Atividade 4 - CÃLCULO APLICADO VÃRIAS VARIÃVEIS

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22/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA1594 ...
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Usuário FERNANDO IRINEU DOS SANTOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-29779045.06
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 10/02/21 20:57
Enviado 16/02/21 19:39
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 142 horas, 42 minutos
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Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da
resposta:
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de
primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O
nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de
  e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os
lados da igualdade. 
  
Dado que  é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à
solução da equação diferencial separável . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da
igualdade, temos ,
onde .
Pergunta 2
1 em 1 pontos
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Comentário
da
resposta:
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas
de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições
iniciais da forma  e . Por meio dessas condições, é possível
determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. 
  
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas
a seguir: 
  
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as a�rmativas I e II,
pois: 
A�rmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes
são  (duas raízes reais e distintas). 
A�rmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber
, a solução geral é expressa por . A partir das
condições iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 3
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a
função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira.
Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso
nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
uma solução particular para a equação diferencial. 
  
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
  
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial
dada. 
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial,
temos que sua solução geral é:
. Assim: 
A�rmativa I: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto,  é solução da equação diferencial dada. 
A�rmativa II: Verdadeira. Para , temos que
. Portanto,  é solução da equação
diferencial dada. 
A�rmativa III: Verdadeira. Para  temos que
. Portanto,  é solução da
equação diferencial dada.
Pergunta 4
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para
esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha
que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com
velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial:
 , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa  e 
 é a constante elástica. 
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Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da
resposta:
  
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:
 ). 
  
  
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes
condições:  (a mola no tempo  está esticada em 0,8 m sendo seu
comprimento natural de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) e  (a
velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada
primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante
elástica é: . Tomando  e  na
EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o PVI:
,  e  temos que a solução geral da EDO é
 , portanto, a solução do PVI é .
Portanto,
Pergunta 5
Resposta
Selecionada:
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma
 , onde  e  são funções contínuas” (STEWART,
2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se
  a equação é dita linear não homogênea. 
  
STEWART, J. Cálculo . 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
  
  
A equação diferencial  tem solução .
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Resposta Correta:
Comentário
da
resposta:
A equação diferencial  tem solução 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial
, escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo
essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para .
Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação
diferencial dada como .
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver
um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691).
John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”. 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que
corresponde à solução da equação diferencial . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da igualdade, temos
.
Pergunta 7
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem
ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
 , 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa.
Considere a seguinte situação: 
  
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
  
  
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade de bactérias
que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para  temos
. Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde  e  são constantes e . Como  temos
. Portanto, a função que descreve
o crescimento dessa população de bactérias é .
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de
  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma resistência
de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da
seguinte equação diferencial: , onde  é a carga, medida em coulombs. 
  
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
  
A função corrente é expressa por .
A função corrente é expressa por .
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Comentário
da
resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da
função carga, isto é, . A EDO  é uma equação linear de
primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
. Dada a EDO
, temos que  e . Portanto, sua
solução geral é
. Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por
. Por �m, concluímos que a função corrente é 
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função
dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma
função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da
função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for
verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. A função  é solução da equação diferencial . 
II. A função  é solução da equação diferencial . 
III. A função  é solução da equação diferencial . 
IV. A função  é solução da equação diferencial . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a de�nição de solução
de uma equação diferencial, temos que estão corretas as a�rmativas II e IV, pois: 
A�rmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que
 Trocando  na equação diferencial, temos: 
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Segunda-feira, 22 de Fevereiro de 2021 19h53min22s BRT
 
A�rmativa IV: correta. Dada a função , temos  e
. Trocando ,  e  na equação diferencial, temos: 
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força
eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: . Sabendo
que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de ,
uma indutância de  e uma voltagem constante de . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear
de primeira ordem  é expresso por . Dada a
EDO , temos que  e, portanto, o fator
integrante é .
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