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Elaboração e Interpretação de gráficos 
 
Regras que devem ser seguidas na construção de gráficos: 
 
1) Tabela de dados. 
 
Deve-se fazer uma tabela de dados contendo os valores da variável independe 
(aquela que se está variando no experimento e, portanto, adquire valores pré-determinados) 
e da variável depende correspondente (aquela que depende ou se mede em função do 
parâmetro que está variando no experimento). 
 
2) Definição dos eixos. 
 
 No sistema de coordenadas cartesianas, os valores da variável independente devem 
ser lançados nos eixo das abscissas (eixo horizontal) ou eixo x. Os valores da variável 
dependente devem ser lançados ao longo dos eixos das ordenadas (eixo vertical) ou eixo y. 
Por exemplo, num gráfico de velocidade versus tempo, a velocidade é dependente do 
tempo, portanto a velocidade será lançada no eixo y e o tempo no eixo x. 
 
3) Unidades nos eixos coordenados. 
 
O gráfico deve conter a unidade de cada grandeza. 
À direita, na parte inferior do eixo das abscissas deve-se conter a variável 
independente com sua unidade de medida. 
À esquerda, na parte superior do eixo das ordenadas deve-se conter a variável 
dependente com a sua unidade de medida. 
 
4) Escala e distribuição do gráfico pelo papel. 
 
O gráfico deve ocupar a maior parte do papel. E, principalmente, deve refletir a 
acuidade dos valores experimentais. 
 É fundamental que o gráfico tenha uma escala para representar as variáveis em 
estudo ocupando o melhor possível a folha. Porém, ocupar o melhor possível a folha não 
significa que se deve usar a escala que preenche todo o papel. Na prática, deve-se escolher 
uma escala que facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro ponto 
representado no gráfico. 
 
5) Indicação de valores nos eixos. 
 
 Devem ser indicados valores referenciais adequados à escala nos eixos vertical e 
horizontal. Preferencialmente valores múltiplos de 10. Nunca múltiplos de valores primos ou 
fracionários. 
 Nunca deve-se indicar os valores dos pontos experimentais nos eixos coordenados, 
a não ser que esses coincidam com os valores que definem a escala. 
 Os valores indicados nos eixos devem ter a mesma quantidade de algarismos 
significativos das medidas. 
 
6) Pontos experimentais. 
 
 Os pontos experimentais devem ser bem marcados no gráfico. E não deve-se fazer 
nenhuma marcação adicional, como por exemplo fazer tracejados desde o ponto até os 
eixos. 
 Cada ponto deve ser marcado com o intervalo de incerteza correspondente à sua 
grandeza. Desde que o intervalo dessa incerteza seja maior que a menor divisão do gráfico. 
 
7) Traçado da curva. 
 
 Uma curva suave deve ser traçada de forma a passar dentro do intervalo 
estabelecido pelas barras de erro. A curva não precisa passar por todos os pontos, mas 
deve ser traçada levando em conta a tendência dos pontos. 
 É importante destacar que, é errado unir os pontos experimentais, onde a relação 
entre as grandezas é descontínua, por retas. 
 
8) Informações no gráfico. 
 
 Além de conter a escala, o gráfico deve ser numerado e comentado. E conter uma 
legenda quando necessário. 
 um gráfico deve conter todas as informações necessárias para a sua interpretação. 
 
Exemplos: 
 
Tabela 1. Os pontos experimentais apresentados na tabela representam a posição de um 
corpo em função do tempo. 
 
Tempo (s) 1,0 0,1 2,0 0,1 3,0 0,1 4,0 0,1 5,0 0,1 
Posição 
(cm) 
6,7 0,2 9,3 0,2 12,3 0,2 14,8 0,2 17,8 0,2 
 
Gráfico 1. Posição de um corpo em função do tempo conforme tabela 1, em escala linear. 
 
 
 
Obtenção de informações a partir de um gráfico 
 
 Uma das vantagens do uso dos gráficos é a simplicidade com que novas 
informações podem ser obtidas através da informação de suas formas. Em particular, se o 
gráfico for linear, a equação que relaciona as grandezas representadas pode ser facilmente 
obtida. Por esse motivo, sempre que possível, é interessante linearizar os gráficos. 
 
1. Gráficos bilineares e equação da reta. 
 
Se o gráfico, como no exemplo 1, resulta numa reta espera-se que as grandezas 
representadas sejam relacionadas por uma equação que tem a forma da equação genérica 
de uma reta: 
y = A + Bx 
 
Onde A é o parâmetro linear e B o parâmetro linear. 
O parâmetro angular deve ser calculado como a inclinação física da reta dada por: 
 
 
 
Onde (t1, S1) e (t2, S2) são dois pontos quaisquer que pertencem à reta traçada, não 
são pontos da tabela de dados experimentais. 
 O parâmetro linear é o ponto de corte no eixo das ordenadas (eixo y). Ou seja, 
quando o tempo t é igual a zero, o valor da posição S corresponde ao valor do coeficiente 
linear A. 
 Para calcular o coeficiente angular do presente exemplo, vamos escolher dois pontos 
do gráfico 1. Os pontos: 
P1 = (1,6 ; 8,3) e P2 = (3,6 ; 13,8) 
Então temos que: 
 
 
 
Portanto, B = 2,75 cm. 
Para acharmos o coeficiente linear, fazemos t = 0. O que nos leva à posição 3,9. 
Portanto, A = 3,9 cm (a unidade de A é a mesma de S). 
 Para achar o número correto de algarismos significativos A e B deve-se estimar o 
erro destes parâmetros a partir do gráfico. 
 Quando num gráfico os pontos são representados por barras de erros, que indicam 
as margens de credibilidade dos pontos, existe mais de uma reta que passa por todas as 
barras de erros. Para estimar a incerteza na determinação da inclinação e do ponto de corte 
procede-se da seguinte maneira: traça-se uma reta com inclinação máxima (Bmax), e outra 
com inclinação mínima (Bmin) . Desta forma estima-se os limites inferior e superior para a 
inclinação e o ponto de corte, e calcula-se os erros dos parâmetros linear e angular como: 
 
 e 
 
 
 
Gráfico 2. Mostra o gráfico anterior (gráfico 1) com as retas de máxima e mínima inclinação. 
 
 
 
Resulta das retas de máxima e mínima inclinação os valores: 
Bmax = 2,9 e Bmin = 2,6; portanto teremos um ∆B de 0,15; 
Amax = 4,2 e Amin = 3,5; portanto teremos um ∆A de 0,35; 
 
 Assim os valores encontrados para os parâmetros linear e angular foram: B = (2,8 ± 
0,2) cm/s e A = (3,9 ± 0,4) cm. Portanto a equação que rege o fenômeno pode ser escrita 
como: 
 
, 
 
Onde 3,9 cm é a posição inicial do corpo e 2,8 cm/s é a sua velocidade. 
 
2.Linearização de gráficos 
 
 Muitas vezes, ao construir o gráfico obtém-se uma curva que sugere uma relação 
geral entre as variáveis do tipo , ou dos tipos . Nestes casos, para 
determinar a equação da curva utiliza-se o artifício chamado de linearização de gráficos, que 
nada mais é do que por meio de uma mudança de variáveis, construir um novo gráfico que 
seja representado agora por uma reta. Para isso é necessário conhecer as relações que 
correspondem aos tipos de gráficos mais usuais. 
 
2.1 Relações do tipo 
 
 Funções desse tipo podem ser linearizadas fazendo uso da propriedade dos 
logaritmos. Tomando o logaritmo em ambos os lados da expressão obtém-se: 
 
 
 
 Esta é a equação da reta obtida num gráfico em que se representa os valores de 
 no eixo das abscissas e os valores de no eixo das ordenadas. Temos que é 
o parâmetro linear e é o parâmetro angular. 
 Para traçar o gráfico da função linearizada existem duas formas: 
1a) Calculando-se os logaritmos de y e de x, e construindo-se o gráfico de 
em papel milimetrado; 
2a) Sem calcular os logaritmos e construindo-se o gráfico de em papel com 
escala log-log, ou di-log. 
 O papel di-log nos qual as escalas nos eixos, vertical e horizontal, são proporcionais 
aos logaritmos dos números que eles representam. 
 A linearização de gráficos é trabalhosa. O papel di-log facilita essa linearização, pois 
os eixos das abscissas e o eixo das ordenadas têm uma escala logarítmica de base 10, 
dividida em décadas, e cada década multiplica por 10 os valores da década anterior). 
 Cada década do papel di-log pode variar entre os múltiplos ou submúltiplos de 1 a 
10. Entre o início de uma década e o de outra subseqüente, há uma diferença de umfator 
de dez. Isto significa que, se a primeira linha da primeira década vale 1 ( , a primeira 
linha da segunda década vale 10 ( , e a primeira linha da terceira década vale 100 
( . Isto significa que, se a última linha da terceira década vale 10 ( a última 
linha da segunda década vale 100 ( e a última linha da terceira década vale 1000 
( Normalmente o papel di-log tem duas décadas no eixo das ordenadas e três 
décadas no eixo das abscissas. 
 
Exemplo 2: Em um experimento realizado com uma lâmpada, mediu-se a corrente em 
função da tensão aplicada ao filamento incandescente, e foram obtidos os dados 
experimentais tabelados abaixo. 
 
 
22,0 60,0 91,0 180,0 330,0 520,0 
 
0,600 2,500 4,000 11,500 26,000 49,000 
 
 Sabendo que a equação que rege o fenômeno é do tipo: , vamos 
determinar as constantes e . 
O gráfico em papel milimetrado, como você pode verificar fazendo-o, fornece 
uma curva não linear. Portanto, devemos aplicar a técnica da linearização. Assim, porém, 
para podermos comparar a equação acima com a equação reduzida da reta, é necessário 
aplicar a função inversa da função potência, como segue: 
 
 
 Comparando com a equação reduzida da reta: , temos: 
 
 Sabemos que o gráfico é uma reta, então, o gráfico em que a curva 
aparece linearizada é dado por . 
 
 
 
 Pode-se achar as constantes através de: 
 
 
 
 
 
logo, . 
 
 Vamos então traçar o gráfico em papel di-log do exemplo 2. 
 
Gráfico 3. Corrente em função da tensão, em escala linear. 
 
 
 
 Através do gráfico, podemos calcular as constantes Para tanto, podemos 
escolher dois pontos experimentais quaisquer da reta (pontos do gráfico e não da tabela): 
 
); 
; 
 
A partir desses pontos calculamos 
 
 
 
O valor da constante pode ser obtido de duas maneiras. Através da análise do 
gráfico (ponto onde corta o eixo das ordenadas) ou pode ser calculado a partir de outro 
ponto experimental. Vamos determinar das duas formas: 
 
Sabemos que 
 
Então, 
 
Podemos também escolher o ponto: 
 
 
 
 Sabemos que , então: 
 
 
 
Obs: os valores para encontrados a partir do gráfico e a partir do gráfico 
devem concordar. 
 
 
 
2.2 Relações do tipo 
 
 Funções deste tipo também podem ser linearizadas fazendo-se uso da propriedade 
dos logaritmos. Tomando o logaritmo em ambos os lados da expressão obtém-se: 
 
 
 
Onde é o número neperiano 2,718281828..., a base da função exponencial. 
 Esta é a equação da reta obtida num gráfico em que os valores de x são 
representados no eixo das abscissas e os valores de no eixo das ordenadas. é o 
parâmetro linear e é o parâmetro angular. 
 Para traçar o gráfica da função linearizada existem duas formas: 
1a) Calculando-se o logaritmo de y, e construindo-se o gráfico de em papel 
milimetrado; 
2a) Sem calcular os logaritmos e construindo-se o gráfico de y em papel com 
escala log-linear (papel mono-log). 
 O papel mono-log é um papel no qual a escala vertical é proporcional ao logaritmo 
dos números que elas representam, enquanto a escala horizontal é o proporcional ao valor 
da outra variável. 
 
O papel mono-log segue a mesma lógica citada no papel di-log. Porém, no mono-log 
os valores dos pontos variam linearmente no eixo das abscissas e em escala logarítimica no 
eixo das ordenadas. 
 Exemplo 3: 
 Quando se liga o motor de uma lancha, ela sofre uma desaceleração. Para 
determinar como a velocidade (V) varia em função da distância percorrida (x). Foram feitas 
as medidas mostradas na tabela abaixo: 
 
x(m) 0 0,01 20,00 0,01 40,00 0,01 60,00 0,01 80,00 0,01 
V(m/s) 6,00 0,02 4,80 0,02 3,85 0,02 3,08 0,02 2,47 0,02 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 4. Velocidade versus distância percorrida pela lancha em escala linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 5. Velocidade versus distância percorrida em escala mono-log. 
 
 
 
Como obtivemos uma reta no gráfico em escala mono-log, propomos que propomos 
que . E para calcularmos os valores das constantes compara-se com a 
equação linearizada: 
 
 
 
 Com a equação geral da reta tem-se: 
 
 
 
 Como as escalas horizontal e vertical são diferentes, o parâmetro angular B é 
calculado como a inclinação física da reta: 
 
 
 
Como o parâmetro linear representa o produto da função linearizada segue 
que: 
 
 
 
 Por meio da mudança de base, usando-se a relação 
, tem-se que: 
 
 
 
 Escolhendo-se dois pontos da reta ajustada: 
 
e 
 
 
 Obtém-se (com dimensão do inverso da distância). 
 O parâmetro linear A, que corresponde a , é determinado no gráfico por 
interpolação. Fazendo-se obtém-se o valor que corresponde a . 
 No gráfico, em tem-se , que é a velocidade inicial da lancha. 
Portanto, a relação entre as variáveis deste exemplo é: . O que indica 
que a velocidade da lancha decai exponencialmente com a distância percorrida. 
 
 
 
Observação 
 
 O cálculo de pode ser simplificado se escolhermos os valores de de forma 
conveniente. 
 Se pegarmos , temos que: 
 
 
 
 Sendo assim, caso escolhamos valores de tais como 10 e 10 , 
ou múltiplos de 10, podemos encontrar o valor da constante 
diretamente, bastando dividir 1 por ( .