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Isolando a raiz positiva da função em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, e utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira ( ) aproximação para esta raiz. Calcule e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa correta. a. 1,07989647. b. 1,07998603. c. 1,10048178. d. 1,08125569. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração igual a , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 1,4 1 1,10048178 0,299518223 2 1,08125569 0,019226082 e. 1,07990202. A resposta correta é: 1,08125569. Questão 2 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Uma aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções/equações. Ao utilizar o método de Newton, calcule a quarta ( ) aproximação da raiz positiva da função . Para isso, isole a raiz em um intervalo ( e naturais) e de comprimento 1, isto é, . Note que, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz cúbica de 10. Assinale a alternativa correta. a. . b. . Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método d Newton na função , podemos determinar a aproximação raiz cúbica de 10, ou seja, . 0 3 17 27 1 2,37037037 3,31829498 16,8559671 0,629629 2 2,17350863 0,26795858 14,1724193 0,196861 3 2,15460159 0,00232418 13,926924 0,018907 4 2,1544347 1,8001E-07 13,9247667 0,000166 c. . d. . e. . A resposta correta é: . Questão 3 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Uma das aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método de Newton, calcule a quinta ( ) aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . Note que, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz quadrada de 10. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto de . a. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método d Newton para a função , calculamos uma aproximação pa raiz quadrada de 10, logo, . 0 4 6 8 1 3,25 0,5625 6,5 0,75 2 3,16346154 0,00748891 6,32692308 0,086538 3 3,16227788 1,401E-06 6,32455576 0,001183 4 3,16227766 4,9738E-14 6,32455532 2,2152E- b. c. d. e. A resposta correta é: Questão 4 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por: Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerância e o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e naturais) e . FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. Assinale a alternativa correta. a. 0,81917211. b. 0,8188639. c. 0,78384043. d. 0,8176584. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a tabela a seguir: 0 0,2 1 0,6596008 0,459600799 2 0,78384043 0,124239632 3 0,81180133 0,027960901 4 0,8176584 0,005857072 e. 0,81180133. A resposta correta é: 0,8176584. Questão 5 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por: Suponha que sejam conhecidos e . Usando o método da iteração linear, calcule o número mínimo de iterações necessárias para determinar a raiz da equação dada, com uma tolerância . Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e naturais) e . Assinale a alternativa correta. FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. a. 4. b. 3. c. 5. d. 6. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função e , encontramos 6 iterações, no mínimo, para a tolerância , conforme a tabela a seguir: 0 0 1 0,6 0,6 2 0,76939274 0,169392742 3 0,80870975 0,039317004 4 0,81701908 0,008309337 5 0,81873268 0,001713599 6 0,8190842 0,000351514 e. 7. A resposta correta é: 6. Questão 6 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Quando desejamos determinar a raiz de uma função com precisão elevada, podemos utilizar o método de Newton. Sendo assim, considere a função e uma tolerância . Utilizando o método de Newton, calcule qual o número mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz pertencente ao intervalo [2,7;3,3]. Assinale a alternativa correta. a. 7. b. 3. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função , percebemos que o número mínimo de iterações é igual a 3, conforme tabela a seguir: 0 3,3 1,60892373 6,52810763 1 3,05353903 0,06096316 6,03339181 0,24646097 2 3,04343474 0,00010247 6,01310873 0,01010429 3 3,0434177 2,9149E-10 6,01307452 1,7042E-05 c. 5. d. 1. e. 9 . A resposta correta é: 3. Questão 7 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função qualquer é o método da iteração linear. Considere , em que . Assim, a partir do uso do método linear e considerando a sequência de raízes , calcule o . Assinale a alternativa correta. a. 2,13980919. b. 2,13235678. c. 2,13931949. d. 2,13977838. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração , encontramos , conforme podemos verificar na tabela a seguir: 0 2 1 2,13198295 0,131982947 2 2,13931949 0,007336548 3 2,13977838 0,000458881 e. 2,13198295. A resposta correta é: 2,13977838. Questão 8 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 O número de bilhões de indivíduos de determinada bactéria poluente está decaindo em função do tempo t (a partir de t=0), em um lago por intermédio da função . Aplique o método de Newton com uma tolerância e o menor número possível de iterações para estimar o tempo necessário que a quantidade de bactérias seja reduzida para 5 bilhões de indivíduos. Assinale a alternativa correta. a. 2,12957955. b. 2,12675442. c. 2,11746564. d. 2,11817813. e. 2,12967481. Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao aplicarmos o método d Newton à equação , determinamos que satisfaz a tolerância informada, conforme a tabela a seguir 0 2 0,636864727 -5,3890249 1 2,1181781 0,05174436 -4,5384018 0,1181781 2 2,12957955 0,000425232 -4,4640208 0,01140145 3 2,12967481 2,93452E-08 -4,4634047 9,5258E-05 A resposta correta é: 2,12967481. Questão 9 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Apenas na minoria dos casos, nós podemos calcular as raízes de uma função através de métodos algébricos. Então, na maioria das situações, exige-se a aplicação de métodos numéricos. Diante disso, considerando , e uma função de iteração convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e a sequência de raízes . Assinale a alternativa que corresponde ao valor de . a. 1,29009217. b. 1,3098133. c. 1,16133316. d. 1,31685381. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função , encontramos , conforme a seguinte tabela: 0 1,9 1 1,16133316 0,738666842 2 1,36761525 0,206282096 3 1,29009217 0,077523087 4 1,316853810,026761642 e. 1,36761525. A resposta correta é: 1,31685381. Questão 10 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Vamos considerar um problema físico de estática: uma plataforma está fixada em uma janela de madeira por meio de uma dobradiça, em que momento é calculado por , é o ângulo da plataforma com a horizontal e k é uma constante positiva. A plataforma é feita de material homogêneo, seu peso é P e sua largura é l. Modelando o problema, podemos mostrar que com . A partir do método de Newton, com uma tolerância e o menor número possível de iterações, determine o valor de para l=1 m, P=400 N, k=50 Nm/rad, sabendo que o sistema está em equilíbrio. Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de . a. . b. . c. . Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função , determinamos que satisfaz a tolerância desejada, conforme a tabela a seguir: 0 1,57079633 1,57079633 5 1 1,25663706 0,02056908 4,80422607 0,314159 2 1,25235561 1,1379E-05 4,79889904 0,004281 3 1,25235323 3,5203E-12 4,79889607 2,3711E-0 d. . e. . A resposta correta é: .
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