lista4

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Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
4
3pi
2a3 b) 13pia
4
c)
3
4pia
3
d)
2
3pia
3
e) 2pia4
f)
1
2pi
2a4 g) 43pia
4
h)
1
2pi
3a2 i) 34pia
4
j)
8
3pia
3
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
5a b) 15
√
10a c) 13
√
3a d) 12
√
2a e) 12a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a/e, b/e, c/e, c/e) b) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) c) (a, b, c, d)
d) (e/a, e/b, e/c, e/d) e) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) f) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
12
e4
abcd b)
1
8
abcd
e4
c)
1
3
e4
abcd d)
1
24
e4
abcd e)
1
3
abcd
e4
f)
1
24
abcd
e4
g)
1
8
e4
abcd h)
1
6
e4
abcd i)
1
6
abcd
e4
j)
1
12
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4 (a+ b)
2
b)
M
8
(
a2 + b2
)
c)
M
6
(
a2 + b2
)
d)
M
4
(
a2 + b2 − ab)
e)
M
4 ab f)
M
8 (a+ b)
2
g)
M
6 (a+ b)
2
h)
M
12
(
a2 + b2
)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 95x
2
, entre os planos y =
−25 e y = 0. A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
5
43
1
3V 2/3 b) 543
1
3V 1/3 c) 54V
1/3
d)
5
2V
1/3
e)
5
4V
2/3
f)
5
2V
2/3
g)
5
122
2
3 3
1
3V 1/3 h) 5122
2
3 3
1
3V 2/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 2),
(2, 2) e (2, 1), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 5.
a)
23
10 b)
8
3 c)
46
3 d) 12 e)
23
2 f) 18 g)
20
3 h)
48
5
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
3
4 b)
1
12pi c)
24
5 d)
9
8 e)
3
10
f)
8
15pi g)
15
4 h)
1
5 i)
3
5 j)
16
5
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
4
63ρ +
1
3 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
11
4 pi b)
4
9pi
2
c)
2
9pi
2
d)
8
9pi
2
e)
32
7 pi
f)
37
6 pi g)
4
27pi
2
h)
16
7 pi i)
2
3pi
2
j)
11
12pi
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
2piab b) piab c)
1
2pi
(
a2 + b2
)
d)
1
4pi
(
a2 + b2
)
e)
1
4pib
2
f)
1
4pia
2
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) u b) 2u c) a2
(
cosh2 u− cos2 v)
d) uv e) u2 + v2 f) a2 sinh2 u
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) hipérboles (foco no eixo x) b) hipérboles (foco no eixo y)
c) parábolas (concavidade p/ cima) d) retas (partindo da origem)
e) hipérboles (quadrantes 1 e 3) f) parábolas (concavidade p/ baixo)
g) retas (paralelas ao eixo x) h) elipses (foco no eixo x)
i) retas (paralelas ao eixo y) j) círculos
k) hipérboles (quadrantes 2 e 4) l) elipses (foco no eixo y)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) (ry + sy) v b) rxu+ sxv c) (rx + sx)u d) ryu+ syv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] b) 12(rx + sx) c) 112s2 d) 112(s+ r)2
e)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) f)
1
12(ry + sy)
2
g)
1
3(rx + sx)
 l i s t a - 0 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
3
4pia
4
b)
8
3pia
3
c) 2pia4 d) 12pi
3a2 e) 43pi
2a3
f)
1
3pia
4
g)
2
3pia
3
h)
3
4pia
3
i)
4
3pia
4
j)
1
2pi
2a4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
10a b) 12
√
2a c) 12a d)
1
5
√
5a e) 13
√
3a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a/e, b/e, c/e, c/e) b) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) c) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d)
d) (a, b, c, d) e) (e/a, e/b, e/c, e/d) f) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
24
e4
abcd b)
1
6
e4
abcd c)
1
8
e4
abcd d)
1
3
e4
abcd e)
1
3
abcd
e4
f)
1
24
abcd
e4
g)
1
12
e4
abcd h)
1
8
abcd
e4
i)
1
6
abcd
e4
j)
1
12
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4 ab b)
M
4
(
a2 + b2 − ab) c) M8 (a2 + b2) d) M12 (a2 + b2)
e)
M
8 (a+ b)
2
f)
M
6 (a+ b)
2
g)
M
4 (a+ b)
2
h)
M
6
(
a2 + b2
)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
3V
2/3
b)
2
3V
1/3
c)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3 d) 43V
2/3
e)
4
3V
1/3
f)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 g) 232
1
3V 2/3 h) 232
1
3V 1/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
7
9pi
2
b)
7
24pi
2
c)
7
12pi
2
d)
37
6 pi e)
7
10pi
2
f)
7
60pi
2
g)
7
6pi
2
h)
29
16pi i)
20
7 pi j)
7
36pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
2pi
(
a2 + b2
)
b)
1
4pib
2
c) piab d) 12piab
e)
1
4pi
(
a2 + b2
)
f)
1
4pia
2
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) u2 + v2 b) 2u c) a2 sinh2 u
d) a2
(
cosh2 u− cos2 v) e) u f) uv
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) círculos b) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
c) hipérboles (quadrantes 2 e 4) d) hipérboles (foco no eixo x)
e) retas (partindo da origem) f) retas (paralelas ao eixo x)
g) parábolas (concavidade p/ baixo) h) elipses (foco no eixo x)
i) retas (paralelas ao eixo y) j) hipérboles (foco no eixo y)
k) parábolas (concavidade p/ cima) l) elipses (foco no eixo y)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) (rx + sx)u b) ryu+ syv c) (ry + sy) v d) rxu+ sxv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
12(ry + sy)
2
b)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) c)
1
2(rx + sx) d)
1
12s
2
e)
1
3(rx + sx) f)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] g) 112(s+ r)2
 l i s t a - 1 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
8
3pia
3
b)
1
3pia
4
c)
3
4pia
4
d) 2pia4 e) 43pi
2a3
f)
2
3pia
3
g)
1
2pi
3a2 h) 34pia
3
i)
1
2pi
2a4 j) 43pia
4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
2
√
2a b) 15
√
10a c) 12a d)
1
3
√
3a e) 15
√
5a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) b) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) c) (a, b, c, d)
d) (a/e, b/e, c/e, c/e) e) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) f) (e/a, e/b, e/c, e/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
8
abcd
e4
b)
1
12
abcd
e4
c)
1
8
e4
abcd d)
1
3
e4
abcd e)
1
24
abcd
e4
f)
1
6
abcd
e4
g)
1
6
e4
abcd h)
1
24
e4
abcd i)
1
3
abcd
e4
j)
1
12
e4
abcd
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
6
(
a2 + b2
)
b)
M
8
(
a2 + b2
)
c)
M
4 (a+ b)
2
d)
M
12
(
a2 + b2
)
e)
M
4
(
a2 + b2 − ab) f) M8 (a+ b)2 g) M6 (a+ b)2 h) M4 ab
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3 b) 232
1
3V 2/3 c) 232
1
3V 1/3 d) 292
2
3 3
1
3V 1/3
e)
4
3V
2/3
f)
2
3V
2/3
g)
2
3V
1/3
h)
4
3V
1/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
37
6 pi b)
7
36pi
2
c)
7
12pi
2
d)
20
7 pi e)
7
10pi
2
f)
7
6pi
2
g)
7
9pi
2
h)
7
24pi
2
i)
29
16pi j)
7
60pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
4pia
2
b)
1
2piab c)
1
4pi
(
a2 + b2
)
d)
1
2pi
(
a2 + b2
)
e)
1
4pib
2
f) piab
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) 2u b) u2 + v2 c) a2 sinh2 u
d) uv e) u f) a2
(
cosh2 u− cos2 v)
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) hipérboles (foco no eixo x) b) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
c) elipses (foco no eixo y) d) parábolas (concavidade p/ cima)
e) hipérboles (foco no eixo y) f) retas (partindo da origem)
g) retas (paralelas ao eixo y) h) retas (paralelas ao eixo x)
i) elipses (foco no eixo x) j) parábolas (concavidade p/ baixo)
k) hipérboles (quadrantes 2 e 4) l) círculos
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentesr e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) rxu+ sxv b) (ry + sy) v c) (rx + sx)u d) ryu+ syv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
2(rx + sx) b)
1
12(ry + sy)
2
c)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] d) 112s2
e)
1
12(s+ r)
2
f)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) g)
1
3(rx + sx)
 l i s t a - 2 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
1
3pia
4
b)
4
3pia
4
c)
1
2pi
2a4 d) 23pia
3
e)
1
2pi
3a2
f)
4
3pi
2a3 g) 2pia4 h) 34pia
3
i)
8
3pia
3
j)
3
4pia
4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
5a b) 15
√
10a c) 13
√
3a d) 12
√
2a e) 12a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a/e, b/e, c/e, c/e) b) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) c) (a, b, c, d)
d) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) e) (e/a, e/b, e/c, e/d) f) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
12
abcd
e4
b)
1
8
abcd
e4
c)
1
6
e4
abcd d)
1
6
abcd
e4
e)
1
8
e4
abcd
f)
1
12
e4
abcd g)
1
24
abcd
e4
h)
1
24
e4
abcd i)
1
3
abcd
e4
j)
1
3
e4
abcd
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4 ab b)
M
6 (a+ b)
2
c)
M
4
(
a2 + b2 − ab) d) M8 (a+ b)2
e)
M
8
(
a2 + b2
)
f)
M
6
(
a2 + b2
)
g)
M
12
(
a2 + b2
)
h)
M
4 (a+ b)
2
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 b) 232
1
3V 2/3 c) 43V
2/3
d)
2
3V
1/3
e)
2
3V
2/3
f)
4
3V
1/3
g)
2
32
1
3V 1/3 h) 292
2
3 3
1
3V 2/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
37
6 pi b)
7
12pi
2
c)
7
60pi
2
d)
7
24pi
2
e)
7
36pi
2
f)
29
16pi g)
7
9pi
2
h)
7
10pi
2
i)
7
6pi
2
j)
20
7 pi
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
4pi
(
a2 + b2
)
b)
1
4pia
2
c)
1
2pi
(
a2 + b2
)
d)
1
4pib
2
e)
1
2piab f) piab
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) a2 sinh2 u b) u2 + v2 c) 2u
d) u e) uv f) a2
(
cosh2 u− cos2 v)
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) retas (paralelas ao eixo x) b) elipses (foco no eixo y)
c) parábolas (concavidade p/ baixo) d) hipérboles (foco no eixo y)
e) hipérboles (quadrantes 1 e 3) f) elipses (foco no eixo x)
g) hipérboles (quadrantes 2 e 4) h) círculos
i) parábolas (concavidade p/ cima) j) hipérboles (foco no eixo x)
k) retas (partindo da origem) l) retas (paralelas ao eixo y)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) rxu+ sxv b) (rx + sx)u c) ryu+ syv d) (ry + sy) v
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
3(rx + sx) b)
1
12s
2
c)
1
2(rx + sx) d)
1
12(s+ r)
2
e)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) f)
1
12(ry + sy)
2
g)
1
6
[
r2 + s2 + s · r]
 l i s t a - 3 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
3
4pia
4
b)
1
3pia
4
c)
4
3pi
2a3 d) 2pia4 e) 83pia
3
f)
4
3pia
4
g)
1
2pi
2a4 h) 34pia
3
i)
2
3pia
3
j)
1
2pi
3a2
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
3
√
3a b) 15
√
5a c) 12a d)
1
2
√
2a e) 15
√
10a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a, b, c, d) b) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) c) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e)
d) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) e) (a/e, b/e, c/e, c/e) f) (e/a, e/b, e/c, e/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
3
e4
abcd b)
1
12
abcd
e4
c)
1
8
e4
abcd d)
1
6
abcd
e4
e)
1
12
e4
abcd
f)
1
6
e4
abcd g)
1
3
abcd
e4
h)
1
8
abcd
e4
i)
1
24
abcd
e4
j)1
24
e4
abcd
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
8
(
a2 + b2
)
b)
M
6 (a+ b)
2
c)
M
4 ab d)
M
4 (a+ b)
2
e)
M
8 (a+ b)
2
f)
M
4
(
a2 + b2 − ab) g) M12 (a2 + b2) h) M6 (a2 + b2)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
4
3V
1/3
b)
2
3V
1/3
c)
2
32
1
3V 2/3 d) 292
2
3 3
1
3V 2/3
e)
4
3V
2/3
f)
2
3V
2/3
g)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 h) 232
1
3V 1/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
20
7 pi b)
7
6pi
2
c)
37
6 pi d)
7
12pi
2
e)
7
36pi
2
f)
7
24pi
2
g)
29
16pi h)
7
10pi
2
i)
7
60pi
2
j)
7
9pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
4pia
2
b)
1
4pi
(
a2 + b2
)
c)
1
2piab d)
1
2pi
(
a2 + b2
)
e)
1
4pib
2
f) piab
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) a2 sinh2 u b) a2
(
cosh2 u− cos2 v) c) u
d) u2 + v2 e) uv f) 2u
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) hipérboles (foco no eixo y) b) elipses (foco no eixo x)
c) elipses (foco no eixo y) d) hipérboles (quadrantes 2 e 4)
e) círculos f) parábolas (concavidade p/ baixo)
g) retas (paralelas ao eixo y) h) hipérboles (foco no eixo x)
i) retas (partindo da origem) j) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
k) parábolas (concavidade p/ cima) l) retas (paralelas ao eixo x)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) ryu+ syv b) rxu+ sxv c) (rx + sx)u d) (ry + sy) v
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
12(s+ r)
2
b)
1
12s
2
c)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] d) 112 |s||r| (rxsx + rysy)
e)
1
2(rx + sx) f)
1
3(rx + sx) g)
1
12(ry + sy)
2
 l i s t a - 4 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
3
4pia
4
b)
1
2pi
3a2 c) 43pia
4
d)
1
2pi
2a4 e) 43pi
2a3
f)
8
3pia
3
g)
2
3pia
3
h)
3
4pia
3
i)
1
3pia
4
j) 2pia4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
5a b) 12
√
2a c) 12a d)
1
5
√
10a e) 13
√
3a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a, b, c, d) b) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) c) (e/a, e/b, e/c, e/d)
d) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) e) (a/e, b/e, c/e, c/e) f) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
6
abcd
e4
b)
1
12
abcd
e4
c)
1
8
e4
abcd d)
1
3
e4
abcd e)
1
8
abcd
e4
f)
1
24
abcd
e4
g)
1
12
e4
abcd h)
1
3
abcd
e4
i)
1
24
e4
abcd j)
1
6
e4
abcd
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
12
(
a2 + b2
)
b)
M
4 ab c)
M
8
(
a2 + b2
)
d)
M
6 (a+ b)
2
e)
M
6
(
a2 + b2
)
f)
M
8 (a+ b)
2
g)
M
4
(
a2 + b2 − ab) h) M4 (a+ b)2
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
3V
2/3
b)
2
32
1
3V 2/3 c) 43V
2/3
d)
2
32
1
3V 1/3
e)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 f) 43V
1/3
g)
2
3V
1/3
h)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
37
6 pi b)
7
12pi
2
c)
7
9pi
2
d)
7
6pi
2
e)
7
24pi
2
f)
7
10pi
2
g)
20
7 pi h)
7
36pi
2
i)
7
60pi
2
j)
29
16pi
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
4pib
2
b)
1
2piab c)
1
4pia
2
d)
1
4pi
(
a2 + b2
)
e) piab f) 12pi
(
a2 + b2
)
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) u2 + v2 b) a2 sinh2 uc) uv
d) a2
(
cosh2 u− cos2 v) e) 2u f) u
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) retas (partindo da origem) b) círculos
c) parábolas (concavidade p/ cima) d) hipérboles (foco no eixo x)
e) retas (paralelas ao eixo y) f) hipérboles (foco no eixo y)
g) elipses (foco no eixo x) h) parábolas (concavidade p/ baixo)
i) hipérboles (quadrantes 2 e 4) j) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
k) elipses (foco no eixo y) l) retas (paralelas ao eixo x)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) (ry + sy) v b) ryu+ syv c) (rx + sx)u d) rxu+ sxv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
12(s+ r)
2
b)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) c)
1
12s
2
d)
1
3(rx + sx)
e)
1
12(ry + sy)
2
f)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] g) 12(rx + sx)
 l i s t a - 5 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
1
2pi
3a2 b) 43pi
2a3 c) 34pia
3
d)
8
3pia
3
e)
3
4pia
4
f)
4
3pia
4
g)
2
3pia
3
h)
1
3pia
4
i) 2pia4 j) 12pi
2a4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
3
√
3a b) 12
√
2a c) 12a d)
1
5
√
5a e) 15
√
10a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a, b, c, d) b) (a/e, b/e, c/e, c/e) c) (e/a, e/b, e/c, e/d)
d) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) e) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) f) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
3
abcd
e4
b)
1
6
e4
abcd c)
1
12
abcd
e4
d)
1
8
e4
abcd e)
1
12
e4
abcd
f)
1
8
abcd
e4
g)
1
24
e4
abcd h)
1
6
abcd
e4
i)
1
24
abcd
e4
j)
1
3
e4
abcd
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4
(
a2 + b2 − ab) b) M8 (a+ b)2 c) M6 (a2 + b2) d) M4 ab
e)
M
4 (a+ b)
2
f)
M
6 (a+ b)
2
g)
M
8
(
a2 + b2
)
h)
M
12
(
a2 + b2
)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
4
3V
2/3
b)
2
3V
1/3
c)
2
32
1
3V 1/3 d) 292
2
3 3
1
3V 2/3
e)
2
32
1
3V 2/3 f) 292
2
3 3
1
3V 1/3 g) 23V
2/3
h)
4
3V
1/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
7
24pi
2
b)
20
7 pi c)
7
36pi
2
d)
7
9pi
2
e)
7
60pi
2
f)
7
10pi
2
g)
7
12pi
2
h)
37
6 pi i)
29
16pi j)
7
6pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a) piab b) 14pia
2
c)
1
4pi
(
a2 + b2
)
d)
1
4pib
2
e)
1
2piab f)
1
2pi
(
a2 + b2
)
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) u2 + v2 b) uv c) a2
(
cosh2 u− cos2 v)
d) 2u e) u f) a2 sinh2 u
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) hipérboles (quadrantes 1 e 3) b) elipses (foco no eixo y)
c) hipérboles (foco no eixo y) d) parábolas (concavidade p/ baixo)
e) retas (paralelas ao eixo y) f) retas (paralelas ao eixo x)
g) hipérboles (quadrantes 2 e 4) h) círculos
i) hipérboles (foco no eixo x) j) elipses (foco no eixo x)
k) retas (partindo da origem) l) parábolas (concavidade p/ cima)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) (rx + sx)u b) ryu+ syv c) rxu+ sxv d) (ry + sy) v
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
12s
2
b)
1
2(rx + sx) c)
1
3(rx + sx) d)
1
12(ry + sy)
2
e)
1
12(s+ r)
2
f)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] g) 112 |s||r| (rxsx + rysy)
 l i s t a - 6 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
1
2pi
2a4 b) 23pia3
c)
3
4pia
4
d)
1
2pi
3a2 e) 83pia
3
f)
1
3pia
4
g) 2pia4 h) 34pia
3
i)
4
3pia
4
j)
4
3pi
2a3
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
10a b) 15
√
5a c) 13
√
3a d) 12a e)
1
2
√
2a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) b) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) c) (a, b, c, d)
d) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) e) (a/e, b/e, c/e, c/e) f) (e/a, e/b, e/c, e/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
3
abcd
e4
b)
1
24
e4
abcd c)
1
3
e4
abcd d)
1
6
e4
abcd e)
1
12
e4
abcd
f)
1
6
abcd
e4
g)
1
8
abcd
e4
h)
1
12
abcd
e4
i)
1
24
abcd
e4
j)
1
8
e4
abcd
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
6 (a+ b)
2
b)
M
8
(
a2 + b2
)
c)
M
6
(
a2 + b2
)
d)
M
12
(
a2 + b2
)
e)
M
4 (a+ b)
2
f)
M
8 (a+ b)
2
g)
M
4 ab h)
M
4
(
a2 + b2 − ab)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3 b) 23V
2/3
c)
4
3V
2/3
d)
2
3V
1/3
e)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 f) 232
1
3V 2/3 g) 43V
1/3
h)
2
32
1
3V 1/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
7
9pi
2
b)
7
6pi
2
c)
7
12pi
2
d)
7
10pi
2
e)
29
16pi
f)
20
7 pi g)
37
6 pi h)
7
36pi
2
i)
7
24pi
2
j)
7
60pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
2piab b) piab c)
1
4pib
2
d)
1
4pia
2
e)
1
4pi
(
a2 + b2
)
f)
1
2pi
(
a2 + b2
)
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) a2
(
cosh2 u− cos2 v) b) u c) a2 sinh2 u
d) 2u e) uv f) u2 + v2
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) hipérboles (quadrantes 1 e 3) b) elipses (foco no eixo y)
c) retas (partindo da origem) d) parábolas (concavidade p/ baixo)
e) retas (paralelas ao eixo x) f) elipses (foco no eixo x)
g) hipérboles (quadrantes 2 e 4) h) retas (paralelas ao eixo y)
i) parábolas (concavidade p/ cima) j) círculos
k) hipérboles (foco no eixo y) l) hipérboles (foco no eixo x)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) ryu+ syv b) (rx + sx)u c) (ry + sy) v d) rxu+ sxv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
3(rx + sx) b)
1
12s
2
c)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) d)
1
2(rx + sx)
e)
1
12(s+ r)
2
f)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] g) 112(ry + sy)2
 l i s t a - 7 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a) 2pia4 b) 43pi
2a3 c) 83pia
3
d)
4
3pia
4
e)
1
3pia
4
f)
3
4pia
4
g)
1
2pi
3a2 h) 12pi
2a4 i) 34pia
3
j)
2
3pia
3
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
5a b) 13
√
3a c) 15
√
10a d) 12
√
2a e) 12a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a/e, b/e, c/e, c/e) b) (a, b, c, d) c) (e/a, e/b, e/c, e/d)
d) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) e) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) f) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
12
abcd
e4
b)
1
8
e4
abcd c)
1
3
abcd
e4
d)
1
6
e4
abcd e)
1
24
e4
abcd
f)
1
6
abcd
e4
g)
1
12
e4
abcd h)
1
3
e4
abcd i)
1
24
abcd
e4
j)
1
8
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4 (a+ b)
2
b)
M
12
(
a2 + b2
)
c)
M
8 (a+ b)
2
d)
M
4 ab
e)
M
8
(
a2 + b2
)
f)
M
6 (a+ b)
2
g)
M
6
(
a2 + b2
)
h)
M
4
(
a2 + b2 − ab)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
32
1
3V 1/3 b) 292
2
3 3
1
3V 2/3 c) 232
1
3V 2/3 d) 43V
1/3
e)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 f) 23V
1/3
g)
4
3V
2/3
h)
2
3V
2/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
29
16pi b)
7
12pi2
c)
7
60pi
2
d)
7
24pi
2
e)
37
6 pi
f)
7
10pi
2
g)
7
6pi
2
h)
20
7 pi i)
7
9pi
2
j)
7
36pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a) piab b) 12pi
(
a2 + b2
)
c)
1
4pi
(
a2 + b2
)
d)
1
2piab
e)
1
4pib
2
f)
1
4pia
2
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) 2u b) u c) uv
d) a2
(
cosh2 u− cos2 v) e) a2 sinh2 u f) u2 + v2
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) retas (paralelas ao eixo x) b) elipses (foco no eixo y)
c) hipérboles (foco no eixo y) d) retas (paralelas ao eixo y)
e) hipérboles (quadrantes 2 e 4) f) retas (partindo da origem)
g) parábolas (concavidade p/ baixo) h) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
i) parábolas (concavidade p/ cima) j) elipses (foco no eixo x)
k) círculos l) hipérboles (foco no eixo x)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) (rx + sx)u b) ryu+ syv c) (ry + sy) v d) rxu+ sxv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) b)
1
2(rx + sx) c)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] d) 13(rx + sx)
e)
1
12(ry + sy)
2
f)
1
12s
2
g)
1
12(s+ r)
2
 l i s t a - 8 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
2
3pia
3
b)
1
3pia
4
c)
4
3pi
2a3 d) 34pia
3
e)
1
2pi
3a2
f)
4
3pia
4
g)
8
3pia
3
h) 2pia4 i) 34pia
4
j)
1
2pi
2a4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
2a b)
1
2
√
2a c) 15
√
5a d) 15
√
10a e) 13
√
3a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) b) (a/e, b/e, c/e, c/e) c) (e/a, e/b, e/c, e/d)
d) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) e) (a, b, c, d) f) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
12
abcd
e4
b)
1
12
e4
abcd c)
1
3
e4
abcd d)
1
6
e4
abcd e)
1
3
abcd
e4
f)
1
8
abcd
e4
g)
1
24
e4
abcd h)
1
8
e4
abcd i)
1
6
abcd
e4
j)
1
24
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
8
(
a2 + b2
)
b)
M
6 (a+ b)
2
c)
M
12
(
a2 + b2
)
d)
M
8 (a+ b)
2
e)
M
4
(
a2 + b2 − ab) f) M6 (a2 + b2) g) M4 ab h) M4 (a+ b)2
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 b) 23V
2/3
c)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3 d) 23V
1/3
e)
4
3V
1/3
f)
4
3V
2/3
g)
2
32
1
3V 1/3 h) 232
1
3V 2/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
7
9pi
2
b)
29
16pi c)
7
24pi
2
d)
7
10pi
2
e)
7
12pi
2
f)
7
36pi
2
g)
37
6 pi h)
20
7 pi i)
7
6pi
2
j)
7
60pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
4pib
2
b)
1
4pi
(
a2 + b2
)
c)
1
2pi
(
a2 + b2
)
d) piab
e)
1
4pia
2
f)
1
2piab
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) a2 sinh2 u b) u2 + v2 c) a2
(
cosh2 u− cos2 v)
d) u e) uv f) 2u
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) elipses (foco no eixo x) b) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
c) retas (partindo da origem) d) elipses (foco no eixo y)
e) círculos f) hipérboles (foco no eixo x)
g) parábolas (concavidade p/ cima) h) parábolas (concavidade p/ baixo)
i) hipérboles (foco no eixo y) j) hipérboles (quadrantes 2 e 4)
k) retas (paralelas ao eixo x) l) retas (paralelas ao eixo y)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) rxu+ sxv b) ryu+ syv c) (ry + sy) v d) (rx + sx)u
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculodas
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] b) 12(rx + sx) c) 13(rx + sx) d) 112(ry + sy)2
e)
1
12s
2
f)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) g)
1
12(s+ r)
2
 l i s t a - 9 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
1
2pi
2a4 b) 43pia
4
c)
1
3pia
4
d)
2
3pia
3
e)
8
3pia
3
f)
1
2pi
3a2 g) 43pi
2a3 h) 34pia
3
i) 2pia4 j) 34pia
4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
10a b) 12a c)
1
5
√
5a d) 12
√
2a e) 13
√
3a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) b) (a, b, c, d) c) (a/e, b/e, c/e, c/e)
d) (e/a, e/b, e/c, e/d) e) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) f) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
24
e4
abcd b)
1
3
abcd
e4
c)
1
3
e4
abcd d)
1
8
e4
abcd e)
1
6
e4
abcd
f)
1
12
e4
abcd g)
1
24
abcd
e4
h)
1
6
abcd
e4
i)
1
12
abcd
e4
j)
1
8
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
6
(
a2 + b2
)
b)
M
6 (a+ b)
2
c)
M
4 (a+ b)
2
d)
M
8 (a+ b)
2
e)
M
4 ab f)
M
4
(
a2 + b2 − ab) g) M12 (a2 + b2) h) M8 (a2 + b2)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 b) 43V
2/3
c)
2
32
1
3V 1/3 d) 232
1
3V 2/3
e)
2
3V
2/3
f)
2
3V
1/3
g)
4
3V
1/3
h)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
7
6pi
2
b)
37
6 pi c)
7
12pi
2
d)
29
16pi e)
7
60pi
2
f)
7
9pi
2
g)
7
36pi
2
h)
7
24pi
2
i)
7
10pi
2
j)
20
7 pi
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
2pi
(
a2 + b2
)
b)
1
4pib
2
c) piab d) 14pi
(
a2 + b2
)
e)
1
4pia
2
f)
1
2piab
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) u2 + v2 b) a2
(
cosh2 u− cos2 v) c) uv
d) u e) 2u f) a2 sinh2 u
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) retas (paralelas ao eixo x) b) círculos
c) retas (partindo da origem) d) hipérboles (foco no eixo x)
e) elipses (foco no eixo x) f) elipses (foco no eixo y)
g) retas (paralelas ao eixo y) h) hipérboles (quadrantes 2 e 4)
i) parábolas (concavidade p/ baixo) j) hipérboles (foco no eixo y)
k) hipérboles (quadrantes 1 e 3) l) parábolas (concavidade p/ cima)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) rxu+ sxv b) (rx + sx)u c) ryu+ syv d) (ry + sy) v
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
2(rx + sx) b)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] c) 13(rx + sx) d) 112 |s||r| (rxsx + rysy)
e)
1
12s
2
f)
1
12(ry + sy)
2
g)
1
12(s+ r)
2
 l i s t a - 1 0 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
3
4pia
3
b)
3
4pia
4
c) 2pia4 d) 23pia
3
e)
4
3pia
4
f)
1
3pia
4
g)
8
3pia
3
h)
1
2pi
2a4 i) 12pi
3a2 j) 43pi
2a3
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
5
√
5a b) 12
√
2a c) 12a d)
1
5
√
10a e) 13
√
3a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) b) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d) c) (a/e, b/e, c/e, c/e)
d) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) e) (e/a, e/b, e/c, e/d) f) (a, b, c, d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
24
e4
abcd b)
1
3
abcd
e4
c)
1
6
e4
abcd d)
1
3
e4
abcd e)
1
12
e4
abcd
f)
1
8
abcd
e4
g)
1
8
e4
abcd h)
1
6
abcd
e4
i)
1
24
abcd
e4
j)
1
12
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4
(
a2 + b2 − ab) b) M8 (a2 + b2) c) M6 (a2 + b2) d) M12 (a2 + b2)
e)
M
4 ab f)
M
4 (a+ b)
2
g)
M
8 (a+ b)
2
h)
M
6 (a+ b)
2
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de águaV dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3 b) 23V
2/3
c)
4
3V
1/3
d)
2
3V
1/3
e)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3 f) 232
1
3V 1/3 g) 43V
2/3
h)
2
32
1
3V 2/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
20
7 pi b)
7
9pi
2
c)
7
6pi
2
d)
7
60pi
2
e)
29
16pi
f)
7
36pi
2
g)
7
24pi
2
h)
7
12pi
2
i)
7
10pi
2
j)
37
6 pi
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
4pi
(
a2 + b2
)
b)
1
2piab c)
1
4pia
2
d)
1
2pi
(
a2 + b2
)
e) piab f) 14pib
2
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) a2
(
cosh2 u− cos2 v) b) u c) a2 sinh2 u
d) 2u e) uv f) u2 + v2
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) parábolas (concavidade p/ cima) b) elipses (foco no eixo x)
c) retas (partindo da origem) d) retas (paralelas ao eixo x)
e) hipérboles (foco no eixo x) f) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
g) elipses (foco no eixo y) h) círculos
i) parábolas (concavidade p/ baixo) j) retas (paralelas ao eixo y)
k) hipérboles (quadrantes 2 e 4) l) hipérboles (foco no eixo y)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) ryu+ syv b) (ry + sy) v c) (rx + sx)u d) rxu+ sxv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] b) 13(rx + sx) c) 112(ry + sy)2 d) 112s2
e)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) f)
1
12(s+ r)
2
g)
1
2(rx + sx)
 l i s t a - 1 1 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
8
3pia
3
b)
4
3pi
2a3 c) 13pia
4
d)
3
4pia
3
e)
2
3pia
3
f)
1
2pi
2a4 g) 2pia4 h) 43pia
4
i)
3
4pia
4
j)
1
2pi
3a2
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
2a b)
1
3
√
3a c) 12
√
2a d) 15
√
10a e) 15
√
5a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) b) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) c) (a/e, b/e, c/e, c/e)
d) (a, b, c, d) e) (e/a, e/b, e/c, e/d) f) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
6
e4
abcd b)
1
24
e4
abcd c)
1
3
e4
abcd d)
1
6
abcd
e4
e)
1
8
e4
abcd
f)
1
24
abcd
e4
g)
1
12
e4
abcd h)
1
8
abcd
e4
i)
1
3
abcd
e4
j)
1
12
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4
(
a2 + b2 − ab) b) M6 (a2 + b2) c) M4 ab d) M4 (a+ b)2
e)
M
8
(
a2 + b2
)
f)
M
12
(
a2 + b2
)
g)
M
8 (a+ b)
2
h)
M
6 (a+ b)
2
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3 b) 23V
1/3
c)
2
32
1
3V 2/3 d) 43V
2/3
e)
2
32
1
3V 1/3 f) 23V
2/3
g)
4
3V
1/3
h)
2
92
2
3 3
1
3V 1/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
20
7 pi b)
7
60pi
2
c)
7
12pi
2
d)
7
6pi
2
e)
37
6 pi
f)
7
9pi
2
g)
7
10pi
2
h)
29
16pi i)
7
24pi
2
j)
7
36pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a)
1
4pia
2
b)
1
2piab c) piab d)
1
4pi
(
a2 + b2
)
e)
1
2pi
(
a2 + b2
)
f)
1
4pib
2
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) 2u b) a2 sinh2 u c) u2 + v2
d) u e) a2
(
cosh2 u− cos2 v) f) uv
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) círculos b) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
c) retas (partindo da origem) d) retas (paralelas ao eixo x)
e) hipérboles (foco no eixo y) f) hipérboles (foco no eixo x)
g) hipérboles (quadrantes 2 e 4) h) parábolas (concavidade p/cima)
i) elipses (foco no eixo y) j) retas (paralelas ao eixo y)
k) elipses (foco no eixo x) l) parábolas (concavidade p/ baixo)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) ryu+ syv b) (ry + sy) v c) (rx + sx)u d) rxu+ sxv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] b) 12(rx + sx) c) 112s2 d) 112(ry + sy)2
e)
1
3(rx + sx) f)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) g)
1
12(s+ r)
2
 l i s t a - 1 2 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
1
2pi
3a2 b) 34pia
4
c) 2pia4 d) 23pia
3
e)
1
2pi
2a4
f)
1
3pia
4
g)
3
4pia
3
h)
8
3pia
3
i)
4
3pi
2a3 j) 43pia
4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
2
√
2a b) 13
√
3a c) 15
√
5a d) 12a e)
1
5
√
10a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (a, b, c, d) b) (e2/a, e2/b, e2/c, e2/d) c) (1/a, 1/b, 1/c, 1/d)
d) (e/a, e/b, e/c, e/d) e) (a2/e, b2/e, c2/e, c2/e) f) (a/e, b/e, c/e, c/e)
Determine o hiper-volume VH =
ˇ
R dx dy dz dw, onde R é a região encerrada pelo hiperpoliedro.
a)
1
6
e4
abcd b)
1
3
e4
abcd c)
1
8
e4
abcd d)
1
12
e4
abcd e)
1
12
abcd
e4
f)
1
24
abcd
e4
g)
1
24
e4
abcd h)
1
3
abcd
e4
i)
1
8
abcd
e4
j)
1
6
abcd
e4
3. Calcule o momento de inércia com relação ao eixo y = x da elipse de densidade constante e massa M
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
[ Dica:a distância de um ponto x, y para este eixo é dada por d =
√
1
2 (x
2 + y2)− xy ]
a)
M
4 (a+ b)
2
b)
M
4 ab c)
M
8 (a+ b)
2
d)
M
8
(
a2 + b2
)
e)
M
6 (a+ b)
2
f)
M
12
(
a2 + b2
)
g)
M
4
(
a2 + b2 − ab) h) M6 (a2 + b2)
4. Considere que um canal de navegação possui a forma de uma parábola z = 38x
2
, entre os planos y =
−98 e y = 98 . A profundidade h é descrita por qual função do volume de água V dentro do canal?
a)
2
92
2
3 3
1
3V 2/3 b) 23V
1/3
c)
4
3V
2/3
d)
2
32
1
3V 1/3
e)
4
3V
1/3
f)
2
3V
2/3
g)
2
32
1
3V 2/3 h) 292
2
3 3
1
3V 1/3
5. Calcule a integral
˝
R dV z onde R é a região delimitada pelo losango com vértices em (0, 0), (0, 4),
(1, 3) e (1, 2), entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4.
a)
7
2 b)
10
3 c) 6 d) 6 e)
21
4 f)
7
4 g) 9 h)
21
2
6. Um sólido é produzido pela revolução da função f(z) =
√
z (1− z) sobre o eixo z entre z = 0 e z = 1.
Considere que a densidade é constante e igual à ρ0 = ρ e calcule a massa deste objeto.
a)
1
6 b)
1
12pi c)
16
15 d)
1
4 e)
1
15
f)
8
15pi g)
5
6 h)
1
12 i)
3
4 j)
1
9
7. Uma casca esférica de raio interno
3
2 e raio externo 2 possui uma densidade variável d(ρ) =
2
21ρ +
1
8 ,
onde ρ representa a distância com relação ao centro. Qual é a massa deste objeto?
a)
7
12pi
2
b)
20
7 pi c)
7
60pi
2
d)
7
24pi
2
e)
29
16pi
f)
7
6pi
2
g)
37
6 pi h)
7
36pi
2
i)
7
9pi
2
j)
7
10pi
2
8. A elipse
x2/a2 + y2/b2 = 1 pode ser convertida em um círculo de raio 1 no plano u, v pela transformação
de coordenadas x = au; y = bv. Determine o Jacobiano desa transformação e calcule a área (A) e os
momentos de inércia sobre os eixos ordenados (Ix, Iy e Iz). Considere a densidade constante e massa
igual a pi.
I) A → II) Ix → III) Iy → IV) Iz →
Valores:
a) piab b) 12pi
(
a2 + b2
)
c)
1
4pi
(
a2 + b2
)
d)
1
2piab
e)
1
4pia
2
f)
1
4pib
2
9. Considere os sistemas de coordenadas bi-dimensionais.
S1) Polares x = u cos v y = u sin v
S2) Elípticas x = a coshu cos v y = a sinhu sin v
S3) Parabólicas x = uv y = 12
(
v2 − u2)
S4) Hiperbólicas x = uev y = ue−v
Identifique o Jacobiano de cada sistema de coordenadas.
I) S1 → II) S2 → III) S3 → IV) S4 →
Valores:
a) u b) 2u c) a2
(
cosh2 u− cos2 v)
d) u2 + v2 e) a2 sinh2 u f) uv
Identifique as curvas de u = cte e v = cte em cada sistema de coordenadas.
I) polares (u = cte) → II) polares (v = cte) →
III) elípticas (u = cte) → IV) elípticas (v = cte) →
V) parabólicas (u = cte) → VI) parabólicas (v = cte) →
VII) hiperbólicas (u = cte) → VIII) hiperbólicas (v = cte) →
Valores:
a) círculos b) retas (partindo da origem)
c) hipérboles (foco no eixo y) d) hipérboles (quadrantes 1 e 3)
e) retas (paralelas ao eixo y) f) hipérboles (foco no eixo x)
g) hipérboles (quadrantes 2 e 4) h) parábolas (concavidade p/ cima)
i) parábolas (concavidade p/ baixo) j) elipses (foco no eixo x)
k) retas (paralelas ao eixo x) l) elipses (foco no eixo y)
10. As coordenadas cartesianas de um vetor R são obtidas a partir da decomposição de R em
R = xi+ yj, onde i e j são os vetores unitários nas direções dos eixos x e y. Dados quaisquer
vetores linearmente independentes r e , podemos definir um novo sistema de coordenadas não-
ortonormal a partir da decomposição
R = ur+ vs.
Note que r e s não precisam ser nem unitários nem ortogonais.
Se r = rxi+ ryj e s = sxi+ syj, aponte as equações que relacionam x, y com u e v.
I) x → II) y →
Valores:
a) (ry + sy) v b) (rx + sx)u c) ryu+ syv d) rxu+ sxv
Usando a transformação de coordenadas anterior, um triângulo com vértices na origem e em r e s é
transformado no triângulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) no plano uv. Isto facilita o cálculo das
integrais do centro de massa e momentos de inércia. Associe a grandeza relativa a um triângulo com
densidade constante e massa 1 ao seu respectivo valor.
I) xCM → II) Ix → III) Ir → IV) Iz →
Valores:
a)
1
12
|s|
|r| (rxsx + rysy) b)
1
12(s+ r)
2
c)
1
2(rx + sx) d)
1
12(ry + sy)
2
e)
1
12s
2
f)
1
6
[
r2 + s2 + s · r] g) 13(rx + sx)
 l i s t a - 1 3 !
Nome:
Matrícula:
Quarta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Uma 4-esfera de raio a corresponde à região delimitada pelos pontos x2+y2+z2+w2 = a2. Ainda que
não seja possível visualizar tal objeto efetivamente, podemos calcular várias propriedades da 4-esfera.
Seu hiper-volume, por exemplo, é dado pela integral em coordenadas cartesianas
ˆ a
−a
dx
ˆ √a2−x2
−√a2−x2
dy
ˆ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
dz
ˆ √a2−x2−y2−z2
−
√
a2−x2−y2−z2
dw.
Converta a integral acima para coordenadas esféricas e calcule o seu resultado.
a)
1
2pi
2a4 b) 13pia
4
c)
4
3pia
4
d)
1
2pi
3a2 e) 34pia
3
f)
8
3pia
3
g)
4
3pi
2a3 h) 2pia4 i) 23pia
3
j)
3
4pia
4
Determine também o raio de giração deste objeto em torno do eixo w.
a)
1
2
√
2a b) 15
√
10a c) 13
√
3a d) 12a e)
1
5
√
5a
2. Um hiperpoliedro de 5 vértices é formado pela região x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0 abaixo do hiperplano
ax+ by + cz + dw = e,
ondea, b, c, d e e são números positivos. Determine primeiramente as coordenadas x, y, z e w do ponto
em que o hiperplano toca cada um dos 4 eixos.
a) (e/a, e/b, e/c, e/d) b) (a/e, b/e, c/e, c/e) c) (e2/a, e2/b,