Grandezas Físicas (Guardado automaticamente)(1)

Prévia do material em texto

1 
 
 
1.Grandezas Físicas, Unidades e Dimensões 
Grandeza física é tudo o qué é passí vél sér médido. 
 Exémplo: Comprimento, massa é tempo. 
Medir é a comparaça o dé uma grandéza fí sica com outra da mésma éspé cié. E, 
para réalizar éssa comparaça o, nécéssitamos dé um padra o (unidade) 
Unidade é o padra o qué éscolhémos para réalizar as médidas qué déséjamos. 
1.1.Grandezas físicas fundamentais e Derivadas 
a) Grandezas físicas fundamentais sa o Médidas diréctaménté com 
aparélho dé médida. 
Grandeza Física Unidade Física Símbolo 
Compriménto métro m 
Massa quilograma Kg 
Témpo ségundo s 
Corrénté Elé ctrica ampé ré A 
Témpératura kélvin K 
Quantidadé dé Substa ncia mol mol 
Inténsidadé Luminosa candéla cd 
 
A partir das grandezas fundamentais, das leis físicas é dos teoremas da 
Física, podémos définir outras grandézas fí sicas, conhécidas como grandezas 
físicas derivadas, é suas corréspondéntés unidadés, as unidades derivadas. 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE LÚRIO Disciplina: Física II 
FACULDADE DE ENGENHARIA Aula n° 1: Grandezas Físicas 
CURSO DE LICENCIATURA EM ENGENHARIA Ano: 2021 .Primeiro Semestre 
Docente Responsável: Francisco A.Macuba Aulas Teóricas 
2 
 
b) Grandezas físicas Derivadas sa o éxpréssas ém térmos das 
fundaméntais. 
 
Grandeza Física Unidade Física Símbolo 
Vélocidadé métro/ségundo m/s 
Acéléraça o métro/ségundo ao quadrado m/s2 
Força 
Quilograma x métro/ségundo 
ao quadrado 
N(Néwton) 
Préssa o Néwton/métro ao quadrado Pa(Pascal) 
Campo Elé ctrico Néwton/Coulomb N/C 
 
2.Tipos de grandezas Físicas 
Sa o fréquéntéménté usados dois tipos dé grandézas fí sicas: grandezas 
escalares é grandezas vectoriais. 
2.1.Grandezas escalares sa o grandézas fí sicas caractérizadas por um nu méro 
(positivo ou négativo) éxprésso ém unidadés. Por éxémplo, massa, volume 
é comprimento, étc, 
2.2.Grandezas vectoriais sa o grandézas fí sicas qué tém um valor numé rico 
éxprésso ém unidadé apropriada é a sua oriéntaça o. 
 Exémplo: o deslocamento, a aceleração a força, étc. 
 As grandézas véctoriais séra o désignadas por uma létra com uma séta 
(flécha) ém cima. 
Exemplo: vélocidadé (�⃗⃗� ) 
 
 
 
 
 
3 
 
Ordéns dé grandéza 
 
 
3.Ana lisé diménsional das grandézas 
Em física, a palavra dimensão denota a natureza física de uma grandeza. 
Os símbolos usados para especificar as dimensões de comprimento, massa e 
tempo são L, M e T, respectivamente. Utilizaremos, com frequência, colchetes 
[ ] para denotar as dimensões de uma grandeza física. 
 
Exemplo: 
1.Qual a diménsa o da grandéza da vélocidadé? 
�⃗⃗� =
𝒔
𝒕
 → [𝒗] =
𝑳
𝑻
 → [𝒗] = 𝑳𝑻−𝟏 
2.Qual a diménsa o da grandéza a réa? 
𝑨 = 𝒎𝟐 → [𝑨] = 𝑳𝟐 
4 
 
 
 
4.Princípio da Homogeneidade 
Qualquér rélaça o fí sica so éstara corrécta sé ambos os mémbros tivérém a 
mésma diménsa o. Esta caractérí stica chama-se homogeneidade. 
 Exemplo: Considérémos a équaça o, 
x = v.t 
[x] = L 
[v.t] = [v].[t] = LT
-1
.T 
x = v.t→ 𝐿 =
𝐿
𝑇
. 𝑇 → 𝑳 = 𝑳 
 
5.Equação Dimensional de uma grandeza física 
 
 
 
Onde: 
• G é a grandéza qué sé déséja obtér a fo rmula diménsional; 
[G] = L
x
.M
y
.T
z
 
5 
 
• L, M é T sa o os sí mbolos diménsionais das grandézas dé basé compriménto, 
massa é témpo; 
• x, y é z sa o as diménso és dé G ém rélaça o a s grandézas fundaméntais 
compriménto, massa é témpo, réspéctivaménté. 
Exercícios 
1.Mostre que a expressão 𝒗 = 𝒂𝒕 em que 𝑣 representa velocidade; 𝑎, 
aceleração; e 𝑡, um instante no tempo está dimensionalmente correta. 
2.Mostre que a expressão 𝑬𝒈 = 𝒈𝒉 (onde 𝐸𝑝 é a energia potencial dum corpo, 
g é a aceleração de gravidade e h a altura a que este corpo se encontra) não é 
dimensionalmente correta. 
 
3.A posição de uma partícula movendo-se sob aceleração uniforme é uma 
função de tempo e de aceleração. Suponha que escrevamos essa posição como 
𝒙 = 𝒌𝒂𝒎𝒕𝒏, em que 𝒌 é uma constante sem dimensão. Mostre, por análise 
dimensional, que essa expressão é satisfeita se m = 1 e n = 2. Essa análise pode 
dar o valor de k ? 
4. Para manter um objecto em movimento circular com velocidade constante, 
é necessário uma força denominada força centrípeta. 
𝑭 = 𝒎𝒂𝒗𝒃𝒓𝒄 
a) Utilize seus conhecimentos de análise dimensional para calcular os valores 
de a, b e c. 
b) Escreve a sua fórmula. 
3.Um cientista, fazendo experiências em um laboratório, verifica o período (t) 
de oscilação de um pêndulo simples alterando o comprimento do fio (L), a 
massa (m) e considerando a gravidade (g) local. 
6 
 
𝑇 = 𝑘𝒎𝜶𝒍𝜷𝒈𝜸 
a) Usando análise dimensional, determine os valores de 𝛼 ,𝛽 e 𝛾 . 
b) Obter uma fórmula para calcular T. 
 
Conversão de unidades 
Muitas vezes, precisamos mudar as unidades nas quais uma grandeza física 
está expressa, o que pode ser feito usando um método conhecido como 
conversão em cadeia. 
Nesse método, multiplicamos o valor original por um factor de conversão 
(uma razão entre unidades que é igual à unidade).Assim, por exemplo, como 
1min e 60s correspondem a intervalos de tempo iguais, temos: 
 
 
Exempo: 
1.Para converter 2 min em segundos. 
2𝑚𝑖𝑛 = 2𝑚𝑖𝑛. (1) = 2𝑚𝑖𝑛(
60𝑠
1𝑚𝑖𝑛
) = 120𝑠 
2. Considerando um objecto com movimento dado pela lei: 
𝑺 =
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟐 
Que distância percorreu ao fim de 15 minutos se 𝑎 = 3𝑚/𝑠2? 
 
Resolução 
 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑡2 → 𝑆 =
1
2
. 3
𝑚
𝑠2
. 15𝑚𝑖𝑛. 15 𝑚𝑖𝑛 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑡2 → 𝑆 =
1
2
. 3
𝑚
𝑠2
. 15𝑚𝑖𝑛(1).15 𝑚𝑖𝑛(1) 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑡2 → 𝑆 =
1
2
. 3
𝑚
𝑠2
. 15𝑚𝑖𝑛(
60𝑠
1𝑚𝑖𝑛
).15 𝑚𝑖𝑛(
60𝑠
1𝑚𝑖𝑛
) 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑡2 → 𝑆 =
1
2
. 3
𝑚
𝑠2
. (15.60𝑠)(15.60𝑠) 
7 
 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑡2 → 𝑆 =
1
2
. 3
𝑚
𝑠2
. (900𝑠)(900𝑠) 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑡2 → 𝑆 =
1
2
. 3
𝑚
𝑠2
. 810000𝑠2 
𝑠 =
1
2
𝑎𝑡2 → 𝑆 = 1215000𝑚 
 
Exemplo 
Converter a velocidade 1,0 Km/h para m/s. 
1km = 1000m → 1 = 
1000 𝑚
𝑘𝑚
 
1h = 3600s → 1 = 
1ℎ
3600𝑠
 
Então, 1,0 
𝑘𝑚
ℎ
.1.1 = 1,0 
𝑘𝑚
ℎ
. 
1000 𝑚
𝑘𝑚
 . 
1ℎ
3600𝑠
 = 0,28 m/s 
 
Vectores 
Chama-se vector a um segmento da recta orientada. Ele é individualizado por 
uma direcção, sentido e modulo. 
Notação de um vector 
�⃗⃗� , �⃗⃗� 𝒂, 𝑨, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Representação gráfica de vectores 
 
Graficamente vectores são representados por um segmento em que o 
primeiro ponto é a origem e o segundo ponto o fim deste ou extremidade no 
qual se coloca uma seta (flecha) 
 
8 
 
Igualdade de vectores 
Dois vectores �⃗⃗� e �⃗⃗� são iguais (�⃗⃗� = �⃗⃗� ) se tiverem modulo, direcção e sentidos 
iguais.( �⃗⃗� = �⃗⃗� se e só se �⃗⃗� ↑↑ − �⃗⃗� e |�⃗⃗� | = |�⃗⃗� | ) 
 
Esta propriedade permite-nos mover um vector, num diagrama, para uma 
posição paralela a si mesmo sem afectar as suas propriedades essenciais. 
Vectores Opostos 
Dois vectores são opostos, quando eles possuem o mesmo módulo e a mesma 
direcção, porem, sentidos opostos. 
 
Módulo ou norma do vector 
Geralmente os vectores são representados por flechas e são descritos por 
meio de seus ponto final e inicial. Um vector �⃗⃗� , por exemplo, tem 
coordenadas a e b. 
9 
 
 Para descrevê-lo, escreve-se 𝒖 = (𝒂, 𝒃), quando seu ponto inicial é a origem 
(0,0) e o seu ponto final é o ponto A (a,b). 
 
A norma ou módulo de um vector é um número real que representa que 
representa o comprimento desse vector. 
 
 
Caso o vector �⃗⃗� = (𝒂. 𝒃. 𝒄) pertença o espaço tridimensional, o seu modulo 
será encontrado desta forma: 
|𝒖| = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
Adição (soma) de vectores 
Somar véctorés é coloca -los ém séqué ncia é, manténdo suas caractérí sticas 
originais, déscobrir o tamanho é a oriéntaça o dé um u nico véctor qué fizéssé 
o mésmo éféito, ou séja, qué lévassé do ponto inicial ao ponto final ém linha 
récta. 
|𝒖| = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 
 
10 
 
 
Outro exemploDados os véctorés 
 
Adição pela regra do paralelogramo 
Somar véctorés utilizando a régra do paralélogramo, é coloca -los num ponto 
ondé os dois véctorés té m a mésma origém é traçando as paralélas dé cada 
um, formarémos um paralélogramo é finalménté traçamos na diagonal o 
véctor résultanté do mésmo ponto dé origém dos véctorés até a outra 
éxtrémidadé. 
11 
 
 
 
 
Subtracção de vectores 
 
 
 
Exemplo: 
Uma esquiadora percorre 5,0 km para o norte e depois 12,0 km para o leste 
em um campo horizontal coberto de neve. Qual é o seu deslocamento em 
relação a origem? 
 
 
|𝑨 − 𝑩| = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐.𝑨. 𝑩. 𝒄𝒐𝒔𝜶 
 
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝟐. 𝒂𝒃. 𝒄𝒐𝒔𝜶 
 
12 
 
SOLUÇÃO 
O problema envolve a combinação de dois deslocamentos em ângulo recto. A 
soma vectorial e semelhante a solução de um triângulo rectângulo, de modo 
que podemos usar o teorema de Pitágoras e uma trigonometria simples. As 
variáveis-alvo são a distância e a direcção total da esquiadora em relação a 
seu ponto de partida. 
 
Na Figura, mostramos um diagrama dos deslocamentos da esquiadora. 
Descrevemos a direcção do ponto de partida pelo ângulo ∅ (a letra grega fi). 
Como os vectores dados são perpendiculares entre si, então, o vector 𝑑 = 𝑑 1 +
𝑑 2 terá as seguintes características: 
|𝒅| = √𝒅𝟐𝟏 + 𝒅
𝟐
𝟐 + 𝟐�⃗⃗� 𝟏�⃗⃗� 𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎° = √𝟓
𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 + 𝟐. 𝟓. 𝟏𝟐. 𝟎 = √𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒 
= √𝟏𝟔𝟗 𝒌𝒎 = 𝟏𝟑 𝒌𝒎 
 
Direcção: 𝑡𝑔∅ =
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
12,0 𝑘𝑚
5,0𝑘𝑚
 = 2,4 → ∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔(2,4) = 67,4° 
Componentes de um vector 
1.Espaco bidimensional (2D) 
A duas diménso és um véctor fica pérféitaménté caractérizado por um mo dulo 
é um a ngulo com um dos éixos dé référé ncia. 
13 
 
 
�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝒙 + �⃗⃗� 𝒚 
𝒂 = √𝒂𝟐𝒙 + 𝒂
𝟐
𝒚 
𝒂𝒙 = 𝒂. 𝒄𝒐𝒔 𝜶 
𝒂𝒚 = 𝒂. 𝒔𝒆𝒏 𝜶 
2.Espaco Tridimensional (3D) 
 A tré s diménso és, a caractérizaça o dé um véctor nécéssita ja dé dois a ngulos, 
para alé m dé mo dulo. 
 
 
14 
 
Vectores unitários 
Chama-sé vector unitário ou vérsor, ao um véctor cujo mo dulo é igual a uma 
unidadé. 
No sistéma dé éixos réctangularés os véctorés unita rios mais usados sa o �̂�, 𝒋̂ é 
�̂�, qué indicam as dirécço és positivas dos éixos ox, oy é oz, réspéctivaménté. 
Qualquér véctor 𝐴 , podé sér éscrito como: 
 
 Onde: 
𝑨 é o modulo do véctor �⃗⃗� 
�̂� véctor unita rio com a mésma dirécça o dé �⃗⃗� 
�̂� =
�⃗⃗� 
|𝑨|
 
Définindo tré s véctorés unita rios �̂�, 𝒋̂ é �̂� paralélos aos éixos cartésianos 𝒙, 𝒚 
é 𝒛, réspéctivaménté, podémos éscrévér: 
 
 
 
Ondé 𝑨𝒙, 𝑨𝒚 𝒆 𝑨𝒛 sa o os mo dulos dos véctorés componéntés dé �⃗⃗� , ségundos 
os éixos 𝒙, 𝒚 é 𝒛. 
Exemplo: 
Uma praticante desse esporte começa caminhando 25,0 km a sudeste do seu 
carro. Ela para e arma sua tenda para passar a noite. No segundo dia, caminha 
�⃗⃗� = |𝑨|�̂� 
�⃗⃗� = 𝑨𝒙�̂� + 𝑨𝒚�̂� + 𝑨𝒛�̂� 
 
15 
 
40,0 km em uma direcção 60,0° do norte para o leste, ponto em que descobre 
uma torre de guarda-florestal, segundo a figura. Determine: 
a) as componentes do deslocamento da caminhante para cada dia. 
b) as componentes do deslocamento resultante da caminhada �⃗⃗� .Encontre 
uma expressão para �⃗⃗� Em termos de vectores unitários. 
c) Qual deve ser a direcção da caminhada? 
 
Solução 
a) O deslocamento �⃗⃗� tem um módulo de 25,0 km e é direccionado 45,0° 
abaixo do eixo x positivo. As componentes de �⃗⃗� são: 
Ax = Acos(−45,0°) → Ax = (25,0 km)(0,71) → Ax = 17,8 km 
Ay = Asen(−45,0°) → Ax = (25,0 km)(−0,71) → Ax = −17,8 km 
O valor negativo de Ay indica que a praticante caminha na direcção negativa de 
y no primeiro dia. Os sinais de Ax e Ay também são evidentes na figura. 
As componentes de �⃗⃗� são: 
Bx = Bcos(60,0°) → Bx = (40,0 km)(0,50) → Bx = 20,0 km 
By = Bsen(60,0°) → Bx = (40,0 km)(0,87) → Bx = 34,8 km 
16 
 
b) as componentes do deslocamento resultante �⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� 
𝑅𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 → 𝑅𝑥 = 17,8 km + 20,0 km → 𝑅𝑥 = 37,8 km 
 
𝑅𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 → 𝑅𝑦 = −17,8 km + 34,8 km → 𝑅𝑥 = 17,0 km 
 
O deslocamento total na forma de vectores unitários: 
�⃗⃗� = (𝟑𝟕, 𝟖�̂� + 𝟏𝟕, 𝟎𝒋̂) 𝐤𝐦 
c) Para encontrar a direcção, deve-se calcular o ângulo que o vector forma 
com o eixo x : 
𝑡𝑔𝜃 =
𝑅𝑦
𝑅𝑥
 → 𝑡𝑔𝜃 =
17,0 𝑘𝑚
37,8 𝑘𝑚
 → 𝑡𝑔𝜃 = 0,45 → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0,45) → 𝜃 = 24,3° 
Que resulta em um ângulo de 24,3° ao sudoeste. 
Soma e subtracção analítica 
Suponhamos qué o véctor �⃗⃗� é a résultanté da soma dos véctorés �⃗⃗� , �⃗⃗� é �⃗⃗� . 
 �⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗⃗� 
Sé substituirmos cada véctor pélas suas componéntés, obtérémos as 
séguintés équaço és: 
�⃗⃗� = 𝐷𝑥𝑖̂ + 𝐷𝑦𝑗̂ + 𝐷𝑧�̂� {
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖̂ + 𝐴𝑦𝑗̂ + 𝐴𝑧�̂�
�⃗� = 𝐵𝑥𝑖̂ + 𝐵𝑦𝑗̂ + 𝐵𝑧�̂�
𝐶 = 𝐶𝑥𝑖̂ + 𝐶𝑦𝑗̂ + 𝐶𝑧�̂�
 
𝐷𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 
𝐷𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 
𝐷𝑧 = 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 + 𝐶𝑧 
 
 
17 
 
Produto dum vector por um escalar 
Vamos imaginar um nu méro réal cujo valor séja 𝒌, séndo 𝒌 ≠ 𝟎 é um véctor 
�⃗⃗� ≠ 𝟎. 
O produto dé 𝒌 por �⃗⃗� é um véctor �⃗⃗⃗� , répréséntado por: 
 
 
 
N.B: 
 Se o escalar é positivo, o vector resultante terá a mesma direcção e 
sentido do vector original. 
 Se o escalar é negativo, o vector resultante terá a mesma direcção e 
sentido oposto ao vector original. 
 
 
 
Produto escalar ou interno 
Define-se produto escalar ou interno de dois vectores 𝐴 e �⃗� como a 
quantidade escalar obtida efectuando o produto da grandeza de um vector 
pela projecção do outro sobre o primeiro. 
�⃗⃗⃗� = 𝒌�⃗⃗� 
 
18 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do produto interno 
 
 
Produto vectorial ou externo 
{
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐çã𝑜: 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 
𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜: 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑚ã𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜: |�⃗⃗� 𝒙�⃗⃗� | = |�⃗⃗� ||�⃗⃗� |. 𝒔𝒆𝒏𝜽
 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� ⃒�⃗⃗� = |�⃗⃗� ||�⃗⃗� |𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅 
 
19 
 
 
 
�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝒙�⃗⃗� = �⃗⃗� ∧ �⃗⃗� 
Cálculo do produto externo 
 
 
 
 
20 
 
Exercícios de Aplicação 
I. Vectores e soma vectorial 
1.Dados os dois vectores 𝐚 ⃗⃗⃗ = (𝟔, 𝟎𝐢 ̂ + 𝟑, 𝟎𝐣 ̂ −𝟏, 𝟎𝐤 ̂ ) 𝐦 e 𝐛 ⃗⃗ ⃗ = (𝟒, 𝟎𝐢 ̂ −𝟓, 𝟎 𝐣 ̂ 
+ 𝟖, 𝟎𝐤 ̂) 𝐦 
Encontre o módulo de deslocamento 𝟐�⃗⃗� − �⃗⃗� . 
2.Dados dois vectores 𝐚 ⃗⃗⃗ = −𝟐, 𝟎𝐢 ̂ + 𝟑, 𝟎𝐣 ̂ +𝟒, 𝟎𝐤 ̂ e 𝐛 ⃗⃗ ⃗ = 𝟑, 𝟎𝐢 ̂ +𝟏, 𝟎 𝐣 ̂ 
− 𝟑, 𝟎𝐤 ̂ 
a) Ache o módulo de cada vector; 
b) Use vectores unitários para escrever uma expressão para a diferença 
vectorial �⃗⃗� − �⃗⃗� . 
c) Ache o módulo da diferença vectorial �⃗⃗� − �⃗⃗� . Este modulo e o mesmo de 
�⃗⃗� − �⃗⃗� ? Explique. 
3. Dois vectores são dados por: 
𝐚 ⃗⃗⃗ = (𝟒, 𝟎𝐦)𝐢 ̂ − (𝟑, 𝟎𝐦)𝐣 ̂ + (𝟏, 𝟎𝐦)𝐤 ̂ 
𝐛 ⃗⃗ ⃗ = (−𝟏, 𝟎𝐦)𝐢 ̂ + (𝟏, 𝟎𝐦)𝐣 ̂ + (𝟒, 𝟎𝐦)𝐤 ̂ 
Determine, em termos de vectores unitários: 
 a). 𝒂 ⃗⃗ ⃗+ 𝒃 ⃗⃗ ⃗ b) 𝒂 ⃗⃗ ⃗ − 𝒃 ⃗⃗ ⃗ c) .Um terceiro vector, 𝒄 ⃗⃗ ,tal que 𝒂 ⃗⃗ ⃗+ 𝒃 ⃗⃗ ⃗ + 𝒄 ⃗⃗ = 𝟎 
 
4. a) Determine a soma 𝒂 ⃗⃗ ⃗+ 𝒃 ⃗⃗ ⃗ , em termos de vectores unitários, para: 
 𝒂 ⃗⃗ ⃗ = (𝟒, 𝟎𝒎)𝒊 ̂ + (𝟑, 𝟎𝒎)𝒋 ̂ e 𝒃 ⃗⃗ ⃗ = (−𝟏𝟑, 𝟎𝒎)𝒊 ̂ + (𝟕, 𝟎𝒎)𝒋 ̂ 
b). Determine o módulo. 
 c) A orientação de 𝒂 ⃗⃗ ⃗+ 𝒃 ⃗⃗ ⃗ 
 
21 
 
5. Uma pessoa caminha da seguinte forma: 3,1 km para o norte, 2,4 km para 
oeste e 5,2 km para o sul. 
 a). Desenhe o diagrama vectorial que representa este movimento. 
 b). Que distância. 
 c). em que direcção voaria um pássaro em linha recta do mesmo ponto de 
partida ao mesmo ponto de chegada? 
 
6. Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma 
direcção 30° a leste do norte. Desenhe o diagrama vectorial e determine: 
a) O módulo. 
b) O ângulo do deslocamento do carro em relação ao ponto de partida. 
 
7.Três finalistas de um reality show encontram-se no centro de um campoplano e grande. Cada competidor recebe uma barra de um metro, uma 
bússola, uma calculadora, uma pá e (em ordens diferentes para cada 
competidor) os três deslocamentos seguintes: 
 
�⃗⃗� : 72,4 m, 32,0° do norte para o leste; 
𝑩 ⃗⃗ ⃗: 57,3 m, 36,0° do oeste para o sul; 
�⃗⃗� : 17,8 m do norte para o sul; 
a). Desenhe o diagrama vectorial que representa este movimento. 
 b). Que distância. 
22 
 
8.O objectivo de um navio é chegar a um porto situado 120 km ao norte do 
ponto de partida, mas uma tempestade inesperada o leva para um local 
situado 100 km a leste do ponto de partida. 
 a) Que distância o navio deve percorrer. 
 b) Qual o rumo deve tomar para chegar ao destino? 
 
II. Componentes de vectores 
 
9.Um vector deslocamento r no plano xy tem 15 m de comprimento e faz um 
ângulo𝜃 = 30° com o semieixo x positivo, como mostra a Figura. 
 
 
 
 Determine: 
 a) a componente x. 
 b) a componente y do vector. 
 
10.A componente x do vector �⃑� é -25,0 m e a componente y é +40,0m. 
 a) Qual é o módulo de �⃑�. 
 b) Qual é o ângulo entre a orientação de �⃑� e o semieixo x positivo? 
 
11. Na Figura, uma máquina pesada é erguida com o auxílio de uma rampa 
que faz um ângulo 𝜃 = 20,0º com a horizontal, na qual a máquina percorre 
uma distância d = 12,5 m. 
23 
 
 
 
 a) Qual é a distância vertical percorrida pela máquina? 
 b) Qual é a distância horizontal percorrida pela máquina? 
 
12.Os vectores 𝒂 ⃗⃗ ⃗ e 𝒃 ⃗⃗ ⃗ da Figura têm o mesmo módulo, 10,0 m, e os ângulos 
mostrados na figura são 𝜃1 = 30º e 𝜃2 = 105º. 
 
 
a) Determine as componentes x e y da soma vectorial r dos dois vectores. 
b) o módulo de r . 
c) o ângulo que r faz com o semieixo x positivo. 
 
13.O vector �⃗⃗� possui comprimento igual a 2,80 cm e esta no primeiro 
quadrante a 60,0° acima do eixo x. O vector �⃗⃗� possui comprimento igual a 1,90 
cm e esta no quarto quadrante a 60,0° abaixo do eixo x segundo a figura. 
24 
 
 
Use componentes para encontrar o modulo e a direcção de 
a) 𝑨 ⃗⃗ ⃗+ 𝑩 ⃗⃗ ⃗ ; 
b) 𝑨 ⃗⃗ ⃗ − 𝑩 ⃗⃗ ⃗ 
c) 𝑩 ⃗⃗ ⃗ − 𝑨 ⃗⃗ ⃗ 
 
14.Uma pessoa que vai fazer uma caminhada segue o trajecto mostrado na 
Figura. O percurso total é composto por quatro trajectórias em linha recta. No 
final da caminhada, qual é o deslocamento resultante medido a partir do 
ponto de partida? 
 
 
 
15.Dois vectores são dados por 𝒂 ⃗⃗ ⃗ = 𝟑, 𝟎𝒊 ̂ +𝟓, 𝟎𝒋 ̂ e 𝒂 ⃗⃗ ⃗ = 𝟐, 𝟎𝒊 ̂ + 𝟒, 𝟎𝒋 ̂ 
Determine: 
 a) 𝒂 ⃗⃗ ⃗x �⃗⃗� b) 𝒂 ⃗⃗ ⃗. �⃗⃗� c) (�⃗⃗� + 𝒃⃗⃗ ⃗ ). �⃗⃗� 
25 
 
 
16.Dados os dois vectores 𝐚 ⃗⃗⃗ = 𝟐, 𝟎𝐢 ̂ + 𝟑, 𝟎𝐣 ̂ +𝟏, 𝟎𝐤 ̂ e 𝐛 ⃗⃗ ⃗ = −𝟒, 𝟎𝐢 ̂ +𝟐, 𝟎 𝐣 ̂ 
− 𝟏, 𝟎𝐤 ̂ 
a) Ache o produto escalar dos dois vectores. 
b) Encontre o ângulo entre esses dois vectores. 
 
17. Para os dois vectores indicados no numero 14, ache o modulo e a direcção 
de: 
a) produto vectorial 𝒂 ⃗⃗ ⃗x �⃗⃗� ; 
b) produto vectorial 𝒃 ⃗⃗ ⃗x �⃗⃗� 
.