Distribuições Amostrais

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19/05/2022
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Inferência estatística e 
distribuições amostrais
Estatística - NID
Prof. Nilmar de Souza
Estatística – Prof. Nilmar de Souza
1. Introdução
2. Erros amostrais
3. Distribuições amostrais
• Distribuição amostral da média
• Distribuição amostral da proporção
4. Referências
SumárioSumárioSumárioSumário
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• aprendemos como resumir, descrever, variáveis associadas a um 
ou mais conjunto de dados.
• depois, tomamos conhecimento de alguns modelos 
probabilísticos que, determinados por seus parâmetros, são 
capazes de representar adequadamente o comportamento de 
algumas variáveis aleatórias.
Em aulas anteriores, ....Em aulas anteriores, ....Em aulas anteriores, ....Em aulas anteriores, ....
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• Na prática, frequentemente o pesquisador tem alguma ideia 
sobre a forma como algumas variáveis se distribuem, mas não 
dos valores exatos dos parâmetros que as especificam.
• EXEMPLO: podemos supor que a distribuição das alturas de 
uma certa população pode ser representada por um modelo 
normal, mas qual distribuição, porque precisaríamos conhecer 
os parâmetros média e desvio padrão para que ela ficasse 
completamente especificada.
Introdução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência Estatística
Estatística – Prof. Nilmar de Souza
• Dessa forma, o propósito do pesquisador passa a ser então, 
descobrir (estimar) os parâmetros da distribuição para sua 
posterior utilização.
• Se pudéssemos medir as alturas de todos os indivíduos dessa 
população, descobriríamos sua distribuição exata e seus 
parâmetros, mas ai não teríamos necessidade de usar a 
inferência estatística.
• Como isso raramente acontece, por razões que já discutimos, é 
caro, demorado, testes destrutivo, temos que selecionar parte 
dos elementos (amostra), analisá-las e inferir propriedades para 
o todo (população).
Introdução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência Estatística
Estatística – Prof. Nilmar de Souza
• Agora nós vamos estudar sobre os aspectos básicos da 
inferência estatística, para aprender como fazer afirmações 
sobre as características de uma população, com base em 
informações dadas por amostras.
• o uso de informações de uma amostra para concluir sobre o 
todo faz parte da atividade de um número elevado de pessoas.
• Podemos usar uma analogia com a maneira como uma 
cozinheira “testa” o preparo de alimentos, ou ...
• Como uma simples amostra de alguns ��� de sangue pode dar 
um diagnostico preciso e confiável sobre a saúde de uma 
pessoa.
Introdução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência EstatísticaIntrodução a Inferência Estatística
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• Alguns estudos estatísticos analisam amostras com o objetivo 
de generalização para o todo ou universo. Tais estudos são 
chamados de indutivos ou inferenciais.
• Quando o processo de amostragem é probabilístico e bem 
conduzido, os resultados podem ser generalizados.
• Mais precisamente, denomina-se inferência estatística o 
problema que consiste em especificar um ou mais valores em 
que � é um parâmetro desconhecido.
Inferência EstatísticaInferência EstatísticaInferência EstatísticaInferência Estatística
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• Um experimentador usa as informações em uma amostra 
aleatória ��; , … , �
 para se fazer inferências sobre �.
• Normalmente � é grande e fica inviável tirar conclusões 
baseadas em uma longa lista de números.
• Por isso, um dos objetivos da inferência estatística é resumir as 
informações de uma amostra, da maneira mais compacta
possível, mas que ao mesmo tempo seja também informativa.
• Normalmente esse resumo é feito por meio de estatísticas, por 
exemplo, a média amostral e a variância amostral.
Redução de dadosRedução de dadosRedução de dadosRedução de dados
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• População: conjunto de valores de uma característica associada 
a uma coleção de indivíduos ou objetos de interesse é dito ser 
uma população.
• Amostra: é qualquer subconjunto da população, mais 
precisamente, uma função probabilidade ou função densidade 
de probabilidade de uma 
. �. (�), modelando a característica 
de interesse.
População e AmostraPopulação e AmostraPopulação e AmostraPopulação e Amostra
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• O objetivo da inferência estatística é produzir afirmações sobre 
dada característica da população, na qual estamos interessados, 
a partir de informações colhidas de uma parte dessa população.
• Essa característica pode ser representada por uma variável 
aleatória.
• Raramente dispomos de informação sobre a variável de
interesse, ou ela é parcial.
• De qualquer forma, o uso de uma amostra ajudaria a formar 
uma opinião sobre o comportamento da variável (população).
Problemas de InferênciaProblemas de InferênciaProblemas de InferênciaProblemas de Inferência
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• Portanto, na maioria das vezes, nos referíamos à “população �”, 
significando que a variável de interesse �, definida sobre a 
população alvo, segue uma distribuição �(�).
• Por exemplo:
• �~��������(50, �) → ���â�����: �, �
• �~!����� 500,20# → ���â�����: $, %²
• � '������(λ) → ���â�����: λ
Problemas de InferênciaProblemas de InferênciaProblemas de InferênciaProblemas de Inferência
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Parâmetros e EstatísticasParâmetros e EstatísticasParâmetros e EstatísticasParâmetros e Estatísticas
média amostral proporção amostral
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• Parâmetro: uma medida numérica que descreve alguma 
característica da população, usualmente representada por 
letras gregas: �, µ, %.
• Estatística: uma medida numérica que descreve alguma 
característica da amostra, usualmente denotada pela letra 
grega do respectivo parâmetro com um acento circunflexo: 
�*, µ+, %+, ou por letras do alfabeto comum: �̅, �,...
BRUNI, Adriano Leal – Estatística aplicada à gestão empresarial. Atlas, 2007.
Parâmetros e EstatísticasParâmetros e EstatísticasParâmetros e EstatísticasParâmetros e Estatísticas
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Parâmetros e EstatísticasParâmetros e EstatísticasParâmetros e EstatísticasParâmetros e Estatísticas
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Parâmetros e Estimador
BRUNI, Adriano Leal – Estatística aplicada à gestão empresarial. Atlas, 2007.
Estatística
Parâmetro 
populacional
Estimador
Média $ �̅
Proporção ' �̂
Desvio padrão % �
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• A Inferência Estatística consiste em fazer afirmações probabilísticas sobre as 
características do modelo probabilístico, que se supõe representar uma 
população, a partir dos dados de uma amostra aleatória (probabilística) desta 
mesma população.
• Fazer uma afirmação probabilística sobre uma característica qualquer é 
associar à declaração feita uma probabilidade de que tal declaração esteja 
correta (e, portanto, a probabilidade complementar de que esteja errada). 
• Quando se usa uma amostra da população SEMPRE haverá uma probabilidade 
de estar cometendo um erro (justamente por ser usada uma amostra): a 
diferença entre os métodos estatísticos e os outros reside no fato de que os 
métodos estatísticos permitem calcular essa probabilidade de erro. 
• E para que isso seja possível a amostra da população precisa ser aleatória.
Inferência EstatísticaInferência EstatísticaInferência EstatísticaInferência Estatística
Erros amostrais
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Erros amostraisErros amostraisErros amostraisErros amostrais
• Erros amostrais:
• Diferença entre o resultado da amostra e o verdadeiro valor da população. Ocorre pois as 
amostras são aleatórias!
Exemplo: a diferença entre a média amostral �. e a média populacional $.
� = �. − $ → é chamado de erro amostral da média.
• Errosnão amostrais:
• Ocorre quando os dados amostrais são coletados incorretamente, devido a uma amostra 
tendenciosa, instrumento de medida defeituoso, anotações erradas, . . .
Atenção!
•Os erros não amostrais não devem existir, ou devem ser minimizados.
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• Não importa quão bem a amostra seja coletada, os erros amostrais sempre 
irão ocorrer.
• Cada vez que uma amostra aleatória for retirada de uma população, um 
resultado diferente será observado
• Selecione uma amostra de tamanho n = 5 das idades dos estudantes de 
uma sala: 
• Repita 5 vezes (tente ser o mais aleatório possível!), calcule a média de 
cada amostra, e compare com a média populacional µ = 22,5.
Erros amostraisErros amostraisErros amostraisErros amostrais
22 21 24 23 20 22 21 25 24 24 23 19 25 24 23 23
20 21 23 20 23 22 23 23 25 25 20 23 24 20
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• O que isso nos diz a respeito das médias amostrais?
• O que isso nos diz a respeito da variabilidade das médias amostrais?
• E se fizemos uma “média das médias” de todas as amostras?
Erros amostraisErros amostraisErros amostraisErros amostrais
Amostra �̅ ∈= �̅ − $
23 23 23 24 23 23,2 0,7
24 22 20 20 20 21,2 -1,3
21 20 19 22 25 21,4 -1,1
22 23 25 20 22 22,4 -0,1
21 20 22 24 20 21,4 -1,1
Distribuições amostrais
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• Como a estatística é um resumo das informações sobre um parâmetro 
obtido a partir da amostra, o valor de uma estatística depende da amostra
particular que foi extraída da população. 
• Os seus valores mudam aleatoriamente a partir de uma amostra aleatória 
para a seguinte, por conseguinte, uma estatística é uma variável aleatória. 
• A distribuição de probabilidade desta variável aleatória é chamada 
distribuição amostral. 
• A distribuição amostral de uma estatística é importante porque nos 
permite tirar conclusões sobre o parâmetro de população correspondente 
com base em uma amostra aleatória.
Distribuições amostraisDistribuições amostraisDistribuições amostraisDistribuições amostrais
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• É possível tirar várias amostras aleatórias de � elementos de uma população.
• Será que as médias amostrais (�̅�, �̅#, �̅2, �̅
) seguem alguma distribuição de probabilidade.
Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
Amostra 
Aleatória 1
Amostra 
Aleatória 2
Amostra 
Aleatória 3
Amostra 
Aleatória 3População
Parâmetros populacionais
4=média=média=média=média :# =variância=variância=variância=variância
...
Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 3
3 = ?; @AB 3 = ?; @AC 3 = ?; @AD 3 = ?; @A3
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• População com ! = 5 elementos:
a) Determine a média e a variância populacional. 
b) Suponha a retirada de uma amostra de tamanho 2, com reposição, quantas e quais são 
as possíveis amostras retiradas da população e qual a probabilidade associada a cada 
uma.
c) Determine a média e a variância da distribuição amostral da média.
Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
Individuo 1 2 3 4 5
Peso 50kg 60kg 70kg 70kg 80kg
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• População com ! = 5 elementos:
a) Determine a média e a variância populacional. → $ = 66FG e %² = 104FG
b) Suponha a retirada de uma amostra de tamanho 2, com reposição, quantas e quais são 
as possíveis amostras retiradas da população e qual a probabilidade associada a cada 
uma. → F = !
 = 5# = 25
c) Determine a média e a variância da distribuição amostral da média.
Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
Individuo 1 2 3 4 5
Peso 50kg 60kg 70kg 70kg 80kg
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
Individuo Peso
Individuo 1 50
Individuo 2 60
Individuo 3 70
Individuo 4 70
Individuo 5 80
! = 5
$ = 66FG
%² = 104FG
Amostra Individuos Pesos Média
1 (1;1) (50;50) 50,00
2 (1;2) (50;60) 55,00
3 (1;3) (50;70) 60,00
4 (1;4) (50;70) 60,00
5 (1;5) (50;80) 65,00
6 (2;1) (60;50) 55,00
7 (2;2) (60;60) 60,00
8 (2;3) (60;70) 65,00
9 (2;4) (60;70) 65,00
10 (2;5) (60;80) 70,00
11 (3;1) (70;50) 60,00
12 (3;2) (70;60) 65,00
13 (3;3) (70;70) 70,00
14 (3;4) (70;70) 70,00
15 (3;5) (70;80) 75,00
16 (4;1) (70;50) 60,00
17 (4;2) (70;60) 65,00
18 (4;3) (70;70) 70,00
19 (4;4) (70;70) 70,00
20 (4;5) (70;80) 75,00
21 (5;1) (80;50) 65,00
22 (5;2) (80;60) 70,00
23 (5;3) (80;70) 75,00
24 (5;4) (80;70) 75,00
25 (5;5) (80;80) 80,00
Formação de amostras aleatórias 
simples de 2 indivíduos (� = 2):
�éJ�� J�� �éJ��� ��������� = 66 FG.

���â�K�� J�� �éJ��� ��������� = 52 FG.
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• Seja � uma 
. �. com média $ e variância %² , e seja (��, … , �
) 
uma amostra aleatória, então:
• L �. = $�̅ = $
• M�� �. = %�̅
2 = %2/�
• %�̅ = M�� �. = %2/� = %/ �
Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
erro padrão da média
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• Portanto, se:
• mas, como
• então, a distribuição amostral da média amostral �. é:
Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
Pesos Freq. %
50 1 4%
55 2 8%
60 5 20%
65 6 24%
70 6 24%
75 4 16%
80 1 4%
Total 25 100,0
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
Teorema (Teorema Central do Limite (TCL))
• Para amostras aleatórias simples (��, �#, … . . , �
), retiradas de uma 
população normal com média $ e variância %#, a distribuição amostral da 
média �., terá forma dada por:
• no limite quando � → ∞, que é a distribuição normal padrão: P ~ !(0; 1).
• Se a população for normal, então �. terá distribuição exata normal.
• A rapidez da convergência para a normal depende da distribuição da população da 
qual as amostras foram geradas.
P =
�. − $
%/ �
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
• Este teorema nos mostra que, para amostras suficientemente grandes (� >
 30), a média amostral �. converge para o verdadeiro valor da média 
populacional $ (é um estimador não viesado de $)
• Além disso, a variância das médias amostrais %S̅
# tende a diminuir conforme 
� → ∞ (é um estimador consistente)
• Estes resultados sugerem que, quando o tamanho da amostra aumenta,
independente do formato da distribuição da população original,
• a distribuição amostral de �. aproxima-se cada vez mais de uma 
distribuição normal, um resultado fundamental na teoria de probabilidade 
conhecido como Teorema Central do Limite.
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
• Em palavras, o teorema garante que que para � grande, a distribuição da 
média amostral, devidamente padronizada, se comporta segundo um 
modelo normal com média 0 e variância 1.
• Peloteorema, temos que quanto maior o tamanho da amostra, melhor é a 
aproximação.
• Estudos envolvendo simulações mostram que, em muitos casos valores de 
� ao redor de 30 fornecem aproximações bastante boas para as aplicações 
práticas.
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
• Quando calculamos a probabilidade de um valor estar em um 
determinado intervalo de valores, podemos usar o modelo Normal, como 
vimos anteriormente.
• No entanto, quando temos uma amostra, e queremos calcular 
probabilidades associadas à média amostral (a probabilidade da média 
amostral estar em um determinado intervalo de valores), precisamos 
necessariamente usar os resultados do TCL.
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Distribuição amostral das médias e erros amostraisDistribuição amostral das médias e erros amostraisDistribuição amostral das médias e erros amostraisDistribuição amostral das médias e erros amostrais
• Já vimos que o erro amostral da média é dado pela diferença entre �. e $, 
ou seja, e = �. − $
• Dessa forma, se
P =
�. − $
%/ �
~!(0,1)
• então a distribuição de e também será normal padrão, pois
e �
%
• Esse resultado será fundamental na construção de estimativas intervalares.
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
• Exemplo: Uma máquina de empacotamento que abastece pacotes de feijão apresenta 
distribuição normal com média de 500 g e desvio-padrão de 22 g. De acordo com as 
normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a 2% 
do estabelecido na embalagem.
a) Determine a probabilidade de um pacote selecionado aleatoriamente ter a peso 
inferior a 490 g.
b) Determine a probabilidade de 20 pacotes selecionados aleatoriamente terem peso 
médio inferior a 490 g.
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
• Exemplo: Uma máquina de empacotamento que abastece pacotes de feijão apresenta 
distribuição normal com média de 500 g e desvio-padrão de 22 g. De acordo com as 
normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a 2% 
do estabelecido na embalagem.
a) Determine a probabilidade de um pacote selecionado aleatoriamente ter a peso 
inferior a 490 g.
Como X é uma N(500,22²) vem:
P(X < 490) = P( -0,45 < Z) = 0,1736 = 0,5 – 0,1736 = 0,3264 (32,64%)
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Distribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médiasDistribuição amostral das médias
• Exemplo: Uma máquina de empacotamento que abastece pacotes de feijão apresenta 
distribuição normal com média de 500 g e desvio-padrão de 22 g. De acordo com as 
normas de defesa do consumidor, os pacotes de feijão não podem ter peso inferior a 2% 
do estabelecido na embalagem.
b) Determine a probabilidade de 20 pacotes selecionados aleatoriamente terem peso 
médio inferior a 490 g.
Neste caso é uma N(500, 4,92²) vem:
P(�. < 490) = P( -2,03 < Z) = 0,4788 = 0,5 – 0,4788 = 0,0212 (2,12%)
Distribuição amostral da 
proporção
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Distribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporção
• Muitas vezes, o interesse é conhecer uma proporção, e não a média de uma população.
• Suponha que uma amostra de tamanho � foi obtida de uma população, e que � ≤ �
observações nessa amostra pertençam a uma classe de interesse (ex: pessoas do sexo 
masculino).
• Dessa forma, a proporção amostral
�̂ =
�
�
=
�ú���� J� �WK�����
����� J� �������
��
• é o “melhor estimador” para a proporção populacional �.
• Note que � e � são os parâmetros de uma distribuição binomial.
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Distribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporção
• Exemplo: em 5 lançamentos de uma moeda considere que o evento “cara” (C) seja o 
sucesso (“sucesso” = 1; “fracasso” = 0). Um possível resultado seria o conjunto {C, C, R, R, C}. 
A proporção amostral seria.
�̂ =
�
�
=
�ú���� J� �WK�����
����� J� �������
��
=
3
5
= 0,6
• Exemplo: em uma amostra de 2500 eleitores de uma cidade, 1784 deles eram favoráveis à 
reeleição do atual prefeito. A proporção amostral é então.
�̂ =
�
�
=
�ú���� J� �WK�����
����� J� �������
��
=
1784
2500
= 0,7136
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Distribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporção
• A distribuição amostral de uma proporção é a distribuição das proporções 
de todas as possíveis amostras de tamanho � retiradas de uma população.
• Vamos analisar diferentes distribuições amostrais para proporção:
• Uma moeda é lançada � = 10 vezes, e a proporção de caras é registrada.
• Esse processo é repetido � = 10; 30; 100; 1000; 10000 vezes.
• Com isso, concluímos que:
• A média das proporções para � → ∞ tende para a verdadeira proporção 
populacional � = 0,5.
• A distribuição amostral das proporções segue aproximadamente uma distribuição 
normal.
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Distribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporção
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Distribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporção
• Através do estudo da distribuição amostral da proporção, chegamos aos 
seguintes resultados:
L �̂ = $Z+ = �
M�� �̂ = %Z+
# =
�(1 − �)
�
• Ou seja, �̂ é um estimador não viciado e consistente para �.
• Assim, a distribuição amostral de �̂ será:
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Distribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporção
• Note que o erro padrão de �̂ será:
• Assim, usando o TCL, podemos mostrar que a quantidade.
• segue uma distribuição normal padrão com média 0 e variância 1.
• Quando não conhecemos �, usamos �̂ = �/� como estimativa para 
calcular o erro padrão.
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Referências BibliográficasReferências BibliográficasReferências BibliográficasReferências Bibliográficas
• BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio Cezar. Estatística para 
cursos de engenharia e informática. São Paulo: Atlas, 2010.
• BRUNI, Adriano Leal. Estatística aplicada à gestão empresarial. 2. ed. São Paulo, SP: Atlas, 
2008. 
• DEVORE, Jay L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências / 2014 São Paulo, SP: 
Cengage Learning, 2014. 
• MONTGOMERY, Douglas C; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros - 5. ed. / 2012 Rio de Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, 2012. 
• TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística: atualização da tecnologia. 11. ed. Rio de Janeiro, 
RJ: Livros Técnicos e Científicos, c2013.
• WALPOLE, Ronald E. Probabilidade & estatística para engenharia e ciências. São Paulo, SP: 
Pearson Prentice Hall, 2009.