Questão resolvida - Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento s em metros, t em segundos, velocidade instantânea v e aceleração a. Conhecendo-se a função velocida

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• Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento 
 em metros, em segundos, velocidade instantânea e aceleração . Conhecendo-s t v a
se a função velocidade, é possível determinar as funções espaço-tempo (s) e a 
função aceleração por meio do cálculo diferencial e integral. Nesse contexto, 
considere a função e seu gráfico como suporte (figura a seguir) e v = 2t + 4
analise as afirmativas a seguir.
 
I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do v = 2t + 4 s = 0 t = 0
tempo é dada por .t s t = t + 4 -( )
1
3
( )3/2
1
3
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se, para t = 1 s t = 3 s
 , é igual a integral t = 0 s = 0→ 2t + 4 dt = 2 - 8
2
0
∫ ( )
1
2
1
3
2
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a t = 0 s1
.a 0 = m / s( )
1
2
2
IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os instantes 
 e , em que .t = 1 s1 t = 3 s2 t = 0 e s = 0
 
 
Resolução:
 
I. A equação do espaço é dada pela integral da equação da velocidade, integrando s t( )
;v t( )
 
s t = vdt = dt( ) ∫ ∫ 2t + 4
 
vamos resolver a integral usando a técnica de integral por substituição;
 
u = 2t + 4 du = 2dt 2dt = du dt =→ → →
du
2
 
Substituindo : dt = = u = + c∫ 2t + 4 ∫ udu
2
∫
1
2
du
2
1
2
u
+ 1
+1
1
2
1
2
= + c = = u + c = u + c
1
2
u
1 + 2
2
1+2
2
1
2
u
3
2
3
2
1
2
2
3
3
2
1
3
3
2
 
Mas u = 2t + 4, então; s t = 2t + 4 + c( )
1
3
( )
3
2
 
Temos que : s 0 = 0, substituindo na relação encontrada, achamos a constante c :( )
 
s 0 = 2 ⋅ 0 + 4 + c = 0 0 + 4 + c = 0 4 + c = 0 4 + c = 0( )
1
3
( )
3
2 →
1
3
( )
3
2 →
1
3
( )
3
2 →
1
3
3
1
2
 
s 0 = 4 ⋅ 4 + c = 0 4 ⋅ 4 + c = 0 4 ⋅ + c = 0( )
1
3
2 1
1
2
→
1
3
2
1
2 1
1
2
→
1
3
2
2 4
 
c = - 4 ⋅ 2 c = -
1
3
1
→
8
3
 
Então, a equação de s t é;( )
 
 
 
 s t = 2t + 4 - ≠ t + 4 - falso!( )
1
3
( )
3
2
8
3
1
3
( )3/2
1
3
→
 
II. A área entre o eixo t e a curva da velocidade nos fornece o deslocamento da 
partícula, veja no gráfico que a área entre 0 e 2 segundos é diferente da área entre 1 
e 3 segundos! Falso!
 
III. A aceleração é dada pela derivada da velocidade, derivando a velocidade, temos;
 
v = = 2t + 4 a t = v' = 2t + 4 ⋅ 2 = 2t + 4 = 1 ⋅ 2t + 42t + 4 ( )
1
2 → ( )
1
2
( )
-1
1
2 2
2
( )
1 - 2
2 ( )
-1
2
 
a t = , assim a 0 = a 0 = a 0 =( )
1
2t + 4( )
1
2
→ ( )
1
2 ⋅ 0 + 4( )
1
2
→ ( )
1
4( )
1
2
→ ( )
1
4
→
 
a 0 = verdadeiro!( )
1
2
→
 
IV. Falso! não podemos firmar isso já que o percerso feito pela partícula não é 
conhecido!