Exercício resolvido 1 sobre o cálculo de tensões normais em uma viga protendida

@civilsimplificada 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 SOBRE O CÁLCULO DE TENSÕES 
NORMAIS EM UMA VIGA PROTENDIDA 
1. VÃO ESCOLHIDO E FORÇA DE PROTENSÃO 
Para o desenvolvimento desse exemplo, será adotado um vão livre de 20 
m com vinculação biapoiada e força de protensão centrada (excentricidade igual 
a zero) com magnitude Np = 10.000 kN. 
 
2. SEÇÃO TRANSVERSAL E PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS 
A seção transversal escolhida é a seção composta exposta na Figura 1. 
Figura 1: Seção composta definida. 
 
 
Dimensões em centímetros 
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A seguir, está exposto o cálculo das propriedades geométricas da seção 
transversal escolhida considerando a origem na Figura 1. 
 
 
2.1. Posição do centro geométrico 
Considerando que a seção transversal é constituída por um retângulo 
horizontal e outro vertical, a altura do centro geométrico em relação à origem 
(yCG) é calculada conforme exposto a seguir: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
CG
3 3
2 2
3
2
20 cm 80 cm 40 cm 80 cm 20 cm 90 cm
20 cm 80 cm 80 cm 20 cm
64.000 cm 144.000 cm
1.600 cm 1.600 cm
208.000 cm
3.200 cm
65 cm
i i
i
i
i
A y
y
A

=
  +  
=
 + 
+
=
+
=
=


 
 
2.2. Área da seção transversal 
A área da seção transversal (A) é igual a soma da área dos dois retângulos. 
Logo: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2
20 cm 80 cm 80 cm 20 cm
1.600 cm 1.600 cm
3.200 cm
0,32 m
A =  + 
= +
=
=
 
 
2.3. Momento de inércia da seção transversal 
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O momento de inércia (I) de um retângulo é igual ao produto entre a base 
e a altura ao cubo dividido por 12. Porém, como a seção é composta, é preciso 
aplicar o Teorema dos Eixos Paralelos. Assim, resulta que: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
2
CG
3
2
CG
3
2
3
2
3
2
20 cm 80 cm
20 cm 80 cm 40 cm
12
80 cm 20 cm
80 cm 20 cm 90 cm
12
20 cm 80 cm
20 cm 80 cm 65 cm 40 cm
12
80 cm 20 cm
80 cm 20 cm 90 cm 65 cm
12
20 cm 80 cm
20 cm 80 cm 25 cm
12
80 cm
I y
y

= +   − +

+ +   −

= +   − +

+ +   −

= +   +
+
( )
( ) ( ) ( )
3
2
4 4
4
4
20 cm
80 cm 20 cm 25 cm
12
1.853.333,33 cm 1.053.333,33 cm
2.906.666,66 cm
0,029 m

+  
= +
=

 
 
2.4. Módulos de resistência da seção transversal 
Os módulos de resistência da seção transversal em relação à borda inferior 
e superior da seção (Wi e Ws, respectivamente) são: 
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( )
( )
4
4
3
4
3
0,029 m
1,00 m 0,65 m
0,029 m
0,35 m
0,083 m
0,029 m
0,65 m
0,045 m
s
s
i
i
I
W
y
I
W
y
=
=
−
=
=
=
=
=
 
 
 
3. CARREGAMENTOS E MOMENTOS FLETORES 
O carregamento distribuído devido ao peso próprio (p) é igual ao produto 
entre a área da seção transversal o peso específico do concreto (25 kN/m³). 
Logo: 
( )
3
2
3
kN
25 
m
kN
0,32 m 25 
m
kN
8 
m
p A
 
=   
 
 
=   
 
=
 
Por sua vez, a sobrecarga distribuída foi adotada como sendo q = 20 kN/m. 
Uma vez conhecidos os carregamentos devido ao peso próprio e a 
sobrecarga, pode-se calcular o carregamento máximo (pmáx) e o carregamento 
mínimo (pmín), tal que: 
• O carregamento máximo é a soma do carregamento devido ao peso 
próprio com a sobrecarga; 
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• O carregamento mínimo é igual ao carregamento devido ao peso 
próprio. 
Logo: 
máx
mín
kN kN
8 20 
m m
kN
28 
m
kN
8 
m
p p q
p p
= +
= +
=
= =
 
Com o auxílio do software Ftool, determinou-se os diagramas de momento 
fletor para o carregamento máximo (Figura 1) e para o carregamento mínimo 
(Figura 2). 
 
Figura 1: Viga sujeita ao carregamento máximo e respectivo diagrama de 
momento fletor em kN·m. 
 
 
 
Figura 2: Viga sujeita ao carregamento mínimo e respectivo diagrama de 
momento fletor em kN·m. 
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A Tabela 1 apresenta os valores de momento máximo e mínimo nas seções 
S1, S2, S3, S4 e S5, situadas, respectivamente, a 2 m, 4 m, 6 m, 8 m e 10 m do 
apoio. 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Momentos fletores internos máximos e mínimos nas seções de 
dimensionamento. 
Seção Distância do apoio [m] Mmáx [kN·m] Mmín [kN·m] 
S0 0 0 0 
S1 2,00 504,0 144,0 
S2 4,00 896,0 256,0 
S3 6,00 1.176,0 336,0 
S4 8,00 1.344,0 384,0 
S5 1,00 1.400,0 400,0 
 
4. CÁLCULO DAS TENSÕES NORMAIS NAS SEÇÕES DE 
DIMENSIONAMENTO 
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A seguir, está detalhado o cálculo das tensões normais devido ao momento 
máximo e ao momento mínimo nos bordos superior e inferior da viga. 
Como a excentricidade da aplicação da força de protensão é igual a zero e 
o momento em vigas biapoiadas é sempre positivo, a tensão na borda superior 
(σs) e na borda inferior (σi) são das pelas seguintes equações: 
p
s
s
p
i
i
N M
A W
N M
A W


= +
= −
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1. Seção S1 – 2,00 m do apoio (10% do vão) 
4.1.1. Bordo superior 
Momento máximo (504 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 504 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
37.322,29 
m
s

= +
=
 
 
- Momento mínimo (144 kN·m): 
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2 3
2
10.000 kN 144 kN m
0,32 m 0,083 m 
kN
32.984,94 
m
s

= +
=
 
 
4.1.2. Bordo inferior 
Momento máximo (504 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 504 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
20.050,00 
m
i

= −
=
 
 
- Momento mínimo (144 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 144 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
28.050,00 
m
i

= −
=
 
 
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4.2. Seção S2 – 4,00 m do apoio (20% do vão) 
4.2.1. Bordo superior 
Momento máximo (896 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 896 kN m
0,32 m 0,083 m 
kN
42.045,18 
m
s

= +
=
 
 
- Momento mínimo (256 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 256 kN m
0,32 m 0,083 m 
kN
34.334,34 
m
s

= +
=
 
 
4.2.2. Bordo inferior 
Momento máximo (896 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 896 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
11.338,89 
m
i

= −
=
 
 
- Momento mínimo (256 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 256 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
25.561,11 
m
i

= −
=
 
 
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4.3. Seção S3 – 6,00 m do apoio (30% do vão) 
4.3.1. Bordo superior 
Momento máximo (1.176 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 1.176 kN m
0,32 m 0,083 m 
kN
45.418,67 
m
s

= +
=
 
 
- Momento mínimo (336 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 336 kN m
0,32 m 0,083 m 
kN
35.298,19 
m
s

= +
=
 
 
4.3.2. Bordo inferior 
Momento máximo (1.176 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 1.176 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
5.116,67 
m
i

= −
=
 
 
- Momento mínimo (336 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 336 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
23.783,33 
m
i

= −
=
 
 
 
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4.4. Seção S4 – 8,00 m do apoio (40% do vão) 
4.4.1. Bordo superior 
Momento máximo (1.344 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 1.344 kN m
0,32 m 0,083 m 
kN
47.442,77 
m
s

= +
=
 
 
- Momento mínimo (384 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 384 kN m
0,32 m 0,083 m 
kN
35.876,51 
m
s

= +
=
 
 
4.4.2. Bordo inferior 
Momento máximo (1.344 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 1.344 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
1.383,33 
m
i

= −
=
 
 
- Momento mínimo (384 kN·m): 
2 3
2
10.000 kN 384 kN m
0,32 m 0,045 m 
kN
22.716,67 
m
i

= −
=
 
 
 @civilsimplificada 
4.5.