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1 ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CÁLCULO VETORIAL - D1.20221.B Raimundo Vieira Alves Teixeira Matrícula 01453602 Curso Engenharia Civil Proposta de atividade contextualizada segundo o case: Em uma indústria hipotética utilizam-se os conhecimentos de cálculo vetorial para operar um determinado maquinário a fim de se produzir uma mercadoria com base em um determinada matéria-prima. Esse maquinário trabalha com o deslocamento de partículas dessa determinada matéria-prima ao longo de um campo vetorial determinado (F). Ao final desse trajeto no campo vetorial, as partículas colidem-se com um anteparo, onde ficam presas. O acúmulo dessas partículas, de acordo com a movimentação do equipamento, é o que proporciona a elaboração dessa determinada mercadoria a ser vendida pela indústria em questão. É imprescindível, para os fins operacionais dessa indústria, que se determine o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial. Para isso, é necessário todo o conhecimento estudado até o momento, ou seja, o conhecimento acerca de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho. Por fim, ressalta-se que, por designações operacionais do equipamento, o campo vetorial a ser considerado sempre deve ser conservativo para que o maquinário, e consequentemente todo o sistema produtivo da indústria, funcione de maneira ótima. Retomou-se nos textos-base e em suas validações os conceitos de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho. Esses são os conceitos necessários para se realizar essa proposta de atividade que terá, por sua vez, embasamento na situação-problema apresenta no case. javascript:void(0); 2 Considere-se o funcionário dessa empresa, encarregado de tal tarefa, ou seja, determinar o trabalho de uma partícula em um campo vetorial desse maquinário. Para isso, seu superior lhe apresenta duas opções de campo vetoriais a serem escolhidos para se trabalhar: F1 (x, y, z) = − 1 2 x1 − 1 2 yj + 1 4 k ou F2(x, y, z) = xi + 2xj + zk A trajetória feita pela partícula é dada pela curva parametrizada no espaço r(t) = cos (t) i + sem (t) j + tk, sendo que a partícula se move do ponto A (1,0,0) até B (-1,0,4π). A dinâmica de todo esse processo é mostrada na figura abaixo: O objetivo, portanto, é: ➢ Determinar o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu deslocamento, em um determinado campo F. a) Entre os campos de atividade proposta foi escolhido o seguinte campo para desenvolver a atividade: F (x, y, z) = − 1 2 x1 − 1 2 yj + 1 4 k Para esta definição iremos fazer uso da integral de linha de trabalho, que se mostra como é: W = ∫ 𝐹 ∗ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹 𝑏 𝑎 (𝑟(𝑡)) ∗ 𝑟′(𝑡)𝑑𝑡 𝑐 Desenho feito no AutoCad 3 Logo fica identifica-se sua primeira parte da integral de linha, portanto repete-se a função do campo vetorial F em função dos parâmetros de r(t) como segue: 𝐹(𝑟(𝑡)) → 𝐹 (𝑥(𝑡), 𝑦 (𝑡), 𝑧(𝑡) = − 1 2 (𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑖, − 1 2 (𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑗, + 1 4 𝑘 Agora indo para a segunda parte da integral de linha, para isso precisa-se encontrar o vetor tangente r’(t) através das derivadas parciais dos componentes do arco de hélice, então tem-se: 𝑑𝑟 𝑑𝑡 (𝑡) = 𝑟′(𝑡) = 𝜕 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝜕𝑡 𝑖 + 𝜕𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝜕𝑡 𝑗 + 𝜕𝑡𝑘 𝜕𝑡 𝑟′(𝑡) = −sen(t)i + cos(t)j + k Com os dados apurados em relação ao campo vetorial F e o valor encontrado da tangente ao destino da partícula, segue a integral de linha, aparente como no início da proposta. ∫ (− 1 2 cos(𝑡)𝑖 − 1 2 (𝑠𝑒𝑛 (𝑡))𝑗 + 1 4 𝑘 ) ∗ (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡) 𝑗 + 𝑡𝑘)𝑑𝑡 4𝜋 0 ⟶ ∫ ( 1 2 sen(𝑡)cos (𝑡) − 1 2 (𝑠𝑒𝑛(𝑡)cos (𝑡) + 1 4 𝑘 ) = 𝑑𝑡 = 𝜋 ≈ 3,1414 ⟶ 𝑊 4𝜋 0 ≈ 3,1416 Diante da proposta realizada sabe-se que a partícula ao decorrer percurso é definido pelo resultado da integral, o escalar entre vetor tangente e a direção a partícula e um vetor do campo vetorial dentro dos limites da variável (t), a solução permanecerá constantemente sendo escalar. Somado a isso, imagine uma segunda situação, em que um colega de trabalho sugere uma alteração da trajetória da partícula, ou seja, sugere alterar o caminho feito entre A e B nesse campo, dizendo que existem outros caminhos a serem percorrido resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. Portanto, deve-se avaliar, também: ➢ Essa sugestão do colega de trabalho, apontando os aspectos relevantes que devem ser discutidos para que haja ou não uma alteração no caminho entre os pontos A e B realizados pela partícula. Resposta: 4 A resposta fica evidente, pois sabe-se que para a máquina atingir o funcionamento ideal o campo precisa ter a propriedade de conservar sua energia para que o trabalho seja independente do seu caminho, ficando independente os pontos inicial e final do trajeto da partícula. Calculo do gradiente: ∇ f(x, y, z) = F(x, y, z) ∇ f (x, y, z) = ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 ) = (− 1 2 𝑥, − 1 2 𝑦 + − 1 4 𝑧) Observando o cálculo do gradiente, é exposto que não se difere o campo, portanto não sofre alteração no trabalho desenvolvido pela partícula. Referencias: Proposta do case – https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFr ame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor- scormengine- BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id% 3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId= _92815_1&contentId=_5080817_1 Notas de aula na disciplina Calculo Vetorial – Coordenadores, professores e tutores: Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lobo, Laura Julye Sales Almeida, Fábio Leonardo Freitas e Souza – https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline Fonte: https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable- derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the- gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como% 20um%20campo%20vetorial. https://www.youtube.com/watch?v=xsZ9DgAf88o https://www.youtube.com/watch?v=JphpwL7PAKc https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1 https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1 https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1 https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1 https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1 https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%20um%20campo%20vetorial https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%20um%20campo%20vetorial https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%20um%20campo%20vetorial https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient#:~:text=Gradiente%20de%20f%20(%20x%20%2C%20y,y%20como%20um%20campo%20vetorial https://www.youtube.com/watch?v=xsZ9DgAf88o https://www.youtube.com/watch?v=JphpwL7PAKc
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