Probabilidade e Estatística Aplicadas à Engenharia

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Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Daniel M. Rosa
Aula 6Aula 6
2º Semestre de 2009
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Probabilidade Total
Seja S o espaço amostral de um experimento, e considere k 
eventos A1, A2, ..., Ak em S tal que A1, A2, ..., Ak sejam disjuntos e
Ai = S. Diz-se, então, que estes eventos formam uma 
partição de S.
• Se os eventos A1, A2, ..., Ak formam uma partição de S, e B é
qualquer outro evento em S, então:
B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ ... ∪ (Ak ∩ B).
• Como os k eventos do lado direito da equação são disjuntos:
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Probabilidade Total
Mas P(Aj ∩ B) = P(Ai) . P(B/Aj) onde j = 1, 2, ..., k. Então
Exemplo:
• Um fabricante de sorvetes recebe 20% do leite que utiliza da 
Fazenda F1, 30% da F2 e 50% da F3. O leite estava adulterado 
em 20% da F1, 5% da F2 e 2% da F3. Discuta a adulteração de 
um galão de leite aleatório na fábrica.
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Exemplo
Resolução:
A: Leite adulterado
P(A/F1)=0,2; P(A/F2)=0,05; P(A/F3)=0,02
F1, F2 e F3 formam uma partição de S
Qual a probabilidade da amostra adulterada seja da F1? P(F1/A)
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Teorema de Bayes
Sejam os eventos A1, A2, ..., Ak que formam uma partição do espaço 
S tal que P(Aj) > 0 para todo j = 1, 2, ..., k, e seja B qualquer 
evento tal que P(B) > 0. Então, para i = 1, 2, ..., k, temos:
Demonstração:
Da probabilidade condicional: 
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Exemplo
• Qual a probabilidade do leite adulterado ser da F1?
P(A)
A)P(F1P(F1/A) ∩=
615,0
02,0.5,005,0.3,02,0.2,0
2,02,0
P(F3) P(A/F3)P(F2) P(A/F2)P(F1) P(A/F1)
P(F1) P(A/F1)
=++=
++=
X
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Exercícios
• Permutação
Um time típico da liga principal de basquete tem 25 jogadores. 
Uma formação dos jogadores consiste em nove desses 
jogadores em uma determinada ordem. Quantas formações são 
possíveis?
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Exercícios
• Permutação
Um time típico da liga principal de basquete tem 25 jogadores. 
Uma formação dos jogadores consiste em nove desses 
jogadores em uma determinada ordem. Quantas formações são 
possíveis?
P925=7,41x1011
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Exercícios
• Combinação
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Exercícios
Solução:
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Exercícios
• Probabilidade condicional
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Exercícios
• Solução:
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• Probabilidade condicional
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• Probabilidade condicional
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Exercícios
• Teorema de Bayes
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• Solução: