Apostila Geometria Descritiva

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UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCE 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
FAENGE – FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
 
CURSOS - ENGENHARIA CIVIL 
 - ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL 
 
 
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SUMÁRIO 
 
- Apresentação Pag 3 
- Noções de Projeções Pag. 3 
- Classificação das Projeções Pag. 4 
- Projeções Cônicas Pag. 4 
- Projeções Cilíndricas Pag. 4 
- Projeção Cilíndrica Obliqua Pag. 5 
- Projeção Cilíndrica Ortogonal Pag. 5 
- Estudo do Ponto Pag. 6 
- Diedros de Projeção Pag. 6 
- Épura Pag. 7 
- Posições do Ponto no espaço Pag. 8 
- Coordenadas Pag.12 
- Planos Bissetores Pag.12 
- Simetria de pontos Pag.13 
- Estudo da Reta Pag.16 
- Determinação de uma Reta Pag.17 
- Posições de Reta Pag.18 
- Situações de Reta Pag.22 
- Traço de Reta Pag.24 
- Bibliografia Pag.25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
A Geometria Descritiva é a parte da matemática aplicada que tem como objetivo representar 
sobre o plano as figuras do espaço, ou seja, resolver problemas de três dimensões em duas 
dimensões. Para conseguir esse objetivo, são usados processos construtivos que permitem 
representar, no plano, a figura espacial de tal maneira que todo problema relativo a essa 
figura se possa interpretar sobre sua representação plana. 
A Geometria Descritiva foi criada por Gaspar Monge (matemático francês), que viveu no 
século XVIII e servia nas tropas de Napoleão na campanha do Egito. Ele projetava 
construções bélicas (fortes militares) e necessitava representar graficamente seus projetos 
para que pudessem ser construídos, independente do local ou pais. 
A Geometria Descritiva é importante na formação de profissionais que trabalham com 
espaço e forma. E, portanto, base para desenho de maquinas, arquitetura e engenharia. 
Os estudos feitos a partir da obra de Monge provocaram a sua evolução e também a 
descoberta de novas propriedades da geometria plana. 
Podemos então entender a Geometria Descritiva como sendo: “Uma ciência que estuda 
métodos de representações de figuras espaciais sobre um plano”. 
 
 
NOÇÕES DE PROJEÇÕES 
 
A palavra projeção vem do latim - "projectione". 
Projeção é o processo pelo qual se incidem raios sobre um objeto em um plano chamado 
plano de projeção. A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. 
O estudo das projeções se propõe a possibilitar a representação gráfica sobre planos, de 
figuras situadas no espaço, de maneira que possamos resolver os problemas relativos à sua 
forma, dimensão e, em alguns casos, de posição. 
“A operação geométrica” projeção supõe a existência de quatro elementos básicos: 
- O objeto; 
- O plano de projeção (a superfície onde se realiza a projeção); 
- O centro de projeção (representando o observador); 
- Os raios projetantes (retas que partem do centro de projeção e se dirigem para os diversos 
pontos do espaço a serem projetados). 
A Projetante é a reta que a partir do centro de projeção, passa pelos pontos do objeto e 
intersecta o plano de projeção. 
Pode ser oblíqua ou ortogonal ao plano de projeção, dependendo da direção adotada. 
Centro de Projeção é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes. 
 
 
4 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES: 
 
Os sistemas de projeções são classificados de acordo com a posição ocupada pelo centro 
de projeção. Esse centro pode ser finito ou infinito, determinando: 
1-. Sistema Cônico ou central: o centro de projeção está a uma distância finita da superfície. 
2-. Sistema Cilíndrico ou paralelo: centro de projeção a uma distância infinita da superfície. 
 
 
1- Projeção cônica: 
 
A projeção cônica, também chamada de projeção central é o tipo de projeção cujos raios 
que incidem no objeto e no plano de projeção são todos concorrentes no ponto O, gerando 
assim a forma de um cone. O centro de projeção O, ocupando uma posição finita, as 
projetantes resultam convergentes, razão pela qual este sistema é denominado de sistema 
de projeção central, cônica ou perspectiva. 
Este sistema representa os objetos como são vistos e não como realmente são (perspectiva 
exata). Na projeção cônica, quanto mais próximo o objeto estiver do centro de projeção, 
mais ampliada será sua projeção. 
 
 
 
2- Projeção Cilíndrica: 
 
A projeção cilíndrica, também chamada de projeção paralela, é o tipo de projeção cujos raios 
projetantes que incidem no objeto e no plano de projeção são todos paralelos entre si, 
gerando a forma de um cilindro. 
O centro de projeção O está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são retas 
paralelas à direção. Este sistema representa as linhas que caracterizam o objeto como ele 
realmente é. Este tipo de projeção é a usada no desenho técnico. 
Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: 
2.1- Projeção cilíndrica oblíqua; 
2.2- Projeção cilíndrica ortogonal. 
 
 
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2.1 - Projeção Cilíndrica Oblíqua: 
 
Os raios projetantes estão oblíquos (inclinados) ao Plano de Projeção. 
 
 
 
2.2 - Projeção Cilíndrica Ortogonal: 
 
Os raios projetantes estão perpendiculares ao Plano de Projeção. 
Neste tipo de projeção o objeto é representado em verdadeira grandeza. 
Este último sistema foi adotado por Gaspar Monge. 
 
 
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ESTUDO DO PONTO 
 
Diedros de Projeção 
Uma única projeção ortogonal não é suficiente para localizar um determinado ponto no 
espaço, pois diversos pontos situados na mesma prumada terão sua projeção ortogonal no 
plano horizontal no mesmo lugar. 
 
 
Desta forma, Gaspar Monge criou o Método de dupla projeção cilíndrico ortogonal ou 
“Método Mongeano”. 
Este sistema possui dois planos de projeção: um Vertical (π’) e outro Horizontal (π), 
perpendiculares entre si, que se interceptam numa reta chamada linha de terra (LT) ou (π 
π’). Estes planos delimitam quatro regiões denominadas de diedros e quatro semi-planos. 
 
 
 
- Plano Horizontal Anterior (A) ou PHA 
- Plano Horizontal Posterior (P) ou PHP 
- Plano Vertical Superior (‟S) ou PVS 
- Plano Vertical Inferior (‟I) ou PVI 
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No Brasil a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) admite a representação tanto 
no 1° Diedro, como no 3° Diedro, sendo o mais utilizado a do 1° Diedro. A representação no 
3° diedro é comum em indústrias estrangeiras, principalmente nas americanas. 
Voltando ao Método de dupla projeção cilíndrica ortogonal ... As duas projeções ortogonais: 
a vertical A e a horizontal A‟ e sua projeção na linha de terra O(A), identificam perfeitamente 
o ponto (A). 
 
 
 
- Representamos os pontos no espaço com LETRA MAIUSCULA entre parênteses. Ex: (A). 
- Representamos a projeção horizontal de um ponto com a letra maiúscula/linha. Ex: A‟ 
- Representamos a projeção vertical de um ponto com a letra maiúscula apenas. Ex: A. 
 
- Chamamos de Cota de um ponto, a distância dele ao plano horizontal de projeção; 
- Chamamos de Afastamento de um ponto, a distância dele ao plano vertical de projeção; 
- Linha de Terra LT é a linha de interseção entre os planos vertical e horizontal; 
- Linha de projeção ou chamada é linha perpendicular à LT, que une as projeções de um 
mesmo ponto. 
- A distância entre a projeção do ponto (A) na linha e o ponto O (origem) é chamada de 
Abscissa. 
 
 
 
Épura 
 
8 
Para representar e interpretar as figuras no espaço é necessário que os dois planos de 
projeção sejam representados em uma mesma superfície plana. Para tanto, faz-se o 
rebatimento do plano horizontal rotacionando-o 90° no sentido horário em torno da LT, de 
modo que o (π‟S) venha a ficar em coincidênciacom o (πP) e conseqüentemente o (π‟I) 
também em coincidência com o (πA). Seria a planificação de uma figura no espaço. 
 
Ao rotacionar o plano, obtemos a épura conforme o desenho abaixo. A linha de terra pode 
ser representada por LT ou dois traços no inicio e final e abaixo da linha. 
¶
¶
¶
¶
¶ ¶
¶ ¶
 
 
Posições do Ponto no espaço e a representação de sua Épura 
 
1- Ponto no 1° Diedro 
9 
¶
¶
 
Quando um ponto se encontra no 1° Diedro, sua cota e seu afastamento são positivos. 
Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos sempre que a cota 
positiva é representada acima da LT e o afastamento positivo representado abaixo da LT. 
Esta regra se aplica a representação de todos os pontos independente do diedro a que 
pertence. 
 
2- Ponto no 2° Diedro 
 
 
 
Quando um ponto se encontra no 2° Diedro, sua cota é positiva e seu afastamento negativo. 
Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota positiva é 
representada acima da LT e o afastamento negativo também está acima da LT. 
 
 
3- Ponto no 3° Diedro 
 
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¶
¶
 
 
Quando um ponto se encontra no 3° Diedro, sua cota e seu afastamento são negativos. 
Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota negativa 
é representada abaixo da LT e o afastamento negativo é representado acima da LT. 
 
4- Ponto no 4° Diedro 
 
¶
¶
 
 
Quando um ponto se encontra no 4° Diedro, sua cota é negativa e seu afastamento positivo. 
Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota negativa 
e o afastamento positivo são representados abaixo da LT. 
 
Existem alguns casos especiais em que um ponto pertence a mais de um diedro ao 
mesmo tempo. Neste caso, dizemos que o ponto pertence não a dois diedros, mas ao plano. 
 
5- Ponto no Plano Horizontal 
 
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¶
¶
 
 
Quando um ponto no espaço pertence a um plano horizontal, sua cota =0. Então sua 
projeção horizontal, coincide com o próprio ponto e sua proteção vertical está localizada na 
linha de terra. Isto independe se ele está no PHA ou PHP. Nestes casos, na épura, o 
afastamento será representado abaixo da LT (como no exemplo) ou acima da LT 
respectivamente, mas a cota sempre estará representada na linha de terra. 
 
6- Ponto no Plano Vertical 
 
¶
¶
 
 
Quando um ponto no espaço pertence a um plano vertical, seu afastamento =0. Então sua 
projeção vertical, coincide com o próprio ponto e sua proteção horizontal está localizada na 
linha de terra. Isto independe se ele está no PVI ou PVS. Nestes casos, na épura, a cota 
será representada abaixo da LT (como no exemplo) ou acima da LT respectivamente, mas o 
afastamento sempre estará representado na linha de terra. 
 
7- Ponto na Linha de Terra 
 
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Quando um ponto no espaço pertence à linha de terra, seu afastamento e sua cota são = 0. 
Então sua projeção vertical e sua projeção horizontal coincidem com o próprio ponto e todos 
estão localizados na linha de terra. Em épura acontecerá o mesmo, ou seja, todos serão 
representados na linha de terra. 
 
 
 
Em resumo, no estudo do ponto, de acordo com a posição dele no espaço, deve-se 
considerar os sinais dos diedros conforme a tabela abaixo: 
 
 
 
 
COORDENADAS 
 
Quando queremos localizar um ponto no espaço, são necessárias três medidas. Uma no 
eixo x, uma no y e outra no eixo z. Estas medidas são chamadas de coordenadas. 
O conhecimento do afastamento (comprimento, distancia horizontal=y) e da cota (altura ou 
distancia vertical=z) e de um ponto determinam com precisão as distâncias do ponto aos 
planos de projeção (π) e (π„), mas na prática, o ponto necessita de mais outra medida - a 
abscissa – que posiciona o ponto no eixo x ou linha de terra, a partir de um ponto de origem 
(o) qualquer. 
Este ponto de origem necessariamente está localizado na LT e a abscissa é positiva quando 
um ponto está à direita do “o” e negativa quando um ponto está à esquerda (ou antes) do 
ponto “o”. 
As coordenadas de um ponto são, pois: abscissa, afastamento e cota, nessa ordem. A(x,y,z) 
Exemplo: (A) [1; 2; 1] 
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¶
¶
 
 
 
PLANO BISSETOR 
 
Plano bissetor é o plano que divide o diedro em duas regiões iguais. Só existem dois planos 
bissetores: 
 o 1º bissetor cortando os diedros ímpares (1º e 3º) chamado de plano bissetor ímpar 
representado pela letra do alfabeto grego beta (β) juntamente com os números 1 e 3 ou 
com a letra i (β1,3 ou βi) ou ainda PBI. 
 o 2º bissetor cortando os diedros pares (2º e 4º) chamado de plano bissetor par 
representado pela letra do alfabeto grego beta (β) juntamente com os números 2 e 4 ou 
com a letra p (β2,4 ou βp) ou ainda PBP. 
 
O ponto quando está situado no plano bissetor tem grandezas de afastamento e cota iguais, 
mas dependendo do diedro que está localizado seu sinal poderá estar invertido: 
- Um ponto situado no PBI, 1° diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais e 
sinais igualmente positivos. 
- Um ponto situado no PBI, 3° diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais e 
sinais igualmente negativos. 
- Um ponto situado no PBP, 2° diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais, mas 
a cota será positiva e o afastamento negativo. 
- No entanto, um ponto situado no PBP, 4° diedro possui cotas e afastamento com medidas 
iguais, mas o afastamento será positivo e a cota negativa. 
 
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Bp ¶ Bi
¶
 
 
SIMETRIA DE PONTOS 
 
Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação a um plano, quando este plano é o 
mediador do segmento formado pelos dois pontos, isto é, quando o plano é perpendicular ao 
segmento formado por esses dois pontos e contendo o seu ponto médio (M), onde o 
segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B). 
¶
A
B
M
 
 
Mas então um ponto pode ser simétrico ao plano horizontal, ao plano vertical, aos planos 
bissetores e até a própria linha de terra. Vejamos como isto acontece: 
Pontos simétricos em relação aos planos de projeção: 
 
Horizontal 
 
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¶
¶
 
Os pontos possuem a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido 
(sinal) e a cota da mesma grandeza, porém de sentido contrário (sinal inverso). 
 
Vertical 
 
¶
¶
 
 
Os pontos possuem a mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido (sinal) e o 
afastamento da mesma grandeza, porém de sentido contrário (sinal inverso). 
 
Pontos simétricos em relação aos planos bissetores 
 
Plano bissetor ímpar 
 
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¶
¶'
βi 
 
 
Seja o ponto (A) e a reta que representa o 1º bissetor (βi). Verifica-se que a figura (A)A‟MA é 
um retângulo igual ao formado por (B)B‟MB, e, como (A) e (B) são simétricos (portanto 
mesma abscissa), a cota de um dos pontos é igual ao afastamento do outro e vice-versa. 
A épura se caracteriza por abscissas iguais; afastamento e cota de um dos pontos iguais 
respectivamente a cota e afastamento do outro, isto é, as projeções de nomes contrários 
simétricos em relação à linha de terra. 
 
Plano bissetor par 
 
¶'
βp 
¶
 
Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2º bissetor (βp). Verifica-se que as abscissas são 
iguais e que a cota de um é simétrica ao afastamento do outro e reciprocamente. 
A épura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota 
de (B) igual ao afastamento de (A), portanto, as projeções de nomes contrários são 
coincidentes. 
 
Pontos simétricos em relação à linha de terra 
 
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¶
¶
 
Seja a linha de terra  ‟ a mediatriz do segmento (A)(B). Então são iguais os retângulos que 
se observam na figura e os pontos simétricos em relação à linha de terra possuem abscissas 
iguais e cotas e afastamentos simétricos. 
A épura é caracterizada pelas projeções demesmo nome dos dois pontos (A) e (B), 
simétricos em relação à linha de terra. 
 
 
 
ESTUDO DA RETA 
 
Uma reta é formada por infinitos pontos. A projeção destes pontos no plano forma a projeção 
da reta no plano. Então a projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de 
todos os seus pontos sobre esse plano. Mas dois pontos são suficientes para determinar 
uma reta, logo às projeções de qualquer segmento pertencente a uma reta ficam 
perfeitamente determinados quando são conhecidas as projeções dos seus pontos 
extremos. 
Seja a reta (A)(C) e o plano (). A reta (A)(C), juntamente com as projetantes dos pontos 
extremos (sempre perpendiculares ao plano) formam um plano () perpendicular ao plano 
() denominado de plano projetante da reta ou plano projetante vertical. 
 
A interseção entre estes dois planos forma a reta AC que a projeção da reta no espaço no 
plano horizontal. 
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A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for 
perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto. 
Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeção sobre esse plano é igual e paralela 
à própria reta. Diz-se então que a reta se projeta em “Verdadeira Grandeza” (VG). 
Quando uma reta for oblíqua a um plano, sua projeção sobre esse plano é sempre menor 
que a reta no espaço, pois o cateto adjacente de um triangulo retângulo é sempre menor do 
que a hipotenusa. 
¶
 
 
 
Determinação de uma Reta 
 
De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são 
conhecidas as projeções dessa reta sobre dois planos ortogonais. 
¶
¶'
 
Se o ponto (C) pertence a reta (A)(B) suas projeções também pertencerão às retas (A)(B). 
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Regra geral – Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre 
as projeções de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a 
projeção horizontal da reta e projeção vertical também sobre a projeção vertical da reta. 
 
 
 
 
POSIÇÕES DE RETA 
 
1- Reta Qualquer 
 
- Chamamos uma reta de Reta Qualquer quando ela é oblíqua aos dois planos de projeção. 
- Suas coordenadas apresentam abscissas, cotas e afastamentos diferentes. 
- Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções oblíquas à LT. 
- Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. 
 
¶
¶'
 
 
2- Reta Horizontal ou de Nível 
20 
 
- Chamamos uma reta de Horizontal ou de Nível quando ela é paralela ao plano horizontal e 
oblíqua ao vertical. 
- Suas coordenadas apresentam cotas com mesmo valor e mesmo sinal. 
- Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à LT e a projeção 
horizontal oblíqua a essa mesma linha. 
- A projeção horizontal é representada em verdadeira grandeza (V.G.) 
- Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. 
 
¶
¶'
 
 
 
 
 
3- Reta Frontal ou de Frente 
 
- Chamamos uma reta de Reta Frontal ou de Frente quando ela é paralela ao plano vertical 
e oblíqua ao horizontal. 
- Suas coordenadas apresentam afastamentos com mesmo valor e mesmo sinal. 
- Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal paralela à LT e a projeção 
vertical oblíqua a essa mesma linha. 
- A projeção vertical é representada em verdadeira grandeza (V.G.) 
- Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. 
 
¶
¶'
 
 
 
4- Reta Frontal-Horizontal ou Fronto-Horizontal 
21 
 
- Chamamos uma reta de Reta Fronto-Horizontal quando ela é paralela simultaneamente 
aos dois plano de projeção e conseqüentemente paralela a LT. 
- Suas coordenadas apresentam afastamentos e cotas com mesmo valor e mesmo sinal. 
- Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções paralelas à L.T. 
- Ambas as projeções são representadas em verdadeira grandeza (V.G.) 
- Todos os seus pontos pertencem a um mesmo quadrante. 
 
¶
¶'
 
 
 
 
 
5- Reta Vertical 
 
- Chamamos uma reta de Reta de Vertical quando ela é perpendicular ao plano horizontal. 
- Suas coordenadas apresentam abscissas e afastamentos com mesmo valor e mesmo 
sinal. 
- Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal reduzida a um ponto (chamada 
projeção pontual) e a vertical perpendicular à L.T. 
- A projeção vertical é representada em verdadeira grandeza (V.G.) 
- Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. 
 
¶
¶'
 
 
 
 
 
6- Reta de Topo 
22 
 
- Chamamos uma reta de Reta de Topo quando ele é perpendicular ao plano vertical. 
- Suas coordenadas apresentam abscissas e cotas com mesmo valor e mesmo sinal. 
- Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto (chamada 
projeção pontual) e a horizontal perpendicular à L.T. 
- A projeção horizontal é representada em verdadeira grandeza (V.G.). 
- Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. 
 
¶'
¶
 
 
 
 
 
 
7- Reta de Perfil 
 
- Chamamos uma reta de Reta Perfil quando ela é oblíqua aos dois planos de projeção, mas 
perpendicular (ou ortogonal) à LT. 
- Suas coordenadas apresentam abscissas com mesmo valor e mesmo sinal. 
- Sua épura é caracterizada por possuir as projeções perpendiculares à LT. 
- Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. 
 
 
 
 
 
 
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Assim como nos pontos existem alguns casos especiais em que uma reta pertence ou 
está contida nos semi-planos de projeção: 
 
SITUAÇÕES DE RETA - (Retas contidas nos semi-planos): 
 
Uma reta está contida no Plano, quando todos os pontos daquela reta também pertencem 
ao plano. Elas podem estar contidas no PVS, no PVI, no PHA, no PHP e na linha de terra. 
Para cada caso, estas retas apresentam algumas peculiaridades que iremos ver a seguir e 
também se assemelham as retas vistas anteriormente. 
 
8- Plano Vertical Superior (PVS) 
 
- Dizemos que uma reta está contida no PVS, quando os afastamentos de seus pontos são 
zero e suas cotas são positivas. 
- Apesar de afastamentos nulos, os pontos apresentam afastamentos com valores relativos 
iguais, então esta reta também pode ser considerada uma Reta Frontal. 
- Sua épura se caracteriza como na reta frontal, por projeção vertical em real grandeza e 
projeção horizontal sobre a linha de terra. 
 
¶a
¶'s
 
 
9- Plano Vertical Inferior (PVI) 
 
- Dizemos que uma reta está contida no PVI, quando os afastamentos de seus pontos são 
zero e suas cotas são negativas. 
- Esta reta também pode ser considerada uma Reta Frontal. 
- Caso as abscissas também forem iguais esta reta poderá ser considerada também Vertical. 
- Sua épura se caracteriza por projeção vertical em real grandeza e projeção horizontal 
sobre a linha de terra. 
 
¶a
¶'i
 
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10- Plano Horizontal Anterior (PHA) 
- Neste caso, dizemos que uma reta está contida no PHA, quando as cotas de seus pontos 
são zero e os afastamentos são positivos. 
- Apesar de cotas nulas, os pontos apresentam cotas com valores relativos iguais, 
então esta reta também pode ser considerada uma Reta Horizontal. 
- Sua épura se caracteriza por projeção horizontal em real grandeza e projeção vertical 
sobre a linha de terra. 
¶a
¶'s
 
11- Plano Horizontal Posterior (PHP) 
Uma reta está contida no PHP, quando as cotas de seus pontos são zero e os afastamentos 
são negativos. 
- Esta reta também pode ser considerada uma Reta Horizontal, mas se por acaso as 
abscissas também forem iguais esta reta poderá ser considerada também de Topo. 
- Sua épura se caracteriza por projeção horizontal em real grandeza e projeção vertical 
sobre a linha de terra. 
¶p
¶'s
 
12- Reta contida na L.T. 
- Uma reta está contida na LT quando as cotas e os afastamentos de seus pontos são nulos. 
- Esta reta também pode ser considerada uma Reta Fronto-Horizontal.- Sua Épura se caracteriza pelas projeções horizontal e vertical sobre a linha de terra. 
¶a
¶'s
 
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TRAÇO DE RETAS 
 
- Traço de reta é o ponto onde uma reta fura ou atravessa um plano, portanto, quando uma 
reta for paralela a um plano, não haverá traço sobre esse plano. 
- O traço sobre o plano vertical (π‟) é chamado de traço vertical (V). 
- O traço sobre o plano horizontal (π) é chamado de traço horizontal (H). 
 
Traço Vertical 
Para se obter o traço vertical (V) de uma reta, determina-se o ponto da reta que tenha 
também afastamento nulo ou onde o prolongamento de uma reta toca o plano vertical. 
 
- Em épura, para se obter o traço vertical da reta (A)(B) prolonga-se a projeção de nome 
contrário (horizontal) até a LT onde é determinado o ponto V, projeção horizontal de (V). 
A partir de V traça-se uma linha de chamada (perpendicular a LT) até cruzá-la com o 
prolongamento do da projeção vertical da reta. Defini-se ali o traço vertical (V). 
- Devemos observar que V‟ sempre irá coincidir com o ponto objetivo (V), pois é um ponto do 
prolongamento da reta (A)(B) que pertence ao plano vertical e seu afastamento é nulo. 
 
Traço Horizontal 
Para obter o traço horizontal (H) de uma reta, determina-se o ponto da reta que tenha 
também cota nula ou onde o prolongamento de uma reta toca o plano horizontal. 
 
- Em épura para obter o traço horizontal da reta (A)(B) prolonga-se a projeção de nome 
contrário (vertical) até a LT onde é determinado o ponto H‟, projeção vertical do traço (H). 
A partir de H‟ traça-se uma linha de chamada (perpendicular a LT) até cruzá-la com o 
prolongamento do da projeção horizontal da reta. Defini-se ali o traço horizontal (H). 
- Devemos observar que H sempre irá coincidir com o ponto objetivo (H), pois é um ponto do 
prolongamento da reta (A)(B) que pertence ao plano horizontal e sua cota é nula.