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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - CALCULO VETORIAL xxxxxx

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1 
 
ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
CÁLCULO VETORIAL - D1.20221.B 
 
 
Raimundo Vieira Alves Teixeira 
Matrícula 01453602 
Curso Engenharia Civil 
 
Proposta de atividade contextualizada segundo o case: 
Em uma indústria hipotética utilizam-se os conhecimentos de cálculo vetorial 
para operar um determinado maquinário a fim de se produzir uma mercadoria 
com base em um determinada matéria-prima. Esse maquinário trabalha com o 
deslocamento de partículas dessa determinada matéria-prima ao longo de um 
campo vetorial determinado (F). 
Ao final desse trajeto no campo vetorial, as partículas colidem-se com um 
anteparo, onde ficam presas. O acúmulo dessas partículas, de acordo com a 
movimentação do equipamento, é o que proporciona a elaboração dessa 
determinada mercadoria a ser vendida pela indústria em questão. 
É imprescindível, para os fins operacionais dessa indústria, que se determine o 
trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial. Para isso, é necessário 
todo o conhecimento estudado até o momento, ou seja, o conhecimento acerca 
de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de 
linha de trabalho. 
Por fim, ressalta-se que, por designações operacionais do equipamento, o 
campo vetorial a ser considerado sempre deve ser conservativo para que o 
maquinário, e consequentemente todo o sistema produtivo da indústria, funcione 
de maneira ótima. 
Retomou-se nos textos-base e em suas validações os conceitos de gradiente, 
campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho. 
Esses são os conceitos necessários para se realizar essa proposta de atividade 
que terá, por sua vez, embasamento na situação-problema apresenta no case. 
javascript:void(0);
2 
 
 
Considere-se o funcionário dessa empresa, encarregado de tal tarefa, ou seja, 
determinar o trabalho de uma partícula em um campo vetorial desse maquinário. 
Para isso, seu superior lhe apresenta duas opções de campo vetoriais a serem 
escolhidos para se trabalhar: 
F1 (x, y, z) = −
1
2
 x1 −
1
2
 yj + 
1
4
 k ou F2(x, y, z) = xi + 2xj + zk 
A trajetória feita pela partícula é dada pela curva parametrizada no espaço r(t) = 
cos (t) i + sem (t) j + tk, sendo que a partícula se move do ponto A (1,0,0) até B 
(-1,0,4π). A dinâmica de todo esse processo é mostrada na figura abaixo: 
 
O objetivo, portanto, é: 
➢ Determinar o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu 
deslocamento, em um determinado campo F. 
a) Entre os campos de atividade proposta foi escolhido o seguinte 
campo para desenvolver a atividade: 
F (x, y, z) = −
1
2
 x1 −
1
2
 yj + 
1
4
 k 
Para esta definição iremos fazer uso da integral de linha de trabalho, que se 
mostra como é: W = ∫ 𝐹 ∗ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹 
𝑏 
𝑎
(𝑟(𝑡)) ∗ 𝑟′(𝑡)𝑑𝑡
𝑐
 
Desenho feito no AutoCad 
 
3 
 
Logo fica identifica-se sua primeira parte da integral de linha, portanto repete-se 
a função do campo vetorial F em função dos parâmetros de r(t) como segue: 
 
𝐹(𝑟(𝑡)) → 𝐹 (𝑥(𝑡), 𝑦 (𝑡), 𝑧(𝑡) = −
1
2
(𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑖, −
1
2
(𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑗, +
1
4
 𝑘 
Agora indo para a segunda parte da integral de linha, para isso precisa-se 
encontrar o vetor tangente r’(t) através das derivadas parciais dos componentes 
do arco de hélice, então tem-se: 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 (𝑡) = 𝑟′(𝑡) =
𝜕 𝑐𝑜𝑠(𝑡)
𝜕𝑡
 𝑖 + 
𝜕𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝜕𝑡
 𝑗 +
𝜕𝑡𝑘
𝜕𝑡
 𝑟′(𝑡) = −sen(t)i + cos(t)j + k 
 
Com os dados apurados em relação ao campo vetorial F e o valor encontrado 
da tangente ao destino da partícula, segue a integral de linha, aparente como no 
início da proposta. 
∫ (− 
1
2
cos(𝑡)𝑖 − 
1
2
 (𝑠𝑒𝑛 (𝑡))𝑗 + 
1
4
 𝑘 ) ∗ (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡) 𝑗 + 𝑡𝑘)𝑑𝑡
4𝜋
0
 
⟶ ∫ ( 
1
2
sen(𝑡)cos (𝑡) − 
1
2
 (𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos (𝑡) + 
1
4
 𝑘 ) = 𝑑𝑡 = 𝜋 ≈ 3,1414 ⟶ 𝑊 
4𝜋
0
≈ 3,1416 
Diante da proposta realizada sabe-se que a partícula ao decorrer percurso é 
definido pelo resultado da integral, o escalar entre vetor tangente e a direção a 
partícula e um vetor do campo vetorial dentro dos limites da variável (t), a solução 
permanecerá constantemente sendo escalar. 
 
Somado a isso, imagine uma segunda situação, em que um colega de trabalho 
sugere uma alteração da trajetória da partícula, ou seja, sugere alterar o caminho 
feito entre A e B nesse campo, dizendo que existem outros caminhos a serem 
percorrido resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. Portanto, 
deve-se avaliar, também: 
➢ Essa sugestão do colega de trabalho, apontando os aspectos relevantes 
que devem ser discutidos para que haja ou não uma alteração no caminho 
entre os pontos A e B realizados pela partícula. 
Resposta: 
4 
 
A resposta fica evidente, pois sabe-se que para a máquina atingir o 
funcionamento ideal o campo precisa ter a propriedade de conservar sua energia 
para que o trabalho seja independente do seu caminho, ficando independente 
os pontos inicial e final do trajeto da partícula. 
Calculo do gradiente: 
∇ f(x, y, z) = F(x, y, z) 
∇ f (x, y, z) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) = (− 
1
2
 𝑥, − 
1
2
 𝑦 + − 
1
4
 𝑧) 
Observando o cálculo do gradiente, é exposto que não se difere o campo, 
portanto não sofre alteração no trabalho desenvolvido pela partícula. 
 
Referencias: 
Proposta do case – 
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFr
ame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-
scormengine-
BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%
3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=
_92815_1&contentId=_5080817_1 
Notas de aula na disciplina Calculo Vetorial – Coordenadores, professores e 
tutores: Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lobo, Laura Julye Sales 
Almeida, Fábio Leonardo Freitas e Souza – 
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline 
Fonte: 
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-
derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-
gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%
20um%20campo%20vetorial. 
https://www.youtube.com/watch?v=xsZ9DgAf88o 
https://www.youtube.com/watch?v=JphpwL7PAKc 
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%20um%20campo%20vetorial
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%20um%20campo%20vetorial
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https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%20um%20campo%20vetorial
https://www.youtube.com/watch?v=xsZ9DgAf88o
https://www.youtube.com/watch?v=JphpwL7PAKc

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