lista6

Prévia do material em texto

Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(− 524 x3 + 2xy2) i+(−78 y3 + ey sin (z)) j+(− 524 z3 + ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) −3512 pi2�0 b) −12 pi �0 c) −312 pi �0 d) 0 e) −16pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a) 0 b) Qpi�0h r c)
Q
4pi�0r2
d)
Q
2pi�0h r
e)
Q
2pir(r+h)
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a) 0 b) Q2pir(r+h) c)
Q
pi�0h r
d)
Q
4pi�0r2
e)
Q
2pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a) − Q2pi�0h ln r + C b) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C c)
Q
4pi�0(r+h)
+ C d) Q4pi�0 r + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 3, 0)
e (0, 0, 3) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 7 y2k).
a) 0 b) 818 c)
531
8 d)
27
8 e) 63
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = −2x2i+ (−2xz − y3) j+ 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 4xi+ 3 y2j− 2k b) 2xi− 2 zk c) −4xi− 3 y2j+ 2k
d) 2xi+ 2 zk e) −2xi− 2 zk f) −2xi+ 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a)
1
2 pi b) −14 pi c) −2pi d) −12 pi e) 0 f) 18 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (5 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
4 e z = 6.
a) 90pi ln
(
3
2
)
b) 45pi ln
(
3
2
)
c) 9pi ln
(
3
2
)
d) 18pi ln
(
3
2
)
e) pi ln
(
3
2
)
f) 18pi ln (6)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 8pia b) −12pia c) 4pia d) −4pia
e) −43pia f) −8pia g) 43pia h) 12pia
7. Considere o campo
F = (−2x− 2 y) i+ (x+ 3 z) j+ (−2 z − 2 y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) −16pi b) 32pi c) 8pi d) −163 pi e) 0 f) −43 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 2− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
16
3 pi b) pi c)
4
5 pi
√
2 d) 432 pi e) 0 f)
2
3 pi
√
2
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b(b− a) b) a (a− b) c) a (a− b)2 d) b (a− b)2
e) b2 − a2 f) ab (a− b) g) a2 − b2 h) ab (b− a)
 p 6 - 0 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
1
12 x
3 + 2xy2
)
i +
(− 712 y3 + ey sin (z)) j + ( 112 z3 + ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) 0 b) 315 pi �0 c)
32
5 pi �0 d)
1
5 pi �0 e)
7
6 pi
2�0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
4pi�0r2
c)
Q
2pir(r+h) d)
Q
pi�0h r
e) 0
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
4pi�0r2
b) 0 c) Q2pir(r+h) d)
Q
2pi�0h r
e)
Q
pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) − Q2pi�0h ln rr+h + C c)
Q
4pi�0 r
+ C d) − Q2pi�0h ln r + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 2) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 6 y2k).
a) 11 b) 12 c) 112 d)
3
2 e) 0
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = −2x2i+ (xz + y3) j+ 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) xi+ zk b) 4xi− 3 y2j− 2k c) xi− zk
d) −xi− zk e) −xi+ zk f) −4xi+ 3 y2j+ 2k
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) 12 pi c)
1
8 pi d) −pi e) pi f) 14 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (5 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
2 e z = 6.
a) 18pi ln (3) b) 45pi ln (3) c) pi ln (3)
d) 18pi ln (6) e) 9pi ln (3) f) 90pi ln (3)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −43pia b) −12pia c) −4pia d) 4pia
e) 8pia f) −8pia g) 12pia h) 43pia
7. Considere o campo
F = (−x− 2 y) i+ (−2x+ z) j+ (−z − 2 y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) −32pi b) −43 pi c) −8pi d) 8pi e) 0 f) −83 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 2− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
16
3 pi b)
2
3 pi
√
2 c) 45 pi
√
2 d) pi e) 0 f) 432 pi
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b (a− b)2 b) b2 − a2 c) a (a− b)2 d) ab (b− a)
e) ab (a− b) f) a2 − b2 g) a (a− b) h) b(b− a)
 p 6 - 1 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechadaé
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
1
24 x
3 + xy2
)
i+
(− 724 y3 + 2 ey sin (z)) j+ ( 124 z3 + 2 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
1
10 pi �0 b) 0 c)
31
10 pi �0 d)
7
12 pi
2�0 e)
16
5 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
pi�0h r
b)
Q
4pi�0r2
c) 0 d) Q2pi�0h r e)
Q
2pir(r+h)
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
4pi�0r2
b)
Q
2pir(r+h) c) 0 d)
Q
pi�0h r
e)
Q
2pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a) − Q2pi�0h ln rr+h + C b)
Q
4pi�0 r
+ C c) Q4pi�0(r+h) + C d) −
Q
2pi�0h
ln r + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 4) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 3 y2k).
a)
1
24 b)
97
24 c) 0 d) 12 e)
1
6
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = −x2i+ (−2xz + 2 y3) j+ 3 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −2xi− 2 zk b) 2xi+ 2 zk c) −2xi+ 6 y2j+ 3k
d) 2xi− 6 y2j− 3k e) −2xi+ 2 zk f) 2xi− 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) −2pi b) −116 pi c) 0 d) 12 pi e) 1112 pi f) −1112 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (5 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
2 e z = 3.
a)
80
3 pi ln
(
3
2
)
b) 4pi ln
(
3
2
)
c) pi ln
(
3
2
)
d)
16
3 pi ln
(
3
2
)
e)
16
3 pi ln (3) f) 20pi ln
(
3
2
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −12pia b) −43pia c) 4pia d) −4pia
e) −8pia f) 12pia g) 43pia h) 8pia
7. Considere o campo
F = (−x+ y) i+ (x− 2 z) j+ (3 z + 3 y + 3)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) 0 b) 4pi c) 83 pi d) −16pi e) 8pi f) 2pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 2− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) pi b) 432 pi c) 0 d)
4
5 pi
√
2 e) 163 pi f)
2
3 pi
√
2
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b(b− a) b) b2 − a2 c) a (a− b) d) a (a− b)2
e) b (a− b)2 f) ab (b− a) g) a2 − b2 h) ab (a− b)
 p 6 - 2 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
1
24 x
3 + xy2
)
i+
(− 724 y3 + 3 ey sin (z)) j+ ( 124 z3 + 3 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
31
10 pi �0 b)
16
5 pi �0 c) 0 d)
1
10 pi �0 e)
7
12 pi
2�0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a) 0 b) Qpi�0h r c)
Q
4pi�0r2
d)
Q
2pir(r+h) e)
Q
2pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b) 0 c) Q2pir(r+h) d)
Q
4pi�0r2
e)
Q
pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a) − Q2pi�0h ln rr+h + C b) −
Q
2pi�0h
ln r + C c) Q4pi�0(r+h) + C d)
Q
4pi�0 r
+ C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 4, 0)
e (0, 0, 3) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ y2k).
a) 12 b) 17710 c) 22 d) 0 e) 6
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = x2i+
(−xz + 3 y3) j− zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 2xi+ 9 y2j− k b) −xi+ zk c) −xi− zk
d) xi− zk e) xi+ zk f) −2xi− 9 y2j+ k
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) 14 pi c)
3
2 pi d) −pi e) 34 pi f) −14 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (3 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
4 e z = 7.
a) 9pi ln
(
7
4
)
b) pi ln
(
7
4
)
c) 18pi ln (7)
d) 54pi ln
(
7
4
)
e) 27pi ln
(
7
4
)
f) 18pi ln
(
7
4
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −4pia b) −43pia c) 4pia d) 43pia
e) −12pia f) 8pia g) 12pia h) −8pia
7. Considere o campo
F = (3x− y) i+ (x− 2 z) j+ (−2 z − 2 y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) −2pi b) 43 pi c) −23 pi d) −43 pi e) 0 f) 4pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 6− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 9pi b) 365 pi
√
6 c) 1312 pi d) 48pi e) 0 f) 2pi
√
6
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a (a− b) b) ab (b− a) c) b (a− b)2 d) a (a− b)2
e) b(b− a) f) ab (a− b) g) a2 − b2 h) b2 − a2
 p 6 - 3 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico édado por E =(− 124 x3 − 2xy2) i+ (58 y3 − ey sin (z)) j+ (− 124 z3 − ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) −165 pi �0 b) −3110 pi �0 c) 0 d) − 712 pi2�0 e) − 110 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
4pi�0r2
c)
Q
pi�0h r
d) 0 e) Q2pir(r+h)
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b) 0 c) Qpi�0h r d)
Q
4pi�0r2
e)
Q
2pir(r+h)
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0 r
+ C b) Q4pi�0(r+h) + C c) −
Q
2pi�0h
ln r + C d) − Q2pi�0h ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 2) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 3 y2k).
a) 11 b) 72 c) 0 d) 6 e)
3
2
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 2x2i+
(
3xz − y3) j+ zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 3xi− 3 zk b) −3xi− 3 zk c) −4xi+ 3 y2j− k
d) −3xi+ 3 zk e) 4xi− 3 y2j+ k f) 3xi+ 3 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a)
1
2 pi b)
1
16 pi c) −12pi d) −14 pi e) 0 f) 3pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (5 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
4 e z = 5.
a) 90pi ln
(
5
4
)
b) 45pi ln
(
5
4
)
c) 9pi ln
(
5
4
)
d) pi ln
(
5
4
)
e) 18pi ln
(
5
4
)
f) 18pi ln (5)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 12pia b) 4pia c) 8pia d) −43pia
e) −12pia f) 43pia g) −8pia h) −4pia
7. Considere o campo
F = (x− 2 y) i+ (−x− 2 z) j+ (z − 2 y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a) 8pi b) 32pi c) 0 d) 64pi e) 643 pi f) −323 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 3− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
65
2 pi b)
9
5 pi
√
3 c) 0 d) pi
√
3 e) 12pi f) 94 pi
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a (a− b) b) ab (a− b) c) a2 − b2 d) b(b− a)
e) ab (b− a) f) b2 − a2 g) b (a− b)2 h) a (a− b)2
 p 6 - 4 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
12 x
3 + xy2
)
i+
(
1
12 y
3 − ey sin (z)) j+ ( 512 z3 − ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio 1 e
uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
35
6 pi
2�0 b) pi �0 c) 31pi �0 d) 32pi �0 e) 0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
2pir(r+h) c)
Q
pi�0h r
d)
Q
4pi�0r2
e) 0
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
pi�0h r
b)
Q
2pir(r+h) c) 0 d)
Q
4pi�0r2
e)
Q
2pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0 r
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c)
Q
4pi�0(r+h)
+ C d) − Q2pi�0h ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (4, 0, 0), (0, 4, 0)
e (0, 0, 1) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 7 y2k).
a)
32
3 b) 48 c) 0 d) 28 e)
32
3
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(
3xz + 2 y3
)
j+ 3 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 3xi− 3 zk b) −3xi+ 3 zk c) −3xi− 3 zk
d) 6xi+ 6 y2j+ 3k e) −6xi− 6 y2j− 3k f) 3xi+ 3 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) −18 pi c) 12 pi d) 3pi e) 54 pi f) 14 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (3 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 7.
a) 18pi ln
(
7
3
)
b) 54pi ln
(
7
3
)
c) 18pi ln (7)
d) 9pi ln
(
7
3
)
e) pi ln
(
7
3
)
f) 27pi ln
(
7
3
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 12pia b) 4pia c) −8pia d) 43pia
e) −12pia f) 8pia g) −4pia h) −43pia
7. Considere o campo
F = (3x− 2 y) i+ (−2x− 2 z) j+ (z − y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) 0 b) −43 pi c) −32pi d) 83 pi e) 163 pi f) 16pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 6− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 0 b) 2pi
√
6 c) 365 pi
√
6 d) 9pi e) 1312 pi f) 48pi
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a2 − b2 b) b (a− b)2 c) a (a− b) d) a (a− b)2
e) b2 − a2 f) ab (b− a) g) ab (a− b) h) b(b− a)
 p 6 - 5 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(− 136 x3 + xy2) i+ (−1336 y3 + ey sin (z)) j+ (− 136 z3 + ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esferade raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) −3115 pi �0 b) 0 c) − 718 pi2�0 d) − 115 pi �0 e) −3215 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
4pi�0r2
c)
Q
2pir(r+h) d)
Q
pi�0h r
e) 0
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
pi�0h r
b)
Q
2pi�0h r
c) 0 d) Q2pir(r+h) e)
Q
4pi�0r2
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C d)
Q
4pi�0 r
+ C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 6, 0)
e (0, 0, 4) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 7 y2k).
a) 54 b) 0 c) 168 d) 216 e) 390
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(−2xz + y3) j+ 3 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 2xi+ 2 zk b) −6xi− 3 y2j− 3k c) 6xi+ 3 y2j+ 3k
d) −2xi+ 2 zk e) −2xi− 2 zk f) 2xi− 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) −12 pi b) 8pi c) −2pi d) 54 pi e) 14 pi f) 0
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (5 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
2 e z = 3.
a) 20pi ln
(
3
2
)
b) pi ln
(
3
2
)
c)
16
3 pi ln (3)
d)
80
3 pi ln
(
3
2
)
e) 4pi ln
(
3
2
)
f)
16
3 pi ln
(
3
2
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −43pia b) 4pia c) −4pia d) −8pia
e)
4
3pia f) 8pia g) 12pia h) −12pia
7. Considere o campo
F = (−x+ y) i+ (−x− 2 z) j+ (−z − 2 y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) −43 pi b) 43 pi c) −83 pi d) 0 e) 323 pi f) −8pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 2− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
2
3 pi
√
2 b) 0 c) 163 pi d)
4
5 pi
√
2 e) 432 pi f) pi
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b2 − a2 b) a2 − b2 c) a (a− b) d) ab (b− a)
e) ab (a− b) f) b (a− b)2 g) b(b− a) h) a (a− b)2
 p 6 - 6 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
36 x
3 + 2xy2
)
i +
(−1936 y3 + ey sin (z)) j + ( 536 z3 + ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
31
3 pi �0 b)
35
18 pi
2�0 c)
32
3 pi �0 d) 0 e)
1
3 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0r2
b)
Q
2pir(r+h) c) 0 d)
Q
pi�0h r
e)
Q
2pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
pi�0h r
b) 0 c) Q2pir(r+h) d)
Q
4pi�0r2
e)
Q
2pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c)
Q
4pi�0 r
+ C d) − Q2pi�0h ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 4, 0)
e (0, 0, 4) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 3 y2k).
a)
118
5 b) 48 c) 6 d) 70 e) 0
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 2x2i+
(
2xz + y3
)
j+ 3 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −2xi+ 2 zk b) −4xi− 3 y2j− 3k c) 2xi− 2 zk
d) 4xi+ 3 y2j+ 3k e) −2xi− 2 zk f) 2xi+ 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a)
7
6 pi b) 2pi c)
1
4 pi d) 0 e) −pi f) −14 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (3 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
4 e z = 7.
a) 16pi ln
(
7
4
)
b) pi ln
(
7
4
)
c) 12pi ln
(
7
4
)
d) 4pi ln
(
7
4
)
e)
16
3 pi ln (7) f)
16
3 pi ln
(
7
4
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a)
4
3pia b) 12pia c) −12pia d) −8pia
e) 8pia f) −4pia g) −43pia h) 4pia
7. Considere o campo
F = (−x− y) i+ (x− z) j+ (−z − y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a) −643 pi b) −323 pi c) −32pi d) −64pi e) 0 f) 83 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 2− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
2
3 pi
√
2 b) 45 pi
√
2 c) 163 pi d)
43
2 pi e) pi f) 0
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a2 − b2 b) b (a− b)2 c) a (a− b) d) a (a− b)2
e) b(b− a) f) b2 − a2 g) ab (b− a) h) ab (a− b)
 p 6 - 7 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
36 x
3 + xy2
)
i+
(− 736 y3 + 2 ey sin (z)) j+ ( 536 z3 + 2 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
35
18 pi
2�0 b)
32
3 pi�0 c)
1
3 pi �0 d)
31
3 pi �0 e) 0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a) 0 b) Q
4pi�0r2
c)
Q
2pir(r+h) d)
Q
2pi�0h r
e)
Q
pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
pi�0h r
c)
Q
4pi�0r2
d) 0 e) Q2pir(r+h)
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) Q4pi�0 r + C c) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C d) − Q2pi�0h ln r + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 4, 0)
e (0, 0, 6) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 7 y2k).
a)
88
5 b) 0 c)
8
3 d) 168 e)
680
3
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(−xz − y3) j+ zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 6xi− 3 y2j+ k b) xi+ zk c) xi− zk
d) −6xi+ 3 y2j− k e) −xi− zk f) −xi+ zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a)
1
2 pi b) 0 c) −76 pi d) −pi e) 712 pi f) −14 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (2 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 5.
a) 8pi ln
(
5
3
)
b) 4pi ln
(
5
3
)
c) pi ln
(
5
3
)
d)
32
3 pi ln
(
5
3
)
e)
16
3 pi ln (5) f)
16
3 pi ln
(
5
3
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −12pia b) 43pia c) 4pia d) 12pia
e) −8pia f) −4pia g) −43pia h) 8pia
7. Considere o campo
F = (−2x− y) i+ (3x− 2 z) j+ (−z − y − 2)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) −16pi b) 4pi c) 0 d) −12pi e) −83 pi f) −4pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 6− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 9pi b) 48pi c) 0 d) 2pi
√
6 e) 1312 pi f)
36
5 pi
√
6
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b2 − a2 b) ab (b− a) c) a2 − b2 d) ab (a− b)
e) b(b− a) f) a (a− b) g) b (a− b)2 h) a (a− b)2
 p 6 - 8 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
12 x
3 + 2xy2
)
i+
(−14 y3 + 2 ey sin (z)) j+ ( 512 z3 + 2 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
35
6 pi
2�0 b) 32pi �0 c) 0 d) 31pi �0 e) pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
pi�0h r
b)
Q
2pir(r+h) c)
Q
4pi�0r2
d) 0 e) Q2pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a) 0 b) Q2pir(r+h) c)
Q
4pi�0r2
d)
Q
2pi�0h r
e)
Q
pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C d)
Q
4pi�0 r
+ C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0)
e (0, 0, 3) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 2 y2k).
a)
11
20 b)
1
6 c)
49
6 d) 0 e) 12
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(
xz − y3) j+ 3 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −xi+ zk b) −xi− zk c) −6xi+ 3 y2j− 3k
d) xi+ zk e) 6xi− 3 y2j+ 3k f) xi− zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 2pi b) pi c) −14 pi d) 54 pi e) 12 pi f) 0
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (2 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
4 e z = 5.
a)
32
3 pi ln
(
5
4
)
b) 4pi ln
(
5
4
)
c)
16
3 pi ln (5)
d)
16
3 pi ln
(
5
4
)
e) 8pi ln
(
5
4
)
f) pi ln
(
5
4
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 8pia b) 12pia c) −4pia d) −43pia
e) 4pia f) −12pia g) 43pia h) −8pia
7. Considere o campo
F = (−2x− y) i+ (3x− z) j+ (−2 z − 2 y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) 8pi b) −16pi c) 0 d) 83 pi e) −163 pi f) −43 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 3− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
65
2 pi b)
9
5 pi
√
3 c) 12pi d) 0 e) pi
√
3 f) 94 pi
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b2 − a2 b) b(b− a) c) ab (a− b) d) b (a− b)2
e) a2 − b2 f) ab (b− a) g) a (a− b) h) a (a− b)2
 p 6 - 9 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
1
24 x
3 + 2xy2
)
i+
(−58 y3 − ey sin (z)) j+ ( 124 z3 − ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio 1
e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
16
5 pi �0 b)
1
10 pi �0 c) 0 d)
7
12 pi
2�0 e)
31
10 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio internoa e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
2pir(r+h) c)
Q
4pi�0r2
d) 0 e) Qpi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a) 0 b) Q2pir(r+h) c)
Q
2pi�0h r
d)
Q
4pi�0r2
e)
Q
pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c)
Q
4pi�0 r
+ C d) − Q2pi�0h ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 7) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 6 y2k).
a)
1
24 b)
7
24 c)
337
24 d) 0 e) 42
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(
2xz + y3
)
j− zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −2xi− 2 zk b) −2xi+ 2 zk c) 6xi+ 3 y2j− k
d) −6xi− 3 y2j+ k e) 2xi− 2 zk f) 2xi+ 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 8pi b) 0 c) − 112 pi d) 14 pi e) 13 pi f) 2pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (4 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 5.
a)
64
3 pi ln
(
5
3
)
b) 4pi ln
(
5
3
)
c) 16pi ln
(
5
3
)
d) pi ln
(
5
3
)
e)
16
3 pi ln
(
5
3
)
f)
16
3 pi ln (5)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 8pia b) −8pia c) 4pia d) −4pia
e) 12pia f) −12pia g) 43pia h) −43pia
7. Considere o campo
F = (3x− 2 y) i+ (−2x− 2 z) j+ (−z − 2 y − 2)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) −43 pi b) 16pi c) 8pi d) −83 pi e) 83 pi f) 0
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 5− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
25
4 pi b)
100
3 pi c) 0 d)
5
3 pi
√
5 e) 1092 pi f) 5pi
√
5
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b (a− b)2 b) b(b− a) c) a (a− b)2 d) ab (b− a)
e) a2 − b2 f) a (a− b) g) ab (a− b) h) b2 − a2
 p 6 - 1 0 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
24 x
3 + 3xy2
)
i +
(−1924 y3 + ey sin (z)) j + ( 524 z3 + ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
31
2 pi �0 b)
35
12 pi
2�0 c) 16pi �0 d) 0 e)
1
2 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0r2
b) 0 c) Q2pi�0h r d)
Q
2pir(r+h) e)
Q
pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
pi�0h r
b)
Q
2pi�0h r
c)
Q
4pi�0r2
d) 0 e) Q2pir(r+h)
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a) − Q2pi�0h ln r + C b)
Q
4pi�0 r
+ C c) Q4pi�0(r+h) + C d) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 4, 0)
e (0, 0, 4) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ y2k).
a)
8
3 b) 24 c)
176
15 d) 16 e) 0
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = x2i+
(
xz − 2 y3) j− 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) xi+ zk b) −xi+ zk c) −xi− zk
d) −2xi+ 6 y2j+ 2k e) 2xi− 6 y2j− 2k f) xi− zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) − 712 pi b) pi c) 12 pi d) 14 pi e) 0 f) −12 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (4 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
4 e z = 7.
a) 9pi ln
(
7
4
)
b) 72pi ln
(
7
4
)
c) 18pi ln (7)
d) pi ln
(
7
4
)
e) 18pi ln
(
7
4
)
f) 36pi ln
(
7
4
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 4pia b) 12pia c) −4pia d) −43pia
e) 8pia f) −12pia g) 43pia h) −8pia
7. Considere o campo
F = (−2x− 2 y) i+ (−2x− z) j+ (−2 z + 3 y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a) 64pi b) −643 pi c) 0 d) −1283 pi e) −323 pi f) −64pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 2− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) pi b) 45 pi
√
2 c) 0 d) 23 pi
√
2 e) 163 pi f)
43
2 pi
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) ab (b− a) b) a (a− b)2 c) b (a− b)2 d) ab (a− b)
e) a2 − b2 f) a (a− b) g) b2 − a2 h) b(b− a)
 p 6 - 1 1 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
36 x
3 − 2xy2) i + (2936 y3 − ey sin (z)) j + ( 536 z3 − ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio 1
e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) 0 b) 3518 pi
2�0 c)
31
3 pi �0 d)
1
3 pi �0 e)
32
3 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exteriorpossui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
pi�0h r
b)
Q
2pir(r+h) c)
Q
4pi�0r2
d)
Q
2pi�0h r
e) 0
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
2pir(r+h) c)
Q
4pi�0r2
d)
Q
pi�0h r
e) 0
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a) − Q2pi�0h ln r + C b)
Q
4pi�0(r+h)
+ C c) Q4pi�0 r + C d) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (4, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 3) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 2 y2k).
a)
8
3 b) 0 c) 5 d)
2
3 e) 6
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(−2xz + 2 y3) j+ 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −6xi− 6 y2j− 2k b) −2xi+ 2 zk c) 6xi+ 6 y2j+ 2k
d) 2xi− 2 zk e) −2xi− 2 zk f) 2xi+ 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) −2pi c) −14 pi d) −12 pi e) 12 pi f) 1112 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (4 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 6.
a)
16
3 pi ln (2) b) 4pi ln (2) c)
16
3 pi ln (6)
d)
64
3 pi ln (2) e) 16pi ln (2) f) pi ln (2)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −8pia b) −43pia c) 8pia d) −4pia
e)
4
3pia f) 12pia g) −12pia h) 4pia
7. Considere o campo
F = (−2x+ 3 y) i+ (−x− z) j+ (−2 z + 3 y + 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a)
32
3 pi b) −1283 pi c) 163 pi d) 1283 pi e) 0 f) −64pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 2− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
43
2 pi b)
2
3 pi
√
2 c) 163 pi d) 0 e) pi f)
4
5 pi
√
2
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b (a− b)2 b) ab (b− a) c) a2 − b2 d) b(b− a)
e) b2 − a2 f) a (a− b)2 g) a (a− b) h) ab (a− b)
 p 6 - 1 2 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
1
24 x
3 + 2xy2
)
i+
(−58 y3 + ey sin (z)) j+ ( 124 z3 + ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio 1
e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
7
12 pi
2�0 b)
1
10 pi �0 c) 0 d)
31
10 pi �0 e)
16
5 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a) 0 b) Q2pi�0h r c)
Q
pi�0h r
d)
Q
2pir(r+h) e)
Q
4pi�0r2
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
pi�0h r
b)
Q
4pi�0r2
c)
Q
2pir(r+h) d) 0 e)
Q
2pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a) − Q2pi�0h ln r + C b)
Q
4pi�0 r
+ C c) Q4pi�0(r+h) + C d) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (4, 0, 0), (0, 3, 0)
e (0, 0, 3) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ y2k).
a) 9 b) 15 c) 6 d) 995 e) 0
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = −2x2i+ (−xz + y3) j+ 3 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 4xi− 3 y2j− 3k b) xi− zk c) −xi− zk
d) −xi+ zk e) xi+ zk f) −4xi+ 3 y2j+ 3k
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) 4pi c) −pi d) 56 pi e) 14 pi f) −12 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (5 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 5.
a) 9pi ln
(
5
3
)
b) 18pi ln
(
5
3
)
c) 90pi ln
(
5
3
)
d) 18pi ln (5) e) 45pi ln
(
5
3
)
f) pi ln
(
5
3
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 4pia b) −4pia c) 12pia d) −12pia
e) 8pia f) 43pia g) −8pia h) −43pia
7. Considere o campo
F = (3x− 2 y) i+ (−x− z) j+ (−2 z − 2 y − 2)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a) 0 b) 83 pi c)
32
3 pi d) 16pi e) −643 pi f) −4pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 5− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
109
2 pi b) 0 c)
5
3 pi
√
5 d) 1003 pi e) 5pi
√
5 f) 254 pi
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b(b− a) b) ab (a− b) c) ab (b− a) d) a (a− b)
e) a (a− b)2 f) b (a− b)2 g) a2 − b2 h) b2 − a2
 p 6 - 1 3 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(− 524 x3 + xy2) i+ (−1324 y3 − ey sin (z)) j+ (− 524 z3 − ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) 0 b) −312 pi �0 c) −3512 pi2�0 d) −16pi �0 e) −12 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetriacilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pir(r+h) b) 0 c)
Q
4pi�0r2
d)
Q
pi�0h r
e)
Q
2pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b) 0 c) Q
4pi�0r2
d)
Q
2pir(r+h) e)
Q
pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0 r
+ C b) Q4pi�0(r+h) + C c) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C d) − Q2pi�0h ln r + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 2, 0)
e (0, 0, 2) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 2 y2k).
a) 0 b) 343 c) 6 d)
116
5 e) 8
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = −2x2i+ (2xz + y3) j+ 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 2xi+ 2 zk b) −4xi+ 3 y2j+ 2k c) 2xi− 2 zk
d) −2xi+ 2 zk e) 4xi− 3 y2j− 2k f) −2xi− 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) −18 pi b) 2pi c) 14 pi d) 0 e) −pi f) 12 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (3 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 4.
a) pi ln
(
4
3
)
b) 27pi ln
(
4
3
)
c) 9pi ln
(
4
3
)
d) 18pi ln
(
4
3
)
e) 36pi ln (2) f) 54pi ln
(
4
3
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 12pia b) 43pia c) −43pia d) −8pia
e) −12pia f) 8pia g) 4pia h) −4pia
7. Considere o campo
F = (x+ 3 y) i+ (3x− 2 z) j+ (z + y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a)
64
3 pi b) 0 c)
16
3 pi d) −323 pi e) −643 pi f) 32pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 3− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 12pi b) 652 pi c)
9
4 pi d) pi
√
3 e) 95 pi
√
3 f) 0
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a (a− b)2 b) ab (a− b) c) b(b− a) d) a2 − b2
e) a (a− b) f) b2 − a2 g) b (a− b)2 h) ab (b− a)
 p 6 - 1 4 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(− 112 x3 − xy2) i+(14 y3 + 2 ey sin (z)) j+(− 112 z3 + 2 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) −315 pi �0 b) −325 pi �0 c) 0 d) −15 pi �0 e) −76 pi2�0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pir(r+h) b)
Q
4pi�0r2
c)
Q
2pi�0h r
d)
Q
pi�0h r
e) 0
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
4pi�0r2
c)
Q
pi�0h r
d) 0 e) Q2pir(r+h)
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0 r
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C d)
Q
4pi�0(r+h)
+ C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 3, 0)
e (0, 0, 3) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 6 y2k).
a)
27
8 b)
459
8 c)
81
8 d) 0 e) 54
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 2x2i+
(
xz − 2 y3) j− zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −xi+ zk b) −xi− zk c) xi− zk
d) 4xi− 6 y2j− k e) xi+ zk f) −4xi+ 6 y2j+ k
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) 14 pi c) pi d) −16 pi e) −12 pi f) 18 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (5 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 3 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 6.
a) 18pi ln (2) b) 90pi ln (2) c) pi ln (2)
d) 45pi ln (2) e) 18pi ln (6) f) 9pi ln (2)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −12pia b) 8pia c) 43pia d) −43pia
e) −4pia f) 4pia g) 12pia h) −8pia
7. Considere o campo
F = (−2x+ y) i+ (x− z) j+ (−z + 3 y + 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) 6pi b) −4pi c) 43 pi d) −12pi e) 8pi f) 0
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 5− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a)
25
4 pi b)
100
3 pi c) 5pi
√
5 d) 1092 pi e) 0 f)
5
3 pi
√
5
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a (a− b)2 b) a2 − b2 c) b(b− a) d) a (a− b)
e) ab (a− b) f) b2 − a2 g) b (a− b)2 h) ab (b− a)
 p 6 - 1 5 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
36 x
3 + xy2
)
i+
(− 736 y3 + ey sin (z)) j+ ( 536 z3 + ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio 1
e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
31
3 pi �0 b)
35
18 pi
2�0 c)
1
3 pi �0 d) 0 e)
32
3 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcularo valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pir(r+h) b) 0 c)
Q
pi�0h r
d)
Q
4pi�0r2
e)
Q
2pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b) 0 c) Q
4pi�0r2
d)
Q
2pir(r+h) e)
Q
pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C d)
Q
4pi�0 r
+ C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (4, 0, 0), (0, 6, 0)
e (0, 0, 1) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ y2k).
a) 24 b) 36 c) 0 d) 6 e) 24
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 2x2i+
(
3xz + 3 y3
)
j+ 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −4xi− 9 y2j− 2k b) 4xi+ 9 y2j+ 2k c) −3xi+ 3 zk
d) 3xi− 3 zk e) −3xi− 3 zk f) 3xi+ 3 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 3pi b) 0 c) −3pi d) 34 pi e) 512 pi f) 56 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (4 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 4.
a) 16pi ln
(
4
3
)
b) 4pi ln
(
4
3
)
c) pi ln
(
4
3
)
d)
16
3 pi ln
(
4
3
)
e)
64
3 pi ln
(
4
3
)
f)
32
3 pi ln (2)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a)
4
3pia b) −8pia c) 4pia d) −43pia
e) −4pia f) 12pia g) 8pia h) −12pia
7. Considere o campo
F = (x+ y) i+ (3x+ z) j+ (z + y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 1 com centro na origem.
a) 8pi b) −43 pi c) 43 pi d) 0 e) 32pi f) 83 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 6− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 48pi b) 0 c) 9pi d) 1312 pi e)
36
5 pi
√
6 f) 2pi
√
6
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a2 − b2 b) ab (b− a) c) b(b− a) d) b (a− b)2
e) b2 − a2 f) a (a− b) g) ab (a− b) h) a (a− b)2
 p 6 - 1 6 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(− 124 x3 + xy2) i + (−38 y3 − 2 ey sin (z)) j + (− 124 z3 − 2 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de
raio 1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) −3110 pi �0 b) 0 c) − 110 pi �0 d) − 712 pi2�0 e) −165 pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a) 0 b) Q
4pi�0r2
c)
Q
2pir(r+h) d)
Q
pi�0h r
e)
Q
2pi�0h r
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
4pi�0r2
b)
Q
2pi�0h r
c)
Q
pi�0h r
d)
Q
2pir(r+h) e) 0
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0 r
+ C b) − Q2pi�0h ln rr+h + C c) −
Q
2pi�0h
ln r + C d) Q4pi�0(r+h) + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 6, 0)
e (0, 0, 2) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 6 y2k).
a) 72 b) 108 c) 0 d) 198 e) 54
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 2x2i+
(
2xz + 2 y3
)
j+ 3 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 2xi+ 2 zk b) −2xi− 2 zk c) 4xi+ 6 y2j+ 3k
d) −2xi+ 2 zk e) −4xi− 6 y2j− 3k f) 2xi− 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) −76 pi c) −2pi d) 76 pi e) 12 pi f) 2pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (2 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 4.
a) pi ln
(
4
3
)
b)
32
3 pi ln
(
4
3
)
c) 4pi ln
(
4
3
)
d) 8pi ln
(
4
3
)
e)
32
3 pi ln (2) f)
16
3 pi ln
(
4
3
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) 4pia b) 43pia c) 8pia d) 12pia
e) −8pia f) −12pia g) −43pia h) −4pia
7. Considere o campo
F = (3x− 2 y) i+ (x− 2 z) j+ (−2 z − y − 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a) 0 b) 16pi c) −163 pi d) 323 pi e) −323 pi f) −643 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 6− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 9pi b) 2pi
√
6 c) 48pi d) 1312 pi e) 0 f)
36
5 pi
√
6
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a2 − b2 b) a (a− b)2 c) ab (a− b) d) b(b− a)
e) ab (b− a) f) b2 − a2 g) a (a− b) h) b (a− b)2
 p 6 - 1 7 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
24 x
3 − 2xy2) i+ (78 y3 + 2 ey sin (z)) j+ ( 524 z3 + 2 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) 0 b) 312 pi �0 c)
35
12 pi
2�0 d)
1
2 pi �0 e) 16pi �0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volumequalquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
pi�0h r
c)
Q
2pir(r+h) d) 0 e)
Q
4pi�0r2
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
2pi�0h r
b) 0 c) Q
4pi�0r2
d)
Q
2pir(r+h) e)
Q
pi�0h r
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0 r
+ C b) − Q2pi�0h ln r + C c) −
Q
2pi�0h
ln rr+h + C d)
Q
4pi�0(r+h)
+ C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 3) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 2 y2k).
a) 0 b) 6 c) 332 d)
7
2 e)
3
2
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(−2xz − y3) j− 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) 6xi− 3 y2j− 2k b) −6xi+ 3 y2j+ 2k c) 2xi+ 2 zk
d) 2xi− 2 zk e) −2xi+ 2 zk f) −2xi− 2 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) 0 b) −14 pi c) 116 pi d) 56 pi e) − 512 pi f) −2pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (2 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
4 e z = 6.
a)
16
3 pi ln (6) b) 8pi ln
(
3
2
)
c) 4pi ln
(
3
2
)
d)
32
3 pi ln
(
3
2
)
e)
16
3 pi ln
(
3
2
)
f) pi ln
(
3
2
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −4pia b) 4pia c) 43pia d) −43pia
e) −12pia f) 8pia g) 12pia h) −8pia
7. Considere o campo
F = (x− 2 y) i+ (x− 2 z) j+ (z + 3 y + 1)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a) −323 pi b) 323 pi c) 0 d) 32pi e) 128pi f) 643 pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 6− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 0 b) 48pi c) 2pi
√
6 d) 1312 pi e) 9pi f)
36
5 pi
√
6
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) a2 − b2 b) b2 − a2 c) a (a− b) d) b(b− a)
e) ab (a− b) f) b (a− b)2 g) ab (b− a) h) a (a− b)2
 p 6 - 1 8 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(
5
36 x
3 + 3xy2
)
i+
(−3136 y3 + 3 ey sin (z)) j+( 536 z3 + 3 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de raio
1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a)
32
3 pi �0 b)
31
3 pi �0 c)
35
18 pi
2�0 d)
1
3 pi �0 e) 0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.
Calcule o módulo do campo elétrico E entre os dois cilindros.
a)
Q
2pi�0h r
b)
Q
4pi�0r2
c)
Q
2pir(r+h) d)
Q
pi�0h r
e) 0
Qual é o valor do campo fora dos cilindros?
a)
Q
4pi�0r2
b)
Q
2pi�0h r
c) 0 d) Qpi�0h r e)
Q
2pir(r+h)
Encontre o potencial elétrico φ definido como E = −∇φ na região entre os dois cilindros.
a)
Q
4pi�0(r+h)
+ C b) Q4pi�0 r + C c) −
Q
2pi�0h
ln r + C d) − Q2pi�0h ln rr+h + C
3. Seja a superfície aberta S1 definida como a superfície do tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 3, 0)
e (0, 0, 2) após remover sua base triangular no plano xy.
Escolha o método que achar mais conveniente para calcular a integral
´
S1
dS·∇×(xy2i+ 32x2yj+ 7 y2k).
a)
21
20 b) 0 c)
3
8 d)
339
8 e) 42
4. Devido à lei da ausência de carga magnética � ∇ ·B = 0, o campo magnético sempre pode ser escrito
como o rotacional de um segundo campo: B = ∇×A. O campo A é conhecido como o potencial vetor.
Seja o potencial vetor dado por
A = 3x2i+
(
3xz + 3 y3
)
j+ 2 zk.
Calcule o campo magnético B = ∇×A associado.
a) −3xi+ 3 zk b) 3xi− 3 zk c) 3xi+ 3 zk
d) 6xi+ 9 y2j+ 2k e) −6xi− 9 y2j− 2k f) −3xi− 3 zk
Determine o fluxo do campo B campo sobre o parabolóide z = x2 + y2 com z ≤ 1 (considere a normal
que aponta na direção positiva do eixo z).
a) −3pi b) 0 c) 1112 pi d) 12pi e) 3pi f) 34 pi
5. Calcule a integral
¸
∂R dS · F, onde
F = ez sinxi− ezy cos(x)j+
√
x2 + y2 ln (4 z)k.
A região de integração é a superfície de um cilindro de raio 2 em torno do eixo z e entre os planos z =
3 e z = 4.
a)
32
3 pi ln (2) b)
16
3 pi ln
(
4
3
)
c)
64
3 pi ln
(
4
3
)
d) 4pi ln
(
4
3
)
e) 16pi ln
(
4
3
)
f) pi ln
(
4
3
)
6. Calcule a integral
´
dV (∇ · F) como integral de volume ou integral de superfície, o que for mais
conveniente. Considere a região de integração x2 + y2 + z2 ≤ a2 e o campo
F =
xi+ yj+ zk
x2 + y2 + z2
.
a) −4pia b) 4pia c) 12pia d) −43pia
e)
4
3pia f) −12pia g) 8pia h) −8pia
7. Considere o campo
F = (x− y) i+ (x− z) j+ (−2 z − 2 y − 2)k.
Calcule o fluxo de campo exterior sobre uma esfera de raio 2 com centro na origem.
a) −323 pi b) 16pi c) 0 d) −643 pi e) 643 pi f) −16pi
8. Calcule a integral
¸
d~` · F, onde o caminho de integração é a intersecção do parabolóide z = 5− x2 −
y2 com o plano z = 0 e o campo F é dado por
F =
(
xy2 − 1
6
y3
)
i+
(
x2y +
1
6
x3
)
j+ z3k.
a) 0 b) 1003 pi c) 5pi
√
5 d) 1092 pi e)
25
4 pi f)
5
3 pi
√
5
9. Utilize o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
¸
C d
~` · F (percorrida no sentido horário).
O caminho C corresponde ao retângulo delimitado pelas retas x = a e y = b e pelos eixo x e y no
plano xy e a o integrando é
F =
(
y2 + z2
)
i+
(
x2 + z2
)
j+
(
x2 + y2
)
k.
a) b (a− b)2 b) a (a− b)2 c) ab (b− a) d) b(b− a)
e) b2 − a2 f) a (a− b) g) a2 − b2 h) ab (a− b)
 p 6 - 1 9 !
Nome:
Matrícula:
Sexta lista de Cálculo 3
1. De acordo com a lei de Gauss do eletromagnetismo, o fluxo do campo elétrico E dentro de qualquer
superfície fechada é
˛
S
dS ·E = 1
�0
QS ,
onde Qs é a carga encerrada dentro da superfície. Considere que o campo elétrico é dado por E =(− 512 x3 + xy2) i + (−34 y3 + 3 ey sin (z)) j + (− 512 z3 + 3 ey cos (z))k e S é região entre uma esfera de
raio 1 e uma esfera de raio 2.
Calcule a carga elétrica dentro de S.
a) −31pi �0 b) −356 pi2�0 c) −32pi �0 d) −pi �0 e) 0
2. Um capacitor cilíndrico consiste em dois cilíndricos metálicos co-cêntricos de raio interno a e raio
externo b. O cilindro interior possui uma carga total Q, enquanto o cilindro exterior possui uma carga
−Q. Considere que a altura dos cilindros h � b. Podemos fazer a aproximação que o campo elétrico
possui simetria cilíndrica, ou seja E = E(r)rˆ, onde rˆ é um vetor unitário na direção radial e r é a
distância com relação ao eixo de simetria. Deste modo, é possível calcular o valor do campo elétrico
utilizando a lei de Gauss:
´
∂V dS · E = 1�0QV , onde V é um volume qualquer e QV é a carga elétrica
total encerrada dentro deste volume.