Variáveis Aleatórias e Distribuições

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Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Probabilidade e estatística aplicada à engenharia
Daniel M. Rosa
Aula 7Aula 7
2º Semestre de 2009
Universidade de Brasília - Faculdade UnB Gama
Daniel M. Rosa Probabilidade e estatística aplicadas à engenharia
Variáveis aleatórias e distribuições
Considere um experimento para o qual o espaço amostral é denotado por S. Define-se 
variável aleatória como uma função que associa um valor real a cada elemento do 
espaço amostral.
X : S → R
• Representamos as variáveis aleatórias por letras maiúsculas e suas ocorrências por 
letras minúsculas.
Exemplo:
– Suponha o experimento "lançar três moedas". Seja X: número de ocorrências da face 
cara .
• S = {(c; c; c); (c; c; r); (c; r; c); (c; r; r); (r; c; c); (r; c; r); (r; r; c); (r; r; r)}
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3. Podemos associar a esses 
números eventos que correspondem a nenhuma, uma, duas ou três caras 
respectivamente, como segue:
.
z Variáveis aleatórias
z Distribuição de probabilidade
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Tipos de Variáveis Aleatórias
Variável aleatória (v.a.) discreta: Se o número de valores 
possíveis de X (contradomínio), for finito ou infinito 
enumerável. Isto é, existe um conjunto finito ou enumerável 
{x1, x2, ...} ⊂ R tal que X(s) ⊂ {x1, x2, ...} ∀s ⊂ S.
• O contradomínio de X será formado por um número finito ou 
enumerável de valores x1, x2, ... A cada possível resultado xi, 
associaremos um número p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, 3, ..., 
denominado probabilidade de xi. Os números p(xi) devem 
satisfazer às seguintes condições:
a) p(xi) ≥ 0 ∀i;
b)
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Distribuição de probabilidade
• A função p, definida acima, é denominada função de 
probabilidade da variável aleatória X. A coleção de pares 
[xi,p(xi)], i = 1, 2, ..., é denominada distribuição de 
probabilidade de X.
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Distribuição de probabilidade
Exemplo:
a) Lançam-se dois dados. Seja a v.a. X: soma das faces. Determinar 
a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
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Distribuição de probabilidade
Exemplo:
a) Lançam-se dois dados. Seja a v.a. X: soma das faces. Determinar 
a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
Gráfico de P(x) para dois dados:
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b) Considere o experimento no qual uma moeda é jogada dez 
vezes e seja X ser o número de caras que são obtidas. Neste 
experimento, os possíveis valores de X são 0,1, 2, ..., 10, e
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Variável aleatória contínua
Seja X uma variável aleatória. Suponha que o contradomínio de X (RX), seja 
um intervalo ou uma coleção de intervalos. Então diremos que X é uma 
variável aleatória contínua.
Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade 
(f.d.p.) f, é uma função f que satisfaz às condições:
a) f(x) ≥ 0 x ⊂ RX.
b) 
Além disso, definimos, para qualquer c < d (em RX)
.
Função densidade de probabilidade
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Obs:
a) P(c < x < d) representa a área sob a curva, como exemplificado no gráfico da 
Figura abaixo, da f.d.p. f, entre x = c e x = d.
b) Constitui uma consequência da descrição probabilística de X que, para 
qualquer valor especificado de X, digamos x0, teremos P(X = x0) = 0, 
porque
Gráfico de fdp de f:
.
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Exemplo:
a) Suponhamos que a v.a. X seja contínua. Seja a f.d.p. f dada por:
Com, f(x) ≥ 0 e Para calcular
P(X ≤ 1/2) deve-se calcular 
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b) Seja X a duração de vida (em horas) de um certo tipo de 
lâmpada. Admitindo que X seja uma variável aleatória contínua, 
suponha que a f.d.p. f de X seja dada por:
Para calcular a constante a, recorre-se à condição , 
que neste caso é , obtendo-se a = 7:031:250.
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• Variáveis aleatórias
• Discretas:
– Número de dias de trabalho no ano igual a 250. registro da 
frequência dos empregados. A variável X será o número de dias de 
falta. Rx={0, 1, 2, ..., 250}