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Momento de primeira ordem e centroide de figuras planas

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Disciplina: Mecânica e 
Resistência dos Materiais
Prof. Me. Carolina Coelho de 
Magalhães Grossi
AULA 01: Momento de primeira 
ordem e centroide de figuras planas
UNIVERSIDADE ESTADUAL 
DE MARINGÁ 
Características geométricas de 
figuras planas
Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
Características ou propriedades das seções transversais
Capacidade Resistente → tensões = distribuem ao longo das seções
transversais
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
Principais propriedades 
geométricas:
- Área (A)
- Momento estático (Q)
- Centro de gravidade (CG)
- Momento de inércia (I)
- Módulo de resistência (W)
- Raio de giração (i)
Principais propriedades 
geométricas:
- Área (A)
- Momento estático (Q)
- Centro de gravidade (CG)
- Momento de inércia (I)
- Módulo de resistência (W)
- Raio de giração (i)
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4
Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
Unidade: [L]² onde L é a unidade de comprimento
Área da seção transversal é utilizada para determinação das tensões
normais (tração e compressão) e das tensões transversais (cisalhamento)
1. ÁREA
Seção 
transversal
b
h
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
2. MOMENTO ESTÁTICO OU MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
F
d
Mo = F.d
O momento estático (Q) = área do elemento x 
distância do eixo de referência
y
x
x
y
dx
dy
dA
CG
തx
തy
dA = dx.dy;
x; y = coordenadas do 
elemento de área dA
തx; തy = coordenadas do 
centroide da figura plana
𝑄𝑥 = න
𝐴
𝑦 𝑑𝐴 𝑄𝑦 = න
𝐴
𝑥 𝑑𝐴
o
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
2. MOMENTO ESTÁTICO OU MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
ATENÇÃO: pode ser positivo, negativo ou zero (dependendo da posição dos
eixos coordenados)
Unidade: [L]³ onde L é a unidade de comprimento
Tensões transversais que ocorrem em uma peça submetida à flexão
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
2. MOMENTO ESTÁTICO OU MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO: Determinar o momento estático (ou de primeira ordem) do
retângulo abaixo em relação ao eixo x
x
y
dA
dx
d
y
b
h
x
y
Da definição de momento de primeira ordem:
𝑄𝑥 = න
𝐴
𝑦 𝑑𝐴
Sabe-se que: dA = dx.dy
𝑄𝑥 = න
𝐴
𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑄𝑥 = න
0
ℎ
𝑦 𝑑𝑦 න
0
𝑏
𝑑𝑥
𝑄𝑥 =
𝑦2
2
0
ℎ
. 𝑥 0
𝑏 =
ℎ2
2
. 𝑏
𝑄𝑥 =
𝑏ℎ2
2
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
2. MOMENTO ESTÁTICO OU MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO: Determinar o momento estático (ou de primeira ordem) do
retângulo abaixo em relação ao eixo x
1
x1
y dA
dx
d
y
b
h
x
y
Da definição de momento de primeira ordem:
𝑄𝑥1 = න
𝐴
𝑦 𝑑𝐴
Sabe-se que: dA = dx.dy
𝑄𝑥1 = න
𝐴
𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑄𝑥1 = න
−ℎ
0
𝑦 𝑑𝑦 න
0
𝑏
𝑑𝑥 =
𝑦2
2
−ℎ
0
. 𝑥 0
𝑏
𝑄𝑥1 =
[ 0 − ((−ℎ)2)
2
. 𝑏
𝑄𝑥1 =
−𝑏ℎ2
2
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
2. MOMENTO ESTÁTICO OU MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO: Determinar o momento estático (ou de primeira ordem) do
retângulo abaixo em relação ao eixo ҧ𝑥
Da definição de momento de primeira ordem:
𝑄𝑥′ = න
𝐴
𝑦 𝑑𝐴
Sabe-se que: dA = dx.dy
𝑄𝑥′ = න
𝐴
𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑄𝑥′ = න
−ℎ/2
ℎ/2
𝑦 𝑑𝑦 න
0
𝑏
𝑑𝑥 =
𝑦2
2
−ℎ/2
ℎ/2
. 𝑥 0
𝑏
𝑄𝑥′ =
ℎ
2
2
− −
ℎ
2
2
2
. 𝑏
𝑄𝑥′ = 0
𝑥′
y dA
dx
d
y
b
h
x
y
h
/2
h
/2
Eixo de simetria
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
3. CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS
y
x
x
y
dx
dy
dA
CG
തx
തy
ҧ𝑥 =
𝐴׬ 𝑥𝑑𝐴
𝐴׬ 𝑑𝐴
; ത𝑦 =
𝐴׬ 𝑦𝑑𝐴
𝐴׬ 𝑑𝐴
= Momentos de primeira ordem
= Área total da forma
ҧ𝑥 =
𝑄𝑦
𝐴
ത𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴
Reescrevendo as equações:
𝑄𝑦 = ҧ𝑥𝐴 ; 𝑄𝑥 = ത𝑦𝐴
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
3. CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS
Condição de simetria
Se a área possui um 
eixo de simetria, seu 
centroide C está 
localizado nesse eixo
ҧ𝑥 =
𝑄𝑦 = 0
𝐴
∴ ҧ𝑥 = 0
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
3. CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS
x
y
b
h
h
/2
b/2
𝑄𝑦 = ҧ𝑥. 𝐴 =
𝑏
2
𝑏ℎ =
𝑏2ℎ
2
𝑄𝑥 = ത𝑦. 𝐴 =
ℎ
2
𝑏ℎ =
𝑏ℎ2
2
Para uma figura que possui dois eixos de
simetria, onde está localizado o
centroide?
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
Exercício 1: Para a área triangular da figura ao
lado, determine:
(a) o momento estático Q
x
da área em relação ao
eixo x;
(b) a ordenada ത𝑦 do centroide da área
𝑄𝑥 = න
𝐴
𝑦 𝑑𝐴
𝑄𝑥 =
𝑏ℎ2
6
; ത𝑦 =
ℎ
3
𝑄𝑥 = ത𝑦𝐴
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
Algumas observações:
- A localização do centroide na figura independe da localização dos eixos
de referência;
- Em alguns casos o centroide encontra-se em um ponto que não se localiza
no objeto;
- O centroide de uma área composta pode ser determinado a partir dos
centroides das áreas de partes individuais
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
4. MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE DE UMA ÁREA COMPOSTA
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
4. MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE DE UMA ÁREA COMPOSTA
Q
x
= 𝒚𝒅𝑨׬ sobre toda a área A
𝑄𝑥 = න
𝐴
𝑦𝑑𝐴 = න
𝐴1
𝑦𝑑𝐴 + න
𝐴2
𝑦𝑑𝐴 +න
𝐴3
𝑦𝑑𝐴
𝑄𝑥 = 𝐴1𝑦1 + 𝐴2𝑦2 + 𝐴3𝑦3 = ෍𝐴𝑖 ഥ𝑦𝑖 𝑄𝑦 =෍𝐴𝑖 ഥ𝑥𝑖
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
4. MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE DE UMA ÁREA COMPOSTA
𝑄𝑦 = 𝐴 ത𝑋 =෍𝐴𝑖 ഥ𝑥𝑖 𝑄𝑥 = 𝐴ത𝑌 =෍𝐴𝑖 ഥ𝑦𝑖
ത𝑋 =
σ𝐴𝑖𝑥𝑖
σ𝐴𝑖
ത𝑌 =
σ𝐴𝑖𝑦𝑖
σ𝐴𝑖
𝑄𝑦 = ҧ𝑥𝐴 ; 𝑄𝑥 = ത𝑦𝐴
A localização do centroide da área composta A
será:
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
4. MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE DE UMA ÁREA COMPOSTA
Exercício 2: Localize o centroide C da área A da
figura
ത𝑋 =
σ𝐴𝑖𝑥𝑖
σ𝐴𝑖
ത𝑌 =
σ𝐴𝑖𝑦𝑖
σ𝐴𝑖
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
4. MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE DE UMA ÁREA COMPOSTA
Exercício 3: Localize o centroide da figura
ത𝑋 =
σ𝐴𝑖𝑥𝑖
σ𝐴𝑖
ത𝑌 =
σ𝐴𝑖𝑦𝑖
σ𝐴𝑖
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Momento de primeira ordem e centroide 
de figuras planas
O que aprendemos?
• Definição de área da seção transversal;
• Calcular o momento estático em relação aos eixos x e y de uma área;
• Calcular o centroide de uma área.
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