1 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 2PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 2 04/12/2020 16:24:0404/12/2020 16:24:04 MATEMÁTICA III Programação anual de conteúdos – Matemática – 7.o ano Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas Li vr o 1 1. Números inteiros 1. Números positivos e números negativos • Ideia de número negativo • Conjunto dos números inteiros • Representação e interpretação dos • números negativos na reta numérica • Relação de ordem (sucessor e antecessor) • Números simétricos ou opostos • Módulo ou valor absoluto de um número EF07MA01 EF07MA03 7 2. Adição, subtração, multiplicação e divisão • Adição, subtração, multiplicação e divisão de números inteiros e propriedades • Expressões numéricas EF07MA01 EF07MA04 11 3. Potenciação e radiciação • Potenciação e radiciação de números inteiros • Leitura e escrita de potências e de radicais • Propriedades da potenciação e da radiciação • Expressões numéricas • Números quadrados perfeitos EF07MA01 EF07MA04 8 2. Ângulos 1. Características dos ângulos • Definição e medidas de ângulo • Grau e submúltiplos do grau (minuto e segundo) • Transformação de unidades SAE + 4 2. Operações e classificações • Adição e subtração entre ângulos • Multiplicação e divisão por um número natural • Tipos de ângulos • Ângulos congruentes, adjacentes, • complementares e suplementares • Ângulos formados por retas paralelas • intersectadas por uma transversal EF07MA23 8 3. Números racionais 1. Conjunto dos números racionais • Números decimais e frações equivalentes • Definição de número racional • Representação decimal de um número racional • Representação geométrica de um número racional • Resolução de situações-problema EF07MA01 EF07MA05 EF07MA06 EF07MA07 EF07MA10 7 2. Comparação, módulo e arredondamento • Comparação de números racionais • Módulo ou valor absoluto de números racionais • Arredondamento de números racionais na forma decimal EF07MA01 EF07MA05 EF07MA08 EF07MA10 5 Li vr o 2 4. Operações com números racionais 1. Adição, subtração, multiplicação e divisão • Adição, subtração, multiplicação e divisão • Representações dos números racionais • Expressões numéricas EF07MA11 EF07MA12 9 2. Potenciação e radiciação • Potenciação, radiciação e suas propriedades • Potência com expoente inteiro negativo • Radiciação de números racionais • Expressões numéricas EF07MA04 EF07MA12 6 5. Expressões e equivalências 1. Expressões algébricas • Definição e simplificação de expressões algébricas • Termos de uma expressão algébrica • Simplificação de expressões algébricas • Valor numérico de uma expressão algébrica EF07MA13 EF07MA14 EF07MA15 6 2. Igualdades e equações • Equações de 1.º grau • Princípio aditivo e multiplicativo • Resolução de equações do 1.º grau • Equações equivalentes • Resolução de situações-problema EF07MA13 EF07MA18 8 6. Figuras geométricas 1. Triângulos • Elementos do triângulo • Classificação quanto aos lados e aos ângulos • Construção geométrica de um triângulo • Propriedade da soma dos ângulos internos • Área de triângulos EF07MA24 EF07MA25 EF07MA26 EF07MA27 EF07MA31 EF07MA32 7 2. Quadriláteros • Classificação dos quadriláteros: paralelogramos e trapézios • Propriedade da soma dos ângulos internos • Construção geométrica de um quadrado • Área dos quadriláteros • Simetrias • Composição e decomposição de figuras EF07MA19 EF07MA20 EF07MA21 EF07MA27 9 3. Círculo e circunferência • Elementos da circunferência • Construção geométrica da circunferência • O pi, o comprimento e a área EF07MA22 EF07MA33 4 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 3PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 3 04/12/2020 16:24:0404/12/2020 16:24:04 MATEMÁTICAIV Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas Li vr o 3 7. Equações, sistemas e inequações do 1.° grau 1. Equações do 1.° grau com duas variáveis • Sistema de coordenadas cartesianas • Par ordenado e sua representação gráfica • Equações do 1.º grau com duas variáveis • Sistema de equações do 1.° grau com 2 variáveis e sua representação gráfica do conjunto solução EF07MA13 EF07MA16 11 2. Resolução de sistemas de equações e desigualdades • Resolução de um sistema de equações • Métodos algébricos de resolução: adição, substituição e comparação • Sistemas de equações na resolução de problemas • Desigualdades, conjunto universo e conjunto verdade SAE + 9 8. Sólidos geométricos 1. Poliedros e não poliedros • Poliedros e não poliedros • Poliedros regulares • Planificação dos sólidos geométricos SAE + 8 2. Relação de Euler e vistas • Relação de Euler • Vista frontal, lateral e superior • Volume de blocos retangulares EF07MA29 EF07MA30 5 9. Estatística 1. Médias • Média aritmética simples e ponderada• Problemas de estatística EF07MA35 8 2. Tabelas e gráficos • Pesquisa censitária e amostral • Tipos de gráficos e organização de dados em tabelas • Construção do gráfico de setores EF07MA36 EF07MA37 9 Li vr o 4 10. Razão e proporção 1. A ideia de razão • Razão, razão inversa e razão equivalente • Razão entre grandezas da mesma espécie e de espécies diferentes • Porcentagem EF07MA09 EF07MA11 EF07MA12 11 2. A ideia de proporção • Proporção • Elementos da proporção • Propriedade fundamental • Propriedades das proporções EF07MA09 EF07MA11 EF07MA12 EF07MA14 11 3. Proporções • Grandezas proporcionaise não proporcionais • Divisão em partes diretamente proporcionais • Grandezas inversamente proporcionais • Divisão em partes inversamente proporcionais • Regra de três simples direta, simples inversa e composta EF07MA17 13 11. Matemática financeira e probabilidade 1. Porcentagem e probabilidade • Porcentagem fração centesimal • e cálculo de porcentagens • Taxa percentual • Probabilidade • Princípio multiplicativo EF07MA07 EF07MA34 9 2. Juros • Lucro, crescimento, prejuízo e desconto • Significado de juros • Problemas EF07MA02 6 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 4PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 4 04/12/2020 16:24:0404/12/2020 16:24:04 MATEMÁTICA V Conheça as seções, os boxes e os ícones do seu livro Esta seção apresenta exercícios mais desa� adores e de � xação que devem ser resolvidos no caderno. VAMOS PRATICAR MAIS? É um espaço que apresenta relações entre o conteúdo que você está estudando e as tecnologias referentes a ele. MATEMÁTICA E TECNOLOGIA ATIVIDADES Geralmente esta seção está no � nal de cada capítulo. Seu objetivo é levá -lo a rever os con- teúdos estudados. PARA SABER MAIS Indica o momento de aprofundar ou ampliar algum aspecto do conteúdo que você está estudando no capítulo. CONEXÃO Este é um espaço que apresenta texto e atividades que fazem a articulação entre diversos conteúdos. INTERAÇÃO Quando aparecer esta seção, será proposto um trabalho em grupo, como debate, pesquisa e elaboração de painel. PARA IR ALÉM Aqui você encontra dicas de leituras, músicas ou vídeos para aprofundar seu conhecimento. COLOCANDO EM PRÁTICA É um espaço que apresenta exercícios resolvidos para você compreender a sua sistematização. TER ATITUDE Esta seção apresenta uma proposta para um trabalho prático. DESENVOLVER E APLICAR Esta seção propõe atividades investigativas e motivadoras para você resolver individualmente. DE OLHO NA PROVA É uma seção exclusiva para o 9.º ano e apre- senta questões de provas para auxiliar você a ingressar no Ensino Médio. EM TEMPO É o momento de recordar uma ideia ou uma fórmula já estudada. Pode apresentar, também, a explicação ou o signi� cado de um termo ou de um conteúdo apresentado no texto. Este ícone indica que há uma Realidade aumentada que pode ser acessada com o celular ou tablet. Quando aparecer este ícone, será a hora de exercitar a oralidade com os colegas de turma. Esta seção aparece quando há necessi- dade de explicar os procedimentos para realização de uma atividade.realização de uma atividade.COMO FA ZE R Este ícone indica o desenvolvimento da educação para o consumo consciente. PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 5PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 5 04/12/2020 16:24:0604/12/2020 16:24:06 MATEMÁTICAVI Anotações PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 6PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 6 04/12/2020 16:24:0604/12/2020 16:24:06 us tw o ga m es Matemática Unidade 4 | Operações com números racionais Capítulo 1 | Adição, subtração, multiplicação e divisão ............................ 72 Capítulo 2 | Potenciação e radiciação .................................................................. 86 Unidade 5 | Expressões e equivalências Capítulo 1 | Expressões algébricas ......................................................................... 96 Capítulo 2 | Igualdades e equações .................................................................... 107 Unidade 6 | Figuras geométricas Capítulo 1 | Triângulos .............................................................................................. 120 Capítulo 2 | Quadriláteros ....................................................................................... 131 Capítulo 3 | Círculo e circunferência ................................................................. 144 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 71PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 71 04/12/2020 16:24:0904/12/2020 16:24:09 72 MATEMÁTICA Objetivos do capítulo • Ampliar a compreensão do conceito de número racional com base em suas aplicações. • Identificar, interpretar e utilizar diferentes representações dos números racionais. • Resolver situações- problema envolvendo números racionais nas formas decimal e fracionária. • Resolver expressões numéricas. Realidade aumentada • Como calcular expressões numéricas? Encaminhamento metodológico Neste capítulo, trabalhare- mos as habilidades EF07MA11 e EF07MA12, indicadas na BNCC. A primeira, EF07MA11, é a habilidade de compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas pro- priedades operatórias. A segun- da, EF07MA12, tem por objetivo resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números racionais. A introdução do capítu- lo relembra a utilização dos números racionais na forma fracionária. Solicite aos alunos, se possível, que investiguem em casa (ou com conhecidos) como as pessoas lidam com os números racionais no dia a dia, respondendo às seguintes perguntas: • Como você mede a quantidade de leite se a receita pedir 3 4 de xícara? • Como você faz para dobrar uma receita em que seja necessário utilizar 1 4 de xícara de açúcar? As seções Interação, Desenvolver e aplicar, Matemática e tecnologia, Conexão e Ter atitude podem aparecer durante o conteúdo. Elas apresentam atividades contextualizadas, que buscam a interação com os saberes de colegas ou com informações provenientes de diferentes textos e imagens. Antes de iniciar o trabalho com os alunos, sugerimos que você selecione essas seções em cada capítulo, reservando um espaço adequado para cada uma em seu planejamento. A seção Atividades apresenta exercícios com outro objetivo: sistematizar, de maneira direta, os conteúdos trabalhados. A seção está localizada, geralmente, ao final de cada capítulo, antes do mapa conceitual. Sugerimos duas possibilidades para você desenvolver o trabalho com ela: • selecionar as atividades de acordo com a sequência do conteúdo, auxiliando os alunos a resolvê-las em casa; • trabalhar com todas elas ao final do capítulo, como revisão do que foi estudado. 73MATEMÁTICA everything p ossible/S hutters tock EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Números racionais Os números racionais são utilizados em diversas situações do dia a dia, tanto em sua representação decimal quanto fracionária. Observe a receita de cookies de aveia de Augusta, anotada no caderno a seguir. kv ek to r/ Sh ut te rs to ck Cookies de aveia IngredientesIngredientes 1 xícara de manteiga. 1 xícara de açúcar mascavo. 1 2 xícara de açúcar refinado. 2 ovos. 1 colher (sopa) de baunilha. 1 1 2 xícara de farinha de trigo. 1 colher (sopa) de bicarbonato de sódio. 1 colher (sopa) de canela. 3 xícaras de aveia. 1 xícara de uvas passas. Modo de fazerModo de fazer Na batedeira, bata a manteiga e os açúcares até formar um creme. Acrescente os ovos, a baunilha, a canela, a farinha e misture bem. Por fim, adicione o bicarbonato, a aveia e as passas e mexa com uma colher. Faça bolinhas e coloque-as na assadeira revestida com papel manteiga. Asse a 180°C por aproximadamente 30 minutos. Rendimento: 30 cookies de aveia. Vo lh ah /S hu tt er st oc k Agora imagine que Augusta quer preparar 60 cookies. • Quantas receitas ela precisa fazer? • Quantos ovos ela usará? • Quantas xícaras de açúcar mascavo serão necessárias? Pinte, nas xícaras abaixo, a quantidade necessária de açúcar refinado e de farinha de trigo para pre- parar a receita indicada. Depois, ao lado, represente essa quantidade em fração e em números decimais. Açúcar refinado Farinha de trigo 1 receita 2 receitas 3 receitas Situações como essa podem ser resolvidas por meio de operações com números racionais. EM TEMPO Lembre-se de que os números racionais também podem ser representados na forma decimal. everything p ossible/S hutters tock everything p ossible/S huttersttoocckk un idade 72 1. Adição, subtração, multiplicação e divisão Questionamos diversas vezes o uso da matemática em nosso cotidiano sem, de fato, perceber o quão próximo ele pode estar. Você já conhece os números racionais e sabe que eles estão presentes em diversas situações, tanto na forma fracionária quanto na decimal. Além de serem encontrados em notícias, receitas culinárias ou médicas, são os números racionais que formam a escala musical pela divisão de frações. E você, em quais situações usa os números racionais? 4 • Operações com números racionais na forma fracionária e decimal • Expressões numéricas com as quatro operações • Representações dos números racionais Operações com númer os racionais Escola Digital PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 72PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 72 04/12/2020 16:25:1104/12/2020 16:25:11 73MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Neste momento, será feita uma retomada dos conceitos de números racionais por meio de exemplos do uso de números fracionários no cotidiano. Na tabela, será neces- sário usar os números racionais tanto na forma fracionária quanto na decimal, portanto, caso haja necessidade, utilize as sugestões de atividade para que os alunos relembrem o conteúdo. Resposta • Serão necessárias duas receitas. • Serão necessários 4 ovos. • Serão necessárias 2 xícaras de açúcar mascavo. Sugestão de atividade 1. Escreva na forma fracionária os números a seguir. 5; –6; 0,10 e 0,02. Solução: • 5 1 • −6 1 • 10 100 • 2 100 2. Escreva na forma decimal os números a seguir. 5 10 70 100 3 4 49 7 5 9 ; ; ; e Solução: • 0,5 • 0,70 • 0,75 • 7,0 • 0,55... 73MATEMÁTICA everything p ossible/S hutters tock EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Números racionais Os números racionais são utilizados em diversas situações do dia a dia, tanto em sua representação decimal quanto fracionária. Observe a receita de cookies de aveia de Augusta, anotada no caderno a seguir. kv ek to r/ Sh ut te rs to ck Cookies de aveia IngredientesIngredientes 1 xícara de manteiga. 1 xícara de açúcar mascavo. 1 2 xícara de açúcar refinado. 2 ovos. 1 colher (sopa) de baunilha. 1 1 2 xícara de farinha de trigo. 1 colher (sopa) de bicarbonato de sódio. 1 colher (sopa) de canela. 3 xícaras de aveia. 1 xícara de uvas passas. Modo de fazerModo de fazer Na batedeira, bata a manteiga e os açúcares até formar um creme. Acrescente os ovos, a baunilha, a canela, a farinha e misture bem. Por fim, adicione o bicarbonato, a aveia e as passas e mexa com uma colher. Faça bolinhas e coloque-as na assadeira revestida com papel manteiga. Asse a 180°C por aproximadamente 30 minutos. Rendimento: 30 cookies de aveia. Vo lh ah /S hu tt er st oc k Agora imagine que Augusta quer preparar 60 cookies. • Quantas receitas ela precisa fazer? • Quantos ovos ela usará? • Quantas xícaras de açúcar mascavo serão necessárias? Pinte, nas xícaras abaixo, a quantidade necessária de açúcar refinado e de farinha de trigo para pre- parar a receita indicada. Depois, ao lado, represente essa quantidade em fração e em números decimais. Açúcar refinado Farinha de trigo 1 receita 2 receitas 3 receitas Situações como essa podem ser resolvidas por meio de operações com números racionais. EM TEMPO Lembre-se de que os números racionais também podem ser representados na forma decimal. Agora imagine que Augusta quer preparar 60 • • everything p ossible/S hutters tock un idade 72 1. Adição, subtração, multiplicação e divisão Questionamos diversas vezes o uso da matemática em nosso cotidiano sem, de fato, perceber o quão próximo ele pode estar. Você já conhece os números racionais e sabe que eles estão presentes em diversas situações, tanto na forma fracionária quanto na decimal. Além de serem encontrados em notícias, receitas culinárias ou médicas, são os números racionais que formam a escala musical pela divisão de frações. E você, em quais situações usa os números racionais? 4 • Operações com números racionais na forma fracionária e decimal • Expressões numéricas com as quatro operações • Representações dos números racionais Operações com númer os racionais Escola Digital 1 2 1 1 2 1 4 1 2 3 1 1 2 e 0,5 e 1,5 e 4,5 e 1,5 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 73PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 73 04/12/2020 16:25:2404/12/2020 16:25:24 74 MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Apresente o conceito de adição de números racionais aproveitando a ideia da receita ou outros exemplos, como o do tanque de combustível de um carro, que pode ser preen- chido com 3 4 de gasolina e 1 4 de álcool. Ao optar por uma receita, por exemplo, você pode desenvolvê-la na forma de experimento, utilizando uma xícara e um recipiente com areia para evitar, assim, a utilização de alimentos. Depois, apresente outros exemplos em que são retomadas as possibilidades de realizar a adição entre os núme- ros fracionários. 75MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Logo, Pedro obteve 11 15 do copo, que corresponde à mistura feita. Outra forma para calcular a soma 1 3 + 2 5 é reduzindo as frações ao menor denominador comum. Para isso, calculamos o MMC entre 3 e 5: Logo, MMC(3,5) = 15. 3,5 3 1,5 5 1,1 3 · 5 = 15 Depois, calculamos as frações equivalentes: 1 3 15 3 1 15 5 15 � � � : 2 5 15 5 2 15 6 15 � � � : 1 3 2 5 5 15 6 15 11 15 � � � � Portanto, 1 3 2 5 11 15 � � . Para somar frações com denominadores diferentes, encontramos frações equivalentes de mesmo denominador e, então, as somamos. Subtração de números racionais A subtração de números racionais funciona da mesma forma que a soma. Assim, para fazermos tal operação, seguimos os mesmos pro- cedimentos, mas, em vez de somar, subtraímos. Veja a situação a seguir. Maria comprou uma peça de 1 quilograma de queijo parmesão. No preparo do almoço, ela utilizou 1 4 desse queijo. Que fração do queijo sobrou? Por meio de desenhos Em linguagem matemática 3 4 1 1 4 4 4 1 4 3 4 � � � � Para subtrair frações com denominadores diferentes, encontramos frações equivalentes de mesmo denominador e, então, as subtraímos. All-stock -pho tos /Sh ut te rs to ck 74 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Adição de números racionais Se quiséssemos dobrar a receita de cookies de aveia, poderíamos repetir as medidas, como consta na tabela, ou realizar a adição de todas elas de uma única vez. Como fazemos a adição de números racionais quaisquer? Isso vai depender de como eles estão: se na forma decimal ou fracionária. Observe os exemplos a seguir. Exemplos: • Augusta decidiu fazer 120 cookies de aveia. Quantas xícaras de açúcar refinado ela deve usar? Solução: A quantidade de cookies que Augusta quer fazer corresponde a 4 receitas, portanto precisamos fazer a soma de 4 porções de 1 2 xícara de açúcar refinado. Como estamos somando frações de mesmo denominador, basta somar os numeradores e repetir o denominador. Temos, então, 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 � � � � , que, simplificando, é igual a 2 xícaras de açúcar refinado. Para somar frações de mesmo denominador, conservamos o denominador e adicionamos os numeradores. • Marcelo estava viajando de Aracaju até Maceió, distância de aproximadamente 276,3 km. Pela ma- nhã, ele percorreu 127 km e, pela tarde, percorreu 149,3 km. Marcelo chegou ao destino no fim do dia? Solução: Ao fazer a operação de adição 127 + 149,3 = 276,3, descobrimos que, no fim da tarde, ele percorreu os 276,3 km quilômetros que precisava para chegar a Maceió. • Pedro preparou um milk-shake misturando 1 3 de um copo de leite e 2 5 desse mesmo copo com sorvete de creme. Que fração desse copo ele obteve depois de o milk-shake ficar pronto? Solução: Para encontrar a fração obtida por Pedro, é preciso determinar o valor de 1 3 + 2 5 . Como os denomina- dores são diferentes, vamos encontrar as frações equivalentesàs frações dadas com o mesmo denominador. 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 = = = = = ... ·2 ·2 ·3 ·3 ·4 ·4 ·5 ·5 2 5 4 10 6 15 = = = ... ·2 ·2 ·3 ·3 Assim: 1 3 + 2 5 = 5 15 + 6 15 = 11 15 . PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 74PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 74 04/12/2020 16:25:5604/12/2020 16:25:56 75MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Explore com os alunos a subtração de números racionais nas formas fracionária e decimal. Lembre-os de que, no caso das frações, o procedimento é semelhante ao da adição. Aproveite os exemplos para reforçar o conceito de MMC e relembrar os alunos de como realizar o procedimento prático. 75MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Logo, Pedro obteve 11 15 do copo, que corresponde à mistura feita. Outra forma para calcular a soma 1 3 + 2 5 é reduzindo as frações ao menor denominador comum. Para isso, calculamos o MMC entre 3 e 5: Logo, MMC(3,5) = 15. 3,5 3 1,5 5 1,1 3 · 5 = 15 Depois, calculamos as frações equivalentes: 1 3 15 3 1 15 5 15 � � � : 2 5 15 5 2 15 6 15 � � � : 1 3 2 5 5 15 6 15 11 15 � � � � Portanto, 1 3 2 5 11 15 � � . Para somar frações com denominadores diferentes, encontramos frações equivalentes de mesmo denominador e, então, as somamos. Subtração de números racionais A subtração de números racionais funciona da mesma forma que a soma. Assim, para fazermos tal operação, seguimos os mesmos pro- cedimentos, mas, em vez de somar, subtraímos. Veja a situação a seguir. Maria comprou uma peça de 1 quilograma de queijo parmesão. No preparo do almoço, ela utilizou 1 4 desse queijo. Que fração do queijo sobrou? Por meio de desenhos Em linguagem matemática 3 4 1 1 4 4 4 1 4 3 4 � � � � Para subtrair frações com denominadores diferentes, encontramos frações equivalentes de mesmo denominador e, então, as subtraímos. All-stock -pho tos /Sh ut te rs to ck All-stock -k-k ph oto s/S h 74 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Adição de números racionais Se quiséssemos dobrar a receita de cookies de aveia, poderíamos repetir as medidas, como consta na tabela, ou realizar a adição de todas elas de uma única vez. Como fazemos a adição de números racionais quaisquer? Isso vai depender de como eles estão: se na forma decimal ou fracionária. Observe os exemplos a seguir. Exemplos: • Augusta decidiu fazer 120 cookies de aveia. Quantas xícaras de açúcar refinado ela deve usar? Solução: A quantidade de cookies que Augusta quer fazer corresponde a 4 receitas, portanto precisamos fazer a soma de 4 porções de 1 2 xícara de açúcar refinado. Como estamos somando frações de mesmo denominador, basta somar os numeradores e repetir o denominador. Temos, então, 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 � � � � , que, simplificando, é igual a 2 xícaras de açúcar refinado. Para somar frações de mesmo denominador, conservamos o denominador e adicionamos os numeradores. • Marcelo estava viajando de Aracaju até Maceió, distância de aproximadamente 276,3 km. Pela ma- nhã, ele percorreu 127 km e, pela tarde, percorreu 149,3 km. Marcelo chegou ao destino no fim do dia? Solução: Ao fazer a operação de adição 127 + 149,3 = 276,3, descobrimos que, no fim da tarde, ele percorreu os 276,3 km quilômetros que precisava para chegar a Maceió. • Pedro preparou um milk-shake misturando 1 3 de um copo de leite e 2 5 desse mesmo copo com sorvete de creme. Que fração desse copo ele obteve depois de o milk-shake ficar pronto? Solução: Para encontrar a fração obtida por Pedro, é preciso determinar o valor de 1 3 + 2 5 . Como os denomina- dores são diferentes, vamos encontrar as frações equivalentes às frações dadas com o mesmo denominador. 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 = = = = = ... ·2 ·2 ·3 ·3 ·4 ·4 ·5 ·5 2 5 4 10 6 15 = = = ... ·2 ·2 ·3 ·3 Assim: 1 3 + 2 5 = 5 15 + 6 15 = 11 15 . PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 75PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 75 04/12/2020 16:25:5904/12/2020 16:25:59 76 MATEMÁTICA Resposta 1. a) 2 b) 7 6 c) 23 15 d) 1 2 e) 4 3 f ) −17 40 g) 7 3 h) 0,04 i) 1,59 2. 9 10 3. ou Dica para ampliar o trabalho No link abaixo, há uma série de vídeos com a explora- ção dos conceitos de adição e subtração de números racionais e testes que podem ser propos- tos aos alunos. • https://pt.khanacademy. org/math/arithmetic/ fraction-arithmetic. 2 16 1 8 77MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Em algumas cidades brasileiras, o frio no inverno é tão rigoroso que acaba atraindo turistas dispostos a sentir as mãos e os pés congelados e, é claro, se tiverem um pouco de sorte, ver a neve. Na tabela a seguir, estão listadas as temperaturas mínimas registradas em algumas cidades de Santa Catarina, seguidas das datas em que ocorreram. Município Data Temperatura(°C) Caçador 11/06/1952 –14 Canoinhas 07/08/1963 –12 Chapecó 14/07/2000 –4,5 Curitibanos 13/07/1923 –7,4 Indaial 14/07/2000 –0,2 Lages 22/07/1915 –8 Rio Negrinho 03/08/1991 –6 São Joaquim 02/08/1991 –10 Fonte: Ciram. Analisando a tabela, responda ao que se pede. a) Que cidade registrou a menor temperatura? Quando isso ocorreu? b) Qual é a diferença entre as temperaturas mais baixa e mais alta? c) Em que cidade a temperatura mínima registrada é mais próxima de zero? E quanto essa temperatura deveria aumentar ou diminuir pra ficar igual a zero? DESENVOLVER E APLICAR Multiplicação de números racionais Como podemos multiplicar uma fração por um número inteiro? Vamos começar com um exemplo: 2 5 2 5 2 5 2 2 2 5 6 5 � � � � � � Sabemos que somar três vezes um número é o mesmo que multiplicá-lo por 3. Dessa forma, teríamos: 2 5 2 5 2 5 3 2 5 3 2 5 6 5 � � � � � � � Lembre-se de verificar se o resultado pode ser simplificado para atingir uma fração irredutível. Na multiplicação de um inteiro por uma fração, multiplicamos o inteiro pelo numerador da fração e conservamos o denominador. 76 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Exemplos: • 276,3 – 127 = 149,3 • �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � 2 5 1 2 2 5 1 2 4 10 5 10 9 10 • 4 3 1 5 4 3 1 5 20 15 3 15 17 15 � �� � � � � � � � � � � É importante lembrar que podemos proceder de duas formas tanto na soma quanto na subtração de números decimais: efetuar as operações com os números na forma decimal ou transformá-los em frações. Se as frações têm denominadores diferentes, para encontrar as frações equivalentes a elas, pode- mos calcular o MMC entre os denominadores e adicionar ou subtrair os numeradores equivalentes. 1. Em seu caderno, calcule as operações abaixo. a) 7 6 5 6 + d) 9 4 7 4 − g) 1 3 2 3 4 3 + + b) 1 2 2 3 + e) � � 2 3 6 3 h) 4,75 – 4,71 c) 4 3 1 5 + f) � � 4 5 3 8 i) 0,37 + 1,22 2. Uma rede de supermercados fez uma pesquisa sobre as marcas de chocolate preferidas pelos clientes. De acordo com os da- dos, metade dos entrevistados prefere a marca A, 2 5 optaram pela marca B e as 455 pessoas restantes preferem a marca C. a) Que fração representa as pessoas que preferem o chocolate A ou B? 3. Elisa e Vitória compraram uma garrafa de suco e beberam quantidades diferentes. Elisa bebeu 3 8 de suco e Vitória, a metade. Considerando o total do suco, responda, em seu caderno, quanto sobrou na garrafa. ATIVIDADES Se ba st ia n D ud a/ Sh ut te rs to ck EF21_7_MAT_L2_U4_01_LP.indd 76EF21_7_MAT_L2_U4_01_LP.indd 76 10/12/2020 19:19:1410/12/2020 19:19:14 77MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Na seção Desenvolver e aplicar, proponha aos alunos que, antes de responderem às questões, analisem a tabela e, em seguida, relatem a que conclusões chegaram. Eles podem dizer, por exemplo, que a menor temperatura foi registrada em Caçador e que, das temperaturas mínimas listadas, a maior é –0,2°C. Em seguida, proponha a resolução das questões. Apresente o conceito demultiplicação de números racionais. Inicialmente, mostre aos alunos a multiplicação de um número inteiro por um racional e, na sequência, de um racional por um racional. Resposta a) Caçador, em 11/06/1952. b) 13,8°C c) Indaial. Aumentar 0,2°C. Sugestão de atividade ` Efetue as multiplicações. a) 3 · 0,5 b) 7 · 0,4 c) 0,8 · 0,6 d) 1,2 · 5 ` Solução a) 1,5 b) 2,8 c) 0,48 d) 6 77MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Em algumas cidades brasileiras, o frio no inverno é tão rigoroso que acaba atraindo turistas dispostos a sentir as mãos e os pés congelados e, é claro, se tiverem um pouco de sorte, ver a neve. Na tabela a seguir, estão listadas as temperaturas mínimas registradas em algumas cidades de Santa Catarina, seguidas das datas em que ocorreram. Município Data Temperatura(°C) Caçador 11/06/1952 –14 Canoinhas 07/08/1963 –12 Chapecó 14/07/2000 –4,5 Curitibanos 13/07/1923 –7,4 Indaial 14/07/2000 –0,2 Lages 22/07/1915 –8 Rio Negrinho 03/08/1991 –6 São Joaquim 02/08/1991 –10 Fonte: Ciram. Analisando a tabela, responda ao que se pede. a) Que cidade registrou a menor temperatura? Quando isso ocorreu? b) Qual é a diferença entre as temperaturas mais baixa e mais alta? c) Em que cidade a temperatura mínima registrada é mais próxima de zero? E quanto essa temperatura deveria aumentar ou diminuir pra ficar igual a zero? DESENVOLVER E APLICAR Multiplicação de números racionais Como podemos multiplicar uma fração por um número inteiro? Vamos começar com um exemplo: 2 5 2 5 2 5 2 2 2 5 6 5 � � � � � � Sabemos que somar três vezes um número é o mesmo que multiplicá-lo por 3. Dessa forma, teríamos: 2 5 2 5 2 5 3 2 5 3 2 5 6 5 � � � � � � � Lembre-se de verificar se o resultado pode ser simplificado para atingir uma fração irredutível. Na multiplicação de um inteiro por uma fração, multiplicamos o inteiro pelo numerador da fração e conservamos o denominador. 76 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Exemplos: • 276,3 – 127 = 149,3 • �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � 2 5 1 2 2 5 1 2 4 10 5 10 9 10 • 4 3 1 5 4 3 1 5 20 15 3 15 17 15 � �� � � � � � � � � � � É importante lembrar que podemos proceder de duas formas tanto na soma quanto na subtração de números decimais: efetuar as operações com os números na forma decimal ou transformá-los em frações. Se as frações têm denominadores diferentes, para encontrar as frações equivalentes a elas, pode- mos calcular o MMC entre os denominadores e adicionar ou subtrair os numeradores equivalentes. 1. Em seu caderno, calcule as operações abaixo. a) 7 6 5 6 + d) 9 4 7 4 − g) 1 3 2 3 4 3 + + b) 1 2 2 3 + e) � � 2 3 6 3 h) 4,75 – 4,71 c) 4 3 1 5 + f) � � 4 5 3 8 i) 0,37 + 1,22 2. Uma rede de supermercados fez uma pesquisa sobre as marcas de chocolate preferidas pelos clientes. De acordo com os da- dos, metade dos entrevistados prefere a marca A, 2 5 optaram pela marca B e as 455 pessoas restantes preferem a marca C. a) Que fração representa as pessoas que preferem o chocolate A ou B? 3. Elisa e Vitória compraram uma garrafa de suco e beberam quantidades diferentes. Elisa bebeu 3 8 de suco e Vitória, a metade. Considerando o total do suco, responda, em seu caderno, quanto sobrou na garrafa. ATIVIDADES Se ba st ia n D ud a/ Sh ut te rs to ck EF21_7_MAT_L2_U4_01_LP.indd 77EF21_7_MAT_L2_U4_01_LP.indd 77 10/12/2020 19:19:1810/12/2020 19:19:18 78 MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Nas atividades desta pági- na, desenvolvemos a habilidade EF07MA11 ao utilizar a multipli- cação e a divisão de números racionais valendo-se da relação entre elas e suas propriedades operatórias. Ao apresentar a multiplica- ção de 1 3 por 2 5 , trabalhe com os alunos a multiplicação de 1 3 por 2 5 de maneira pictórica, para que cheguem à conclusão de que a ordem dos fatores não altera o produto. A sugestão de atividade serve também para reforçar esse tópico, sendo a propriedade comutativa váli- da tanto na adição quanto na multiplicação. Ao apresentar a divisão de frações, utilize a sugestão de atividade para retomar a divisão de números decimais. É possível calculá-las da maneira tradicional ou transformando os decimais em frações. Enfatize que a divisão, ao contrário da multiplicação, não é comutativa. Isso pode ser trabalhado usando o retângulo para calcular 2 : 1 4 . Resposta 1. a) 3 14 b) −8 15 c) 14 d) 2,4 e) 4 9 f ) 1 4 g) –10 h) 14 9 Sugestão de atividade 1. Calcule as divisões. a) 0,5 : 0,2 b) 1,8 : 0,6 c) 3,6 : 0,9 d) 4,9 : 7 Solução a) 2,5 b) 3 c) 4 d) 0,7 79MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Expressões numéricas Para resolver expressões com números racionais na forma decimal, é conveniente transformá-los em fração para encontrar as raízes ou as potências. Vamos aplicar o que aprendemos sobre as quatro operações com números racionais (adição, sub- tração, multiplicação e divisão) resolvendo a situação abaixo. Exemplo: Sendo a = 4 : 3 4 � � � � � � ; b = 6 4 3 2 � � � � � � � � � � � �: e c = 2 7 2: , calcule: a) a + b + c b) a · b · c Solução: a) 4 3 4 6 4 3 2 2 7 2 4 4 3 6 4 2 3 2 : : :� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� 77 1 2 16 3 12 12 2 14 16 3 1 1 7 112 21 �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � 3 21 136 21 b) 4 3 4 6 4 3 2 2 7 2 4 4 3 6 4 2 3 2 : : :� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� 77 1 2 16 3 12 12 2 14 16 3 1 1 7 16 21 �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � Em expressões numéricas, resolvemos primeiro a sentença entre parênteses ( ), em seguida, a que está entre colchetes [ ] e, por último, a que está entre chaves { }. EM TEMPO Podemos simplificar as frações enquanto resolvemos as expressões. Isso favorece o cálculo mental, uma vez que os números ficam menores. Uma pesquisa divulgada em março de 2017 aponta o valor médio diário que o brasileiro gasta por refeição quando se alimenta fora de casa. Em duplas, vejam, a seguir, um trecho dessa reportagem. O brasileiro passou a gastar em média 8% a mais para se alimentar fora de casa, de acordo com a pesquisa Preço Médio da Refeição 2017 [...]. [...] O estudo apontou que o brasileiro desembolsa em média R$32,94 para fazer uma refeição completa, composta de: prato principal, uma bebida, sobremesa e café. Na Região Sudeste, o gasto médio é de R$33,25, 7,5% a mais do que os R$30,93 registrados no ano passado. AGÊNCIA O Globo. Gasto com refeição fora de casa sobe em média 8%. In: Revista pequenas empresas & grandes negócios. 29 mar. 2017. Disponível em: <http://revistapegn.globo.com/Noticias/noticia/2017/03/ gasto-com-refeicao-fora-de-casa-sobe-em-media-8.html>. Acesso em: 17 nov. 2019. Considerando a informação, responda às perguntas. a) Quanto um brasileiro gastaria com refeição almoçando fora de casa 5 dias em uma semana? E quanto gastaria almoçando 20 dias em um mês? b) No caderno, façam uma pesquisa sobre o preço médio de uma refeição no bairro onde vocês moram. Depois, respondam ao item a) tendo como base a pesquisa que realizaram. INTERAÇÃO 78 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 E se no exemplo anterior o cálculo fosse, na verdade, 1 3 2 5 ⋅ ? Teríamos, então, uma multiplicação entre frações que pode ser entendida como 1 3 de 2 5 . Observe o desenho a seguir. Em cinza, temos a representação de 2 5 . Ao lado, dividimos a figura em 3 partes e pintamos, em azul, um terço da área cinza. Com isso, podemos ver que ela corresponde a duas partes das 15 em que ficou dividida a figura. Temos, então: 1 3 2 5 2 15 � � . Na multiplicação entre duas frações, multiplicamos os numeradores para encontrar o numerador resultante e multiplicamos os denominadores para calcular o denominadorresultante. Divisão de números racionais Como podemos dividir uma fração por um inteiro? Observe o retângulo a seguir. A região cinza representa 1 4 do total. Podemos dizer que, ao dividir essa figura por 2, encontraríamos sua metade. Dessa forma, se di- vidirmos 1 4 por 2, teremos a área azul do retângulo. Portanto 1 4 2 1 8 : = . Note que, dividir 1 4 por 2 é o mesmo que calcular 1 2 de 1 4 . Logo 1 4 : 2 = 1 2 1 4 1 8 � � . De maneira geral, podemos dizer que: Na divisão de uma fração por um número natural diferente de zero, basta multiplicar a fração pelo inverso do número natural. Ainda, se estivermos dividindo uma fração por outra, podemos usar a mesma regra, ou seja: Na divisão de uma fração por outra fração diferente de zero, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. 1. Em seu caderno, calcule as operações a seguir. a) �� � � � � �� � � � � � � � 3 4 2 7 b) �� � � � � �� � � � � � � � 2 3 4 5 c) 6 3 7 1 ⋅ d) 1,2 · 2 e) 8 9 2: f) 5 4 5: g) �� � � � � � � � � � � � 5 2 1 4 : h) 7 3 3 2 � � � � � � � � � � � �: ATIVIDADES PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 78PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 78 04/12/2020 16:26:5104/12/2020 16:26:51 79MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Ao trabalhar expressões numéricas, dê ênfase na transformação de decimais em frações para resolver as expressões e apresente a ordem de eliminação dos símbolos, pois, nas atividades que virão, os alunos usarão essa regra. Na seção Interação, os alunos deverão pesquisar, em sua localidade, os preços de uma refeição. Lembre-os de que não há a necessidade de sair às ruas, eles podem usar aplicativos de delivery de comida para fazer a pesquisa. Resposta a) R$164,70 e R$658,80. b) Resposta pessoal. Orientação para RA Esta Realidade aumentada traz um exemplo de como cal- cular uma expressão numérica. Peça aos alunos que observem e registrem os passos seguidos para a resolução da expressão numérica. Eles podem ser regis- trados de maneiras diferentes. 79MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 Expressões numéricas Para resolver expressões com números racionais na forma decimal, é conveniente transformá-los em fração para encontrar as raízes ou as potências. Vamos aplicar o que aprendemos sobre as quatro operações com números racionais (adição, sub- tração, multiplicação e divisão) resolvendo a situação abaixo. Exemplo: Sendo a = 4 : 3 4 � � � � � � ; b = 6 4 3 2 � � � � � � � � � � � �: e c = 2 7 2: , calcule: a) a + b + c b) a · b · c Solução: a) 4 3 4 6 4 3 2 2 7 2 4 4 3 6 4 2 3 2 : : :� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� 77 1 2 16 3 12 12 2 14 16 3 1 1 7 112 21 �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � 3 21 136 21 b) 4 3 4 6 4 3 2 2 7 2 4 4 3 6 4 2 3 2 : : :� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� 77 1 2 16 3 12 12 2 14 16 3 1 1 7 16 21 �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � Em expressões numéricas, resolvemos primeiro a sentença entre parênteses ( ), em seguida, a que está entre colchetes [ ] e, por último, a que está entre chaves { }. EM TEMPO Podemos simplificar as frações enquanto resolvemos as expressões. Isso favorece o cálculo mental, uma vez que os números ficam menores. Uma pesquisa divulgada em março de 2017 aponta o valor médio diário que o brasileiro gasta por refeição quando se alimenta fora de casa. Em duplas, vejam, a seguir, um trecho dessa reportagem. O brasileiro passou a gastar em média 8% a mais para se alimentar fora de casa, de acordo com a pesquisa Preço Médio da Refeição 2017 [...]. [...] O estudo apontou que o brasileiro desembolsa em média R$32,94 para fazer uma refeição completa, composta de: prato principal, uma bebida, sobremesa e café. Na Região Sudeste, o gasto médio é de R$33,25, 7,5% a mais do que os R$30,93 registrados no ano passado. AGÊNCIA O Globo. Gasto com refeição fora de casa sobe em média 8%. In: Revista pequenas empresas & grandes negócios. 29 mar. 2017. Disponível em: <http://revistapegn.globo.com/Noticias/noticia/2017/03/ gasto-com-refeicao-fora-de-casa-sobe-em-media-8.html>. Acesso em: 17 nov. 2019. Considerando a informação, responda às perguntas. a) Quanto um brasileiro gastaria com refeição almoçando fora de casa 5 dias em uma semana? E quanto gastaria almoçando 20 dias em um mês? b) No caderno, façam uma pesquisa sobre o preço médio de uma refeição no bairro onde vocês moram. Depois, respondam ao item a) tendo como base a pesquisa que realizaram. INTERAÇÃO 78 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 E se no exemplo anterior o cálculo fosse, na verdade, 1 3 2 5 ⋅ ? Teríamos, então, uma multiplicação entre frações que pode ser entendida como 1 3 de 2 5 . Observe o desenho a seguir. Em cinza, temos a representação de 2 5 . Ao lado, dividimos a figura em 3 partes e pintamos, em azul, um terço da área cinza. Com isso, podemos ver que ela corresponde a duas partes das 15 em que ficou dividida a figura. Temos, então: 1 3 2 5 2 15 � � . Na multiplicação entre duas frações, multiplicamos os numeradores para encontrar o numerador resultante e multiplicamos os denominadores para calcular o denominador resultante. Divisão de números racionais Como podemos dividir uma fração por um inteiro? Observe o retângulo a seguir. A região cinza representa 1 4 do total. Podemos dizer que, ao dividir essa figura por 2, encontraríamos sua metade. Dessa forma, se di- vidirmos 1 4 por 2, teremos a área azul do retângulo. Portanto 1 4 2 1 8 : = . Note que, dividir 1 4 por 2 é o mesmo que calcular 1 2 de 1 4 . Logo 1 4 : 2 = 1 2 1 4 1 8 � � . De maneira geral, podemos dizer que: Na divisão de uma fração por um número natural diferente de zero, basta multiplicar a fração pelo inverso do número natural. Ainda, se estivermos dividindo uma fração por outra, podemos usar a mesma regra, ou seja: Na divisão de uma fração por outra fração diferente de zero, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. 1. Em seu caderno, calcule as operações a seguir. a) �� � � � � �� � � � � � � � 3 4 2 7 b) �� � � � � �� � � � � � � � 2 3 4 5 c) 6 3 7 1 ⋅ d) 1,2 · 2 e) 8 9 2: f) 5 4 5: g) �� � � � � � � � � � � � 5 2 1 4 : h) 7 3 3 2 � � � � � � � � � � � �: ATIVIDADES PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 79PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 79 04/12/2020 16:26:5204/12/2020 16:26:52 80 MATEMÁTICA Resposta 1. a) Se a primeira torneira enche o tanque em 10 minutos, a cada minuto ela enche 1 10 do tanque. b) Se a segunda torneira enche o tanque em 15 minutos, a cada minuto ela enche 1 15 do tanque. c) Juntas, elas enchem 1 6 do tanque por minuto. d) Se elas enchem, juntas, 1 6 do tanque por minuto, elas encherão o tanque em 6 minutos. 2. a) 0,90 (menor) 10,01 (maior) b) 9,1 3. 1 218 alunos. 4. 520 81MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 5. Nilson construiu sua casa no espaço de 3 7 do total de seu lote. Dias depois, plantou frutas em 1 3 do espaço restante. Determine que fração do terreno foi destinada ao plantio de frutas. 6. Na festa de aniversário de Fabiana, serão servidos diversos tipos de bebidas para os convidados. Considerando que cada embalagem de bebida tem 1 litro e que os copos têm capacidade de 0,25 litro, responda às questões a seguir. a) Quantos copos podem ser enchidos com o conteúdo de uma embalagem de bebida? b) Quantos copos podem ser preenchidos até a metade com o conteúdo de uma embalagem? c) Que fração do conteúdo da embalagem é necessária para preencher: • 3 copos? • 10 copos? • 27 copos? • N copos? 7. O valor da expressão numérica � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 3 3 4 é: 8.Entre quais números inteiros está situado o racional 1 6 11 1 2 0 4� � �� � � � � � � � � � � �, , ? 9. Para economizar dinheiro, Elaine fez uma tabela comparativa com os preços de alguns pro- dutos em dois supermercados diferentes. Sabendo que ela tinha R$50,00 para essas compras, complete a tabela de Elaine e descubra qual é a melhor opção para ela economizar. Produto Supermercado A Supermercado B Sabão em pó R$9,54 R$8,30 Leite R$3,45 R$3,55 Açúcar R$2,88 R$1,98 Manteiga R$7,10 R$8,10 Total Troco In sp iri ng /S hu tt er st oc k 80 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 1. Existem duas torneiras em um mesmo tanque. Se abrirmos somente a primeira delas, o tan- que ficará cheio de água em 10 minutos. Se abrirmos somente a segunda torneira, o tanque encherá em 15 minutos. a) Que fração representa a parte do tanque que a primeira torneira enche por minuto? b) Que fração representa a parte do tanque que a segunda torneira enche por minuto? c) Se abrirmos as duas torneiras ao mesmo tempo, que fração do tanque elas encherão em um minuto? d) Quanto tempo levará para encher o tanque com as duas torneiras abertas? 2. Em um parque de diversões, cada cabine da roda-gigante foi numerada como mostra a figura a seguir. a) Qual é o menor número apresentado nas cabines? E o maior? b) Qual é a diferença entre esses dois números? 3. O Colégio Barão tem 2 940 alunos. Sabendo-se que 3 10 desses alunos praticam futebol e 2 7 praticam natação, determine o número de alunos que não prati- cam nenhuma das duas modalidades esportivas. 4. A professora de Matemática de Aline solicitou aos alunos uma pesquisa informativa sobre os mo- radores do condomínio em que moram. Feita a pesquisa, Aline concluiu que: 1 2 dos moradores são menores de 18 anos e 1 2 do restante é homem. Se o número de mulheres maiores de 18 anos residentes nesse condomínio é 130, determine o número de moradores do condomínio de Aline. ATIVIDADES 1,01 0,99 10,01 10,0 1,91 0,90 9,01 1,99 Ju lia K hi m ic h/ Sh ut te rs to ck PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 80PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 80 04/12/2020 16:27:0304/12/2020 16:27:03 81MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Na atividade 6, os alunos devem perceber que uma embalagem é suficiente para encher 4 copos. Por meio de desenhos, eles podem identificar a fração necessária para encher 10 copos e 27 copos. Nesse momento, se necessário, proponha outras quantida- des até que os alunos percebam que basta dividir a quantidade de copos por 4, facili- tando, assim, a compreensão do último item. Ao resolverem situações-problema que envolvam operações com os números racionais, os alunos têm subsídios para desenvol- ver a a habilidade EF07MA12. Na seção Vamos praticar mais?, são apresentados exercícios, em sua maioria, de fixação sobre os conteúdos estudados, que devem ser resolvidos no caderno. Resposta Respostas para a seção Atividades: 5. 4 21 6. a) 4 copos. b) 8 copos. c) 3 4 ; 5 2 ; 27 4 ; n 4 . 7. 1 12 8. 0 e –1. 9. As respostas estão no Livro do aluno. 81MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 5. Nilson construiu sua casa no espaço de 3 7 do total de seu lote. Dias depois, plantou frutas em 1 3 do espaço restante. Determine que fração do terreno foi destinada ao plantio de frutas. 6. Na festa de aniversário de Fabiana, serão servidos diversos tipos de bebidas para os convidados. Considerando que cada embalagem de bebida tem 1 litro e que os copos têm capacidade de 0,25 litro, responda às questões a seguir. a) Quantos copos podem ser enchidos com o conteúdo de uma embalagem de bebida? b) Quantos copos podem ser preenchidos até a metade com o conteúdo de uma embalagem? c) Que fração do conteúdo da embalagem é necessária para preencher: • 3 copos? • 10 copos? • 27 copos? • N copos? 7. O valor da expressão numérica � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 3 3 4 é: 8. Entre quais números inteiros está situado o racional 1 6 11 1 2 0 4� � �� � � � � � � � � � � �, , ? 9. Para economizar dinheiro, Elaine fez uma tabela comparativa com os preços de alguns pro- dutos em dois supermercados diferentes. Sabendo que ela tinha R$50,00 para essas compras, complete a tabela de Elaine e descubra qual é a melhor opção para ela economizar. Produto Supermercado A Supermercado B Sabão em pó R$9,54 R$8,30 Leite R$3,45 R$3,55 Açúcar R$2,88 R$1,98 Manteiga R$7,10 R$8,10 Total Troco In sp iri ng /S hu tt er st oc k 80 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 1. Existem duas torneiras em um mesmo tanque. Se abrirmos somente a primeira delas, o tan- que ficará cheio de água em 10 minutos. Se abrirmos somente a segunda torneira, o tanque encherá em 15 minutos. a) Que fração representa a parte do tanque que a primeira torneira enche por minuto? b) Que fração representa a parte do tanque que a segunda torneira enche por minuto? c) Se abrirmos as duas torneiras ao mesmo tempo, que fração do tanque elas encherão em um minuto? d) Quanto tempo levará para encher o tanque com as duas torneiras abertas? 2. Em um parque de diversões, cada cabine da roda-gigante foi numerada como mostra a figura a seguir. a) Qual é o menor número apresentado nas cabines? E o maior? b) Qual é a diferença entre esses dois números? 3. O Colégio Barão tem 2 940 alunos. Sabendo-se que 3 10 desses alunos praticam futebol e 2 7 praticam natação, determine o número de alunos que não prati- cam nenhuma das duas modalidades esportivas. 4. A professora de Matemática de Aline solicitou aos alunos uma pesquisa informativa sobre os mo- radores do condomínio em que moram. Feita a pesquisa, Aline concluiu que: 1 2 dos moradores são menores de 18 anos e 1 2 do restante é homem. Se o número de mulheres maiores de 18 anos residentes nesse condomínio é 130, determine o número de moradores do condomínio de Aline. ATIVIDADES 1,01 0,99 10,01 10,0 1,91 0,90 9,01 1,99 Ju lia K hi m ic h/ Sh ut te rs to ck R$22,97 R$21,93 R$27,03 R$28,07 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 81PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 81 04/12/2020 16:27:1504/12/2020 16:27:15 82 MATEMÁTICA Encaminhamento metodológico Na questão 5, o aluno trabalhará o conceito de inverso da fração, já visto anteriormen- te. Para facilitar o entendimento, é necessário diferenciar inverso de simétrico, já que o valor é negativo, porque é comum os alunos confundirem esses conceitos. Resposta 1. a) 49 63 b) 5 2 c) 32 24 d) 8 9 2. a) 2 15 b) 5 6 c) 106 45 d) 8 3 e) 13 12 f ) 63 20 g) 1 20 h) 47 60 i) 4 25 j) 19 3 k) −1 4 l) −5 12 3. a) –2,47 ou −247 100 b) 0,8 ou 4 5 c) − 1 15 d) − 3 2 e) − 23 18 f ) − 1 10 g) 5 6 4. Como a prova valia 10 pontos e Fábio acertou 3 de 10 da primeira metade e 4 de 10 da segunda metade, ao realizar a soma, chega-se a 7 pontos em 10 questões. 5. x = –2 6. a) O aluno deve marcar 9 triângulos quaisquer. b) O aluno deve marcar 7 triângulos quaisquer. 83MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 a) Agora, marque você 3 4 dos triângulos da figura a seguir. Quantos triângulos você marcou? b) Ajude Chico Bento marcando mais que 1 4 e menos que 1 3 dos triângulos da figura a seguir. Quantos triângulos você marcou? 7. Joana guardou 7 9 do total de farinha de trigo após preparar uma receita. Em outra ocasião, ela utilizou 4 5 do que foi guardado. a) Que quantidade de farinha de trigo restou depois das receitas serem feitas? b) Se ela tivesse utilizado 1 2 , no total, qual seria a quantidade restante de farinha de trigo? 8. Em seu caderno, resolva as expressões numéricas abaixo. a) 1 3 1 9 5 4 3 4 �� � � � � � � � � � � � �. b) 1 5 1 5 1 3 �� � � � � �� � � � � � � � c) 7 5 2 2 1 5 �� � � � � �� � � � � � � � d) 0 5 2 1 3 2 5 , � �� � � � � �� � � � � � � e) 2 5 3 4 2 3 3�� � � � ��� � � � � � � : f) 25 10 3 5 4 2�� � � � � �� � � � � � � : g) 5 1 3 1 9 5 4 3 4 1 3 1 2 � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � : h) 1 2 1 3 1 3 1 4 1 3 1 2 �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 9. (OBM-2012) Laurinha tinha em sua carteira somente notas de 10 reais e moedas de 10 centavos. Ela pagou uma conta de 23 reais com a me- nor quantidade possível de moedas. Quantas moedas ela usou? a) 3 b) 6 c) 10 d) 23 e) 30 Fat bird/Shutterstock 82 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 1. Determine o que se pede a seguir. a) Uma fração equivalente a 7 9 que tenha numerador 49. b) Uma fração equivalente a 120 48 que tenha numerador 5. c) Uma fração equivalente a 4 3 com denominador 24. d) Uma fração equivalente a 72 81 com denominador 9. 2. Em seu caderno, calcule o valor das expressões abaixo. a) 1 3 1 5 − b) 1 2 1 3 + c) 9 5 5 9 + d) 9 3 3 9 − e) 1 2 1 3 1 4 + + f) 5 2 2 5 1 4 + + g) 2 4 1 4 1 5 − − h) 1 3 1 4 1 5 + + i) 1 10 1 100 1 20 + + j) 9 3 3 9 3+ + k) 1 5 1 5 1 4 − − l) 4 3 3 4 1− − 3. Em seu caderno, calcule as expressões numéricas abaixo. a) 5,42 – 9,48 + 1,59 b) 0,25 – 0,30 – 0,35 + 1,20 c) 1 3 2 5 − d) 20 10 7 2 − e) 2 9 1 5− , f) 0 3 2 5 , − g) 15 9 2 3 1 6 − − 4. Em uma prova de Matemática, metade das questões era de problemas, o restante, de expres- sões numéricas. Fábio acertou 3 5 dos problemas e 4 5 das expressões. Qual foi a nota dele, considerando que a prova valia dez pontos e cada questão valia 1 ponto? 5. Multiplicando o número racional –7 pelo seu inverso e adicionando –3 ao produto, encontra- mos x. Que número racional corresponde a x? 6. (OBMEP) Nesta questão todas as figuras são formadas por triângulos iguais. Veja como Chico Bento marcou 2 3 dos triângulos da figura a seguir. VAMOS PRATICAR MAIS? PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 82PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 82 04/12/2020 16:28:1404/12/2020 16:28:14 83MATEMÁTICA Resposta 7. a) 7 45 b) 7 18 8. a) 2 9 b) 19 3 c) –1 d) 8 15 e) −7 90 f ) 19 5 g) 26 9 h) 11 72 9. E 83MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 a) Agora, marque você 3 4 dos triângulos da figura a seguir. Quantos triângulos você marcou? b) Ajude Chico Bento marcando mais que 1 4 e menos que 1 3 dos triângulos da figura a seguir. Quantos triângulos você marcou? 7. Joana guardou 7 9 do total de farinha de trigo após preparar uma receita. Em outra ocasião, ela utilizou 4 5 do que foi guardado. a) Que quantidade de farinha de trigo restou depois das receitas serem feitas? b) Se ela tivesse utilizado 1 2 , no total, qual seria a quantidade restante de farinha de trigo? 8. Em seu caderno, resolva as expressões numéricas abaixo. a) 1 3 1 9 5 4 3 4 �� � � � � � � � � � � � �. b) 1 5 1 5 1 3 �� � � � � �� � � � � � � � c) 7 5 2 2 1 5 �� � � � � �� � � � � � � � d) 0 5 2 1 3 2 5 , � �� � � � � �� � � � � � � e) 2 5 3 4 2 3 3�� � � � � �� � � � � � � : f) 25 10 3 5 4 2�� � � � � �� � � � � � � : g) 5 1 3 1 9 5 4 3 4 1 3 1 2 � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � : h) 1 2 1 3 1 3 1 4 1 3 1 2 �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 9. (OBM-2012) Laurinha tinha em sua carteira somente notas de 10 reais e moedas de 10 centavos. Ela pagou uma conta de 23 reais com a me- nor quantidade possível de moedas. Quantas moedas ela usou? a) 3 b) 6 c) 10 d) 23 e) 30 Fat bird/Shutterstock 82 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 1. Determine o que se pede a seguir. a) Uma fração equivalente a 7 9 que tenha numerador 49. b) Uma fração equivalente a 120 48 que tenha numerador 5. c) Uma fração equivalente a 4 3 com denominador 24. d) Uma fração equivalente a 72 81 com denominador 9. 2. Em seu caderno, calcule o valor das expressões abaixo. a) 1 3 1 5 − b) 1 2 1 3 + c) 9 5 5 9 + d) 9 3 3 9 − e) 1 2 1 3 1 4 + + f) 5 2 2 5 1 4 + + g) 2 4 1 4 1 5 − − h) 1 3 1 4 1 5 + + i) 1 10 1 100 1 20 + + j) 9 3 3 9 3+ + k) 1 5 1 5 1 4 − − l) 4 3 3 4 1− − 3. Em seu caderno, calcule as expressões numéricas abaixo. a) 5,42 – 9,48 + 1,59 b) 0,25 – 0,30 – 0,35 + 1,20 c) 1 3 2 5 − d) 20 10 7 2 − e) 2 9 1 5− , f) 0 3 2 5 , − g) 15 9 2 3 1 6 − − 4. Em uma prova de Matemática, metade das questões era de problemas, o restante, de expres- sões numéricas. Fábio acertou 3 5 dos problemas e 4 5 das expressões. Qual foi a nota dele, considerando que a prova valia dez pontos e cada questão valia 1 ponto? 5. Multiplicando o número racional –7 pelo seu inverso e adicionando –3 ao produto, encontra- mos x. Que número racional corresponde a x? 6. (OBMEP) Nesta questão todas as figuras são formadas por triângulos iguais. Veja como Chico Bento marcou 2 3 dos triângulos da figura a seguir. VAMOS PRATICAR MAIS? PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 83PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 83 04/12/2020 16:28:3404/12/2020 16:28:34 84 MATEMÁTICA Resposta 10. A 11. a) Cabem 2 figuras em 1; 2 figuras em 2; e 4 figuras em 4. b) Não é possível usar a figura 4 como medida, ela não caberá nas outras figuras. c) Figura 1 = perímetro 12 cm. Figura 2 = perímetro 18 cm. Figura 3 = perímetro 10 cm. Figura 4 = perímetro 16 cm. 12. Saldo final após descontos e depósitos = 2.626,11 reais. 85MATEMÁTICA Adição, subtração, multiplicação e divisão – Relacionando conceitos adição subtração divisãomultiplicação 4 operações básicas com frações se multiplica numerador com numerador denominador com denominador o primeiro termo inverso do segundo NÚMEROS RACIONAIS têm que são se as frações tiverem sempre em que multiplicamos pelo utilizar frações equivalentes (MMC) efetuar a operação com os numeradores equivalentes denominador diferente devemos e mesmo denominador conservar o denominador efetuar a operação com os numeradores devemos e 84 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 10. (OBM-2011) Em maio, o valor total da conta de telefone celular de Esmeralda foi R$119,76, sem os impostos. Esse valor corresponde aos itens: chamadas, acesso à internet, envio de mensagens. Se ela gastou R$29,90 com acesso à internet e R$15,50 com o serviço de envio de mensagens, quanto foi que ela gastou com chamadas? a) R$74,36 b) R$74,46 c) R$84,36 d) R$89,86 e) R$104,26 11. Considere as figuras a seguir. 1 2 3 4 a) Utilizando a figura 3 como unidade de medida, determine quantas figuras cabem em 1, 2 e 4. b) Agora utilize a figura 4 como unidade de medida, quantas figuras cabem em 1, 2 e 3? c) Considerando cada lado do quadradinho como 1 cm, quanto vale o perímetro de cada figura? 12. Ao longo de um mês, um cliente movimentou sua conta bancária com prestações das contas de sua casa e depósitos referentes aos pagamentos que recebeu no trabalho. Ao retirar um informe mensal da conta, denominado extrato, o cliente ficou em dúvida sobre como calcular seu saldo. Realize o cálculo e indique o valor do saldo atual no extrato. G ol de n Si ko rk a/ Sh ut te rs to ck vl ad w el /S hu tt er st oc k R$119,76 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 84PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 84 04/12/2020 16:28:3604/12/2020 16:28:36 85MATEMÁTICA 85MATEMÁTICA Adição, subtração, multiplicação e divisão – Relacionando conceitos adição subtração divisãomultiplicação 4 operações básicas com frações se multiplica numerador com numerador denominador com denominador o primeiro termo inverso do segundo NÚMEROS RACIONAIS têm que são se as frações tiverem sempre em que multiplicamos pelo utilizar frações equivalentes (MMC) efetuar a operação com os numeradores equivalentes denominador diferente devemos e mesmo denominador conservar o denominador efetuar aoperação com os numeradores devemos e 84 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 01 10. (OBM-2011) Em maio, o valor total da conta de telefone celular de Esmeralda foi R$119,76, sem os impostos. Esse valor corresponde aos itens: chamadas, acesso à internet, envio de mensagens. Se ela gastou R$29,90 com acesso à internet e R$15,50 com o serviço de envio de mensagens, quanto foi que ela gastou com chamadas? a) R$74,36 b) R$74,46 c) R$84,36 d) R$89,86 e) R$104,26 11. Considere as figuras a seguir. 1 2 3 4 a) Utilizando a figura 3 como unidade de medida, determine quantas figuras cabem em 1, 2 e 4. b) Agora utilize a figura 4 como unidade de medida, quantas figuras cabem em 1, 2 e 3? c) Considerando cada lado do quadradinho como 1 cm, quanto vale o perímetro de cada figura? 12. Ao longo de um mês, um cliente movimentou sua conta bancária com prestações das contas de sua casa e depósitos referentes aos pagamentos que recebeu no trabalho. Ao retirar um informe mensal da conta, denominado extrato, o cliente ficou em dúvida sobre como calcular seu saldo. Realize o cálculo e indique o valor do saldo atual no extrato. G ol de n Si ko rk a/ Sh ut te rs to ck vl ad w el /S hu tt er st oc k R$119,76 multiplicação numerador com numerador inverso do segundo subtração mesmo denominador PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 85PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 85 04/12/2020 16:28:3804/12/2020 16:28:38 86 MATEMÁTICA 87MATEMÁTICA Vladi333/Sh utterstoc k EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 Potenciação de números racionais Imagine uma folha de papel no formato de um quadrado. Se dobrarmos essa folha ao meio, se- guindo a linha traçada na figura 1, e, em seguida, dobrarmos ao meio novamente, seguindo a linha traçada na figura 2, ao desdobrarmos a folha, teremos 4 partes (figura 3). Figura 1 Figura 2 Figura 3 Ao fazermos o processo de dobrar duas vezes, encontramos 4 partes iguais do quadrado. Quantas vezes é preciso repetir esse processo para obtermos 64 partes? Teremos 4 · 4 · 4 = 64. Como já vimos, para simplificar a escrita de produtos de fatores iguais, usa- mos a potenciação. Reescrevendo, temos: 4 · 4 · 4 = 4³ = 64. As multiplicações com fatores iguais podem ser representadas de maneira abreviada, ou seja, na forma de potência. Veja: • 12 · 12 = 12² • (–4) · (–4) · (–4) = (–4)³ Forme dupla com um colega e observem a sequência construída por meio de dobraduras. Anotem, abaixo de cada figura, a quantidade de quadrados. Agora, preencham a tabela com os dados correspondentes. Etapa 1 2 3 4 5 Quantidade de quadradinhos na altura 1 2 4 8 16 Quantidade total de quadradinhos 1 Quantidade total de quadradinhos na forma de potência de base 2 2 0 INTERAÇÃO Vladi333/Sh utterstoc k un idade Vladi333/Sh utterstoc k 86 2. Potenciação e radiciação Ao observar um foguete, você já se perguntou como é possível que um objeto tão grande seja lançado para fora de nossa atmosfera? Para isso, esse corpo precisa de uma velocidade mínima para decolar. Essa velocidade é chamada de velocidade de escape e depende da massa (M) e do raio (R) do planeta de onde se quer sair, bem como da constante gravitacional universal (G), que equivale a 6,67 10 N m /kg-11 2 2⋅ ⋅ . Assim, para se determinar a velocidade de escape, é utilizada a seguinte equação: v = 2 G M Rescape ⋅ ⋅ . 4 • Potenciação de números racionais • Radiciação de números racionais • Expressões numéricas Operações com númer os racionais Escola Digital Objetivos do capítulo • Definir os conceitos de potenciação e radiciação para os números racionais. • Ampliar a compreensão do conceito de número racional com base em suas aplicações. • Identificar, interpretar e utilizar diferentes representações. • Resolver situações-problema envolvendo a potenciação e a radiciação de números racionais. • Resolver expressões numéricas envolvendo potências e raízes de números racionais. Realidade aumentada • Expressões numéricas Encaminhamento metodológico Neste capítulo, trabalhare- mos as habilidades EF07MA04 e EF07MA12, indicadas na BNCC. A primeira, EF07MA04, tem por objetivo resolver e elaborar problemas que envol- vam operações com números inteiros. A segunda, EF07MA12, é a habilidade de resolver e elaborar problemas que envol- vam as operações com números racionais. Convém focar na apresen- tação das operações de poten- ciação e radiciação para núme- ros racionais, extensão do que já foi estudado anteriormente. No texto de abertura, fazemos uma ligação entre Matemática e Física. Na pergunta inicial, é interessante que os alunos dis- cutam sobre a grandeza de tal número, cabendo ao professor calcular com eles a velocida- de de escape da Terra, dando ênfase nos números decimais usados, nas operações sinaliza- das e no uso da potência de 10 para representar números muito grandes. O cálculo segue da seguinte forma: V G M Rescape = ⋅ ⋅2 Vescape = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −2 6 67 10 5 972 10 6 371 10 11 24 6 ( , ) ( , ) , ) Vescape = 125 045 487 Vescape =1 118 23, m/s PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 86PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 86 04/12/2020 16:29:5604/12/2020 16:29:56 87MATEMÁTICA 87MATEMÁTICA Vladi333/Sh utterstoc k EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 Potenciação de números racionais Imagine uma folha de papel no formato de um quadrado. Se dobrarmos essa folha ao meio, se- guindo a linha traçada na figura 1, e, em seguida, dobrarmos ao meio novamente, seguindo a linha traçada na figura 2, ao desdobrarmos a folha, teremos 4 partes (figura 3). Figura 1 Figura 2 Figura 3 Ao fazermos o processo de dobrar duas vezes, encontramos 4 partes iguais do quadrado. Quantas vezes é preciso repetir esse processo para obtermos 64 partes? Teremos 4 · 4 · 4 = 64. Como já vimos, para simplificar a escrita de produtos de fatores iguais, usa- mos a potenciação. Reescrevendo, temos: 4 · 4 · 4 = 4³ = 64. As multiplicações com fatores iguais podem ser representadas de maneira abreviada, ou seja, na forma de potência. Veja: • 12 · 12 = 12² • (–4) · (–4) · (–4) = (–4)³ Forme dupla com um colega e observem a sequência construída por meio de dobraduras. Anotem, abaixo de cada figura, a quantidade de quadrados. Agora, preencham a tabela com os dados correspondentes. Etapa 1 2 3 4 5 Quantidade de quadradinhos na altura 1 2 4 8 16 Quantidade total de quadradinhos 1 Quantidade total de quadradinhos na forma de potência de base 2 2 0 INTERAÇÃO Vladi333/Sh utterstoc k un idade 86 2. Potenciação e radiciação Ao observar um foguete, você já se perguntou como é possível que um objeto tão grande seja lançado para fora de nossa atmosfera? Para isso, esse corpo precisa de uma velocidade mínima para decolar. Essa velocidade é chamada de velocidade de escape e depende da massa (M) e do raio (R) do planeta de onde se quer sair, bem como da constante gravitacional universal (G), que equivale a 6,67 10 N m /kg-11 2 2⋅ ⋅ . Assim, para se determinar a velocidade de escape, é utilizada a seguinte equação: v = 2 G M Rescape ⋅ ⋅ . 4 • Potenciação de números racionais • Radiciação de números racionais • Expressões numéricas Operações com númer os racionais Escola Digital Encaminhamento metodológico Forneça uma folha de papel no formato de um quadrado para que os alunos possam simular e responder às questões. Quanto mais fino o papel, melhor, pois eles conseguirão fazer mais dobraduras. No entanto, independentemente da espessura, é provável que os alunos percebam que não é possível dobrar o papel infinitamente, e, portanto, precisarão utilizar os conhecimentos matemáticos para responder aos questionamentos. No ícone Oralidade, explique aos alunos que é preciso fazer o processo de do- bradura três vezes para obter 64 quadradinhos. Com as duas primeiras dobras, são obtidos 4 quadrados. Dobrando novamente, ao meio e ao meio, obtêm-se 16 quadra- dos. Dobrando novamente, 64 quadrados. Na seção Interação, o ideal é queos alunos percebam as regularidades para preencher as duas últimas quantidades, uma vez que, em virtude da espessura do papel, será muito difícil obter as respostas por meio de dobraduras. Essa atividade ajuda a desenvolver a habilidade EF07MA04 da BNCC. Resposta As respostas para a seção Interação estão no Livro do aluno. 64 2564 22 24 26 28 16 1 4 16 64 256 PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 87PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 87 04/12/2020 16:29:5704/12/2020 16:29:57 88 MATEMÁTICA 89MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 Observe a tabela e faça o que se pede. 1 2 1 2 1 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 3 1 3 4 3 4 1 � � � � � � � 1 2 1 4 2 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 9 2 3 4 9 16 2 � � � � � � � 1 2 1 8 3 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 27 3 3 4 27 64 3 � � � � � � � 1 2 1 16 4 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 81 4 3 4 81 256 4 � � � � � � � 1 2 1 32 5 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 243 5 3 4 243 1024 5 � � � � � � � 1 2 1 64 6 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 729 6 3 4 729 4096 6 � � � � � � � 1. Utilizando as informações da tabela, complete os espaços com os valores correspondentes. a) 1 2 1 2 1 2 2 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. b) 3 4 3 4 3 4 3 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. c) �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 3 1 3 3 1 : : d) 1 2 1 2 1 2 4 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �: : 2. Observe o cálculo solicitado em cada item anterior. Agora, analise os resultados. Existe um jeito de chegar às respostas sem precisar efetuar as operações? DESENVOLVER E APLICAR Potência com expoente inteiro negativo Observe a sequência: 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 2–1 = ? Note que, à medida que o expoente diminui uma unidade, o resultado da potência é dividido por 2. Desse modo, podemos continuar essa sequência: 2 1 2 2 1 4 2 1 8 1 2 3� � �� � � : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 88 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 As regras e as convenções usadas para o cálculo de potências com números inteiros podem ser es- tendidas para as potências com números racionais, no caso em que o expoente seja um número natural.tendidas para as potências com números racionais, no caso em que o expoente seja um número natural. p = b =b b ... b b Potencia Base n Expoente n vezes o fator � � � � �� ��⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Exemplos: • 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 � � � � � � � � � � Quantidade de fatores Fator 4 fatores iguais • 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 81 16 4 � � � � � � � � � � � Expoente Base Potência Observe as situações abaixo com aplicações das regras de potenciação nos números racionais. • (0,3)² = 0,3 · 0,3 = 0,09 • (–0,2)³ = (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) = –0,008 • � � � � � � � � 1 3 1 0 • �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � 3 5 3 5 3 5 9 25 2 • �� � � �� �� �� �� �� � � �2 3 2 3 2 3 2 3 12 1673, , , , , • �� � � � � � � � 3 5 3 5 1 Quando o expoente é zero, o resulta- do será sempre 1. Quando o expoente é par, o resultado será sempre positivo. Quando o expoente é ímpar, o re- sultado tem o mesmo sinal da base. Quando o expoente é 1, o resultado é a própria base. 1. Calcule as potências a seguir. a) 3 2 2 � � � � � � b) 345 25630 0 � � � � � � c) 5 3 1 3 1 � � � � � � � Solução: a) 3 2 2 � � � � � � = 3 3 2 2 9 4 � � � b) 345 25630 1 0 � � � � � � � c) 5 3 1 3 5 3 1 3 4 3 1 � � � � � � � � � � COLOCANDO EM PRÁTICA Propriedades das potências de racionais As propriedades para as potências de números racionais são as mesmas que utilizamos para os números inteiros. Assim: • Multiplicação de potências de mesma base: am · an = am + n • Divisão de potências de mesma base: am : an = am – n • Potência de potência: (am)n = am · n Encaminhamento metodológico Embora os alunos já tenham visto as nomenclaturas para os números inteiros, é im- portante revê-las para o traba- lho com os números racionais. Portanto, faça a retomada da nomenclatura dos termos na potenciação, dizendo que: p = b =b b ... b b Potência Base n Expoente n vezes o fator � � � � �� ��⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • p = potência, em que, muitas vezes, p será um número racional; • b = base, em que, nesse caso, b é um número racional; • n = expoente, em que n pode ser qualquer número, mas neste capítulo trataremos apenas do caso em que é inteiro. PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 88PG21LP272SDM0_MIOLO_EF21_7_MAT_L2_LP.indb 88 04/12/2020 16:30:2104/12/2020 16:30:21 89MATEMÁTICA 89MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 Observe a tabela e faça o que se pede. 1 2 1 2 1 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 3 1 3 4 3 4 1 � � � � � � � 1 2 1 4 2 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 9 2 3 4 9 16 2 � � � � � � � 1 2 1 8 3 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 27 3 3 4 27 64 3 � � � � � � � 1 2 1 16 4 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 81 4 3 4 81 256 4 � � � � � � � 1 2 1 32 5 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 243 5 3 4 243 1024 5 � � � � � � � 1 2 1 64 6 � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 729 6 3 4 729 4096 6 � � � � � � � 1. Utilizando as informações da tabela, complete os espaços com os valores correspondentes. a) 1 2 1 2 1 2 2 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. b) 3 4 3 4 3 4 3 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. c) �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 1 3 1 3 3 1 : : d) 1 2 1 2 1 2 4 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �: : 2. Observe o cálculo solicitado em cada item anterior. Agora, analise os resultados. Existe um jeito de chegar às respostas sem precisar efetuar as operações? DESENVOLVER E APLICAR Potência com expoente inteiro negativo Observe a sequência: 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 2–1 = ? Note que, à medida que o expoente diminui uma unidade, o resultado da potência é dividido por 2. Desse modo, podemos continuar essa sequência: 2 1 2 2 1 4 2 1 8 1 2 3� � �� � � : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 88 MATEMÁTICA EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 EF 21 _7 _M AT _L 2_ U 4_ 02 As regras e as convenções usadas para o cálculo de potências com números inteiros podem ser es- tendidas para as potências com números racionais, no caso em que o expoente seja um número natural. p = b =b b ... b b Potencia Base n Expoente n vezes o fator � � � � �� ��⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Exemplos: • 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 � � � � � � � � � � Quantidade de fatores Fator 4 fatores iguais • 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 81 16 4 � � � � � � � � � � � Expoente Base Potência Observe as situações abaixo com aplicações das regras de potenciação nos números racionais. • (0,3)² = 0,3 · 0,3 = 0,09 • (–0,2)³ = (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) = –0,008 • � � � � � � � � 1 3 1 0 • �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � 3 5 3 5 3 5 9 25 2 • �� � � �� �� �� �� �� � � �2 3 2 3 2 3 2 3 12 1673, , , , , • �� � � � � � � � 3 5 3 5 1 Quando o expoente é zero, o resulta- do será sempre 1. Quando o expoente é par, o resultado será sempre positivo. Quando o expoente é ímpar, o re- sultado tem o mesmo sinal da base. Quando o expoente é 1, o resultado é a própria base. 1. Calcule as potências a seguir. a) 3 2 2 � � � � � � b) 345 25630 0 � � � � � � c) 5 3 1 3 1 � � � � � � � Solução: a) 3 2 2 � � � � � � = 3 3 2 2 9 4 � � � b) 345 25630 1 0 � � � � � � � c) 5 3 1 3 5 3 1 3 4 3 1 � � � � � � � � � � COLOCANDO EM PRÁTICA Propriedades das potências de racionais As propriedades para as potências de números racionais são as mesmas que utilizamos para os números inteiros. Assim: • Multiplicação de potências de mesma base: am · an = am + n • Divisão de potências de mesma base: am : an = am – n • Potência de potência:
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