Relatório Oscilador Massa-Mola Diego, Raphael, Kaio

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Relatório Oscilador Massa-Mola
Nome: Diego Teodoro, Kaio Vinicius, Raphael Modesto
Disciplina: Física Experimental II
Turma: MB
Nome do Professor: Ladário da Silva
Data: 03/05/2022
Local: Volta Redonda, UFF, Campus Aterrado, ICEx
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Objetivos:
➔ Analisar e determinar o período experimental e teórico de um oscilador massa-mola;
➔ Determinar através dos mínimos quadrados o valor da constante elástica K da mola;
➔ Analisar a dependência do período com a massa acoplada à mola.
Materiais utilizados:
➔ 1 Tripé com haste e suporte;
➔ 1 Conjunto de massas com gancho (ME-8979);
➔ 1 Sensor de força PASCO (PS-2014);
➔ 1 Interface Xplorer GLX PASCO (PS-2002);
➔ 1 Balança digital;
➔ 1 Régua milimetrada;
➔ Gnuplot;
➔ 1 Mola
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Fundamentos teóricos:
Um sistema massa-mola pode entrar em oscilação quando a massa acoplada a
mola é deslocada da sua posição inicial de equilíbrio e depois deixada livre. Um sistema
deste tipo é denominado Oscilador Harmônico Simples (OHS) e sua equação de
movimento, com o atrito sendo desprezado, é descrita como:
(1)
∂2𝑥
∂𝑡2
= −𝑘𝑚 𝑥
Resolvendo esta equação diferencial, obtemos como solução uma função cosseno
de aparência:
(2)𝑥 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑚 𝑡 + ϕ)
Onde A é a amplitude do movimento e é chamado de ângulo de fase. O períodoϕ
do Oscilador Harmônico Simples é dado por:
(3)𝑇 = 2π 𝑚𝑘
sabendo o período, podemos descobrir a frequência pois ela é o inverso do período, isto é:
(4)𝑓 = 1𝑇
Para a comparação entre os valores teóricos e experimentais que serão calculados,
utilizaremos a definição de Discrepância Relativa, que descreve o quanto um valor obtido
difere do respectivo valor referencial. Sua equação é a seguinte:
(5)𝐷 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
|| ||%
O valor da constante elástica nada mais é que a inclinação de um gráfico Força (N)
por Deformação (m). A inclinação pode ser encontrada ajustando uma reta utilizando o
método dos Mínimos Quadrados, junto com a incerteza da inclinação. As equações dos
Mínimos Quadrados para o ajuste de uma reta (Y = a +bX) são:
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Além disso, o período de oscilação experimental pode ser calculado através da
diferença entre dois máximos locais da oscilação de cada dado. Utilizando uma média
aritmética e desvio padrão para cada valor, podemos escrever a medida do período para
cada experimento
Esquema do Experimento:
Procedimento Experimental:
→Parâmetros do Oscilador Massa-Mola:
➔ Utilizamos a balança digital disponível, que mede com exatidão de 0.01 gramas;
➔ Antes de utilizarmos a balança, regulamos ela para ficar o mais bem nivelado
possível com a mesa, para evitar e diminuir quaisquer problemas na medição;
➔ Utilizamos a régua milimetrada, que mede com precisão de 0.05 centímetros;
➔ Escolhemos uma mola que, aparentemente, tinha uma das maiores constantes
elásticas em relação às outras disponíveis;
➔ O valor obtido para o comprimento da mola no ponto inicial foi de C = (5.50 ±
0.05)cm;
➔ A massa inicial escolhida para o conjunto de pesinho foi de M = (55.05 0.01)g;±
➔ Colocamos a massa na mola e deixamos ela parada em seu novo ponto de
equilíbrio;
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➔ Calculamos a deformação da mola através da diferença entre o novo comprimento
total e o comprimento inicial dela;
➔ Retiramos o conjunto e adicionamos 20 gramas a ele, colocamos novamente na
mola e calculamos de novo a deformação dela;
➔ Todo este procedimento foi feito num total de sete vezes;
➔ A massa da mola em si foi desconsiderada, isto é, consideramos ela como uma
mola ideal;
➔ Tivemos o cuidado para não causar uma deformação permanente na mola.
Manejamos ela com cuidado e não excedemos o valor máximo referencial de 250
gramas, que pode ser colocado nela.
→Oscilação do sistema:
➔ Antes de iniciarmos a coleta dos dados, verificamos se a mola poderia oscilar sem
encostar na superfície da mesa, ou em qualquer outro possível obstáculo.
➔ Após estas verificações, começamos a preparar a Interface Xplorer GLX para a
coleta dos dados do oscilador. Primeiro, nós configuramos a tabela de dados
apertando a tecla home, para acessar o menu; logo após, escolhemos a opção
tabela e em seguida a configuramos através da tecla F4 e selecionamos a opção
número 1 que é Mostrar tempo. Neste experimento, deixamos a frequência em 25
hertz. Isto foi configurado no menu inicial utilizando a opção Sensores e, em
seguida, Taxa de amostragem;
➔ Deslocamos levemente para baixo o conjunto de massa do ponto de equilíbrio,
pressionamos a tecla Play para iniciar a captura de amostras e soltamos a massa
para que começasse seu movimento oscilante. Repetimos o experimento até a
sétima adição de massa no conjunto. Durante o experimento, ficamos atentos sobre
o limite de tração da mola e evitamos forçá-la muito quando iniciamos a oscilação.
Em todas as medidas, o sistema massa-mola estava completamente suspenso e em
nenhum momento entrou em contato com alguma superfície ou obstáculo externo;
➔ Através desse experimento, obtivemos dados o suficiente para montar sete gráficos
de Força Elástica x Tempo e para estimar os valores e as incertezas do período de
oscilação do sistema em cada uma das medidas.
Resultados e Discussões:
Através dos procedimentos discutidos, obtivemos as massas de cada conjunto, as
deformações para cada conjunto e também o período experimental para cada medida.
Considerando que no ponto de equilíbrio apenas o peso do conjunto estava sendo exercido
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sobre o sistema, pela Segunda Lei de Newton o peso se igualará à força elástica. Assim,
calculamos o valor da força elástica no ponto de equilíbrio para cada conjunto utilizado.
Utilizando o valor da força elástica e da deformação da mola, formamos um gráfico
Força (N) por Deformação (m) para encontrar um valor para a constante elástica K. Com
todos esses dados, formamos uma tabela para organizar os parâmetros. É importante
ressaltar que colocamos os dados com os valores medidos (isto é, sem nenhuma
conversão), e para fazer o cálculo da constante elástica, convertemos para os valores
necessários do SI. Segue, abaixo, a tabela com os parâmetros e com a constante elástica:
Obs: O valor de K que iremos utilizar é o feito pelos Mínimos Quadrados
(K = (6.77± 0.04) N/m)
Abaixo, segue o gráfico Força x Deformação confeccionado através do gnuplot
(código para a confecção se encontra no Apêndice A):
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Os Mínimos Quadrados resultaram na seguinte tabela, em que a constante elástica
calculada foi de K = (6.77± 0.04) N/m:
Abaixo, segue os gráficos Força x Deformação de cada um dos experimentos,
juntamente com o valor experimental dos períodos de oscilação (eles estão na primeira
tabela). Alguns gráficos tiveram alguns picos positivos ou negativos próximo de cada
máximo ou mínimo, respectivamente. Este erro pode ter acontecido por causa de pequenos
balanços realizados pelo sistema massa-mola enquanto oscilava, já que em alguns
momentos não foi possível fazer uma oscilação o mais suave possível, embora tivemos o
cuidado de não aplicar muita força ao sistema. Porém, este problema não influenciou o
cálculo dos períodos, já que conseguimos visualizar os valores através da tabela criada pela
GLX e estimar o valor do período e da incerteza. O código para a confecção destes gráficos
se encontra no Apêndice B. Obs: O título era para ser Força x Tempo, mas ocorreu um erro no código e
fez este trocar para deformação, mas isto é apenas um erro de digitação.
𝑇 1 = (0.58 ± 0.05)𝑠
7
𝑇 2 = (0.67 ± 0.02)𝑠
𝑇 3 = (0.75 ± 0.02)𝑠
𝑇 4 = (0.83 ± 0.02)s
8
𝑇 5 = (0.89 ± 0.02)𝑠
𝑇 6 = (0.95 ± 0.02)𝑠
𝑇 7 = (1.01 ± 0.02)𝑠
Conseguimos perceber que conforme o conjunto de massa vai aumentando de valor
em kg, o período de oscilação também começa a aumentar. Consequentemente, a
frequência de oscilação diminui conforme a equação (4).
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Agora, iremos calcular o valor teórico dos períodos, e após isto iremos calcular a
discrepância relativa entre os valores experimentais T (obtidos)e teóricos Te (referenciais).
Segue, abaixo, o cálculo utilizando a equação (3) dos períodos de oscilação teóricos, junto
com a discrepância relativa utilizando a equação (5):
→𝑇 e1:
Nosso primeiro valor teórico foi 𝑇 e1 = (0.566 ± 0.002)𝑠. O valor experimental
correspondente a esta medida é de 𝑇 1 = (0.58 ± 0.05)𝑠. Considerando Te1 como um valor
de referência e T1 como o valor obtido, podemos calcular a discrepância relativa entre estes
dois valores, que resultará numa porcentagem de D1 = 2.47%. O valor experimental se
aproximou de forma satisfatória ao modelo teórico.
→𝑇 e2:
Aqui obtemos 𝑇 e2 = (0.660 ± 0.002)𝑠. Como o valor experimental do segundo
período foi de 𝑇 2 = (0.67 ± 0.02)𝑠, então podemos calcular a discrepância relativa
considerando Te2 como o valor referencial, e T2 como o valor obtido. Fazendo os cálculos,
descobrimos que D2 = 1.51%. O modelo teórico se aproximou muito bem da realidade.
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→𝑇 e3:
Aqui temos que 𝑇 e3 = (0.753 ± 0.002)𝑠. Sabendo que o valor experimental do
terceiro período foi de 𝑇 3 = (0.75 ± 0.02)𝑠, então a discrepância relativa entre os dois
valores é de: D3 = 0.4%. Isso significa que o modelo teórico se aproximou com ótima
exatidão ao valor experimental.
→𝑇 e4:
Aqui temos que 𝑇 e4 = (0.817 ± 0.002)𝑠. Com o seu correspondente valor
experimental sendo 𝑇 4 = (0.83 ± 0.02)s, temos que a discrepância entre os dois valores é
de D4 = 1.59%. O modelo teórico novamente se aproximou muito bem da realidade.
→𝑇 e5:
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Aqui temos que 𝑇 e5 = (0.886 ± 0.002)s. O valor experimental correspondente é de 𝑇
5 = (0.89 ± 0.02)𝑠. Assim, a discrepância relativa entre os dois valores é de D5 = 0.45%.
Novamente, o modelo teórico gerou ótimos resultados com boas precisões.
→𝑇 e6:
Aqui temos que 𝑇 e6 = (0.949 ± 0.002)𝑠. O valor obtido é de 𝑇 6 = (0.95 ± 0.02)𝑠,
logo a discrepância relativa entre os dois valores é de D6 = 0.10%. Novamente o valor
experimental se assemelhou com grande precisão ao modelo teórico.
→𝑇 e7:
Por fim, temos que 𝑇 e7 = (1.012 ± 0.002)𝑠. Seu valor experimental correspondente é
de 𝑇 7 = (1.01 ± 0.02)𝑠. Assim, a discrepância relativa entre os valores é de D7 = 0.19%. De
novo, o modelo teórico descreveu com ótima precisão o valor experimental.
Utilizando os parâmetros do sistema massa-mola, também confeccionamos um
gráfico milimetrado à mão. As tabelas de valores e parâmetros, os cálculos de escala, os
Mínimos Quadrados estão em anexo juntamente com o relatório e com o gráfico.
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Conclusões:
Através destes experimentos, conseguimos com êxito realizar nossos objetivos
iniciais.
Conseguimos estimar os períodos de oscilação experimentais através das análises
dos dados e também obtivemos os períodos de oscilação teórico. Através da discrepância
relativa, conseguimos comparar o quão o modelo teórico se difere dos resultados reais
obtidos experimentalmente e descobrimos que o modelo aproxima muito bem os valores
experimentais.
Através da análise dos parâmetros do sistema massa-mola, conseguimos estimar
um valor para a constante elástica K utilizando o método dos mínimos quadrados assim
como estimar a incerteza de seu valor.
Percebemos que conforme aumentamos a massa do conjunto, o período de
oscilação vai gradativamente aumentando também. É importante ressaltar que pode ter
ocorrido erros humanos durante as medições, porém, mesmo com a possibilidade destes
erros, conseguimos obter dados e resultados muito satisfatórios
Bibliografia:
➔ NUSSENZVEIG, H. Moyses. Curso de Física Básica, Vol. 1, Ed. Edgar Blucher
Ltda;
➔ GONÇALVES, Neide; DA SILVA, Ladário; DARGHAM, Tania. Apostila de Laboratório
de Física 1. Centro de Ensino Técnico Científico da Escola Naval.
➔ DA SILVA, Ladário. Física Experimental II Prática: Oscilador massa-mola.
Departamento de física do Instituto de Ciências Exatas ICEx da Universidade
Federal Fluminense.
➔ DA SILVA, Ladário. Construção de Gráficos e Método dos Mínimos Quadrados.
Departamento de física do Instituto de Ciências Exatas ICEx da Universidade
Federal Fluminense.
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APÊNDICE A – CÓDIGO DO GRÁFICO FORÇA X DEFORMAÇÃO
Programa utilizado: Gnuplot (Script feito para ele)
Sistema operacional utilizado: Debian versão 11 “Bullseye”
set term pdf color
set output "Grafico.pdf"
set title "Força x Deformação"
set xrange [0.056:0.230]
set yrange [0.5395:1.7150]
set xlabel "x(m)"
set ylabel "F(N)"
set grid ytics mytics
set mytics 2
set grid
set grid xtics mxtics
set mxtics 2
set grid
f(x) = a*x + b
fit f(x) '/home/feathier/dados/MOLA/ELASTICO.dat' using 1:2 via a,b
plot f(x), '/home/feathier/dados/MOLA/ELASTICO.dat' using 1:2 title "Ajuste"
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APÊNDICE B – CÓDIGO PARA A CONFECÇÃO DOS SETE
GRÁFICOS FORÇA X TEMPOS
Programa utilizado: Gnuplot
Sistema operacional utilizado: Debian versão 11 “Bullseye”
Observação: Para cada uma das sete medidas utilizamos este script, porém
alterando a escala (xrange e yrange). Por isso, colocaremos os valores delas como
incógnitas X e Y.
set term pdf color
set output "GraficoX.pdf"
set title "Forca x Deformacao"
set xrange [Xi:Xo]
set yrange [Yi:Yo]
set xlabel "t(s)"
set ylabel "F(N)"
set grid ytics mytics
set mytics 2
set grid
set grid xtics mxtics
set mxtics 2
set grid
plot '/home/feathier/dados/MOLA/X.dat' using 1:2 title "Dados" with linespoint