PROTENDIDO-CONTEUDO-06-EXERCICIOS-RESOLVIDOS(1)

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CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO 
 
REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 
 
LUIZ CHOLFE 
LUCIANA A. S. BONILHA 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEVEREIRO/2012 
 
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO 
 
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1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
1.1 - Introdução 
 
Este capítulo é uma coletânea de exercícios aplicados em provas do curso de concreto 
protendido. 
 
Os problemas de dimensionamento quanto aos Estados Limites de Utilização devem ser 
complementados com a verificação do Estado Limite Último, obrigatória por norma. 
 
 
1.2 - Formulário: Combinações da NBR- 8681 
 
 
COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO 
 
 Combinações quase-permanentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =1 
 
 Combinações freqüentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 Combinações raras 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 
 
COMBINAÇÕES ÚLTIMAS 
 
 Combinações últimas normais 
 m n 
Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k] 
 i =1 j =2 
 
 
 
0 , 1 e 2 : conforme tabela 5 da NBR-8681 
gi e q : coeficientes de ponderação conforme NBR-8681 
 
 
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2 - DIMENSIONAMENTO 
 
2.1 - Exercício 1 
 
A estrutura abaixo representa uma laje, de seção transversal constante, em balanço, submetida 
às ações: 
g = peso próprio, com c = 25 kN/m³ 
q = 2 kPa (carga acidental distribuída) 
G = 50 kN (carga concentrada permanente) 
Q = 20 kN (carga concentrada acidental) 
 
A laje deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, 
após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção de engastamento (A). Dimensionar a 
armadura de protensão, na seção de engastamento (A), com protensão completa, seguindo as 
diretrizes da NBR-7197. 
 
seção transversal (A)
A B
A
cabos
A (distribuída)p
vista lateral
modelo de cálculo
 
DADOS COMPLEMENTARES 
· Utilizar um número inteiro de cabos 
· fck = 32 MPa ; fctk = 2 MPa 
· Adotar CG dos cabos a 5 cm da borda superior : Yo = 0,05 m 
· Fatores de utilização : 
 
 
· Tensões máximas para os Estados Limites : 
 
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RESOLUÇÃO 
 
a) Características geométricas 
 
Ac = 3,00  0,45 = 1,35 m² 
Ic = 3,00  (0,45)3 / 12 = 0,02278 m4 
Wcsu = Wcin = 0,02278 / 0,225 = 0,10124 m³ 
 
 
b) Ações externas 
 
g = 1,35 25 = 33,75 kN / m 
q = 2  3 = 6,00 kN / m 
G = 50 kN 
Q = 20 kN 
 
 
c) Esforços solicitantes na seção (A) 
 
Mg,A = 33,75 (10)2 / 2 = 1687,5 kN.m 
Mq,A = 6,00  (10)2 / 2 = 300 kN.m 
MG,A = 50  10 = 500 kN.m 
MQ,A = 20 10 = 200 kN.m 
 
 
d) Tensões normais devidas às ações externas 
 
g : csu,g = - cin,g = 1687,5 / 0,10124 = 16668 kPa 
q : csu,q = - cin,q = 300 / 0,10124 = 2963 kPa 
G : csu,G = - cin,G = 500 / 0,10124 = 4939 kPa 
Q : csu,Q = - cin,Q = 200 / 0,10124 = 1975 kPa 
 
 
e) Tensões normais devidas à protensão de 4 15,2 a tempo  na seção (A) 
 
ep = 0,225 - 0,05 = 0,175 m 
P = 4  (- 150) = - 600 kN / cabo 
csu,NP = (-600 / 1,35) - [-600 (-0,175) / 0,10124] = - 444,44 - 1037,14 = - 1481,58 kPa 
cin,NP = - 444,44 +1037,14 = 592,70 kPa 
 
 
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f) Dimensionamento: Protensão Completa 
 
1 - Combinações freqüentes : 
 (descompressão) 
 
 
 
Na fibra superior : 
 
 
16668 + 4939 + 0,7  2963 + 0,5  1975 + m'  (- 1481,58) = 0 
 m' = 16,65  adotado 17 cabos 
 
Verificação da fibra inferior com 17 cabos 
17  592,70 - ( 16668 + 4939 + 0,7  2963 + 0,5  1975) = - 14592,70 
 | 14592,70 | < 19200  OK 
 
2 - Combinações raras : 
 (formação de fissuras) 
 
 
 
Na fibra superior : 
 
 
16668 + 4939 + 2963 + 0,6  1975 + m''  (- 1481,58)  2400 
 m'' = 15,76  adotado 16 cabos 
 
Verificação da fibra inferior com 16 cabos 
16  592,70 - (16668 + 4939 + 2963 + 0,6  1975) = - 16271,80 
 | 16271,80 | < 19200  OK 
 
 
Resposta: m = 17 cabos de 4 15,2 , distribuidos na largura de 3 m, na parte superior, 
 a cada ~17 cm. 
 
 
 
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2.2 - Exercício 2 
 
O pilar central de uma passarela, construído com formas deslizantes, com seção transversal 
constante, foi protendido segundo a direção vertical (protensão centrada), conforme indica a 
figura. 
 
 
 
 
Ações atuantes, além da protensão: 
G = 2000 kN reação da superestrutura, representando as cargas permanentes 
H = 180 kN força horizontal acidental (com 1 = 0,6) 
G1 peso próprio do pilar com  = 25 kN / m³ 
 
 
Sabendo-se que o pilar foi projetado com 8 cabos, determinar o número de cordoalhas por cabo 
para se ter protensão total na seção de engastamento bloco x pilar. A força de protensão, após 
todas as perdas, é P = - 110 kN. 
 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
· Características: Ic = ( / 64)  (D4 - d4) , Wc = Ic / (D / 2) 
· Utilizar concreto com fck = 34 MPa e fctk = 3 MPa 
· Os cabos devem conter igual número de cordoalhas 
· Desprezar efeitos de 2ª ordem e cisalhamento 
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Combinações de Utilização 
 
 Combinações freqüentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 
 Combinações raras 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Características 
 
Ac = 0,7854  [(1,60)2 - (1,10)2] = 1,0603 m² 
Ic = ( / 64)  [(1,60)4 - (1,104)] = 0,2498 m4 
Wc = 0,2498 / 0,80 = 0,3123 m³ 
 
 
b) Ações externas, no engastamento 
 
G = 2000 kN 
G1 = 1,0603  20  25 = 530,15 kN 
MH = 180  20 = 3600 kN.m 
 
 
c) Tensões externas 
 
devido G  G = - 2000 / 1,0603 = - 1886,26 kPa 
devido G1  G1 = - 530,15 / 1,0603 = - 500,00 kPa 
devido MH  MH,máx,min = ± 3600 / 0,3123 = ± 11527,38 kPa 
 
d) Tensões devidas à protensão de 1 cordoalha 
 
P(o) = - 110 / 1,0603 = - 103,74 kPa 
 
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e) Dimensionamento / Verificações 
 
1 - Combinações freqüentes 
 
Fibra mais tracionada: c,P + G + G1 + 1 FQ1  0 
 m'  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 0,6  11527,38  0 
 m'  43,7 cordoalhas  adotado m1 = 48 cordoalhas 
 
Fibra mais comprimida: c,P + G + G1 + 1 FQ1  | 0,6 fck | 
 48  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 0,6  11527,38 = - 14282,21 
 | 14282,21 | < | 0,6  34000 | = | 20400 |  OK 
 
2 - Combinações raras 
 
Fibra mais tracionada: c,P + G + G1 + FQ1  1,2 fctk 
 m''  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 11527,38  1,2  3000 
 m''  53,41 cordoalhas  adotado m2 = 56 cordoalhas 
 
Fibra mais comprimida: c,P + G + G1 + FQ1  | 0,6 fck | 
 56  (- 103,74)- 1886,26 - 500,00 - 11527,38 = - 19723,08 
 | 19723,08 | < | 20400 |  OK 
 
 
f) Representação gráfica: combinações freqüentes e raras 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Adotado 56 cordoalhas (8 cabos de 7 cordoalhas cada). 
 -449,35 
+3.331,68 
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2.3 - Exercício 3 
 
Dimensionar a armadura de protensão, da viga abaixo esquematizada, com protensão completa, 
segundo as recomendações da NBR - 7197. 
 
 
 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
· Utilizar cordoalhas de 12,7 mm 
· Força útil de protensão após todas as perdas: N = - 115 kN / cordoalha 
· Adotar igual número de cordoalhas por cabo 
· Número de cabos = 4 
· I = b  h3 / 12 ; W = I / y 
· Mg1 = 400 kN.m 
· Mq1 = 300 kN.m 1 = 0,8 2 = 0,6 
· MQ2 = 200 kN.m 1 = 0,8 2 = 0,6 
· Concreto : fck = 30 MPa ; fctk = 2,0 MPa 
 
 
Tensões máximas para os Estados Limites 
 
 
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Combinações de Utilização 
 
 Combinações freqüentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 Combinações raras 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
a) Características geométricas 
 
Ac = 0,50  1,00 = 0,50 m² 
Ic = 0,50  (1,00)3 / 12 = 0,0417 m4 
Wcsu = Wcin = 0,0417 / 0,5 = 0,0833 m³ 
 
 
b) Carregamentos externos 
 
Mg1 = 400 kN.m 
Mq1 = 300 kN.m 
MQ2 = 200 kN.m 
 
c) Tensões normais externas 
 
devido g1 cin,g1 = - csu,g1 = 400 / 0,0833 = 4800 kPa 
devido q1 cin,q1 = - csu,q1 = 300 / 0,0833 = 3600 kPa 
devido Q2 cin,Q2 = - csu,Q2 = 200 / 0,0833 = 2400 kPa 
 
d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo  
 
Yo = 0,10 m ; e = 0,50 - 0,10 = 0,40 m ; NP = - 115 kN 
c(o)su,NP = - 115 / 0,50 + 115  0,40 / 0,0833 = -230 + 552 = 322 kPa 
c(o)in,NP = - 230 - 552 = - 782 kPa 
 
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e) Dimensionamento com protensão completa 
 
1 - Combinações freqüentes (descompressão) 
 
 
Na fibra inferior cin,P + g1 + 1 q1 + 2 Q2 = 0 
 (- 782)  m1 + 4800 + 0,8  3600 + 0,6  2400 = 0 
 m1 = 11,66 cordoalhas (: 4 = 2,92) 
  adotado 3  4 = 12 cordoalhas de 12,7 mm 
 
Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm 
 12  322 - 4800 - 0,8  3600 - 0,6  2400 < |18000| 
 - 5256 < |18000|  OK 
 
2 - Combinações raras (formação de fissuras) 
 
 
Na fibra inferior cin,P + g1 + q1 + 1 Q2  2400 
 (- 782)  m1 + 4800 + 3600 + 0,8  2400  2400 
 - 782  m1  2400 - 10320 
 - 782  m1  - 7920 
 m1  10,13  adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm 
 
Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm 
 12  322 - 4800 - 3600 - 0,8  2400 < |18000| 
 - 6456 < |18000|  OK 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm , ou seja, 4 cabos de 3  12,7 mm cada. 
 
 
 
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2.4 - Exercício 4 
 
A estrutura abaixo representa uma viga de seção transversal constante, biapoiada, submetida às 
ações g1 (peso próprio), g2 (sobrecarga permanente distribuída) e Q (carga concentrada 
acidental). A viga deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil 
de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção central de momento 
máximo. Dimensionar a seção central, com protensão limitada, seguindo as diretrizes da NBR-
7197, utilizando-se um número inteiro de cabos. 
 
 
 
 
 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
· Ac = 0,65 m² 
· Ic = 0,1695 m4 
· fck = 32 MPa ; fctk = 2,2 MPa 
· = 20 m 
· g2 = 34 kN / m 
· Q = 300 kN 
· c = 25 kN / m³ 
· Adotar CG dos cabos em Yo = 0,10 m 
· Fator de utilização para Q: 1 = 0,7 e 2 = 0,6 
· Não considerar o Estado Limite Último e fases de execução (protensão) 
 
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Combinações de Utilização 
 
 Combinações quase-permanentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =1 
 
 Combinações freqüentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 
Tensões Limites 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
a) Características geométricas 
 
Ac = 0,65 m² Wcsu = Wcin = 0,226 m³ 
Ic = 0,1695 m4 Ycsu = Ycin = 0,75 m 
 
 
b) Carregamentos: momentos fletores na seção central 
 
g1 = 0,65  25 = 16,25 kN / m Mg1 = 16,25  (20)2 / 8 = 812,50 kN.m 
g2 = 34 kN / m Mg2 = 34  (20)2 / 8 = 1700,0 kN.m 
Q = 300 kN MQ = 300  20 / 4 = 1500,0 kN.m 
 
 
c) Tensões normais devidas às ações externas 
 
devido g1: cin,g1 = - csu,g1 = 812,50 / 0,226 = 3595,13 kPa 
devido g2: cin,g2 = - csu,g2 = 1700,0 / 0,226 = 7522,12 kPa 
devido Q: cin,Q = - csu,Q = 1500,0 / 0,226 = 6637,17 kPa 
 
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d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cabo de 4 cordoalhas 
 
1 cabo = NP = 4  (- 150) = - 600 kN 
ep = 0,75 - 0,10 = 0,65 m 
 
c(o)in,NP = [(- 600) / 0,65] + [(- 600)  0,65 / 0,226] = - 923,08 - 1725,66 = - 2648,74 kPa 
c(o)su,NP = - 923,08 + 1725,66 = 802,58 kPa 
 
e) Número de cabos: protensão limitada 
 
1 - Combinações quase permanentes 
 
 
Na fibra inferior: cin (g1 + g2 + P) + 2 Q = 0 
 
 3595,13 + 7522,12 + 0,6  6637,17 + m'  (- 2648,74) = 0 
 m' = 5,70  adotado m' = 6 cabos 
 
Na fibra superior com m' = 6 cabos 
 
 6  802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,6  6637,17) = - 10284,07 kPa 
 | 10284,07 | < 0,6  30000 = 19200 kPa  OK 
 
2 - Combinações freqüentes 
 
 
Na fibra inferior: cin (g1 + g2 + P) + 1 Q  1,2 fctk 
 
 3595,13 + 7522,12 + 0,7  6637,17 + m''  (2648,74) = 2640 
 m'' = 4,95  adotado m'' = 6 cabos 
 
Na fibra superior com m'' = 6 cabos 
 
 6  802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,7  6637,17) = - 10947,79 kPa 
 | 10947,79 | < 19200 kPa  OK 
 
Resposta: 6 cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm. 
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2.5 - Exercício 5 
 
Uma viga de seção transversal em forma de T, conforme detalhe a seguir, deverá resistir aos 
seguintes esforços solicitantes: 
Mg1 = 280 kN.m devido ao peso próprio 
Mg2 = 60 kN.m devido ao revestimento g2 
Mq1 = 400 kN.m sobrecarga 1 1 = 0,6 2 = 0,4 
Mq2 = 220 kN.m sobrecarga 2 1 = 0,3 2 = 0,2 
 
 
 
A viga será protendida com cabos de cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após 
todas as perdas, de 160 kN / cordoalha. 
 
a) Considerando-se as Normas NBR-7197 (Concreto Protendido) e a NBR-8681 (Ações e 
segurança), descrever os tipos de protensão quanto aos Estados Limites de Utilização. 
 
b) Dimensionar a seção, ou seja, calcular o número mínimo de cordoalhas para que se tenha, 
segundo a NBR-7197, protensão limitada. 
 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
· Ac = 0,335 m² 
· Ic = 0,01803 m4 
· Ycsu = 0,28 m 
· Ycin = 0,52 m 
· Wcsu = 0,0644 m³ 
· Wcin = 0,0347 m³ 
· Yo = 0,08 m (posição do CG dos cabos) 
· fck = 30 MPa ; fctk = 2,1 MPaCURSO DE CONCRETO PROTENDIDO 
 
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16 
Combinações de Utilização conforme NBR-8681 
 
 Combinações quase-permanentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =1 
 
 Combinações freqüentes 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 Combinações raras 
 m n 
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k 
 i =1 j =2 
 
 
Tensões Limites 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Tipos de protensão segundo os Estados Limites de Utilização (NBR-7197 e 8681) 
 
Nas classificações são utilizadas as combinações quase-permanentes, as freqüentes e as raras. 
Os estados limites de utilização estão associados à fissuração do concreto podendo ser de 
descompressão, formação de fissuras e abertura de fissuras. 
As protensões podem ser completa, limitada e parcial, conforme a seguinte sinopse: 
 
 
 
 
Em todas as combinações respeitar-se-á o Estado Limite Último. 
 
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17 
b) Dimensionamento da seção 
 
1 - Esforços solicitantes 
 
Mg1 = 280 kN.m 
Mg2 = 60 kN.m 
Mq1 = 400 kN.m 
Mq2 = 220 kN.m 
 
2 - Tensões normais devidas às ações externas 
 
devido g1: cin,g1 = 8069,16 kPa csu,g1 = - 4347,83 kPa 
devido g2: cin,g2 = 1729,17 kPa csu,g2 = - 931,68 kPa 1 2 
devido q1: cin,q1 = 11527,38 kPa csu,q1 = - 6211,18 kPa 0,6 0,4 
devido q2: cin,q2 = 6340,06 kPa csu,q2 = - 3416,15 kPa 0,3 0,2 
 
3 - Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha a tempo  
 
Yo,in = 0,08 m 
ep = 0,52 - 0,08 = 0,44 m 
c(o)in,P = [(- 160) / 0,335] + [(- 160)  0,44 / 0,0347] = - 477,62 - 2028,82 = - 2506,44 kPa 
c(o)su,P = [(- 160) / 0,335] - [(- 160)  0,44 / 0,0644] = - 477,62 + 1093,17 = 615,55 kPa 
 
4 - Determinação do número de cordoalhas com protensão limitada 
 
i) Para combinações quase-permanentes 
 
 
csu,P + g + 2j FQj,k  | c | 
cin,P + g + 2j FQj,k = 0 
 
· Na fibra inferior 
 cin,P + g + 2j FQj,k = 0 
 m'  (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,4  11527,38 + 0,2  6340,06 = 0 
 m' = 6,25  adotado 7 cordoalhas 
 
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18 
· Na fibra superior com 7 cordoalhas 
 csu,P + g + 2j FQj,k  0,6  30000 = 18000 
 7  615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,4  (- 6211,18) + 0,2  (- 3416,15) = - 4138,36 
 | 4138,36 | < | 18000 |  OK 
 
ii) Para combinações freqüentes 
 
 
csu,P + g + 1 FQ1,k + 2j FQj,k  | c | 
cin,P + g + 1 FQ1,k +2j FQj,k = 2520 
 
· Na fibra inferior 
 cin,P + g + 1 q1 +2 q2 = 2520 
 m''  (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,6  11527,38 + 0,2  6340,06 = 2520 
 m'' = 6,17  adotado 7 cordoalhas 
 
· Na fibra superior com 7 cordoalhas 
 csu,P + g + 1 q1 + 2 q2  18000 
 7  615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,6  (- 6211,18) + 0,2  (- 3416,15) = - 5380,60 
 | 5380,60 | < | 18000 |  OK 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: m = 7 cordoalhas de 15,2 mm ; P = - 1120 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
2.6 - Exercício 6 
 
A estrutura abaixo representa uma viga-calha de cobertura de um galpão industrial, com seção 
transversal constante, biapoiada, submetida às seguintes ações externas: 
 
g1 peso próprio com  = 25 kN / m³ 
g2 ação permanente (telhas) 
q ação variável (água e sobrecarga) 
Q ação variável concentrada (talha) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A viga deverá ser dimensionada com protensão através de 4 cabos, simetricamente distribuidos, 
com igual número de cordoalhas. As cordoalhas serão de 12,7 mm, com força útil de protensão, 
após todas as perdas, de 115 kN / cordoalha, na seção central (seção mais solicitada). 
 
 
Dimensionar a armadura de protensão, com protensão limitada, segundo as recomendações da 
NBR-7197. 
 
 
10,2 
10,0 
 
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20 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
· fck = 30 MPa 
· fctk = 2,04 MPa 
· = 16,00 m 
· q = 14,00 kN / m 
· g2 = 18,00 kN / m 
· Q = 60,00 kN 
· Desprezar engrossamentos junto aos apoios 
· Não há necessidade, para simplificar, da verificação da execução e Estado Limite Último 
 
Fatores de Utilização 
 
 
 
 
 
Tensões Máximas para os Estados Limites 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
a) Características geométricas 
 
Ac = 0,15  1,20  2 + 0,20  0,30 = 0,42 m² 
Ic = 2  0,15  (120)3 / 12 + 0,30  (0,20)3 / 12 = 0,0434 m4 
Wcsu = Wcin = 0,0434 / 0,60 = 0,07233 m³ 
 
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21 
b) Carregamentos externos (momentos fletores) 
 
 = 16,00 m 
g1 = 0,42  25 = 10,50 kN / m 
g2 = 18,00 kN / m 
q = 14,00 kN / m 
Q = 60,00 kN 
 
Mg1 = 10,50  (16,00)2 / 8 = 336,00 kN.m 
Mg2 = 18,00  (16,00)2 / 8 = 576,00 kN.m 
Mq = 14,00  (16,00)2 / 8 = 448,00 kN.m 
MQ = 60  16,00 / 4 = 240,00 kN.m 
 
c) Tensões normais externas 
 
devido g1 : cin,g1 = - csu,g1 = 336,00 / 0,07233 = 4645,38 kPa 
devido g2 : cin,g2 = - csu,g2 = 576,00 / 0,07233 = 7963,50 kPa 
devido q : cin,q = - csu,q = 448,00 / 0,07233 = 6193,83 kPa 
devido Q : cin,Q = - csu,Q = 240,00 / 0,07233 = 3318,13 kPa 
 
d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo  
 
Yo = 0,10 + 0,051 = 0,151 m 
e = 0,60 - 0,151 = 0,449 m 
NP = - 115 kN 
 
c(o)su,NP = [(- 115) / 0,42] + [115  0,449 / 0,07233] = - 273,81 + 713,88 = 440,07 kPa 
c(o)in,NP = -273,81 - 713,88 = - 987,69 kPa 
 
e) Dimensionamento com Protensão Limitada 
 
1 - Combinações quase-permanentes 
 
 
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22 
Na fibra inferior: cin,Np + g1 + g2 + 2 q + 2 Q  0 
 
 4645,38 + 7963,50 + 0,6  6193,83 + 0,4  3318,13 + m  (- 987,69)  0 
 m  17,87 cordoalhas  adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas 
 
Na fibra superior com 20 cordoalhas: 
 
 - 4645,38 - 7963,50 + 0,6  (- 6193,83) + 0,4  (- 3318,13) + 20  440,07 = - 8851,03 
 | 8851,03 | < 18000  OK 
 
 
 
2 - Combinações freqüentes 
 
 
 
Na fibra inferior: cin,Np + g1 + g2 + 1 q + 2 Q  1,2 fctk 
 
 4645,38 + 7963,50 + 0,8  6193,83 + 0,4  3318,13 + m'  (- 987,69)  2448 
 m  16,65 cordoalhas  adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas 
 
Na fibra superior com 20 cordoalhas: 
 
 - 4645,38 - 7963,50 + 0,8 (-6193,83) + 0,4 (-3318,13) + 20 (440,07) = - 10089,80 
 | 10089,80 | < 18000  OK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Adotado 20 cordoalhas, ou seja, 4 cabos de 5 12,7 mm cada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
3 - ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
3.1 - Exercício 1 
 
 
Verificar se, no Estado Limite Último de ruptura sob solicitações normais, a seção transversal 
abaixo indicada está satisfatória, considerando-se as armaduras ativas adotadas. 
 
 
 
 
 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
· Concreto: fck = 30 MPa 
· Aço CP190 RB : fptk = 1900 MPa 
 fpyk = 1710 MPa 
 fpko = 1197MPa 
· Ap(o) = 1,40 cm² por cordoalha 
· Ep = 200 000 MPa 
· pi = 6 ‰ (pré-alongamento) 
 
Coeficientes de ponderação: 
 
 s = 1,15 
 c = 1,4 
 g = q = 1,4 
 
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24 
Momentos fletores atuantes: 
 
 Mg = 12800 kN.m (permanente) 
 Mq1 = 7600 kN.m (acidental variável) 
 Mq2 = 4000 kN.m (acidental variável) 
 
Fatores de combinação das ações: 
 
 
 
 
 
Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB 
 
 
 
 
 
No intervalo 0  pd  5,20 ‰  pd = Ep  pd 
No intervalo 5,20 ‰  pd  9,43 ‰  pd = curva indicada 
No intervalo pd 9,43 ‰  pd = fpyk / s 
 
 
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25 
RESOLUÇÃO 
 
a) CG dos cabos: 
Yo = 0,20 m dp = 2,75 - 0,20 = 2,55 m 
 
b) Momento de cálculo solicitante (Msd) 
Msd = 1,4  (12800) + 1,4 (7600 + 0,6  4000) = 31920 kN.m 
 
 
c) Equilíbrio da seção transversal 
 
Adotando-se inicialmente pd = fpyk / s = 1710 / 1,15 = 1486,96 MPa 
 
Força de tração na armadura protendida 
Npd = Ap pd = 4  18  1,40  (10)-4  1486,96  (10)3 = 14988,56 kN 
 
Área comprimida da seção de concreto: cd = (30 / 1,4)  0,85 = 18,214 MPa 
 
Ncd = Acc  cd = Npd  Acc = Npd / cd = 14988,56 / 18,214  (10)3 = 0,823 m² 
 
Posição da LN  y = Acc / b = 0,823 / 1,2 = 0,686 < 0,85  OK LN na mesa 
 
x = y / 0,8 = 0,686 / 0,8 = 0,857 m 
 
Deformação p: p = [(dp - x) / x]  3,5 ‰ = [(2,55 - 0,857) / 0,857]  3,5 = 6,913 ‰ 
 
Alongamento total: pd = p + pi = 6,913 + 6,00 = 12,913 ‰ 
 
pd = 12,913 ‰ > ''p = 9,43 ‰  pd = 1486,96 MPa confirmada 
 
d) Momento resistente de cálculo (MRd) 
zp = 2,55 - y / 2 = 2,55 - 0,686 / 2 = 2,207 m 
MRd = Npd  zp = 14988,56  2,207 = 33079,75 kN.m 
 
e) Verificação 
MRd = 33079,75 kN.m > Msd = 31920 kN.m 
 
Resposta: Satisfaz. 
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26 
3.2 - Exercício 2 
 
Dimensionar a armadura de protensão, no estado limite último, para a seção abaixo 
esquematizada: 
 
 
 
 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
 
· Concreto fck = 34 MPa 
· Aço CP 190 RB 
· c = g = q = 1,4 
· Pré-alongamento da armadura pi = 5,0 ‰ 
· cd = 0,85  fcd 
· y = 0,8  x 
· x = x / d 
 
 
Ações Permanentes | Mg1 = 2500 kN.m 
 | Mg2 = 1000 kN.m 
 
Ações Variáveis | Mq1 = 2000 kN.m 0 = 0,7 
 | Mq2 = 500 kN.m 0 = 0,6 
 
 
 Combinações últimas normais 
 m n 
Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k] 
 i =1 j =2 
 
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27 
RESOLUÇÃO 
a) Momento de cálculo solicitante (Msd) 
 
Msd = 1,4  (2500 + 1000) + 1,4  (2000 + 0,6  500) = 8120 kN.m 
Msd = 8,120 MN.m 
 
b) Momento absorvido pela flange superior (Msd,f) 
 
Msd,f = bf  y  cd  (d - y / 2) bf = 1,0 - 0,2 = 0,80 m 
 y = hf = 0,30 m 
 x = 0,30 / 0,8 = 0,375 
Msd,f = 0,80  0,30  0,85  (34 / 1,4)  (1,40 - 0,30 / 2) 
Msd,f = 6,193 MN.m 
x,f = x / d = 0,375 / 1,40 = 0,268  Tabela z = 0,888 
 pi = 9,45 ‰ 
pd = 9,45 + 5,00 = 14,45 ‰  pd = 1500 MPa 
Ap,f = (Msdf 104) / (z  d pd) = (6,193  104) / (0,888  1,40 1500) = 33,21 cm² 
 
c) Momento absorvido pela alma 
 
Md = Msd - Msd,f = 8,120 - 6,193 = 1,927 MN.m 
K6 = b d2 / Md = 0,20  (1,40)2 / 1,927 = 0,203 
K6 = 0,203  Tabela x = 0,34 
    z = 0,859 
 pd = 6,794 ‰ 
pd = 6,794 + 5,00 = 11,794 ‰  pd = 1486 MPa 
As,Md = (1,927  104) / (0,859  1,40  1486) = 10,78 cm² 
 
d) Armadura final 
 
Ap = Ap,f + As,Md = 33,21 + 10,78 = 43,99 cm² 
  43,99 / 1,40 = 31,42 32 cordoalhas de 15,2 mm 
 
Resposta: Adotado 8 cabos de 4  15,2 mm. 
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28 
3.3 - Exercício 3 
 
Dimensionar a seção abaixo esquematizada, sabendo-se que nela atuam os seguintes momentos 
fletores: 
 
Ações (momentos fletores) atuantes: 
Ação permanente Mg1 = 1.800 kN.m 
Ação permanente Mg2 = 1.230 kN.m 
Ação acidental principal Mq1 = 1.000 kN.m o = 0,7 
Ação acidental Mq2 = 780 kN.m o = 0,6 
 
2,60 m
1,00 m
Mgi, Mqi
0,90
0,10
0,10
0,50 0,300,30 0,501,00
Utilizar cordoalhas 15,2 mm
Pré-alongamento da
armadura = 5,5 ‰

pi
A = 1,40 cm² / cordoalha
(o)
p
 
 
 OBS: Utilizar apenas armadura ativa Ap 
 (número par de cordoalhas) 
 
Materiais 
 
CONCRETO: 
fck = 34 MPa 
 
 AÇO: 
· Aço ativo CP190 RB : 
Ep = 200.000 MPa 
 
Coeficientes de ponderação: 
s = 1,15 
c = 1,4 
g = q = 1,4 
 
Dados complementares: cd = 0,85 fcd 
 y = 0,8 x 
 
x
x
d

 
 
 Combinações últimas normais 
 m n 
Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k] 
 i =1 j =2 
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO 
 
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29 
RESOLUÇÃO 
a) Momento de cálculo solicitante 
Msd = 1,4* (1.800+1.230) + 1,4 * (1.000 + 0,6 * 780) = 6.297,20 kN.m 
Msd = 6,2972 MN.m 
b) Momento absorvido pela flange superior 
Msd,f = bf * hf * σcd * ( d – hf/2) 
Msd,f = 2,00 * 0,10 * 0,85 * 34/1,4 * ( 0,90 – 0,10/2) 
Msd,f = 3,509 MN.m 
 
x = y / 0,80 = 0,10/0,80 = 0,125 
 
x = x/d = 0,125/0,90 = 0,139 TABELA z = 0,949 
pd = 10,00 ‰ 
 
pd = 10,00 + 5,50 = 10,50 ‰ TABELA pd = 1.510 MPa 
 
Ap,f = Msd,f * 104 / (z * d * pd ) = (3,509 * 10
4) / (0,949 * 0,90 * 1.510) = 27,21 cm2 
 
c) Momento absorvido pela alma (Msd, alma = ΔMd) 
ΔMd = Msd – Msd,f = 6,2972 – 3,509 = 2,7882 MN.m 
 
K6 = b * d2 / ΔMd = 0,60 * (0,90)
2 / 2,7882 = 0,174 
 
K6 = 0,174 TABELA  x = 0,42 
    z = 0,825 
 pd = 4,83 ‰ 
 
x = x  d = 0,42  0,90 = 0,378 m 
 
pd = 4,83 + 5,50 = 10,33 ‰ TABELA  pd = 1.490 MPa 
 
Ap,alma = (2,7882 * 104) / (0,825 * 0,90 * 1.490) = 25,20 cm2 
 
d) Armadura final 
Ap = Ap,f + Ap,alma = 27,21 + 25,20 = 52,41 cm² 
 
 
Ap( ) ,0 1 40 cm2
 
  52,41 / 1,40 = 37,4 
 
Resposta: Ap  38  15,2 mm. 
 
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30 
3.4 - Exercício 4 
 
Verificar se, no estado limite último de ruptura sob solicitações normais, a seção a seguir indicada 
apresenta condições satisfatórias de segurança, considerando-se as armaduras ativas e 
passivas. 
 
2,40 m
0,70
2,70 m
0,30
0,05 0,15
0,300,30 0,60
Armadura ativa
(4 cabos)
Armadura passiva
(8 barras)
E = E = 200 000 MPap s
= 5,0 ‰ (pré-alongamento)pi
 
 
ARMADURA ATIVA: 4 cabos com 28 cordoalhas de 15,2 mm cada 
· Ap(o) = 1,40 cm² / cordoalha 
 
ARMADURA PASSIVA: 8  16 mm 
· As(o) = 2,00 cm² / barra 
 
MATERIAIS 
· Concreto: fck = 30 MPa 
· Aço ativo CP190 RB : fptk = 1900 MPa 
 fpyk = 1710 MPa 
 fpko = 1197 MPa 
· Aço passivo CA 50 A : fyk = 500 MPa 
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31Coeficientes de ponderação: 

 s = 1,15 
 c = 1,4 
 g = q = 1,4 
 
Momentos fletores atuantes: 
 
 Mg1 = 10 000 kN.m 
 Mg2 = 8 000 kN.m 
 Mq1 = 18 000 kN.m o = 0,8 
 Mq2 = 8 000 kN.m o = 0,6 
 
Combinações últimas normais 
 
 






 

n
j
ojKQq
m
i
gid FF
2
KQj,,1 KGi,
1
F F 
 
 
Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB 
 
 
No intervalo 0  pd  5,20 ‰  pd = Ep  pd 
No intervalo 5,20 ‰  pd  9,43 ‰  pd = curva indicada 
No intervalo pd 9,43 ‰  pd = fpyk / s 
 
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32 
RESOLUÇÃO 
a) Momento solicitante de cálculo (Msd) 
 
Msd = g  (Mg1 + Mg2) + q (Mq1 + o  Mq2) 
Msd = 1,4  (10000 + 8000) + 1,4 (18000 + 0,6  8000) = 57120,0 kN.m = 57,12 MN.m 
 
b) Equilíbrio da seção transversal 
 
b1) Força de tração resultante: RT = Rst + Rpt 
 
  Armadura passiva: As = 8  16 = 8  2,0 = 16,00 cm² 
  Armadura ativa: Ap = 4  28  15,2 = 4  28  1,40 = 156,80 cm² 
 
Tensões adotadas nas armaduras 
 
  sd
y k
s
f
  
500
115
434 78
,
, MPa 
 
 


pd
py k
s
f
  
1710
115
1486 96
,
, MPa
 
 
Rstd = Ap sd = 16,00  (10)-4  434,78  (10)3 = 695,65 kN 
Rpd = Ap pd = 156,80  (10)-4  1486,96  (10)3 = 23315,53 kN 
RTd = 695,65 + 23315,53 = 24011,18 kN 
 
b2) Área de concreto comprimida: 
 


cd
ck
c
f
     0 85 0 85
30
1 4
18 2143, ,
,
, MPa 18214,29 kPa
 
 
RTd = Rccd 
 
Rccd = Acc  cd  
A
R
cc
ccd
cd
  

2401118
18214 29
1 3183
,
,
, m2
 
 
b = bf = 2,40 m 
 
y
A
b
h
cc
f     
1 3183
2 40
0 5493 0 70
,
,
, , m m OK (LN na mesa )
 
 
x
y
  
0 8
0 5493
0 8
0 6866
,
,
,
, m
 
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33 
b3) Deformações: 
 
 
 
01,105,3
6866,0
6866,005,070,2
5,3 




x
xds
sd
 ‰ sd confirmada ! 

 
50,95,3
6866,0
6866,015,070,2
5,3 




x
xdp
p
 ‰ 
pi = 5,0 ‰ 
 
 pd = p + pi = 9,5 + 5,0 = 14,5 ‰ pd confirmada ! 
 
 
 
c) Momento resistente de cálculo (MRd) 
 













22
y
zR
y
zRM ppdsstdRd
 
 













2
5493,0
55,253,23315
2
5493,0
65,265,695RdM
 
 
MRd = 1652,41 + 53050,99 = 54703,40 kN.m = 54,70 MN.m 
 
 
 
d) Comparação 
 
 Msd : MRd 
 
 Msd = 57,12 MN.m > MRd = 54,70 MN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A seção não satisfaz o estado limite último. 
 
 
 
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34 
4 - TRAÇADO GEOMÉTRICO, PERDAS E ALONGAMENTO 
 
 
4.1 - Exercício 1 
 
 
 Desenho esquemático do cabo 
 
 
 
 
Para o cabo acima desenhado determinar: 
 
a) A equação geométrica do traçado sabendo-se que os trechos curvos são parábolas do 
 2º grau com equação  = a ² (tg  = d / d). 
 Determinar a ordenada  da abcissa  = 10 m. 
 
 
b) As perdas por atrito, alongamento teórico e as perdas por acomodação da ancoragem, 
 com os seguintes dados: 
 
· Ap = 12  1,40 = 16,80 cm² 
· Ep = 200 000 MPa 
· Aço CP 190 RB : fptk = 1900 MPa 
 fpyk = 1710 MPa 
·  = 0,22 (coeficiente de atrito) 
· K = 0,01  
· w = 3 mm (escorregamento da ancoragem) 
 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
A é uma ancoragem passiva e D é ativa. 
Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk (o menor valor) 
Pi = Ap  Pi (força aplicada junto ao macaco) 
Po(x) = Pi  e -[ + kx]   2 Yi / li 
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35 
 x 
 l,x = (1 / Ep Ap)  Po(x) dx : considerar as projeções horizontais e folga de 20 cm em D 
 o 
 ____________ 
w = w Ep Ap / p  20,00 m , com p = coeficiente angular da reta Po(x) 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Traçado geométrico 
 
Equação da curva AB ou CD :  = a ² , origem em B ou C 
para  = 20,00   = 2,40 m  a = 2,40 / (20,00)² = 0,006 
 
Equação da curva :  = 0,006 ² 
 para  = 10,00   = 0,6 m 
 para  = 20,00   = 2,40 m 
 
d / d = 0,012  (d / d)D = 0,012  20,00 = 0,24 rd (13,49º) 
 
b) Perdas por atrito 
 
Força inicial de protensão (Pi) 
0,77 fptk = 0,77  1900 = 1463 MPa (adotada) 
0,86 fpyk = 0,86  1710 = 1470 MPa 
 
Pi = Ap  Pi = 16,80  (10)-4  1463  (10)3 = 2457,84 kN 
 
ponto D : Po(x=0) = 2457,84 kN (D) 
trecho DC :  = 2  2,40 / 20 = 0,24 rd 
 
ponto C : Po(x=20) = 2457,84  e -[0,22  0,24 + 0,01  0,22 20] = 2231,07 kN (C) 
trecho CB :  = 0,24 + 0 = 0,24 rd 
 
 
ponto B : Po(x=30) = 2457,84  e -[0,22  0,24 + 0,01  0,22 30] = 2182,53 kN (B) 
trecho BA :  = 0,24 + 0 + 0,24 = 0,48 rd 
 
 
ponto A : Po(x=50) = 2457,84  e -[0,22  0,48 + 0,01  0,22 50] = 1981,16 kN (A) 
 
 
 
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36 
DIAGRAMA Po(x) 
 
 
 
 
 
 
 
c) Alongamento teórico 
 
Al,total = [1 / 200000  (10)3  16,80  (10)-4 ] [20,0  2081,845 + 
 + 10,00  2206,80 + 20,2  2344,455] = 0,33 m (ou 6,58 mm/m) 
 
 
 
d) Encunhamento : p (trecho DC) = 11,338 kN / m 
 
 _________________________________________ 
w = 3  (10)-3  200000  (10)3  16,80  (10)-4 / 11,338 = 9,43 m < 20,00 m  OK 
 
Po(x=w) = Po(x=9,43) = 2457,84 - 9,43 11,338 = 2350,92 kN 
 
Po(x=0) = 2457,84 - 2  9,43 11,338 = 2244,00 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37 
4.2 - Exercício 2 
 
 
 Traçado em Elevação: 
 
 
 
 
 
Para o cabo acima esquematizado, determinar: 
 
 
 
a) TRAÇADO GEOMÉTRICO 
 a1) Equação da curva que representa o eixo do cabo no trecho AB. 
 a2) Ordenada do cabo no ponto x = 6,00 m. 
 a3) Ordenada do cabo no ponto x = 12,00 m. 
 
 
 
b) PERDAS IMEDIATAS: ATRITO E CRAVAÇÃO 
 b1) Calcular as perdas por atrito. 
 b2) Calcular as perdas por cravação da ancoragem. 
 b3) Traçar o diagrama das perdas. 
 
 
 
c) ALONGAMENTO TEÓRICO 
 c1) Calcular o alongamento teórico do cabo. 
 
 
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38 
DADOS COMPLEMENTARES 
 
 
Ponto A : ancoragem ativa 
Ponto F : ancoragem passiva 
 
Aço CP 190 RB : Fptk = 1900 MPa 
 Fpyk = 1700 MPa 
 
Ep = 200 000 MPa 
Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk (o menor valor) 
Pi = Ap  Pi 
 = a  ² 
Po(x) = Pi  e -[ + Kx]  = 2 Yi / li (por trecho) 
 ____________ 
w = w Ep Ap / p w  18,00 m 
 x 
 l,x = (1 / Ep Ap)  Po(x) dx · utilizar projeção horizontal para os comprimentos 
 o · acrescentar 30 cm em A 
 = 0,20 
K = 0,01  
w = 6,0 mm 
Ap = 16,80 cm² 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Traçado Geométrico 

  = a ² 
 
Trecho AB:  = 1,30 - 0,15 = 1,15 m 
  = 3  6,00 = 18,00 m 
 
 a = / 2= 1,15 / (18)2= 0,00355 
 
Equação da curva no trecho AB :  = 0,00355 ² 
 
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39 
Ordenada para x = 12,0 m  = 6,0 m 
  = 0,128 m y(x=12) = 0,278 m 
 yo = 0,15 m 
 
Ordenada para x = 6,0 m  = 12,0 m 
  = 0,511 m y(x=6) = 0,661 m 
 yo = 0,15 m 
 
b) Perdas Imediatas 
 
b1) Força inicial de protensão (Pi) 
 
0,77 fptk = 0,77  1900 = 1463 MPa 
0,86 fpyk = 0,86  1710 = 1470,6 MPa 
 Pi = 1463 MPa 
 
Pi = Ap  Pi = 16,80  (10)-4  1463  (10)3 = 2457,8 kN 
 
b2) Perdas por atrito 
 
 
Trecho AB yi = 1,30 - 0,15 = 1,15 m 
 li = 18,00 m 
  = 2  1,15 / 18,00 = 0,1278 (7,3 º) 
 
Trecho BC yi = 0 
 li = 3,00 m 
  = 0 
 
Trecho CD yi = 1,40 - 0,15 = 1,25 m 
 li = 12,00 m 
  = 2  1,25 / 12,00 = 0,2083 (11,9 º) 
 
Trecho DE yi = 0,40 m 
 li = 3,00 m 
  = 2  0,40 / 3,00 = 0,2667 (15,3 º) 
 
Trecho EF yi = 0 
 li = 12,00 m 
  = 0 
 
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40 
Variação da força por trecho: 
 
Po(x) = Pi  e -[ + Kx] Pi = 2457,8 kN 
      = 0,20 
 K = 0,01 = 0,002 
 
 
Ponto A : x = 0 Po(x=0) = 2457,8 kN 
 
Ponto B : x = 18,00 m Po(x=18) = 2457,8  e -[0,20  0,1278 + 0,002  18] 
  = 0,1278 Po(x=18) = 2311,06 kN 
 
Ponto C : x = 21,00 m Po(x=21) = 2457,8  e -[0,20  0,1278 + 0,002  21] 
  = 0,1278 Po(x=21) = 2297,24 kN 
 
Ponto D : x = 33,00 m Po(x=33) = 2457,8  e -[0,20  0,3361 + 0,002  33] 
  = 0,3361 Po(x=33) = 2151,24 kN 
 
Ponto E : x = 36,00 m Po(x=36) = 2457,8  e -[0,20  0,6028 + 0,002  36] 
  = 0,6028 Po(x=36) = 2027,30 kN 
 
Ponto F : x = 48,00 m Po(x=48) = 2457,8  e -[0,20  0,6028 + 0,002  48] 
  = 0,6028 Po(x=48) = 1979,23 kN 
 
 
b3) Perdas por acomodação das ancoragens 
 
 
Hipótese: w  18,00 m w = 6,0 mm 
 
p = (2457,8 - 2311,06) / 18,00 = 8,1522 kN / m 
 ____________ 
w = w Ep Ap / p 
 _________________________________________ 
w = 6  (10)-3  200000  (10)3  16,80  (10)-4 / 8,1522 = 15,72 m < 18,00 m  OK 
 
Po(x=15,72) = Pi - w  p = 2457,8 - 8,1522 15,72 = 2329,65 kN 
Po(x=0) = Pi - 2  w  p = 2457,84 - 2  8,1522 15,72 = 2201,50 kN 
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41 
 
 
 
 
c) Alongamento Teórico do Cabo 
 
l = 48,00 + 0,30 = 48,30 m 
 x 
 l,x = (1 / Ep Ap)  Po(x) dx 
 o 
 
 
Trecho Po (médio)  l Po (médio)   l 
 
 AB 2384,43 18,30 43635,07 
 BC 2304,15 3,00 6912,45 
 CD 2224,24 12,00 26690,88 
 DE 2089,27 3,00 6267,81 
 EF 2003,26 12,00 24039,12 
 ______________ 
  = 107545,33 
 
 
 l total = [1 / 200000  (10)3  16,80  (10)-4]  107545,33 = 0,32 m 
 l total = 32,0 cm = 320 mm 
 
 
Alongamento unitário aproximado = 320 / 48,30 = 6,62 mm / m 
 
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42 
4.3 - Exercício 3 
 
A viga a seguir detalhada, é protendida longitudinalmente com aderência posterior, com 4 cabos 
de 10 1,2 mm, sendo solicitada, além da protensão, pelos seguintes esforços externos: 
 
Mg1 = 1320 kN.m momento fletor devido ao peso próprio 
Mg2 = 3680 kN.m momento fletor devido aos revestimentos 
MQ,max = 3000 kN.m devido às ações variáveis 
 
 
 
 
 
Determinar as perdas de protensão no cabo  situado na 2ª camada, devidas à retração e 
fluência do concreto, sabendo-se que: 
 
1- A força inicial aplicada em cada cabo foi: Pi = - 2048,20 kN 
 
2 - A protensão dos 4 cabos é efetuada em uma única operação aos 21 dias (idades fictícias 
 para a retração = 30 dias e para a fluência = 55 dias) 
 
 
3 - As forças de protensão atuantes na seção, descontadas as perdas imediatas, são as 
 seguintes: 
 · cabo 1 : Po1 = - 1800 kN 
 · cabo 2 : Po2 = - 1700 kN 
 
 
4 -  = Ep / Ec28 = 6,50 com Ep = 200 000 MPa 
 
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43 
 
5 - Área de 1 cabo de 10  1,2 mm = 14,0 cm² 
 
 
6 - Idades do concreto nos instantes da aplicação dos carregamentos: 
 t = 21 dias : protensão + g1 t = 30 dias (fictícia) para a retração 
 t = 55 dias (fictícia) para a fluência 
 
 t = 60 dias : carregamento g2 t = 130 dias (fictícia) para a fluência 
 
 
7 - Coeficientes para retração e fluência 
 cs (, 30) = -12,0  (10)-5 
  (, 55) = 1,88 
  (, 130) = 1,42 
 
 
8 - Po = Po / Ap : tensão inicial no aço de protensão, descontadas as perdas imediatas, no 
 instante da protensão (valor > 0) 
 
 
9 - Expressão para determinação das perdas por retração e fluência (tensão média) 
 
 
Pc+s = cs(, 30)  Ep +   (, 55)  [c,Po + c,g1] +   (, 130)  c,g2 
 _______________________________________________________________________________ 
 1 -   [c,Po / c,g1]  [1 + (, 55) / 2] 
 
 
OBS: A expressão acima pode ser aplicada, com os devidos ajustes, para cada um dos dois tipos 
de cabos. 
 
 
10 - Perda de força de protensão 
 
 P(c+s) = Pc+s  Ap 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Tensões provocadas pelos carregamentos permanentes na fibra adjacente ao cabo  
 
devido g1 : c,g1 = Mg1  Y,cabo 2 / Ic = 1320  (0,90 - 0,20) / 0,3488 = 2649,08 kPa 
devido g2 : c,g2 = Mg2  Y,cabo 2 / Ic = 3680  0,70 / 0,3488 = 7385,32 kPa 
 
 
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO 
 
REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 
 
LUIZ CHOLFE 
LUCIANA A. S. BONILHA 
 
 
 
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b) Tensões devidas à protensão, na posição do cabo  
 4 
  Poi = 2  (- 1800 - 1700) = - 7000 kN 
 i = 1 
 4 
  Poi  epi = 2  (- 1800  0,80 - 1700  0,70) = - 5260 kN.m 
 i = 1 
  
 c,Po = - 7000 / 0,96 - 5260  0,7 / 0,3488 = - 7291,67 - 10556,19 = - 17847,86 kPa 
 
c) Tensão Po do cabo  
  
 Po = - 1700 / 14,0  10-4 = 1214,3 MPa 
 
 
d) Cálculo das perdas 
 
{NUMERADOR} 
 
= -12,00 10-5 200 000 000 + 6,50 1,88 (-17 847,86 + 2 649,08) + 6,50 1,42 7 385,32 
= - 24 000,00 - 185 729,09 + 68 166,50 
= - 141 562,59 kPa 
 
{DENOMINADOR} 
 
= 1 - 6,50 (- 17 847,86 / 1 214 300,00)  (1 + 1,88 / 2) 
= 1,185 
  
 Pc+s = - 141 562,59 / 1,185 = - 119 462,10 kPa 
 
e) Perda da força de protensão do cabo  
 
    
 P(c+s) = Pc+s  Ap = - 119 462,10  14,0  10-4 = -167,25 kN 
 
 % de perda: (167,25 / 1700)  100 = 9,83 % 
 
 Força após fluência e retração = - (1700 - 167,25) = - 1532,75 kN 
 
 % de perda em relação a Pi: [(2048,20 - 1532,75) / 2048,20]  100 = 25,17 % 
 
Resposta: Perda de 25,17 %.