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Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
a2+z2
b) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
c) Fz =
kQq
ab
d) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
e) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
f) Fz =
kQq
z2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
a2+b2
b) −4piGmδa2
b2
c) 0
d) −4piGmδ e) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 f) −8piGmδa
2
b2−a2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −4piGmδa2
b2
b) −8piGmδa2
a2−b2 c) −4piGmδa
2
a2+b2
d) −4piGmδ e) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 f) 0
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a) 4piδ0a
2
b)
4
15piδ0a
3
c)
4
3piδ0a
2
d) pi2δ0a
2
e)
2
3pi
2δ0 f) 0 g) pi
2δ0 h)
1
3pi
2δ0a
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) 4pi b) pi c) 32pi d) 4pi
2
e) 8pi f) pi2 g) 2pi h) 2pi2
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
e−2r + 1r dr dθ b) (1 + r) e−r r dr dθ c) e−r r dr dθ
d)
√
1 + r2e−2rdr dθ e)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ f)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k b) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
c) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k d)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
e) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) b) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
c) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)) d) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
1
3pi
(
5
√
5 + 1
)
b)
pi
32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
c)
7
4pi
√
5
d)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] e) 16pi (5√5− 1) f) 0
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 2.
Qual é fluxo exterior do campo F = 32xi+ yj+ 5zk sobre esta superfície?
a) 19pi b) 15pi c) 352 pi d) 35pi
e) 25pi f) 75pi g) 20pi h) −5pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
4ma
2
b) ma2 c) 25ma
2
d)
1
3ma
2
e)
2
3ma
2
f)
1
2ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (−3x+ 4y) i+ (−4x− 3y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 8pia2 b) −50pia2 c) −8pia2 d) 0 e) −503 pia2
f)
50
3 pia
2
g) 50pia2 h) −2003 pia2 i) −24pia2 j) 2003 pia2
A força F é conservativa?
a) Sim. b) Não.
9. Considere a porção do plano −4x+ y − 2 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 2.
Qual é a área desta superfície?
a)
√
21pi
√
2 b) −pi c) 4√21 d) √21pi e) 2pi
Qual é o fluxo do campo F = yr_i + 3 z_j + xt_k sobre esta superfície? (considere a normal
com nˆ · k > 0)
a) −3/2pi b) −3/2√2pi c) −3/2pi d) 0 e) 0
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1) cos(t)i+ (1) sin(t)j+ (2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) t b) cos (t) + sin (t) + 2 t c) 1/2 t
√
4 t2 + 1 +
1/4 arcsinh (2 t)
d)
√
5t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 0 b) 2pi2 − 2pi c) 4/3pi3 + pi d) 2pi2
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) −6pi + 12pi2 b) 6pi2
c) 6pi2
√
5 d) 3pi2
√
5
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a) 27pi4 + 272 pi
2
b)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
c) 27
√
5pi4
d)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 e) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5
 l i s t a - 0 !
Nome:
Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
b) Fz =
kQq
ab c) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
d) Fz =
kQq
a2+z2
e) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
f) Fz =
kQq
z2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
a2+b2
b) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 c) −4piGmδa
2
b2
d) 0 e) −8piGmδa2
b2−a2 f) −4piGmδ
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −4piGmδ b) 0 c) −4piGmδa2
b2
d) −4piGmδa2
a2+b2
e) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 f) −8piGmδa
2
a2−b2
[ Dica: Resolvaa integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a)
4
3piδ0a
2
b) pi2δ0 c) 4piδ0a
2
d) 0
e)
4
15piδ0a
3
f)
2
3pi
2δ0 g)
1
3pi
2δ0a h) pi
2δ0a
2
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) 8pi b) pi2 c) 2pi d) pi e) 4pi2 f) 32pi g) 2pi
2
h) 4pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
1 + r2e−2rdr dθ b)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ c) e−r r dr dθ
d)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ e)
√
e−2r + 1r dr dθ f) (1 + r) e−r r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k b) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k
c) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k d)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
e) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) b) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
c) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)) d) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] b) 13pi (5√5 + 1) c) 74pi√5
d)
pi
32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
e)
1
6pi
(
5
√
5− 1) f) 0
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 2.
Qual é fluxo exterior do campo F = −32xi+ yj+ 65zk sobre esta superfície?
a)
108
5 pi b) −563 pi c) −1720pi d) 275 pi
e)
31
5 pi f)
7
5pi g) −175 pi h) 415 pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
3ma
2
b)
1
2ma
2
c)
2
3ma
2
d)
2
5ma
2
e)
1
4ma
2
f) ma2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (2x+ 2y) i+ (−2x+ 2y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 8pia2 b) 24pia2 c) −4pia2 d) −8pia2 e) 16pia2
f) 4pia2 g) 12pia2 h) 0 i) −16pia2 j) −24pia2
A força F é conservativa?
a) Sim. b) Não.
9. Considere a porção do plano x+ y − 4 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 1.
Qual é a área desta superfície?
a) 3/2
√
2pi b) 3/2pi c) 3
√
2 d) 1pi e) 3/4
√
2pi
Qual é o fluxo do campo F = zr_i+2 z_j+yt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k >
0)
a) −5/6pi b) −2116 pi c) 0 d) 0 e) −1/2
√
2pi
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (2) cos(t)i+ (2) sin(t)j+ (2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) 2
√
2t b) 2 t c) t
√
t2 + 1 + arcsinh (t)
d) 2 cos (t) + 2 sin (t) + 2 t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 4/3pi3 + 4pi b) 2pi2 − 4pi c) 2pi2 d) 0
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) 3pi2
√
5 b) 6pi2
c) 6pi2
√
5 d) −6pi + 12pi2
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 b)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
c) 27
√
5pi4
d) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5 e) 27pi4 + 272 pi
2
 l i s t a - 1 !
Nome:
Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
z2
b) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
c) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
d) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
e) Fz =
kQq
ab f) Fz =
kQq
a2+z2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
b2
b) −4piGmδ c) −8piGmδa2
b2−a2
d) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 e) −4piGmδa
2
a2+b2
f) 0
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −8piGmδa2
a2−b2 b) 0 c) −4piGmδ
d) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 e) −4piGmδa
2
a2+b2
f) −4piGmδa2
b2
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a) pi2δ0 b)
4
3piδ0a
2
c) 0 d) 4piδ0a
2
e) pi2δ0a
2
f)
2
3pi
2δ0 g)
4
15piδ0a
3
h)
1
3pi
2δ0a
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) pi b) pi2 c) 2pi d) 4pi e) 32pi f) 2pi
2
g) 4pi2 h) 8pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
1 + r2e−2rdr dθ b)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ c) e−r r dr dθ
d)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ e) (1 + r) e−r r dr dθ f)
√
e−2r + 1r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 +f(u)2k b) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k
c) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k d) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
e)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)) b) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)
c) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 d) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a) 0 b) 13pi
(
5
√
5 + 1
)
c)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)]
d)
1
6pi
(
5
√
5− 1) e) 74pi√5 f) pi32 [14√5 + 17 ln (√5 + 2)]
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 2.
Qual é fluxo exterior do campo F = 12xi+−3yj+−43zk sobre esta superfície?
a) −523 pi b) −4009 pi c) −233 pi d) −3pi
e) −1112pi f) −113 pi g) −73pi h) −13pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
3ma
2
b)
1
4ma
2
c)
2
5ma
2
d) ma2 e) 23ma
2
f)
1
2ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (−3y + 4x) i+ (3x+ 4y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 25pia2 b) 0 c) −25pia2 d) 503 pia2 e) −6pia2
f) −50pia2 g) −150pia2 h) −503 pia2 i) 6pia2 j) 50pia2
A força F é conservativa?
a) Sim. b) Não.
9. Considere a porção do plano 4x+ y + 3 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 1.
Qual é a área desta superfície?
a) 1pi b) 2/3
√
26pi c) 1/3
√
26pi d) −2/3pi e) 4/3√26
Qual é o fluxo do campo F = zr_i + 3 z_j + xt_k sobre esta superfície? (considere a normal
com nˆ · k > 0)
a) −1727 pi b) −109 pi c) 2227 pi d) 0 e) 0
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1) cos(t)i+ (1) sin(t)j+ (2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) t b) cos (t) + sin (t) + 2 t c) 1/2 t
√
4 t2 + 1 +
1/4 arcsinh (2 t)
d)
√
5t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 2pi2 b) 4/3pi3 + pi c) 2pi2 − 2pi d) 0
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) −6pi + 12pi2 b) 6pi2
c) 3pi2
√
5 d) 6pi2
√
5
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a) 27pi4 + 272 pi
2
b) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5 c)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
d)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 e) 27
√
5pi4
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Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
ab b) Fz =
kQq
z2
c) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
d) Fz =
kQq
a2+z2
e) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
f) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδ b) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 c) −4piGmδa
2
a2+b2
d) −4piGmδa2
b2
e) 0 f) −8piGmδa2
b2−a2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) 0 b) −4piGmδa2
b2
c) −4piGmδa2
a2+b2
d) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 e) −8piGmδa
2
a2−b2 f) −4piGmδ
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a)
4
3piδ0a
2
b) 0 c) pi2δ0 d)
4
15piδ0a
3
e)
1
3pi
2δ0a f) pi
2δ0a
2
g) 4piδ0a
2
h)
2
3pi
2δ0
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a)
3
2pi b) pi c) 2pi d) 2pi
2
e) 4pi2 f) 4pi g) 8pi h) pi2
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a) e−r r dr dθ b)
√
1 + r2e−2rdr dθ c)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ
d) (1 + r) e−r r dr dθ e)
√
e−2r + 1r dr dθ f)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k b) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
c) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k d) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k
e)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) b) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
c) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 d) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] b) 16pi (5√5− 1) c) 0
d)
7
4pi
√
5 e) 13pi
(
5
√
5 + 1
)
f)
pi
32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 34 .
Qual é fluxo exterior do campo F = −13xi+−3yj+−3zk sobre esta superfície?
a) −11532 pi b) −34532 pi c) −5132pi d) −3932pi
e) −11516 pi f) − 332pi g) −11132 pi h) −5732pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a) ma2 b) 13ma
2
c)
1
4ma
2
d)
2
5ma
2
e)
2
3ma
2
f)
1
2ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (−x+ 4y) i+ (−y − 4x) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) −8pia2 b) −136pia2 c) 34pia2 d) −34pia2 e) −32pia2
f) 32pia2 g) 136pia2 h) 12pia2 i) 0 j) 8pia2
A força F é conservativa?
a) Não. b) Sim.
9. Considere a porção do plano 2x+ y − 4 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 4.
Qual é a área desta superfície?
a)
√
21pi b)
√
21pi c) 4
√
21 d) 4pi e) 7pi
Qual é o fluxo do campo F = yr_i−2 z_j+yt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k >
0)
a)−7/2pi b) −296 pi c) 0 d) −776 pi e) −4/3
√
21pi
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1/2) cos(t)i+ (1/2) sin(t)j+ (3/2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) 1/4 t
√
9 t2 + 1 +
1/12 arcsinh (3 t)
b)
1/2 cos (t)+1/2 sin (t)+3/2 t
c) 1/2
√
10t
d) 1/2 t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = y_i − x_j + 2 z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a)
−3/2− 7/4pi+9/4pi2
b) 3/2pi3 c) 9/4pi2 − 1/4pi d) −1/4pi
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) −6pi + 12pi2 b) 6pi2√5
c) 3pi2
√
5 d) 6pi2
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 b)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
c) 27
√
5pi4
d) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5 e) 27pi4 + 272 pi
2
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Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
z2
b) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
c) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
d) Fz =
kQq
a2+z2
e) Fz =
kQq
ab f) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) 0 b) −8piGmδa2
b2−a2 c) −4piGmδa
2
b2
d) −4piGmδa2
a2+b2
e) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 f) −4piGmδ
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 b) −4piGmδ c) −4piGmδa
2
b2
d) −4piGmδa2
a2+b2
e) −8piGmδa2
a2−b2 f) 0
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a) 0 b) pi2δ0 c)
4
15piδ0a
3
d) 4piδ0a
2
e)
1
3pi
2δ0a f)
4
3piδ0a
2
g) pi2δ0a
2
h)
2
3pi
2δ0
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) pi b) 8pi c) 32pi d) 2pi
2
e) 4pi2 f) 4pi g) pi2 h) 2pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ b) (1 + r) e−r r dr dθ c)
√
1 + r2e−2rdr dθ
d)
√
e−2r + 1r dr dθ e) e−r r dr dθ f)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k b) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k
c) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k d)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
e) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) b) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
c) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 d) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] b) 0 c) pi32 [14√5 + 17 ln (√5 + 2)]
d)
1
6pi
(
5
√
5− 1) e) 74pi√5 f) 13pi (5√5 + 1)
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 1.
Qual é fluxo exterior do campo F = −52xi+−43yj+−4zk sobre esta superfície?
a) −4712pi b) −4724pi c) −1243 pi d) −4912pi
e) −1249 pi f) −3512pi g) 112pi h) −9512pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
2ma
2
b)
2
5ma
2
c)
1
4ma
2
d) ma2 e) 13ma
2
f)
2
3ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (x+ 3y) i+ (y − 3x) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) −32pia2 b) 403 pia2 c) 20pia2 d) 40pia2 e) 0
f) −403 pia2 g) −20pia2 h) 6pia2 i) −24pia2 j) −6pia2
A força F é conservativa?
a) Sim. b) Não.
9. Considere a porção do plano x− 2 y + 3 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 3.
Qual é a área desta superfície?
a)
√
14pi b) 3pi c) 4pi d) 2/3
√
14pi
√
3 e) 4
√
14
Qual é o fluxo do campo F = xr_i + 3 y_j + yt_k sobre esta superfície? (considere a normal
com nˆ · k > 0)
a) 0 b) −2pi√3 c) −3pi d)
−2/3√14pi√3
e) −8/3pi√3
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1) cos(t)i+ (1) sin(t)j+ (2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a)
√
5t b) t c) cos (t) + sin (t) + 2 t
d) 1/2 t
√
4 t2 + 1 +
1/4 arcsinh (2 t)
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = y_i − x_j + 2 z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) −4− 5pi + 4pi2 b) 8/3pi3 c) 4pi2 − pi d) −pi
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) 6pi2
√
5 b) 3pi2
√
5
c) −6pi + 12pi2 d) 6pi2
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a) 27
√
5pi4 b)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
c) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5
d) 27pi4 + 272 pi
2
e)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5
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Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
a2+z2
b) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
c) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
d) Fz =
kQq
z2
e) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
f) Fz =
kQq
ab
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas(z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 b) 0 c) −4piGmδ
d) −4piGmδa2
b2
e) −8piGmδa2
b2−a2 f) −4piGmδa
2
a2+b2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −8piGmδa2
a2−b2 b) −4piGmδ c) −4piGmδa
2
a2+b2
d) 0 e) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 f) −4piGmδa
2
b2
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a) pi2δ0a
2
b) 0 c) 23pi
2δ0 d)
4
3piδ0a
2
e) 4piδ0a
2
f) pi2δ0 g)
4
15piδ0a
3
h)
1
3pi
2δ0a
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) 2pi2 b) 8pi c) pi2 d) 4pi2 e) pi f) 4pi g) 32pi h) 2pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
1 + r2e−2rdr dθ b)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ c) e−r r dr dθ
d) (1 + r) e−r r dr dθ e)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ f)
√
e−2r + 1r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k b)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
c) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k d) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
e) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 b) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)
c) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)) d) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
7
4pi
√
5 b) 13pi
(
5
√
5 + 1
)
c) 0
d)
pi
32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
e)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] f) 16pi (5√5− 1)
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 12 .
Qual é fluxo exterior do campo F = 2xi+−3yj+ 52zk sobre esta superfície?
a)
7
16pi b)
17
16pi c)
7
32pi d)
13
16pi
e)
3
16pi f)
7
8pi g) −198 pi h) − 716pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
3ma
2
b)
1
4ma
2
c) ma2 d) 25ma
2
e)
1
2ma
2
f)
2
3ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (−y − 2x) i+ (x− 2y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) −52pia2 b) 10pia2 c) 0 d) 5pia2 e) 30pia2
f) −103 pia2 g) −10pia2 h) 2pia2 i) −2pia2 j) 52pia2
A força F é conservativa?
a) Não. b) Sim.
9. Considere a porção do plano 2x− 3 y − 3 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 3.
Qual é a área desta superfície?
a) 2/3
√
22pi
√
3 b)
√
22pi c) 4
√
22 d) 3pi e) 2pi
Qual é o fluxo do campo F = yr_i+x_j+xt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k > 0)
a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1) cos(t)i+ (1) sin(t)j+ (2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) t b) 1/2 t
√
4 t2 + 1 +
1/4 arcsinh (2 t)
c) cos (t) + sin (t) + 2 t
d)
√
5t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = y_i − x_j + 2 z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 4pi2 − pi b) −pi c) 8/3pi3 d) −4− 5pi + 4pi2
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) 3pi2
√
5 b) 6pi2
c) −6pi + 12pi2 d) 6pi2√5
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
b) 27
√
5pi4 c) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5
d) 27pi4 + 272 pi
2
e)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5
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Nome:
Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
z2
b) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
c) Fz =
kQq
ab
d) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
e) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
f) Fz =
kQq
a2+z2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 b) −4piGmδa
2
b2
c) −4piGmδ
d) 0 e) −8piGmδa2
b2−a2 f) −4piGmδa
2
a2+b2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −8piGmδa2
a2−b2 b) −4piGmδa
2
b2
c) −4piGmδa2
a2+b2
d) −4piGmδ e) 0 f) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a)
2
3pi
2δ0 b) 4piδ0a
2
c) pi2δ0a
2
d) pi2δ0
e)
1
3pi
2δ0a f) 0 g)
4
3piδ0a
2
h)
4
15piδ0a
3
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) 4pi2 b) 2pi c) pi d) 2pi2 e) 32pi f) 4pi g) pi
2
h) 8pi
Determine o elemento desuperfície dSem coordenadas polares.
a)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ b) (1 + r) e−r r dr dθ c)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ
d) e−r r dr dθ e)
√
e−2r + 1r dr dθ f)
√
1 + r2e−2rdr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k b) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k
c)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j) d) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
e) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 b) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
c) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) d) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
1
3pi
(
5
√
5 + 1
)
b)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] c) 16pi (5√5− 1)
d)
7
4pi
√
5 e) pi32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
f) 0
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 23 .
Qual é fluxo exterior do campo F = xi+−14yj+ 14zk sobre esta superfície?
a)
43
27pi b)
2
3pi c)
2
9pi d)
1
3pi
e)
1
9pi f) 0 g)
172
81 pi h)
1
4pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
2ma
2
b)
1
3ma
2
c)
1
4ma
2
d)
2
3ma
2
e)
2
5ma
2
f) ma2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (−4x− 2y) i+ (−4y + 2x) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 40pia2 b) −30pia2 c) 30pia2 d) 1603 pia2 e) 0
f) −40pia2 g) 80pia2 h) −80pia2 i) −4pia2 j) 4pia2
A força F é conservativa?
a) Não. b) Sim.
9. Considere a porção do plano 2x+ 3 y + z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 4.
Qual é a área desta superfície?
a) 4
√
14pi b) 4
√
14pi c) 16
√
14 d) 4pi e) −16pi
Qual é o fluxo do campo F = zr_i+2 y_j+zt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k >
0)
a) −16√14t b)
−1283 pi + 16pi2
c) −4√14pi2 +
16
√
14pi
d) 4pi − 4pi2 e) 16/3pi − 4pi2
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1) cos(t)i+ (1) sin(t)j+ (2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) cos (t) + sin (t) + 2 t b)
√
5t c) t
d) 1/2 t
√
4 t2 + 1 +
1/4 arcsinh (2 t)
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 2pi2 b) 2pi2 − 2pi c) 4/3pi3 + pi d) 0
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) 3pi2
√
5 b) 6pi2
√
5
c) −6pi + 12pi2 d) 6pi2
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
b) 27pi4 + 272 pi
2
c)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5
d) 27
√
5pi4 e) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5
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Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
a2+z2
b) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
c) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
d) Fz =
kQq
ab e) Fz =
kQq
z2
f) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
a2+b2
b) −4piGmδa2
b2
c) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2
d) −4piGmδ e) 0 f) −8piGmδa2
b2−a2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) 0 b) −8piGmδa2
a2−b2 c) −4piGmδa
2
a2+b2
d) −4piGmδa2
b2
e) −4piGmδ f) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a)
4
15piδ0a
3
b)
4
3piδ0a
2
c) pi2δ0 d) pi
2δ0a
2
e) 0 f) 13pi
2δ0a g) 4piδ0a
2
h)
2
3pi
2δ0
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) 2pi b) 32pi c) pi
2
d) 4pi e) 4pi2 f) 2pi2 g) 8pi h) pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ b) (1 + r) e−r r dr dθ c)
√
e−2r + 1r dr dθ
d)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ e)
√
1 + r2e−2rdr dθ f) e−r r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k b) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
c)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j) d) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k
e) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 b) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
c) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) d) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] b) 13pi (5√5 + 1) c) 74pi√5
d) 0 e) 16pi
(
5
√
5− 1) f) pi32 [14√5 + 17 ln (√5 + 2)]
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 1.
Qual é fluxo exterior do campo F = −2xi+ 32yj+ 2zk sobre esta superfície?
a) −54pi b) 394 pi c) 114pi d) 134 pi
e) −8pi f) 74pi g) 34pi h) −6pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
2
5ma
2
b)
1
2ma
2
c)
1
3ma
2
d)
2
3ma
2
e) ma2 f) 14ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (y − x) i+ (−x− y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 0 b) −163 pia2 c) −8pia2 d) 8pia2 e) −4pia2
f) 4pia2 g) −2pia2 h) 43pia2 i) 2pia2 j) 163 pia2
A força F é conservativa?
a) Sim. b) Não.
9. Considere a porção do plano −3x+ 2 y + 4 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 3.
Qual é a área desta superfície?
a) 3pi b) 3/4
√
29pi c) 3
√
29 d) 154 pi e) 1/2
√
29pi
√
3
Qual é o fluxo do campo F = zr_i+4 z_j+zt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k >
0)
a) −3/2pi +
11
8 pi
√
3− 3/4pi2
b) −154 pi +
5/8pi
√
3− 1516 pi2
c) −pi√3 +
33
16 pi − 1/2
√
3pi2
d) −3/4√29t e)
−3/16√29pi2 +
1/4
√
29pi
√
3
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (2) cos(t)i+ (2) sin(t)j+ (3/2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) 2 t b) 1/4 t
√
9 t2 + 16 +
4/3 arcsinh (3/4 t)
c) 5/2 t
d) 2 cos (t) + 2 sin (t) + 3/2 t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 3/4pi3 + 4pi b) 0 c) 98 pi
2
d)
9
8 pi
2 − 3pi
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) 6pi2 b) 3pi2
√
5
c) 6pi2
√
5 d) −6pi + 12pi2
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a) 27pi4 + 272 pi
2
b)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
c)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5
d) 27
√
5pi4 e) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5
 l i s t a - 7 !
Nome:
Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
a2+z2
b) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
c) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
d) Fz =
kQq
ab e) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
f) Fz =
kQq
z2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
a2+b2
b) −4piGmδa2
b2
c) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2
d) 0 e) −8piGmδa2
b2−a2 f) −4piGmδ
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −4piGmδa2
b2
b) −8piGmδa2
a2−b2 c) −4piGmδa
2
b2
b2+a2
a2−b2
d) 0 e) −4piGmδa2
a2+b2
f) −4piGmδ
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a)
4
3piδ0a
2
b) pi2δ0a
2
c) pi2δ0 d)
2
3pi
2δ0
e)
1
3pi
2δ0a f) 4piδ0a
2
g) 0 h) 415piδ0a
3
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) pi2 b) 32pi c) 4pi
2
d) 2pi2 e) pi f) 4pi g) 2pi h) 8pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a) (1 + r) e−r r dr dθ b)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ c)
√
e−2r + 1r dr dθ
d)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ e)
√
1 + r2e−2rdr dθ f) e−r r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k b) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k
c) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k d) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
e)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) b) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
c) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 d) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
1
3pi
(
5
√
5 + 1
)
b)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] c) 16pi (5√5− 1)
d)
pi
32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
e)
7
4pi
√
5 f) 0
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 1.
Qual é fluxo exterior do campo F = xi+ yj+ 14zk sobre esta superfície?
a)
17
8 pi b)
41
4 pi c)
9
8pi d) −58pi
e)
7
8pi f)
11
8 pi g)
3
2pi h) − 512pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
3ma
2
b)
1
4ma
2
c)
2
5ma
2
d)
2
3ma
2
e)
1
2ma
2
f) ma2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (y + 3x) i+ (−x+ 3y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a)
40
3 pia
2
b) 2pia2 c) −403 pia2 d) pia2 e) 40pia2
f) 20pia2 g) 0 h) −pia2 i) −20pia2 j) −2pia2
A força F é conservativa?
a) Não. b) Sim.
9. Considere a porção do plano 4x+ 2 y + 4 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 4.
Qual é a área desta superfície?
a) 6pi b) 6pi c) 24 d) 4pi e) −2pi
Qual é o fluxo do campo F = zr_i−2 z_j+yt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k >
0)
a) −8pi b) −173 pi c) −4pi d) 0 e) 7/3pi
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (2) cos(t)i+ (2) sin(t)j+ (3/2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) 1/4 t
√
9 t2 + 16 +
4/3 arcsinh (3/4 t)
b) 5/2 t c) 2 t
d) 2 cos (t) + 2 sin (t) + 3/2 t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a)
9
8 pi
2 − 3pi b) 98 pi2 c) 3/4pi3 + 4pi d) 0
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) 6pi2 b) 3pi2
√
5
c) −6pi + 12pi2 d) 6pi2√5
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 b)108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
c) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5
d) 27
√
5pi4 e) 27pi4 + 272 pi
2
 l i s t a - 8 !
Nome:
Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
b) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
c) Fz =
kQq
ab
d) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
e) Fz =
kQq
a2+z2
f) Fz =
kQq
z2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) 0 b) −4piGmδ c) −8piGmδa2
b2−a2
d) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 e) −4piGmδa
2
a2+b2
f) −4piGmδa2
b2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −4piGmδ b) 0 c) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2
d) −8piGmδa2
a2−b2 e) −4piGmδa
2
a2+b2
f) −4piGmδa2
b2
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a)
2
3pi
2δ0 b)
4
3piδ0a
2
c) 0 d) pi2δ0a
2
e)
1
3pi
2δ0a f)
4
15piδ0a
3
g) 4piδ0a
2
h) pi2δ0
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) 4pi2 b) 2pi c) 2pi2 d) 4pi e) 32pi f) pi
2
g) 8pi h) pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
e−2r + 1r dr dθ b) (1 + r) e−r r dr dθ c)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ
d)
√
1 + r2e−2rdr dθ e)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ f) e−r r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k b) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k
c)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j) d) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
e) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) b) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
c) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 d) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a) 0 b) 13pi
(
5
√
5 + 1
)
c)
pi
16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)]
d)
1
6pi
(
5
√
5− 1) e) 74pi√5 f) pi32 [14√5 + 17 ln (√5 + 2)]
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 1.
Qual é fluxo exterior do campo F = 12xi+−yj+ 56zk sobre esta superfície?
a)
1
4pi b) 6pi c)
3
2pi d)
7
6pi
e)
1
6pi f) pi g) −23pi h) −7318pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
2
5ma
2
b)
1
3ma
2
c)
1
2ma
2
d) ma2 e) 14ma
2
f)
2
3ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (2y + 3x) i+ (−2x+ 3y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 26pia2 b) 163 pia
2
c) 0 d) −26pia2 e) −4pia2
f) −163 pia2 g) 2pia2 h) 132 pia2 i) 4pia2 j) −2pia2
A força F é conservativa?
a) Sim. b) Não.
9. Considere a porção do plano x+ 4 y + 2 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 2.
Qual é a área desta superfície?
a)
√
21pi b) 2pi c)
√
21pi
√
2 d) 4
√
21 e) −3pi
Qual é o fluxo do campo F = zr_i+3 z_j+yt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k >
0)
a)
−6pi − 5/3√2pi
b) 9/2pi + 3
√
2pi c)
−2/3√21pi√2
d)
−5/2pi − 6√2pi
e) 0
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1) cos(t)i+ (1) sin(t)j+ (2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a)
√
5t b) cos (t) + sin (t) + 2 t c) t
d) 1/2 t
√
4 t2 + 1 +
1/4 arcsinh (2 t)
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = y_i − x_j + 2 z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 4pi2 − pi b) 8/3pi3 c) −pi d) −4− 5pi + 4pi2
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) −6pi + 12pi2 b) 6pi2
c) 3pi2
√
5 d) 6pi2
√
5
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5 b) 27
√
5pi4 c)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
d)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 e) 27pi4 + 272 pi
2
 l i s t a - 9 !
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Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
b) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
c) Fz =
kQq
z2
d) Fz =
kQq
ab e) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
f) Fz =
kQq
a2+z2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) 0 b) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 c) −4piGmδa
2
a2+b2
d) −4piGmδa2
b2
e) −4piGmδ f) −8piGmδa2
b2−a2
Repita o cálculo anteriorconsiderando agora que a > b.
a) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 b) −4piGmδ c) −4piGmδa
2
a2+b2
d) 0 e) −8piGmδa2
a2−b2 f) −4piGmδa
2
b2
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a) 4piδ0a
2
b)
4
3piδ0a
2
c)
1
3pi
2δ0a d)
2
3pi
2δ0
e) pi2δ0a
2
f) 0 g) pi2δ0 h)
4
15piδ0a
3
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a)
3
2pi b) 4pi
2
c) pi2 d) pi e) 4pi f) 8pi g) 2pi h) 2pi2
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a) e−r r dr dθ b)
√
e−2r + 1r dr dθ c)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ
d)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ e) (1 + r) e−r r dr dθ f)
√
1 + r2e−2rdr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k b) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k
c) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k d) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
e)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 b) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)
c) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 d) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
1
3pi
(
5
√
5 + 1
)
b) 0 c) pi16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)]
d)
1
6pi
(
5
√
5− 1) e) 74pi√5 f) pi32 [14√5 + 17 ln (√5 + 2)]
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 13 .
Qual é fluxo exterior do campo F = −12xi+ 52yj+−12zk sobre esta superfície?
a)
5
24pi b) − 736pi c) 536pi d) 2318pi
e)
1
12pi f)
7
36pi g)
1
36pi h)
1
24pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
2
3ma
2
b)
2
5ma
2
c) ma2 d) 12ma
2
e)
1
4ma
2
f)
1
3ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (y + 3x) i+ (−x+ 3y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 0 b) −2pia2 c) −pia2 d) 23pia2 e) 40pia2
f) 80pia2 g) 2pia2 h) 20pia2 i) −20pia2 j) −80pia2
A força F é conservativa?
a) Não. b) Sim.
9. Considere a porção do plano x+ 2 y + 2 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 4.
Qual é a área desta superfície?
a) 6pi b) 6pi c) 24 d) 4pi e) −2pi
Qual é o fluxo do campo F = xr_i − 4x_j + zt_k sobre esta superfície? (considere a normal
com nˆ · k > 0)
a) −12 t b) 16/3pi − 2pi2 c) 4pi − 2pi2 d) −8/3pi + pi2 e) 8pi − 3pi2
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (1/2) cos(t)i+ (1/2) sin(t)j+ (3/2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) 1/2 t b) 1/2
√
10t c)
1/2 cos (t)+1/2 sin (t)+3/2 t
d) 1/4 t
√
9 t2 + 1 +
1/12 arcsinh (3 t)
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a)
9
8 pi
2
b) 0 c) 3/4pi3 + 1/4pi d) 98 pi
2 − 3/4pi
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) −6pi + 12pi2 b) 3pi2√5
c) 6pi2 d) 6pi2
√
5
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
b) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5 c) 27
√
5pi4
d)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 e) 27pi4 + 272 pi
2
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Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
b) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
c) Fz =
kQq
a2+z2
d) Fz =
kQq
z2
e) Fz =
kQq
ab f) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδa2
a2+b2
b) 0 c) −4piGmδ
d) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 e) −8piGmδa
2
b2−a2 f) −4piGmδa
2
b2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −4piGmδa2
b2
b) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 c) −8piGmδa
2
a2−b2
d) −4piGmδa2
a2+b2
e) 0 f) −4piGmδ
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a) pi2δ0a
2
b)
2
3pi
2δ0 c) 4piδ0a
2
d)
1
3pi
2δ0a
e)
4
3piδ0a
2
f) 0 g) 415piδ0a
3
h) pi2δ0
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) 2pi2 b) pi c) 32pi d) 4pi
2
e) 2pi f) 8pi g) pi2 h) 4pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ b) e−r r dr dθ c)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ
d) (1 + r) e−r r dr dθ e)
√
1 + r2e−2rdr dθ f)
√
e−2r + 1r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva sejagirada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k b) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k
c) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k d) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
e)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u) b) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
c) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 d) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u))
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
7
4pi
√
5 b) pi16
[
14
√
5− 17 ln (√5− 2)] c) 0
d)
pi
32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
e)
1
3pi
(
5
√
5 + 1
)
f)
1
6pi
(
5
√
5− 1)
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 1.
Qual é fluxo exterior do campo F = xi+ 16yj+−53zk sobre esta superfície?
a) −14pi b) 9pi c) 1712pi d) −12pi
e) −3712pi f) −2312pi g) 92pi h) 34pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
2
3ma
2
b)
2
5ma
2
c)
1
2ma
2
d)
1
3ma
2
e)
1
4ma
2
f) ma2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (−3x+ 4y) i+ (−4x− 3y) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 24pia2 b) 200pia2 c) 12pia2 d) 50pia2 e) −50pia2
f) −24pia2 g) −8pia2 h) 8pia2 i) −503 pia2 j) 0
A força F é conservativa?
a) Sim. b) Não.
9. Considere a porção do plano 2x− y + 2 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro x2 + y2 = 3.
Qual é a área desta superfície?
a) 3/2pi b) 9/2pi c) 3pi
√
3 d) 3pi e) 18
Qual é o fluxo do campo F = zr_i+x_j+zt_k sobre esta superfície? (considere a normal com nˆ·k > 0)
a) −3pi −√3pi2 b)
−pi√3− 3/4pi2
c) −9 t d) −3/2pi√3−
9/4pi2
e)
−2pi√3− 3/2pi2
10. Considere a curva parametrizada
R(t) = (2) cos(t)i+ (2) sin(t)j+ (3/2) tk
com t ≥ 0.
Qual é o comprimento de arco s(t)da curva?
a) 2 t b) 1/4 t
√
9 t2 + 16 +
4/3 arcsinh (3/4 t)
c) 2 cos (t) + 2 sin (t) + 3/2 t
d) 5/2 t
Qual é o valor da integral de linha
´
γ d
~` · F, onde F = x_i + y_j + z_kno intervalo 0 ≤ t ≤ pi.
a) 3/4pi3 + 4pi b) 98 pi
2 − 3pi c) 0 d) 98 pi2
11. Um arco é representado pela curva parametrizada
x = 3/2 sin(t)− 3/2t cos(t),
y = 3/2 cos(t) + 3/2t sin(t),
z = 3/2 t2
com 0 ≤ t ≤ 2pi e possui densidade linear λ = 2.
Qual é a massa deste arco?
a) −6pi + 12pi2 b) 3pi2√5
c) 6pi2
√
5 d) 6pi2
Qual é momento de inércia com relação ao eixo z?
a)
27
2
√
5pi4 + 274 pi
2
√
5 b) 27
√
5pi4 + 272 pi
2
√
5 c)
108pi2 − 54pi3 + 54pi4 + 1352 pi
d) 27pi4 + 272 pi
2
e) 27
√
5pi4
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Matrícula:
Quinta lista de exercícios de Cálculo 3
1. Considere uma placa circular de raio a carregada uniformemente com uma carga total Q. A força
exercida em uma partícula de carga q a uma distância z do eixo de simetria pode ser calculada somando
a contribuição de cada elemento de carga infinitesimal na placa.
Utilizando a Lei de Coulomb, obtemos a força exercida por um elemento de carga na posição (x′, y′, 0),
dF =
k Qq
pia2
(x′i+ y′j+ zk)
(x′2 + y′2 + z2)3/2
dx′ dy′.
É possível mostrar (você consegue?) que as componentes x e y da força se anulam.
Calcule a componente z da força elétrica como função da distância z para a placa.
a) Fz =
kQq
ab b) Fz =
kQq
z2
c) Fz =
2kQq
a
1
z
√
z2+a2
d) Fz =
kQq
a2
ln
(
a2+z2
z2
)
e) Fz =
kQq
a2+z2
f) Fz =
2kQq
a2
√
z2+a2−z√
z2+a2
[ Obs: Você consegue mostrar que para distâncias muito longas curtas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de um plano infinito e para distâncias muito longas (z � a e z � b) a força se
comporta como a de uma carga pontual? ]
2. Uma casca esférica de raio a e densidade superficial constante δ exerce uma força gravitacional F = Fzk
em uma partícula teste de massam localizada no ponto r0 = bk. A componente z da força gravitacional
entre um elemento de massa na posição r = xi+ yj+ zk e a partícula teste é
dFz =
Gm (z − b) dM(
x2 + y2 + (z − b)2
)3/2 .
Explicite o elemento de massa dM e calcule a componente z da força gravitacional que a toda a casca
esférica exerce sobre a partícula teste supondo b > a.
a) −4piGmδ b) −4piGmδa2
a2+b2
c) 0
d) −4piGmδa2
b2
e) −4piGmδa2
b2
b2+a2
b2−a2 f) −8piGmδa
2
b2−a2
Repita o cálculo anterior considerando agora que a > b.
a) −4piGmδ b) 0 c) −8piGmδa2
a2−b2
d) −4piGmδa2
b2
e) −4piGmδa2
b2
b2+a2
a2−b2 f) −4piGmδa
2
a2+b2
[ Dica: Resolva a integral por substituição de variáveis, e imponha as condições sobre a > b ou a < b
apenas no final do cálculo. Interprete fisicamente o resultado. ]
3. Seja uma casca esférica de raio a, e densidade superficial de carga σ(x, y, z) = 1
a2
δ0
(
az + z2
)
.
Qual é carga total?
a)
2
3pi
2δ0 b) pi
2δ0 c) 0 d)
1
3pi
2δ0a
e)
4
3piδ0a
2
f)
4
15piδ0a
3
g) pi2δ0a
2
h) 4piδ0a
2
4. Considere a superfície definida pela equação z =
√
x2 + y2e−
√
x2+y2
encerrada dentro do cilindro
x2 + y2 = a2. Ilustraremos um paradoxo onde aparentemente é possível pintar uma área infinita com
uma quantidade finita de tinta. Podemos facilmente calcular o volume entre esta superfície e o plano
xy convertendo a integral de volume para coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume no limite em que a→∞.
a) pi2 b) 32pi c) 2pi d) 4pi
2
e) pi f) 4pi g) 2pi2 h) 8pi
Determine o elemento de superfície dSem coordenadas polares.
a) (1 + r) e−r r dr dθ b)
√
(1 + r)2 e−2r + 1r dr dθ c)
√
1 + r2e−2rdr dθ
d) e−r r dr dθ e)
√
2 cos(θ + pi/4)r e−r dr dθ f)
√
e−2r + 1r dr dθ
O cálculo da integral de superfície não precisa ser realizado explicitamente, mas basta provarmos que
o resultado da integral de superfície diverge. Você consegue fornecer um argumento matemático?
Note que o recipiente considerado teria uma área infinita, mas encerra um volume finito. Ao encher
o recipiente com tinta, estaríamos pintando uma área infinita com um volume finito de tinta! Tente
explicar porque, na realidade, isto não acontece.
5. Considere a curva parametrizada R(u) = f(u)i + g(u)k, onde f(u) > 0. Suponha que esta curva seja
girada em torno do eixo z, definindo assim uma superfície de revolução.
Qual das equações abaixo corresponde a uma parametrização válida desta superfície?
a) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + f(u)k b) g(u) (cos(v)i+ sin(v)j) +
√
g(u)2 + f(u)2k
c) f(u) (cos(v)i+ sin(v)j) + g(u)k d) cos(v)i+ sin(v)j+
√
g(u)2 + f(u)2k
e)
√
f(u)2 + g(u)2 (cos(v)i+ sin(v)j)
Qual das integrais abaixo representa a área da superfície de revolução?
a) 2pi
´
du f(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2 b) 2pi
´
du g(u)
√
f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)
c) 2pi
´
du (f(u)f ′(u) + g(u)g′(u)) d) 2pi
´
du g(u)
√
f ′(u)2 + g′(u)2
Utilizando os resultados anteriores, calcule a área da superfície definida pela revolução da parábola z =
1− x2 acima do plano xy.
a)
7
4pi
√
5 b) 13pi
(
5
√
5 + 1
)
c)
pi
32
[
14
√
5 + 17 ln
(√
5 + 2
)]
d)
1
6pi
(
5
√
5− 1) e) 0 f) pi16 [14√5− 17 ln (√5− 2)]
6. Considere região fechada encerrada pela superfície z = x2 + y2 e pelo plano z = 1.
Qual é fluxo exterior do campo F = 12xi+
1
2yj+ 3zk sobre esta superfície?
a) 2pi b) 5pi c) 12pi d) 13pi
e) 3pi f) 4pi g) 152 pi h) −pi
7. Seja uma casca esférica de raio a, massa m e densidade uniforme. Determine o seu momento de inércia
com relação a um diâmetro.
a)
1
4ma
2
b)
1
2ma
2
c) ma2 d) 25ma
2
e)
2
3ma
2
f)
1
3ma
2
8. Uma partícula percorre uma trajetória circular fechada no sentido horário num círculo de raio a com
centro na origem e está sujeita a uma força F = (x− 4y) i+ (y + 4x) j.
Qual é o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa no círculo?
a) 34pia2 b) 0 c) 136pia2 d) 12pia2 e) 68pia2
f)
68
3 pia
2
g) −68pia2 h) 8pia2 i) −34pia2 j) −8pia2
A força F é conservativa?
a) Não. b) Sim.
9. Considere a porção do plano −x+ 4 y − 4 z + 1 = 0 encerrado denture do cilindro