Questão resolvida - Usando a regra de L'Hospital, calcule o limite - Cálculo I - UNINASSAU

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• Usando a regra de L'Hospital, calcule o limite
 
lim
x 0→
sen x - x
x ⋅ sen x
( )
( )
a) +∞
b) 0
c) não existe
d) 
1
2
e) -∞
 
Resolução:
 
A regra de L'Hospital nos diz que em limites de funções quocientes quaisquer, onde hajam 
indeterminações dos tipos , o limite dessas funções com x tendendo a a, possuem a e 
0
0
±∞
±∞
seguinte relação;
 
=lim
x a→
f x
g x
( )
( )
lim
x a→
f' x
g' x
( )
( )
Com isso o limite aqui estudado fica;
 
= =lim
x 0→
sen x - x
x ⋅ sen x
( )
( )
lim
x 0→
cos x - 1
1 ⋅ sen x + cos x ⋅ x
( )
( ) ( )
lim
x 0→
cos x - 1
sen x + xcos x
( )
( ) ( )
 
Agora, substituindo o limite;
 
= = = =lim
x 0→
sen x - x
x ⋅ sen x
( )
( )
lim
x 0→
cos x - 1
sen x + xcos x
( )
( ) ( )
cos 0 - 1
sen 0 + 0 ⋅ cos 0
( )
( ) ( )
1 - 1
0 + 0
0
0
 
Como a indeterminação é do tipo , podemos aplicar, mais uma vez, a egra de L'Hospital;
0
0
 
 
 
= -lim
x 0→
-sen x
cos x + 1 ⋅ cos x + -sen x x
( )
( ) ( ) ( ( ))
lim
x 0→
sen x
2cos x - xsen x
( )
( ) ( )
 
Substituindo o limite;
 
= = - = - = =lim
x 0→
sen x - x
x ⋅ sen x
( )
( )
lim
x 0→
-sen x
2cos x - xsen x
( )
( ) ( )
sen 0
2cos 0 - 0 ⋅ sen 0
( )
( ) ( )
0
2 ⋅ 1 - 0 ⋅ 0
0
2 - 0
0
2
 
= 0lim
x 0→
sen x - x
x ⋅ sen x
( )
( )
 
 
(Resposta )