Análise Estatística - Tamanho da Amostra

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Análise Estatística I 
 
Profa Fernanda 31
 
CAPITULO 4 – Determinação do Tamanho da Amostra 
 
 
4.1. Definições 
 
 
Para se estabelecer qual deve ser o tamanho da amostra ideal para que os resultados 
obtidos a partir desta sejam significativos em relação a população, é necessário fixar em 
que condições e com que flexibilidade aceitaremos os resultados obtidos na amostra 
aleatória. 
 
Para isto devemos restabelecer: 
 
O erro tolerável de amostragem (d) : 
 
Este valor é fixado a priori e significa em quantas unidades aceita-se errar o valor da 
média amostral. Por exemplo: d = 2 ( errar por + ou – 2 unidades no valor da média 
amostral ). 
 
Coeficiente de risco (ε) : 
 
Também fixado à priori , o pesquisador aceitará falha em 1% ou 5% (em geral) do valor 
da população não se localizar num intervalo de confiança de amplitude igual ao dobro do 
erro estipulado. 
 
Nível de confiança: É a probabilidade de que o intervalo venha conter o valor do 
parâmetro. 
 
Nível de significância: É a probabilidade acima da qual o intervalo não contém o 
parâmetro populacional. 
 
Erro de amostragem: 
 
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É a diferença entre µ−x . Normalmente tomamos este resultado em valor absoluto. 
 
Prob { µ−x > d } = ε 
 
 
Estabelecemos que o erro tolerável de amostragem (d) é dado por: 
 
 d = xz σε 
 
Onde: 
εz = valor tabelado na curva Normal para n ≥ 30 , ou associado a distribuição t-
student com n-1 graus de liberdade (n < 30) . É dado em função de ε arbitrado. 
Ex: 
ε = 0,05 εz = 1,96 
ε = 0,01 εz = 2,58 
 
xσ = Desvio padrão das médias amostrais o qual já sabemos calcular: 
xσ = n
σ
 ou xσ = n
σ 2/1
1



−
−
N
nN
 
Então: 
Prob { µ−x > xz σε } = ε 
 
Prob { µ−x > εz } = ε 
Verificamos que 
x
x
σ
µ− é a variável reduzida ω que se distribui normalmente ou 
segundo t-student. 
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 Prob { εω z> } = ε 
 
4.2. População Finita 
 
Teremos no caso de amostragem sem reposição: 
 
 d = 
n
s
N
nNz ⋅−
−
1ε
 
 
 
Portanto a expressão acima é função de: 
 
 d → erro tolerável de amostragem, escolhido previamente pelo pesquisador. 
 εz → valor tabelado pela curva normal ou t-student. 
 N → Tamanho da população (normalmente conhecida quando for finita) 
 n → tamanho da amostra ( a ser determinado explicitando seu valor na expressão) 
 s → desvio padrão da amostra. Se nosso objetivo é estabelecer o tamanho da 
amostra, n, e não conhecemos a priori os elementos que vão constituí-la, devemos então 
estabelecer uma amostra qualquer (que chamamos de amostra piloto) e com seus 
elementos obter uma estimativa para s. 
 
Explicitando n: 
 
Desprezamos o (-1) no denominador e elevando ao quadrado, temos: 
n
s
N
nNzd
2
22 

 −= ε 
 
222 11 s
Nn
zd 

 −= ε 
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 22
211
sz
d
Nn ε
=− 
 
 
Nsz
d
n
11
22
2
+=
ε
 
 
 22
2221
ε
ε
zNs
szNd
n
+= 
 
222
22
szNd
sNzn
ε
ε
+= 
 
 
22
2
1
sz
Nd
Nn
ε
+
= 
 
 
Esta é a expressão que se utiliza para determinação do tamanho da amostra proveniente 
de uma população finita. 
 
Fazendo 2
22
0 d
szn ε= temos 
0
1
n
N
Nn
+
= 
 
 
 
 
 
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4.3. População Infinita 
 
Se a população é infinita: 
 
0
0
0
0
0
0
0
limlimlim
1
lim n
N
Nn
Nn
Nn
n
Nn
N
n
N
Nn
NNNN
==+=+=+
= →∞→∞→∞→∞ 
 
Logo o tamanho da amostra de população ∞ será : 
2
22
d
szn ε= 
 
 
 
4.4. Erro Relativo de Amostragem 
 
Erro relativo (d’): Define-se como sendo o erro absoluto por unidade de média 
populacional. 
 
 Temos: 
 xzd σε= 
 
x
z
x
d xσ
ε= 
 
d’ xczε= 
 
 
x
c xx
σ= 
 
No caso de amostragem sem reposição: 
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n
c
N
nNcx ⋅−= x
sc = 
 
d’
n
c
N
nNz ⋅−= ε 
 
Elevando ao quadrado: 
(d’) 2
n
c
N
nNz
2
2 

 −= ε 
 
d’ 222 11 c
Nn
z 

 −= ε 
 
( )222
22
'dNcz
cNzn += ε
ε 
dividindo o denominador por 22czε 
 
22
2'1
cz
Nd
Nn
ε
+
= 
 
Onde: 
2
22
0 'd
czn ε= 
0
1
n
N
Nn
+
= 
 
Exemplo: 
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 Determinar o tamanho da amostra necessária para se obter o número médio de livros 
possuídos pelos estudantes de uma universidade, sabendo que: 
 
Total de estudantes da Universidade: 2000 
d = 1 
ε = 0,05 
amostra piloto: ix = 5,7,3,2,1,4,8,6,2,0,4 
( )
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
 = 6,36 
 
2
2
2
22
0 1
36,696,1 ⋅==
d
szn ε = 24,42 
 
12,24
42,24
20001
2000
1
0
=
+
=
+
=
n
N
Nn 
 
Logo concluímos que para atingirmos nosso objetivo, isto é, não errarmos por + ou –1 
livro possuído em média por cada aluno em 95% das amostras retiradas deveríamos 
dispor de amostras de tamanho 25 no mínimo. 
 
Observa-se ainda no caso da população ser ∞ o tamanho da amostra também seria 25. 
 
Para ε = 0,01 
 
 ( ) 36,42
1
36,658,2
2
2
2
22
0 =⋅== d
szn ε 
 
 49,41
36,42
20001
2000
1
0
=
+
=
+
=
n
N
Nn 
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n é maior que o anterior já que a precisão foi aumentada de 95% para 99% . 
 
Considerando agora o erro relativo de 1% no exemplo anterior e ε = 0,05 , temos: 
 
X
Sc = (da amostra piloto) 
66,0
82,3
52,2
82,3
36,6 ====∧
x
sc 
( ) ( ) 16734
01,0
66,096,1
2
22
0 =⋅=n 
1787
16734
20001
2000
1
0
=
+
=
+
=
n
N
Nn 
 
Verificamos que no caso da população ser infinita é necessário selecionar 16734 itens 
porém se fosse finita de 2000 teriam que ser selecionadas 1787, o que é uma amostra 
bastante grande em relação a população 89,5% , isto se deve ao intervalo bastante restrito 
a ser formada de amplitude (2%) do valor.