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 Introdução
 Conceitos de estatística
Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Prof. Daniel M. RosaProf. Daniel M. Rosa
danielrosa@unb.br
U i id d d B íli F ld d U B G
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
P d di i li
 Introdução
 Conceitos de estatística
Programa da disciplina
1. INTRODUÇÃO.
Conceitos de População e Amostra 
Tipos de Variáveis 
Distribuições de frequência 
Distribuições Marginais 
Esperança de Uma Variável Aleatória 
Variância de uma Variável Aleatória 
Momentos 
Funções de uma Variável Aleatóriaç q
Distribuição de frequências e sua representação gráfica para 
variáveis quantitativas discretas 
Distribuição de frequências e sua representação gráfica para 
variáveis quantitativas contínuas 
Medidas de Tendência Central 
Medidas de Dispersão 
Funções de uma Variável Aleatória 
Algumas Distribuições Discretas 
Algumas Distribuições Contínuas Importantes 
4. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA . 
Estimação Pontual 
Estimadores Não Tendenciosos 
A Distribuição X2Momentos, Assimetria e Curtose 
2. PROBABILIDADE. 
Definição de Probabilidade utilizando Freqüência Relativa 
Experimentos aleatórios 
Espaço Amostral 
Eventos 
A Distribuição X
A Distribuição t-student 
Distribuição F 
Estimação por Intervalos - Intervalos de Confiança 
5. TESTES DE HIPÓTESES . 
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa 
Região Crítica do TesteClasse dos Eventos Aleatórios 
Definição Clássica de Probabilidade 
Operações com Eventos Aleatórios - Teoria dos Conjuntos 
Definição Axiomática de Probabilidade 
Eventos Independentes 
Análise Combinatoria 
Região Crítica do Teste 
Erros do Tipo I e Erros do tipo II 
Teste da hipótese de que a média populacional tem um valor 
específico
Controlando o erro tipo II (b) 
Teste da hipótese de que a variância populacional tem um 
valor específico
Probabilidade Condicional 
Probabilidade Total 
Teorema de Bayes 
3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES.
Variável Aleatória 
Tipos de Variáveis Aleatórias Função de Probabilidade e
valor específico
Teste da razão de variâncias 
Teste da hipótese da igualdade de duas médias 
Teste para proporção 
Teste X2 da independência 
6. ANÁLISE DE VARIÂNCIA . 
Análise de Variância de Um Fator
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Tipos de Variáveis Aleatórias, Função de Probabilidade e 
Função Densidade de Probabilidade
Função de Distribuição Acumulada 
Distribuições Bivariadas
Análise de Variância de Um Fator 
Teste para Igualdade de Várias Variâncias 
Análise de Variância de Dois Fatores 
Análise de Variância de Dois Fatores - Várias observações por 
cela
Bibli fi
BUSSAB, W. O. MORETTIN, P. A.
Estatística básica, Saraiva.
Bibliografias
HINES, W. W; MONTGOMERY, D. C.; GOLDSMAN, D. M.; BORROR, C. 
M.
Probabilidade e Estatística na Engenharia LTC EditoraProbabilidade e Estatística na Engenharia, LTC Editora.
DEVORE, J. L.
Probabilidade e estatística para engenharia e ciências, Thomson Editora.
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G. C. RUNGER e D. C. MONTGOMERY
Bibliografia Complementar
Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, LTC.
MEYER P. L.
Probabilidade – Aplicações à Estatística, LTC - Livros Técnicos Científicos S/A.
SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da; GONÇALVES, V.; MUROLO, A. C.
Tabelas de Estatística, Atlas.
SPIEGEL, M. R.
Probabilidade e Estatística - Col. Schaum. McGraw-Hill do Brasil.
MARTINS, Gilberto de Andrade.
Estatística Geral e Aplicada, Atlas.
FONSECA, Jairo Simon, MARTINS, Gilberto de Andrade.
Curso de Estatística, Atlas.,
TRIOLA M. F.
Introdução a Estatística, LTC - Livros Técnicos Científicos S/A.
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MOOD, A. M., GRAYBILL. F. A. and BOES, D.C. 
Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill.
Definições
Probabilidade
“Teoria matemática utilizada para estudar a incerteza advinda de caráter aleatório”
Estatística
““Conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, 
organizar, descrever, analisar e interpretar dados 
oriundos de estudos ou experimentos realizados emoriundos de estudos ou experimentos, realizados em 
qualquer área do conhecimento.” (Magalhães e Lima, 
2007)
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Histórico
●Estudo formal da probabilidade surgiu nos séculos XVII e XVIII –
motivado pelos jogos de azar
●10 modelo probabilístico (descrição) – Robert Brown (1827):
●O Movimento Browniano - observação de uma dança de partículas ç ç p
(pólen) em meio líquido.
Albert Einstein explicou o Movimento Browniano e juntamente com o●Albert Einstein explicou o Movimento Browniano e juntamente com o 
surgimento da telefonia, impulsionaram o estudo da probabilidade
http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm
Figures from The History of Probability and Statistics
John Aldrich, University of Southampton, Southampton, UK.
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http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm
Hi tó i
 Introdução
 Conceitos de estatística
Histórico
• Estudo formal da probabilidade surgiu nos séculos XVII e 
XVIII – motivado pelos jogos de azar
• 10 modelo probabilístico (descrição) – Robert Brown (1827):
– O Movimento Browniano descrevia o comportamento de 
moléculas em um líquidomoléculas em um líquido.
• Albert Einstein explicou o Movimento Browniano e juntamenteAlbert Einstein explicou o Movimento Browniano e juntamente 
com o surgimento da telefonia, impulsionaram o estudo da 
probabilidade
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Movimento BrownianoMovimento Browniano
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Conjunto de Mandelbrot - Fractais
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C t t b bilí ti
 Introdução
 Conceitos de estatística
Comportamento probabilístico
• A natureza apresenta dois tipos de fenômenos:
– Determinísticos – temperatura que um metal se transforma de 
sólido para líquido.
– Aleatórios – os resultados são
imprevisíveis mesmo que haja
um grande número deum grande número de
repetições do mesmo
fenômeno
• Probabilidade.
– Teoria matemática utilizada para
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Teoria matemática utilizada para
estudar a incerteza advinda de caráter aleatório.
Determinístico ou Aleatório?
Programa de Computador
Entrada Saída
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ProbabilidadeProbabilidade
Cara ou Coroa?
Espaço Amostral: { Cara, Coroa}
A, B, C são eventos
P(A) = ? se A = {Cara}
P(B) = ? se B = {Coroa}P(B) = ? se B = {Coroa}
P(C) = ? se C = {Sequência de 2 = (Cara, Cara)}
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Probabilidades
Jogo de Dados
Espaço Amostral: { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A e B são eventos
P(A) = ? se A = {Número Par} = { 2, 4, 6 }
P(B) = ? se B = {Números menores que 3} = {1 2 }P(B) = ? se B = {Números menores que 3} = {1, 2 }
P(A U B) = ?
Representação Gráfica: 
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P(A  B) = ? Conjuntos
Probabilidade
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60 * 59 * 58 * 57 * 56 * 55 =
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Tipos de VariáveisTipos de Variáveis
Qualitativa
Nominal
Variável
Ordinal
Quantitativa
Discreta
Contínua
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Experimento Aleatório
Distribuição de Frequências
Experimento Aleatório
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Distribuição de Frequências
Id dId d SS Cid dCid d
- Inferência 
Estatística
IdadeIdade SexoSexo CidadeCidade
18 M Gama
19 F Guará
21 M G
- População
Amostra
21 M Gama
19 M Brasília
18 M Anápolis
23 M C ilâ di
 k i nf
- Amostra 23 M Ceilândia
Id d(Id d (kk)) F ê i (F ê i (ff )) F l tiF l tii if0 Idade (Idade (kk)) Frequência (Frequência (ffii)) Freq. relativaFreq. relativa18 2 0,33
19 2 0,33
21 1 0 17nff iri / 21 1 0,1723 1 0,17
Total (n)  6 1
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I f ê i t tí ti
 Introdução
 Conceitos de estatística
Inferência estatística
• Técnicas de extrapolação das informações e conclusões obtidas 
a partir de pequenas amostras de um grande volume de dados.
– Com o acesso a todos os dados, é desnecessário o uso de técnicas 
de inferência;de inferência;
População e amostra
• Qual a população e as variáveis de estudo?
– Exames de sangue;g
– Tempo de funcionamento de equipamentos;
– Pesquisa boca de urna.
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Ti d iá i
 Introdução
 Conceitos de estatística
Tipos de variáveis
• Estudo da população de uma cidade:
Interesse em alguma característica como renda idade sexo tipo de moradia– Interesse em alguma característica como renda, idade, sexo, tipo de moradia, 
etc. (variáveis).
– A escolha da variável (ou variáveis) de interesse dependerá dos objetivos do 
estudo.
• Qualitativa: - quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos
– População, alunos de uma universidade. Variável, sexo (masculino ou feminino)
– População, moradores de uma cidade. Variável, tipo de habitação (casa, 
apartamento, barraco, etc.);
– População, peças produzidas por uma máquina. Variável, qualidade (perfeita ou 
defeituosa););
– População, óbitos em um hospital, nos últimos cinco anos. Variável: causa 
mortis (moléstia cardiovasculares, cânceres, etc);
– População Brasileira. Variável: cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, 
parda)
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parda).
Ti d iá i
 Introdução
 Conceitos de estatística
Tipos de variáveis
• Quantitativa: quando seus valores forem expressos em números.
– Discreta: valores pertences a um conjunto enumerável:
• População, casais residentes em uma cidade. Variável: número de 
filhos.
• População, aparelhos produzidos em uma linha de montagem. 
Variável, número de defeitos por unidade.
– Contínua: pode assumir qualquer valor em um certo intervalo deContínua: pode assumir qualquer valor em um certo intervalo de 
variação.
• População, estação meteorológica. Variável, precipitação 
pluviométrica durante um mêspluviométrica durante um mês.
• População, pregos produzidos por uma máquina. Variável, 
comprimento.
• P p l ã p id t id d V iá l id d
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• População, pessoas residentes em uma cidade. Variável, idade.
Di t ib i ã d f ê i
 Introdução
 Conceitos de estatística
Id dId d SS Cid dCid d
Tabela1. Dados brutos
Distribuição de frequências
• Frequências e frequências relativas 
(número de vezes um valor se
IdadeIdade SexoSexo CidadeCidade
18 M Gama
19 F Guará
21 M G(número de vezes um valor se 
repete no conjunto de dados)
– fi - freqüência do i-ésimo valor 
observado;
21 M Gama
19 M Brasília
18 M Anápolis
23 M C ilâ diobservado;
– n - número total de valores 
observados;
– k - número de diferentes valores
23 M Ceilândia
Id d (Id d (kk)) F ê i (F ê i (ff )) F l tiF l ti
Tabela2. Distribuição de frequências
k número de diferentes valores 
obtidos.
k f
Idade (Idade (kk)) Frequência (Frequência (ffii)) Freq. relativaFreq. relativa
18 2 0,33
19 2 0,33
21 1 0 17


i
i nf
0
21 1 0,17
23 1 0,17
Total (n)  6 1
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