Cap. 1 e 2 - Proposições e conectivos

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07/08/2015
Lógica Matemática
Prof. Patrícia Tavares
Livro: Edgard de Alencar Filho, “Iniciação à lógica matemática”, Nobel, 2002
•A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais
do pensamento, e as formas de aplicar essas leis
corretamente na investigação da verdade.
•Na Grécia Antiga, 342 a.C, o filósofo Aristóteles
sistematizou o conhecimento existente em Lógica,
elevando-o à categoria de ciência.
•Em sua obra chamada Organon (“ferramenta para
o correto pensar”), estabeleceu princípios tão
gerais e tão sólidos que até hoje são
considerados válidos.
Lógica
Cap. 1 – Proposições e 
Conectivos
�Conceito de proposição.
� Valores lógicos das proposições.
� Proposições simples e proposições compostas.
�Conectivos.
� Tabela-verdade.
�Notação.
Cap. 1 – Proposições e Conectivos
•Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, 
a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, 
permitiam obter novos conhecimentos.
•A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia 
à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos de 
conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas 
verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em 
Lógica, de argumento.
•Um argumento é uma seqüência de proposições 
(afirmações) na qual uma delas é a conclusão e as demais 
são premissas.
•O objeto de estudo da lógica é determinar se a conclusão 
de um argumento é ou não uma conseqüência lógica das 
premissas.
07/08/2015
Proposição: Frases (idéias) de sentido completo.
Ex: 1 – Passei no vestibular.
2 – A lua é cheia.
3 – Chove.
4 – Não Chove.
Valores lógicos: Verdadeiro (V)
Falso (F)
Cap. 1 – Proposições e Conectivos
�Princípios
•Não contradição: uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
•Terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira
ou falsa.
Tipos de proposição
•Simples ou atômica: proposições que contém apenas um
pensamento completo.
Ex: Hoje faz calor.
•Composta ou molecular: proposições que contém mais
de um pensamento completo.
Ex: Hoje faz calor e chove.
Cap. 1 – Proposições e Conectivos
Cap. 1 – Proposições e Conectivos
� Notação
• Letra minúscula representa proposição simples.
• Letra maiúscula representa proposição composta.
� Conectivos: palavras que se usam para formar
novas proposições a partir de outras
• e
• ou
• não
• se ... então ...
• ... se e somente se ... 
Cap. 1 – Proposições e Conectivos
� Tabela Verdade
• Contém todos os possíveis valores lógicos da
proposição composta correspondente a todas as
possíveis atribuições de valores lógicos às proposições
simples.
p q
1
2
3
4
V V
V F
F V
F F
07/08/2015
Cap. 1 – Proposições e Conectivos
� Notação
• O valor lógico de uma proposição simples indica-se
por V(p).
•V(p) = V (verdadeira)
ou
V(p) = F (falsa)
EXERCÍCIOS
Questão 1 – Páginas 15 e 16
Cap. 2 – Operações lógicas sobre 
proposições.
�Negação.
�Conjunção.
�Disjunção.
�Disjunção exclusiva.
�Condicional.
� Bicondicional.
p ~ p
� Negação ( ~ ):
p: Chove na cidade.
~ p: Não chove na cidade.
~ p: Não é verdade que chove na cidade.
~ p: É falso que chove na cidade.
Tabela verdade da negação:
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
V
F
F
V
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
Observação:
Negação de TODOS e NENHUM:
q: Todos os homens são elegantes.
~ q: Nem todos os homens são elegantes.
r: Nenhum homem é elegante.
~ r: Algum homem é elegante.
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� Conjução ( ∧∧∧∧ ): e
É o ato de criar uma proposição composta a partir de duas ou
mais proposições, unindo-as pelo conectivo e.
Exemplo:
p: Lula é inocente.
q: Maluf é um santo.
p∧q: Lula é inocente e Maluf é um santo.
p q p∧∧∧∧qTabela Verdade: Valores lógicos:
• V: se p e q têm o
valor lógico V
simultaneamente.
• F: demais casos.
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
� Disjunção ( ∨∨∨∨ ): ou
Exemplo:
p: Dirceu é culpado.
q: Rubens é veloz.
p∨q: Dirceu é culpado ou Rubens é veloz.
p q p∨∨∨∨q
Tabela Verdade:
Valores lógicos:
• V: se p ou q tem o valor
lógico V (simultaneamente ou
não).
• F: demais casos.
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F
� Disjunção exclusiva ( ∨∨∨∨ ): ou
Exemplo:
P: Carlos é médico ou professor. (disjunção ∨)
Q: José é acreano ou gaúcho. (disjunção exclusiva ∨)
p q p ∨∨∨∨ q
Tabela Verdade:
Valores lógicos:
• V: se p e q não têm o
mesmo valor lógico.
• F: demais casos.
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
V V
V F
F V
F F
F
V
V
F
� Condicional ( →→→→ ): Se ... então
Exemplo:
p: Está nevando.
q: Está fazendo frio.
p→ q: Se está nevando então está fazendo frio.
Exemplo:
p→ q: Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática.
p q p →→→→ qTabela Verdade:
Valores lógicos:
• F: se p é verdadeira e 
q é falsa.
•V: demais casos.
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
V
F
V
V
V V
V F
F V
F F
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� Bicondicional (↔↔↔↔ ): ... se e somente se ...
Exemplo:
p: Um número é par.
q: Um número é divisível por 2.
p↔ q: Um número é par se e somente se for divisível por 2.
Exemplo:
p ↔ q: O triângulo ABC é eqüilátero se e somente se for
eqüiângulo.
p q p ↔↔↔↔ qTabela
Verdade:
Valores lógicos:
• V: se p e q têm o
mesmo valor lógico.
• F: se p e q têm o
valores lógicos
diferentes.
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições
V
F
F
V
V V
V F
F V
F F
EXERCÍCIOS
Questões 1 a 20 
Páginas 25 a 28
Cap. 2 – Operações Lógicas sobre Proposições